2.5 简单复合函数的求导法则（1）课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第二章 导数及其应用 互动设计 2.5 第1课时简单复合函数的求导法则 互动设计课程 1 课件部分内容快照 【情境导入】 情境一：气温变化问题（生活情境） 【探究新知】 【典型例题】 1. 复合函数的概念 例题1（基础型：幂函数类复合函数） 情境二：气球膨胀问题（物理情境） 2. 简单复合函数的求导法则（链式法则） 3. 求导步骤（核心） 4. 常见易错点提醒 例题2（基础型：三角函数类复合函数） 例题3（基础型：对数函数类复合函数） 例题4（基础型：指数函数类复合函数） 例题5（提升型：结合四则运算法则） 互动设计课程 学 习 目 标 掌握简单复合函数的求导法则（链式法则）。。。 返回主页 了解复合函数的概念（限于形如f(ax+b)的形式），掌握简单复合函数的求导法则（链式法则），能熟练运用法则求常见简单复合函数的导数，能结合导数公式、四则运算法则解决复合函数求导问题，初步运用复合函数导数解决曲线切线相关问题。 通过情境探究、小组互动，经历复合函数概念的形成和求导法则的推导过程，培养观察分析、归纳总结的能力，提升数学运算和逻辑推理素养，学会“分解函数—求导—相乘”的解题思路。 情 境 引 入 返回主页 情境一：气温变化问题（生活情境） 情境二：气球膨胀问题（物理情境） 同学们，我们已经学习了基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）的求导公式，以及导数的四则运算法则，能够顺利求出如 y=、 y=sinx 、 y=2x+1 这类简单函数的导数。 但在实际问题中，我们常常会遇到更复杂的函数，比如： 物理学中，物体做简谐运动的位移函数 y=sin(2x+) ，如何求它的瞬时速度（导数）？ 经济学中，成本函数 y（x为产量），如何求成本的变化率（导数）？ 这些函数都不是单纯的基本初等函数，而是由两个或多个基本初等函数“组合”而成的，我们称之为复合函数。今天，我们就来学习简单复合函数的求导法则，解决这类函数的求导问题，解锁导数应用的新场景。 情境一：气温变化问题（生活情境） 问题：某地区的气温 随时间 （小时）变化的规律为 ，其中 。求上午8点时的气温变化率。 思考： 这是一个什么类型的函数？ （正弦型函数，但自变量是 ） 如何用已学知识求 T'(8)？ 能否将 看作一个整体？ 情境二：气球膨胀问题（物理情境） 问题：球形气球的体积 随时间 的变化为 ，其中半径 （单位：cm）。求 时体积对时间的变化率 。 思考： 这是一个什么类型的函数？ （正弦型函数，但自变量是 ） 如何用已学知识求 T'(8)？ 能否将 看作一个整体？ 师 生 互 动 返回主页 互动一：概念探究——识别复合函数 互动2：探究链式法则的合理性 互动三：易错辨析——规范解题步骤 互动一：概念探究——识别复合函数 教师呈现两组函数，让学生观察对比，分组讨论：两组函数有什么区别？第二组函数是由哪些基本初等函数组合而成的？ 第一组（基本初等函数）： 、 、 、 第二组（待探究函数）： 、 、 、 每组派代表发言，分享讨论结果，教师引导学生总结：第二组函数都是由“外层函数”和“内层函数”组成，即先对x进行一次运算得到u，再对u进行运算得到y，进而给出复合函数的定义。 即时提问：判断下列函数是否为复合函数，若是，指出外层函数和内层函数（ 、 、 ），巩固复合函数的识别方法。 互动2：探究链式法则的合理性 分步探究：计算函数 的导数 第一步：让学生将函数展开，转化为基本初等函数的和，即 ，利用已学法则求导，得到 。 第二步：引导学生将 分解为外层函数 （ ），分别求外层函数对u的导数 ，内层函数对x的导数 ，计算两者的乘积 ，再将 代回，得到 。 小组讨论：两种方法得到的结果一致，这是偶然的吗？尝试用同样的方法探究 y=sin(3x) 的导数，验证猜想。 教师引导学生归纳总结：复合函数的求导法则—— （链式法则），并用通俗的语言解释：复合函数对x的导数，等于外层函数对中间变量u的导数，乘以中间变量u对x的导数。 互动三：易错辨析——规范解题步骤 呈现学生易犯的错误案例：求 的导数，错误解法： 。 