第三章 幂、指数与对数（单元复习 压轴题专练）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第一册）

第三章 幂、指数与对数（压轴题专练） 题型一：幂与指数 1．（2024·全国·模拟预测）若，x，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】构造，变形，然后用基本不等式求出结果即可. 【详解】因为， 所以． 因为，所以． 所以，即． 当且仅当，，即，时等号成立， 所以的最小值为． 故选：C． 2．（23-24高三上·江苏·阶段练习）设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据取整函数的定义，分别求出满足条件，， ，，的的范围，研究它们的交集即可确定的最大值. 【详解】，，，， 当时，，， 因为，所以，即 当时，，，， 因为，所以， 当时，，，，， 因为，所以，所以若则，此时，，故不存在满足，， ，，同时成立， 正整数的最大值为4， 故选：A． 3．（23-24高一下·辽宁·期末）人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（    ） A．3 B．6 C．9 D．4 【答案】B 【分析】在公式中令求解即可. 【详解】设， 令 解得则即方程的正实数根. 由， 可得. 因为方程的实数根为负数， 所以，即， 故. 故选：B. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列各式的值. (1)若，求； (2)已知，求的值； (3)若，求； (4)若，求. 【答案】(1) (2)3 (3) (4)4 【分析】（1）将可化成的形式，代入数据即可求得结果为； （2）原式可表示为，代入即可求出答案为3； （3）将化简为，代入的值可计算出结果为； （4）化简后可得原式，将的值可得结果是4. 【详解】（1）利用指数运算法则可知， 将代入可得. （2）易知，又， 所以 （3）化简得， 将代入可得 （4）易知 又，所以 5．（2024高一·全国·专题练习）已知，求证：3k2+2＝2m2． 【答案】证明见解析 【分析】由，化为2|m|2+3k2，两边平方整理利用完全平方公式即可得出． 【详解】证明：∵， ∴2|m|2+3k2， 两边平方可得：， 化为， ∴． 题型二：指数式与对数式相互转换 1．（23-24高一上·河北保定·期末）已知a是方程的解，b是方程的解，则为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】依题意，设，利用指对数互化可得，再将化简可得，即可求出的值. 【详解】因为是方程的解，所以， 令，则有， 所以，① 因为b是方程的解，所以，即，② 设，易知在R是单调递增， 由①②得，，所以， 代入得，， 故选：C 2．（23-24高三上·全国·阶段练习）若实数x，y满足，，则n的最小值为（    ） A．2 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】首先确定的取值范围，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，若，则，又，显然不成立，即，同理可得，即且， 又， 当且仅当，即，时取等号，则n的最小值的和为9. 故选：C 3．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意整理可得，分析可得，运算求解即可. 【详解】设，则， ∵，即，整理得， 注意到，则， 解得，即. 故选：D. 【点睛】本题考查指数式与对数式的互化、指数的运算. 4．（23-24高三上·天津河西·期末）已知，若，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】设并由条件求出的范围，代入化简后求出的值，得到与的关系式代入化简后列出方程，求出的值，进而求解. 【详解】设，由可得：，代入，可得：，即，解得：或（舍去）. 所以，即，又因为，所以，则， 解得：，，所以， 5．（2024·全国·模拟预测）已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据等式结构特征先利用换元法化简等式形式为，，然后通过两等式的联系（均可化为形式），构造函数研究出m与n的关系，从而建立x与y的关系，进而求出. 【详解】令，，则，， 由题可得，， 所以，. 因为函数在上单调递减，所以. 由，得， 得，故. 故答案为：. 题型三：对数运算 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，根据指数和对数的运算性质可得和是方程的根，又由和均大于可得，即可求解的值. 【详解】令，则， 所以由得，等号两边同除得， 整理得， 令，则， 所以由得，等号两边同除得， 整理得， 所以和是方程的根， 由解得， 又因为，均大于，且函数单调递减，所以，， 所以， 故选：B 2．（2024·浙江·模拟预测）设，，则等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用指对数互换和幂的运算性质求得，再利用对数运算性质求得，进而求得的值. 【详解】由，，得， 则，则，则， 则. 故选：B 3．（23-24高一上·湖南·期末）若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由给定条件可得，再变形配凑借助均值不等式计算作答. 【详解】由得：，又实数x，y满足， 则，当且仅当，即时取“=”， 由解得：， 所以当时，取最小值8. 故答案为：8 【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件. 题型四：换底公式 1．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由题意结合对数运算性质运算即可得解. 【详解】由题意， 所以， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：关键是都对已知等式两边同时取以6为底的对数，由此即可顺利得解. 2．（2023·天津滨海新·模拟预测）已知正实数x，y，z满足，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先把指数式化成对数式，表示出.选项A，取倒数再根据换底公式可以判断A；选项B，根据换底公式转化为比较的大小关系；选项C，同样根据换底公式转化为比较底数的大小关系；选项D，把利用换底公式进行化简，再结合基本不等式得出结果. 【详解】设，，则，，. 选项A，，，，则，故A正确； 选项B，，，， 下面比较的大小关系， 因为，，，所以，即，又， 所以，即，故B不正确； 选项C，，，， 因为，又，所以，即，故C正确； 选项D，， 因为，所以， 又，所以，故D正确； 故选：B. 【点睛】指数和对数的比较大小问题，通常有以下方法： （1）利用指数、对数函数的单调性比较大小，底数不一样时可以化成一样的再比较； （2）比较与0，1的关系，也可以找中间值比较大小； （3）当真数一样时，可以考虑用换底公式，换成底数一样，再比较大小； （4）去常数再比较大小，当底数与真数成倍数关系时，需要将对数进行分离常数再比较； （5）也可以结合基本不不等式进行放缩，再比较大小； （6）构造函数，利用函数的单调性比较大小. 3．（22-23高三上·浙江金华·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解得，又利用对数运算可判断，结合基本不等式可判断与的大小，即可得的大小关系. 【详解】解：， 由于， ，取等条件应为，即，而，故， ，取等条件为，即，而，故，所以. 故选：A. 4．（2024·全国）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A 【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系. 【详解】由题意可知、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得. 综上所述，. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 5．（2024·安徽）设，，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】b和c的比较，将，转化比较， a和c的比较找中间数， 分别作差比较.，最后得到结论. 【详解】因为，， 又因为，， 所以. 又因为， 因，故， 所以即. 又， 因，故， 所以.即 所以 故. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了对数的转化及比较大小，还考查了转化化归运算比较的能力，属于中档题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 幂、指数与对数（压轴题专练） 题型一：幂与指数 1．（2024·全国·模拟预测）若，x，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 2．（23-24高三上·江苏·阶段练习）设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（23-24高一下·辽宁·期末）人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（    ） A．3 B．6 C．9 D．4 4．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列各式的值. (1)若，求； (2)已知，求的值； (3)若，求； (4)若，求. 5．（2024高一·全国·专题练习）已知，求证：3k2+2＝2m2． 题型二：指数式与对数式相互转换 1．（23-24高一上·河北保定·期末）已知a是方程的解，b是方程的解，则为（    ） A． B． C．3 D． 2．（23-24高三上·全国·阶段练习）若实数x，y满足，，则n的最小值为（    ） A．2 B．8 C．9 D．12 3．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C．2 D．3 4．（23-24高三上·天津河西·期末）已知，若，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（2024·全国·模拟预测）已知，，则 ． 题型三：对数运算 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·模拟预测）设，，则等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一上·湖南·期末）若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 题型四：换底公式 1．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023·天津滨海新·模拟预测）已知正实数x，y，z满足，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·浙江金华·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 5．（2024·安徽）设，，，则 A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$