江苏省南京师范大学附属中学2025届高三暑假7月数学练习

南京师大附中2025届暑假练习 数 学 本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟 2024.7 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 2．设集合，，．若，，则（    ） A． B． C．1 D．3 3．甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 6．如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（    ） A． B． C． D． 7．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，为偶函数，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 8．已知椭圆，直线l过坐标原点并交椭圆于 两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线交椭圆于点B，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（    ） A．当，则这期间人口数呈下降趋势 B．当，则这期间人口数呈摆动变化 C．当时，的最小值为3 D．当时，的最小值为3 10．设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（    ） A． B．当时，取得最小值 C．当时，n的最小值为7 D．当时，取得最小值 11．己知椭圆的左，右焦点分别为，，圆，点P在椭圆C上，点Q在圆M上，则下列说法正确的有（    ） A．若椭圆C和圆M没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是 B．若，则的最大值为4 C．若存在点P使得，则 D．若存在点Q使得，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为 ．(若，则) 13．若关于x的不等式有且只有一个整数解，则实数a的取值范围为 ． 14．已知双曲线的左、右焦点分别为和，O为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，则双曲线的离心率为 ;又过点P作双曲线的切线交另一条渐近线于点Q，且的面积，则该双曲线的方程为 ． 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，． (1)记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求； (2)设点F在线段AP上，，求二面角的余弦值． 16．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且． (1)求角A、B、C; (2)若，延长至D，使的面积为，求． 17．某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有（且）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将这份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这份产品全部为正品，因而这份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这份产品究竟哪几份是次品，就要对这份产品逐份检验，此时这份产品的检验次数总共为次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为． （1）如果，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率； （2）现对份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当和满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？ （3）①当（且）时，将这份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数的数学期望； ②当（，且，）时，将这份产品均分为组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数的数学期望（不需证明）． 18．已知椭圆，椭圆．点为椭圆上的动点，直线与椭圆交于，两点，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)以点为切点作椭圆的切线，与椭圆交于，两点，问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出面积的取值范围． 19．已知函数和有相同的最小值． (1)求a； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 试卷第1页，共3页 高三年级试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$