2.3导数的计算课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第二章　导数及其应用 3　导数的计算 北师大版 数学 选择性必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　函数f(x)在x=x0处的导数求解步骤 (1)通过自变量在x=x0处的改变量Δx,确定函数值在x0处的改变量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0). (2)确定函数y=f(x)从x0到x0+Δx处的平均变化率 (3)当Δx趋于0时,得到导数 名师点睛 函数y=f(x)在点x0处的导数即函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率. 思考辨析 导数或瞬时变化率可以反映函数变化的什么特征? 提示 导数或瞬时变化率可以反映函数在某一点处变化的快慢程度. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)f'(x0)即函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率.(　　) (2)若函数f(x)=x,则f'(1)=f'(2).(　　) √ √ 2.求函数y=f(x)= 在x=3处的导数f'(3). 知识点2　导函数 一般地,如果一个函数y=f(x)在区间(a,b)的每一点x处都有导数 ,那么称f'(x)为y=f(x)的导函数,也简称为导数,有时也将导数记作y'.  　f'(x)的值与Δx无关,同时又是关于x的函数 思考辨析 你会区分“函数f(x)在点x0处的导数”与“导函数”吗? 提示 “函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值,“导函数”是一个函数,二者有本质的区别,但又有密切关系,f'(x0)是导函数y=f'(x)在x=x0处的一个函数值. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若y=f(x)=x,则f'(x)=1.(　　) (2)若y=f(x)=x2,则f'(x)=2x.(　　) (3)已知f'(x)=2x,则f'(3)=6.(　　) √ √ √ 2.利用导函数的定义求函数f(x)=(2x+1)(3x-1)的导函数. 知识点3　基本初等函数的导数公式表 函数 导数 y=c(c是常数) y'=　  y=xα(α是实数) y'=　　  y=ax(a>0,a≠1) y'=　　　  特别地(ex)'=ex y=logax (a>0,a≠1) y'=　　　　  特别地(ln x)'= 0 αxα-1 axln a 函数 导数 y=sin x y'=　　  y=cos x y'=　　  y=tan x y'=　　　  cos x -sin x 思考辨析 常数函数的导数为0说明什么? 提示 说明常数函数f(x)=c图象上每一点处的切线的斜率都为0,即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若y=sin 60°,则y'=cos 60°.(　　) (2)若f'(x)=sin x,则f(x)=cos x.(　　) × × √ 2.[人教B版教材例题]求曲线y=sin x在(0,sin 0)处的切线方程. 解 因为y'=cos x,因此所求切线的斜率为cos 0=1,又因为sin 0=0,因此所求切线方程为y-0=1(x-0),即y=x. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　求函数在某一点处的导数 【例1】 (1)设函数y=f(x)在x=x0处可导,且 ,则f'(x0)=　　　　.  a　 (2)利用导数的定义求函数y=f(x)=x3在x=1处的导数. 规律方法　用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 变式训练1已知f(x)=3x2,f'(x0)=6,求x0. 探究点二　利用导数公式求函数的导数 【例2】 求下列函数的导数: 解 (1)y'=0. 规律方法　1.若给出的函数解析式符合导数公式,则直接利用公式求导. 2.若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式,则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导,如根式要化成指数幂的形式求导,y= 可 以写成y=x-4,y= 等,这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导,避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误. 3.要特别注意“ 与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数区别. 变式训练2求下列函数的导数. 解 (1)y'=(x12)'=12x11. 探究点三　利用导数公式解决切线问题 【例3】 已知P,Q为抛物线f(x)= x2上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的坐标为　　　　.  (1,-4) 解析 由抛物线方程,得f'(x)=x, ∴kPA=4,kQA=-2. ∵P(4,8),Q(-2,2), ∴直线PA的方程为y-8=4(x-4), 即y=4x-8. 直线QA的方程为y-2=-2(x+2),即y=-2x-2. ∴A(1,-4). 规律方法　解决切线问题,关键是确定切点,要充分利用以下三个条件联立方程解决: (1)切点处的导数是切线的斜率.(2)切点在切线上.(3)切点在曲线上. 变式训练3[人教B版教材例题]已知f(x)= ,求f'(4)以及曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线的方程. