2.4导数的四则运算法则课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第二章　导数及其应用 4　导数的四则运算法则 北师大版 数学 选择性必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.掌握导数的四则运算法则. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数四则运算法则求简单函数的导数. 基础落实·必备知识一遍过 知识点　导数的四则运算法则 1.导数的加法与减法法则 两个函数和(或差)的导数等于这两个函数导数的和(或差),即 [f(x)+g(x)]'=　　　　　　　　,  [f(x)-g(x)]'=　　　　　　　　.  2.导数的乘法与除法法则 注意比较两个公式分子结构的异同点 一般地,若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f'(x)和g'(x),则 [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x), f'(x)+g'(x) f'(x)-g'(x) 名师点睛 1.两个函数和与差的导数运算法则可以推广到若干个函数和与差的情形: [f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x). 2.在[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)·g'(x)中令g(x)=k,则有[kf(x)]'=kf'(x),k∈R. 思考辨析 设f(x)=tan x,如何用求导法则求f'(x)? 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)函数f(x)=xex的导数是f'(x)=ex(x+1).(　　) √ √ × √ 2.设y=-2exsin x,则y'等于(　　) A.-2excos x B.-2exsin x C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x) D 解析 ∵y=-2exsin x,∴y'=(-2ex)'sin x+(-2ex)·(sin x)'=-2exsin x-2excos x =-2ex(sin x+cos x).故选D. 3.函数f(x)= 的图象在点(0,1)处的切线方程是(　　) A.x+y-1=0　　　B.2x+y-1=0 C.2x-y+1=0 D.x-y+1=0 A ∴f'(0)=-1,∴切线方程为y-1=-(x-0), 即x+y-1=0. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　利用导数的加法与减法法则求导 【例1】 求下列函数的导数. (1)y=x-2+x2; (2)y=x2-log3x; (3)y=(x+1)(x+2)(x+3); (4)y=sin x+cos x. 解 (1)y'=2x-2x-3. (2)y'=(x2-log3x)'=(x2)'-(log3x)'= (3)∵y=(x+1)(x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, ∴y'=(x3+6x2+11x+6)'=3x2+12x+11. (4)y'=(sin x)'+(cos x)'=cos x-sin x. 规律方法　1.分析待求导式子符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的,确定求导法则、基本公式. 2.利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导.比如本例第(3)小题就适合先变为和差的形式再求导. 变式训练1利用导数的加法与减法法则求导: (1)y=3x+x9; (2)y=x-3-lg x; (3)y=(x-1)(x- ). 解 (1)y'=3xln 3+9x8. 探究点二　利用导数的乘法与除法法则求导 【例2】 求下列函数的导数. 解 (1)y'=(x3)'ex+x3(ex)'=3x2ex+x3ex. (3)y'=[(x+1)(x+3)]'(x+5)+(x+1)(x+3)(x+5)' =[(x+1)'(x+3)+(x+1)(x+3)'](x+5)+(x+1)(x+3)=(2x+4)(x+5)+(x+1)(x+3) =3x2+18x+23. 规律方法　1.注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同,积的导数公式中是“+”,而商的导数公式中分子上是“-”. 2.若函数比较复杂,则需要对函数先变形再求导.常用的变形有乘积式展开变为和式求导、商式变乘积式求导、三角函数恒等变换后求导等. 3.注意体会例2(3)小题的求解思路与例1(3)求解思路的不同,一般多项式乘积形式的函数求导变为和差形式求导更为简洁. 变式训练2求下列函数的导数. 探究点三　求导法则的综合应用 角度1.求导法则的逆向应用 【例3】 设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f'(x)=2x+1.求y=f(x)的函数解析式. 解 ∵f'(x)=2x+1, ∴f(x)=x2+x+c(c为常数). 又方程f(x)=0有两个相等的实根,即x2+x+c=0有两个相等的实根, ∴Δ=12-4c=0,即c= , ∴f(x)=x2+x+ . 规律方法　待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题,然后利用已知条件解出所设未知数,进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式,特别是已知具有某些特征的函数. D ★(2)已知f'(x)是一次函数,x2·f'(x)-(2x-1)·f(x)=1对一切x∈R恒成立,求f(x)的解析式. 解 由f'(x)为一次函数,可知f(x)为二次函数,设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f'(x)=2ax+b,把f(x),f'(x)代入关于x的方程得x2(2ax+b)-(2x-1)·(ax2+bx+c)=1, 角度2.求导法则在导数几何意义中的应用 【例4】 已知函数f(x)=x3+x-16. (1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点的坐标. 分析利用导数的几何意义求解,但要注意(2)中切线经过原点,而原点不在曲线上,故应另设切点. 