第三章 幂、指数与对数（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第一册）

第三章 幂、指数与对数 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．（2024·上海浦东新·三模）已知，则 （用表示） 【答案】/ 【分析】根据对数的运算性质计算即可. 【详解】由， 得. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·单元测试）计算： ． 【答案】1 【分析】利用换底公式计算即得. 【详解】. 故答案为：1 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 4．（23-24高一上·上海·假期作业）已知，化简 . 【答案】/ 【分析】根据对数的运算性质化简即可. 【详解】因为且， 所以， 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·课后作业）下列各式：①；②；③若，则；④若，则；⑤．其中正确的序号是 ． 【答案】①② 【分析】运用指对互化和对数运算的结论和公式即可解题 【详解】①，则正确； ②，则正确； ③若，则错误； ④若，则错误； ⑤，式子对数的真数为负数，没有意义，则错误. 故答案为：①②. 6．（23-24高一上·上海·假期作业）若，，则 . 【答案】 【分析】先利用指数与对数的关系求出，再根据对数的运算性质求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以， 故答案为： 7．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，，若，则的最小值为 【答案】4 【分析】利用，可求最小值. 【详解】， 当且仅当，即时取等号. 的最小值为. 故答案为：. 8．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设是实数，若对任意负数，代数式恒为定值，则的值为 ． 【答案】3 【分析】利用根式的性质化简给定的代数式即可求解. 【详解】由，得， 因为对任意负数，代数式恒为定值，则有，解得， 所以的值为3. 故答案为：3 9．（2023高一·上海·专题练习）化简： . 【答案】/ 【分析】根据指数幂公式化简即可. 【详解】. 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图所示）．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为 ．（参考数据：，） 【答案】6 【分析】设第n次“打水漂”时的速率为，则，则可建立不等式求解. 【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为，则． 由，得，则， 即，则，故至少需要“打水漂”的次数为6． 故答案为：6. 11．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，，结合基本不等式可得，可化为，求二次函数在区间上的最小值即可. 【详解】不妨设，，则，， 所以，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号， 所以 ，（） 所以当时，取得最小值. 故答案为： 12．（2023高一·上海·专题练习）正数 满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用对数的运算法则即可得解. 【详解】令， 则，，， 所以， 故答案为：． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13．（23-24高一上·上海普陀·期中）设a，，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算性质，可得AB错；根据对数的运算性质，可得C正确，D错. 【详解】由题中条件， 则，故A错； 则，故B错； 根据对数的运算法则，可得，即C正确； ，故D错. 故选：C. 14．（2024高一·上海·专题练习）碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为（    ） A． B．25730 C． D． 【答案】C 【分析】令碳14的年衰变率为m，原有量为1，根据定义知，利用指数运算性质求衰变率即可. 【详解】设碳14的年衰变率为m，原有量为1，则，故， 所以碳14的年衰变率为. 故选：C 15．（23-24高一上·上海宝山·期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且关于的二次方程有两个相等的实根，则的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】 根据结合对数运算求解. 【详解】由题意可知：， 因为关于的二次方程有两个相等的实根， 则，可得， 则，即，可知角C为直角，即直角三角形. 故选：B. 16．（23-24高一上·上海闵行·期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字､十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】现根据对数运算结合已知数据求出，根据指对互化，即可得出答案. 【详解】， 所以，. 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（24-25高一上·上海·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据二次根式、分数指数幂和对数的运算性质求解； （2）根据对数的运算性质求解. 【详解】（1）原式 ； （2）原式． 18．（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)1 【分析】（1）（2）根据对数运算律计算即可； 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）（2）根据题意将指数式化为对数式，利用换底公式可得，代入运算求解即可. 【详解】（1）因为，则， 则 所以； （2）因为，则，， 可得，，则． 由题意可得，则，且，所以． 20．（23-24高一上·上海浦东新·期中）（1）若，求． （2）已知，，试用a，b表示． 【答案】（1）1; （2） 【分析】（1）先把已知式子平方得出，再结合对数运算律求解即可； （2）先应用换底公式，再结合对数运算律即可表示. 【详解】（1）, . （2） . 21．（23-24高一上·上海青浦·期中）在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 【答案】(1)8dB (2)声源与探测仪的距离为100m, 声源处的声音强度为100dB 【分析】（1）根据所给公式即可代入求解， （2）根据，结合对数的运算即可求解距离，进而可求解声源处的声音强度. 【详解】（1）设对应的声音强度分别为，声音强度分别为， 所以， 则 （2）设声源与探测仪的距离为，声源强度为,声音强度衰减量为 则声源与探测仪的距离为，声源强度为，声音强度衰减量为, 所以， 所以，故，解得， 所以, 故声源处的声音强度为100dB. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 幂、指数与对数 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．（2024·上海浦东新·三模）已知，则 （用表示） 2．（24-25高一上·上海·单元测试）计算： ． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ． 4．（23-24高一上·上海·假期作业）已知，化简 . 5．（24-25高一上·上海·课后作业）下列各式：①；②；③若，则；④若，则；⑤．其中正确的序号是 ． 6．（23-24高一上·上海·假期作业）若，，则 . 7．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，，若，则的最小值为 8．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设是实数，若对任意负数，代数式恒为定值，则的值为 ． 9．（2023高一·上海·专题练习）化简： . 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图所示）．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为 ．（参考数据：，） 11．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 12．（2023高一·上海·专题练习）正数 满足，则的值为 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13．（23-24高一上·上海普陀·期中）设a，，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2024高一·上海·专题练习）碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为（    ） A． B．25730 C． D． 15．（23-24高一上·上海宝山·期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且关于的二次方程有两个相等的实根，则的形状是（   ） A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 16．（23-24高一上·上海闵行·期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字､十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（24-25高一上·上海·单元测试）计算： (1)； (2)． 18．（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式的值： (1)； (2)． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设，求的值； （2）已知，且，求的值． 20．（23-24高一上·上海浦东新·期中）（1）若，求． （2）已知，，试用a，b表示． 21．（23-24高一上·上海青浦·期中）在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$