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)求函数在某一点处的导数. (2)利用导数公式求函数的导数. (3)利用导数公式解决切线问题. 2.方法归纳:公式变形及数学运算. 3.常见误区:未将函数解析式恒等变换而乱用导数公式. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 18 19 20 1.[探究点二](多选题)下列结论正确的是(　　) AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2.[探究点二]已知函数f(x)=xα(α是实数),若f'(-1)=-4,则α的值等于(　　) A.4 B.-4 C.5 D.-5 A 解析 ∵f'(x)=αxα-1,f'(-1)=α(-1)α-1=-4, ∴α=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3.[探究点三]“以直代曲”是重要的数学思想.具体做法是:在函数图象某个切点附近用切线代替曲线来近似计算.比如要求sin 0.05的近似值,我们可以先构造函数y=sin x,由于0.05与0比较接近,所以求出在x=0处的切线方程为y=x,再把x=0.05代入切线方程,故有sin0.05 ≈0.05,类比上述方式,则 ≈(　　) A.1.001 B.1.005 C.1.015 D.1.025 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4.[探究点三]曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) D 解析 因为y'=ex,所以切线的斜率k=e2,所以切线方程为y=e2x-e2,它与两坐标轴的交点坐标分别为(0,-e2),(1,0),所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5.[探究点三](多选题)已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k,则当k=3时,点P的坐标为(　　) A.(-1,1) B.(-1,-1) C.(1,1) D.(1,-1) BC 解析 y'=3x2,因为k=3, 所以3x2=3,所以x=±1, 则点P的坐标为(-1,-1)或(1,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6.[探究点三]以正弦曲线y=sin x上一点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的取值范围是(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7.[探究点一]若指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)满足f'(1)=ln 27,则 f'(-1)=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8.[探究点一]求函数f(x)=x2+5x在x=3处的导数和它的导函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9.[探究点二]求下列函数的导数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10.[探究点二]已知f(x)=cos x,g(x)=x,求满足f'(x)+g'(x)≤0的x的值. 解 因为f(x)=cos x,g(x)=x, 所以f'(x)=(cos x)'=-sin x,g'(x)=x'=1. 由f'(x)+g'(x)≤0,得-sin x+1≤0, 即sin x≥1,但sin x∈[-1,1], 所以sin x=1,所以x=2kπ+ ,k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B 级 关键能力提升练 11.[2024山东日照期末]已知函数f(x)=x2-2,则 =(　　) A.-12 B.-9 C.9 D.12 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12.已知曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线方程为y=kx+b,则k-b等于(　　) A.4 B.-4 C.28 D.-28 C 解析 ∵点(2,8)在切线上,∴2k+b=8,① 又f'(x)=3x2,f'(2)=3×22=12=k,② 由①②可得k=12,b=-16,∴k-b=28. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13. 已知直线l是曲线y=ex的切线,切点横坐标为-1,直线l与x轴和y轴分别相交于A,B两点,则△OAB的面积为(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14.设曲线y=xn+1(n∈N+)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1·x2·…·xn的值为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15.设函数f(x)在x=x0处可导,当h趋于0时,对于 的值,以下说法正确的是　　　　　.(填序号)  ①与x0,h都有关; ②仅与x0有关而与h无关; ③仅与h有关而与x0无关; ④与x0,h均无关. ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16.写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)=　　 　　　.  ①f(x1x2)=f(x1)+f(x2);②当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0. ln x(答案不唯一) 解析 由题意,可写函数f(x)=ln x, 由f(x1x2)=ln(x1x2)=ln x1+ln x2=f(x1)+f(x2),即满足①; 又由f(x)=ln x的定义域为(0,+∞),且f'(x)= >0,即满足②. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17.函数y=x2(x>0)的图象在点(ak, )处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N+,若a1=16,则a1+a3+a5的值是　　　　　.  21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18.已知P为曲线y=ln x上的一动点,Q为直线y=x+1上的一动点,则当点P的坐标为　　 　时,PQ最小,此时最小值为　 　　.  (1,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 19.已知f(x)=x2,g(x)=x3,求适合f'(x0)+2=g'(x0)的x0的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C 级 学科素养创新练 20.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　) A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 . f'(x0)=. 解 Δy=f(3+Δx)-f(3)=. 则. 当Δx趋于0时,得到导数f'(3)==-. f'(x)= 解 ∵f(x)=(2x+1)(3x-1)=6x2+x-1, ∴f'(x)= =(12x+6Δx+1)=12x+1. 　 (3)若f(x)=,则f'(x)=-.(　　) =a 解析 根据导数的定义可知, =f'(x0)=a. 解 ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1, ∴=(Δx)2+3Δx+3, ∴f'(1)=[(Δx)2+3Δx+3]=3. 变式探究将例1(1)中“=a”改为“=a”,结果又如何? 解 ∵ =×(-3)] =-3f'(x0)=a, ∴f'(x0)=-a. 解 ∵f'(x0)= =(6x0+3Δx)=6x0, 又f'(x0)=6,∴6x0=6,即x0=1. (5)∵y=2cos2-1=cos x, ∴y'=(cos x)'=-sin x. (1)y=x0;(2)y=()x;(3)y=lg x;(4)y=;(5)y=2cos2-1. (2)y'=()xln=-()xln 3. (3)y'=. (4)∵y=, ∴y'=()'=. (1)y=x12;(2)y=;(3)y=log2x;(4)y=2sincos. (2)y'=()'=()'=. (3)y'=(log2x)'=. (4)y'=(2sincos)'=(sin x)'=cos x. 由解得 解 因为f'(x)=, 所以f'(4)=×2=3. 又因为f(4)==(22=23=8, 所以所求切线方程为y-8=3(x-4),即y=3x-4. A.(sin x)'=cos x B.()'= C.(log3x)'= D.(ln x)'= 解析 ∵()'=,(log3x)'=, ∴BC错误,AD正确. A.e2 B.2e2 C.e2 D. A. B.[0,π) C. D. 解析 f'(x)=axln a,f'(1)=aln a=3ln 3,所以a=3,故f'(-1)=3-1ln 3=. 解 f'(x)= = =(2x+Δx+5)=2x+5, ∴f'(3)=2×3+5=11. (1)y=; (2)y=; (3)y=log2x2-log2x; (4)y=-2sin. 解 (1)y'='=(x-3)'=-3x-3-1=-3x-4=-. (2)y'=()'=()'=. (3)因为y=log2x2-log2x=log2x, 所以y'=(log2x)'=. (4)因为y=-2sin(1-2cos2)=2sin(2cos2-1)=2sincos=sin x, 所以y'=(sin x)'=cos x. 解析 ∵f'(x)=2x,∴f'(3)=6, ∴=2=2f'(3)=12.故选D. A. B.1 C. D. A. B. C. D.1 解析 ∵y'=(n+1)xn,∴曲线在点(1,1)处的切线的斜率是k=n+1.切线的方程是y-1=(n+1)(x-1),当y=0时,得xn=,则x1·x2·…·xn=×…×. 解析 ∵y'=2x, ∴y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线方程为y-=2ak(x-ak). 又该切线与x轴的交点坐标为(ak+1,0), ∴ak+1=ak,即数列{ak}是首项为a1=16,公比为q=的等比数列, ∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21. 　　 解 f'(x0)=2x0,g'(x0)=3. 因为f'(x0)+2=g'(x0), 所以2x0+2=3, 即3-2x0-2=0, 解得x0=或x0=. 解析 设函数y=f(x)的图象上两点P(x1,y1),Q(x2,y2),则由导数的几何意义可知,点P,Q处切线的斜率分别为k1=f'(x1),k2=f'(x2),若函数具有T性质,则k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1.对于A选项,f'(x)=cos x,显然k1·k2=cos x1·cos x2=-1有无数组解,所以该函数具有T性质;对于B选项,f'(x)=(x>0),显然k1·k2==-1无解,故该函数不具有T性质;对于C选项,f'(x)=ex>0,显然k1·k2==-1无解,故该函数不具有T性质;对于D选项,f'(x)=3x2≥0,显然k1·k2=3·3=-1无解,故该函数不具有T性质. $$