解 (1)∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1, ∴在点(2,-6)处的切线的斜率为f'(2)=3×22+1=13,故切线的方程为y+6=13(x-2),即13x-y-32=0. 规律方法　1.此类问题主要涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,解题方法为把其他题设条件转化为这三个要素间的关系,构建方程(组)求解. 2.准确利用求导法则求出函数的导数是解此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确. 变式训练4曲线 在点(1,b)处的切线方程为kx-y+6=0,则k的值为(　) A 本节要点归纳 1.知识清单: (1)利用导数的加法与减法法则求导. (2)利用导数的乘法与除法法则求导. (3)求导法则的综合应用. 2.方法归纳:待定系数法、数形结合. 3.常见误区:导数乘法与除法法则公式容易混用. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一]函数f(x)=x2-2x的导函数为f'(x)=(　　) A.2x-2x B.2x-2xln 2 C.2x+2x D.2x+2xln 2 B 解析 ∵f(x)=x2-2x,∴f'(x)=2x-2xln 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.[探究点二]已知f(x)=x(2 024+ln x),f'(x0)=2 026,则x0=(　　) A.e2 B.e C.1 D.ln 2 B 解析 由f(x)=x(2 024+ln x),得f'(x)=(2 024+ln x)+x(2 024+ln x)'=ln x+2 025, 又因为f'(x0)=2 026, 所以f'(x0)=ln x0+2 025=2 026,解得x0=e. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. [探究点二](多选题) 下列选项正确的是(　　) BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.[探究点三](多选题)已知曲线y=x3-x+1在点P处的切线平行于直线y=2x,那么点P的坐标为(　　) A.(1,0) B.(1,1) C.(-1,1) D.(0,1) BC 解析 设y=f(x)=x3-x+1,则f'(x)=3x2-1. 令3x2-1=2,即x2=1,解得x=±1, 又f(1)=1,f(-1)=1, 所以点P的坐标为(-1,1)或(1,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.[探究点三]已知函数 的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0,则a+b=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵点(-1,f(-1))在直线x+2y+5=0上, ∴-1+2f(-1)+5=0,∴f(-1)=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.[探究点一、二]求下列函数的导数: (1)f(x)=xcos x+sin x; 解 (1)f'(x)=cos x+x(cos x)'+cos x=2cos x-xsin x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 级 关键能力提升练 A.1 B.-1 C.7 D.-7 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(多选题) 已知函数f(x)=x+ +2,则(　　) A.f(x)的值域为[6,+∞) B.直线3x+y+6=0是曲线y=f(x)的一条切线 C.f(x-1)图象的对称中心为(1,2) D.方程f2(x)-5f(x)-14=0有三个实数根 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)-3f'(3)=(　　) A.1 B.0 C.2 D.4 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知曲线f(x)=(x+a)·ln x在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0垂直,则a等于(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选题) 关于切线,下列结论正确的是(　　) ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.曲线y=ln x+1在点(1,1)处的切线也为y=ex+a的切线,则a=　　　　　.  -1 解析 由y=ln x+1求导可得y'= ,则曲线y=ln x+1在(1,1)处的切线斜率为1,切线方程为y=x, 设直线y=x与曲线y=ex+a相切于点(t,et+a),由y=ex+a求导得y'=ex, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图所示的图象中,有一个是函数f(x)= x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f'(x)的图象,则这个图象的序号是　　　　　,f(-1)=　　　　　.  ③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知函数 ,且f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若P(x0,y0)为f(x)图象上的任意一点,直线l与f(x)的图象切于点P,求直线l的斜率k的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求f(x)的解析式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 ∵f(x)的图象过点P(0,1),∴e=1. 又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x). 故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e. ∴b=0,d=0.∴f(x)=ax4+cx2+1. ∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2, ∴切点坐标为(1,-1).