2.3 导数的计算（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

导 数 及 其 应 用 §3　导数的计算 第二章 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 学习目标 1. 理解导函数的定义． 2. 掌握常见函数的导数公式． 3．能利用导数公式求简单函数的导数． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 导函数 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 函数 导数 y＝c(c是常数) ________ y＝xα(α为实数) ____________ y＝ax(a>0，a≠1) y′＝___________， 特别地(ex)′＝______ y′＝0 y′＝αxα－1 axln a ex 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 函数 导数 y＝logax(a>0，a≠1) y′＝____，特别地(ln x)′＝____ y＝sin x y′＝_________ y＝cos x y′＝___________ y＝tan x y′＝_____ cos x －sin x 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 AB 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：－4×3－5 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：x－y－1＝0　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 知识点一　定义法求函数的导数 如何利用导数的定义求函数f(x)＝在x＝x0处的导数？当x0在定义域内任意取值时，f′(x0)的值如何？ 定义：一般地，如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数f′(x)＝ ，那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的______，也简称为导数，有时也将导数记作y′. 导数与导函数之间既有区别又有联系，导数是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x(或x0)的位置有关，而与Δx无关；导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，也与Δx无关． [例1] 求函数f(x)＝(2x＋1)·(3x－1)在下列各点处的导数． (1)x＝1；(2)x＝x0. ∵f(x)＝(2x＋1)(3x－1)＝6x2＋x－1， ∴f′(x)＝ ＝ ＝ (12x＋6Δx＋1)＝12x＋1， 故(1)f′(1)＝12×1＋1＝13， (2)f′(x0)＝12x0＋1. 利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数； (2)计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； (3)当Δx趋于0时，得到导函数f′(x) ＝ . [练1] 求函数f(x)＝x2＋5x在x＝3处的导数和它的导函数． f′(x)＝ ＝ ＝ (2x＋Δx＋5)＝2x＋5，∴f′(3)＝2×3＋5＝11. 知识点二　利用公式求函数的导数 下面是某同学利用导数的定义求出的几个幂函数的导数： f(x)＝x⇒f′(x)＝1＝1×x1－1； f(x)＝x2⇒f′(x)＝2x＝2x2－1； f(x)＝x3⇒f′(x)＝3x2＝3x3－1； f(x)＝＝x－1⇒f′(x)＝－x－2＝－x－1－1； 你认为幂函数的导数有什么特点？能总结一下规律吗？ 导数公式表 对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝x，所以f′(x)＝x－1. [例2] 求下列函数的导数： (1)y＝x－3；(2)y＝3x；(3)y＝； (4)y＝log6x；(5)y＝cos ； (6)y＝sin . (1)y′＝－3x－4. (2)y′＝3x ln 3. (4)y′＝.(5)y＝sin x，y′＝cos x． (6)y′＝0. 求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． [例3] 已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程． ∵y′＝，∴切线的斜率k＝， ∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. [变式探究] 求曲线y＝ln x的斜率等于4的切线方程． 设切点坐标为(x0，y0). ∵y′＝，曲线y＝ln x在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4， ∴f′(x0)＝＝4，得x0＝，∴y0＝－ln 4， ∴切点坐标为， ∴所求切线方程为y＋ln 4＝4，即4x－y－1－ln 4＝0. 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． [练2] (1)曲线y＝cos x在点A处的切线方程为___________________． (2)已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝________． x＋2y－－＝0 ∵y′＝(cos x)′＝－sin x，∴切线的斜率k＝－sin ＝－， ∴所求切线方程为y－＝－，整理得x＋2y－－＝0. (2)设切点坐标为(x0，y0)，由题意得f′(x0)＝＝k，又y0＝kx0，而且y0＝ln x0，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝. ◎随堂演练 1．若f(x)＝sin x，则f′＝(　　) A．－ B．－ C． D． f′(x)＝cos x，f′＝cos ＝. 2．(多选)下列结论正确的是(　　) A.若y＝ln 2，则y′＝0 B.若f(x)＝，则f′(3)＝－ C.若y＝2x，则y′＝x·2x－1 D.若y＝log2x，则y′＝，x>0 对于A，由y＝ln 2得y′＝0，故A正确； 对于B，f′(x)＝－，故f′(3)＝－，故B正确； 对于C，y′＝2xln 2，故C错误； 对于D，y′＝，x>0，故D错误． 3．某质点的运动方程为s＝(其中s的单位为m，t的单位为s)，则质点在t＝3 s时的速度为______m/s. 由s＝得s′＝′＝(t－4)′＝－4t－5，则质点在t＝3 s时的速度为－4×3－5 m/s. 4．曲线y＝ln x与x轴交点处的切线方程是________________. ∵曲线y＝ln x与x轴的交点为(1，0)，y′＝， ∴切线的斜率为1，故所求切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. $$