让学生分组讨论：错误之处在哪里？如何纠正？ 点评：忘记对内层函数 求导，强调复合函数求导的关键步骤——先分解、再求导、最后相乘，缺一不可，规范解题格式。 探 求 新 知 返回主页 1. 1.复合函数的概念 2. 简单复合函数的求导法则（链式法则） 3. 3.求导步骤（核心） 4. 4.常见易错点提醒 1. 复合函数的概念 一般地，对于两个函数 和 ，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数 和 的复合函数，记作 ，其中u为中间变量。 注意：中学阶段我们只研究 y=f(ax+b) 型的简单复合函数，不涉及多层复杂复合函数。 2. 简单复合函数的求导法则（链式法则） 若 ， ，且 和 均可导，则复合函数 的导数为： 文字表述：复合函数对自变量x的导数，等于外层函数对中间变量u的导数，乘以中间变量u对自变量x的导数。 3. 求导步骤（核心） 分解：将复合函数分解为外层函数 和内层函数 （关键：找到中间变量u）； 求导：分别求外层函数对u的导数 和内层函数对x的导数 ； 相乘：将两个导数相乘，得到 ； 代回：将 代回，化简得到最终的导数表达式。 4. 常见易错点提醒 忘记对内层函数求导，直接求外层函数的导数（如求 时，错误写成 ，正确应为 ）； 分解函数时出错，找不到正确的中间变量u； 代回中间变量后，化简不彻底。 典 例 铺 路 例题1（基础型：幂函数类复合函数） 例题2（基础型：三角函数类复合函数） 例题3（基础型：对数函数类复合函数） 例题4（基础型：指数函数类复合函数） 例题5（提升型：结合四则运算法则） 例题1（基础型：幂函数类复合函数） 求函数 的导数。 解：第一步，分解函数：设外层函数 ，内层函数 ； 第二步，求导： ， ； 第三步，相乘： ； 第四步，代回：将 代回，得 例题2（基础型：三角函数类复合函数） 求函数 的导数。 解：设外层函数 ，内层函数 ； ， ； 。 例题3（基础型：对数函数类复合函数） 求函数 的导数。 解：设外层函数 ，内层函数 ； ， ； 。 例题4（基础型：指数函数类复合函数） 求函数 的导数。 解：设外层函数 ，内层函数 ； ， ； 。 例题5（提升型：结合四则运算法则） 求函数 的导数。 解：根据导数的加法法则， ； 对于 ，设 ， ，则 ； 对于 ，设 ， ，则 ； 综上， 。 随 堂 演 练 返回主页 【1】 求下列函数的导数： 【2】 求函数 的导数。 【3】 求函数 的导数（提示：结合乘法法则）。 针对训练答案及解析 【4】 求 的导数 【5】 求 的导数 解：设 ， ； ， ； 。 解：设 ， ； ， ； 。 解：设 ， ； ， ； 。 解：设 ， ； ， ； 。 解： ；设 ， ，则 ； ；综上， 。 解：根据乘法法则， ；设 ， ，则 ； ；综上， 。 答案与解析 设 ，则 答案与解析 设 ，则 随 堂 检 测 返回主页 【1】 求 的导数 答案与解析 设 ，则 【2】 求 的导数 答案与解析 设 ，则 【3】 求 的导数 答案与解析 设 ，则 【4】 求 的导数 答案与解析 三层复合：设 ，， 【5】 函数 的定义域为 ，其导函数的定义域为（　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 答案 A 解析：，分母不为零且原函数要求 ，故定义域仍为 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 1 2 3 4 认真领会 2. 方法提炼 1. 知识小结 知识网络图 复合函数求导（链式法则） │ ├── 核心思想：由外向内，逐层求导，连乘回代 │ ├── 基本步骤 │ ├── 第一步：分解（设中间变量） │ ├── 第二步：分别求导（外层对中间变量，内层对自变量） │ └── 第三步：相乘回代（相乘并将中间变量换回） │ └── 注意事项 ├── 找准复合层次（可多层） ├── 正确识别内外层函数 ├── 不要遗漏内层函数的导数（常见错误！） └── 结果要化简 44 复合类型 设元方法 记忆口诀 幂函数型 “幂降次，乘系数” 指数函数型 “指数不变，乘系数” 对数函数型 “倒数的倒数，乘系数” 三角函数型 “三角互换，乘系数” 2. 方法提炼 $