∴a+c+1=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C 级 学科素养创新练 16.(1)若函数f(x)=(x-2 019)(x-2 020)(x-2 021)(x-2 022),则f'(2 021)=(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 A 解析 令g(x)=(x-2 019)(x-2 020)(x-2 022), 则f(x)=(x-2 021)·g(x),f'(x)=1·g(x)+(x-2 021)·g'(x), 所以f'(2 021)=g(2 021)=2×1×(-1)=-2. 故选A. (2)设函数y=f″(x)是y=f'(x)的导数,经过探究发现,任意一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象都有对称中心(x0,f(x0)),其中x0满足f″(x0)=0,已知函数f(x)=2x3-3x2+9x- ,则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 []'=,g(x)≠0. 提示 f(x)=tan x=, 所以f'(x)=. (2)当g(x)≠0时,[]'=.(　　) (3)函数f(x)=xln x的导数为f'(x)=x'(ln x)'=.(　　) (4)函数f(x)=的导数为f'(x)=.(　　) 解析 ∵f'(x)=, 2x-. (2)y'=-3x-4-. (3)∵y=(x-1)(x-)=x2-x+-1, ∴y'=2x-1-. (1)y=x3·ex;(2)y=;(3)y=(x+1)(x+3)(x+5);(4)y=. (2)y'==. (4)y'==. (1)y=;(2)y=xsin x-. 解 (1)y'===. (2)y'=(xsin x)'-()'=x'sin x+x(sin x)'- =sin x+xcos x-. 变式训练3(1)[2024江苏南通期末]已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=2xf'+cos x,则f=(　　) A.- B. C. D. 解析 f'(x)=2f'-sin x, ∴f'=2f',∴f', ∴f(x)=x+cos x,∴f. 故选D. 即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0,又该方程对一切x∈R恒成立,所以解得所以f(x)=2x2+2x+1. (2)(方法一)设切点为(x0,y0), 则直线l的斜率为f'(x0)=3+1, ∴直线l的方程为y=(3+1)(x-x0)++x0-16. 又直线l过点(0,0), ∴0=(3+1)(-x0)++x0-16,解得x0=-2. 因此y0=(-2)3+(-2)-16=-26,f'(-2)=3×(-2)2+1=13. 故直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26). (方法二)设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0), 则k=. ∵k=f'(x0)=3+1, ∴=3+1,解得x0=-2. ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13. 故直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26). A.-1 B.- C. D.1 y= 解析 由切点(1,b)在曲线上,得b=,① 由切点(1,b)在切线上,得k-b+6=0,② ∵y'=,∴y'|x=1==k,即4-a=9k,③ 联立①②③可得解得 故选A. A.y=ln 2,则y'= B.f(x)=,则f'(3)=- C.(x3ex)'=3x2ex+x3ex D.'= 解析 对于A,y=ln 2,则y'=0,故A错误; 对于B,f(x)==x-2,则f'(x)=-,f'(3)=-,故B正确; 对于C,(x3ex)'=(x3)'·ex+x3·(ex)'=3x2ex+x3ex,故C正确; 对于D,'=,故D错误. 故选BC. f(x)= 解析 ∵f(x)=, ∴f'(x)=, 又函数f(x)=的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0, ∴f'(-1)==-.① 又点(-1,f(-1))在函数f(x)=的图象上, ∴f(-1)==-2.② 联立①②可得∴a+b=. (2)f(x)=; (3)f(x)=-2x. (2)f'(x)==-. (3)f'(x)=-2xln 2=-2xln 2. 7.已知曲线f(x)=在点(1,f(1))处切线的倾斜角为,则实数a等于(　　) 解析 ∵f'(x)=, 又f'(1)=tan=-1,即=-1,∴a=7. A. B.1 C.- D.-1 解析 因为f(x)=(x+a)·ln x,x>0, 所以f'(x)=ln x+(x+a)·,所以f'(1)=1+a. 又因为曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0垂直,所以f'(1)=-, 所以a=-. A.过点且与圆x2+y2=1相切的直线方程为x-y+2=0 B.过点(1,2)且与抛物线y2=4x相切的直线方程为x-y+1=0 C.过点(0,-1)且与曲线f(x)=xln x相切的直线l的方程为x-y+1=0 D.曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为5x-y+2=0 于是得解得所以a=-1. - f(x)= 解 (1)由题意得f'(x)=, 因为f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切, 所以解得 则f(x)=. (2)由(1)可得,f'(x)=,所以直线l的斜率 k=f'(x0)==4, 令t=,则t∈(0,1], 所以k=4(2t2-t)=8, 由二次函数的知识得,当t=时,k取到最小值-,当t=1时,k取到最大值4,所以直线l的斜率k的取值范围是. ∵f'(1)=4a+2c,∴4a+2c=1.∴a=,c=-. ∴函数f(x)的解析式为f(x)=x4-x2+1. f+f+f+…+f=(　　) A.2 021 B. C.2 022 D. 解析 由f(x)=2x3-3x2+9x-,可得f'(x)=6x2-6x+9,f″(x)=12x-6,令f″(x)=12x-6=0,解得x=,又因为f=2×-3×+9×,所以对称中心为,所以f+f=1,f+f=1,…,f+f=1, f. 所以f+f+f+…+f=1 010×1+.故选B. $$