2.5 简单复合函数的求导法则课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第二章　导数及其应用 5　简单复合函数的求导法则 北师大版 数学 选择性必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.了解复合函数的概念. 2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数(形如f(ax+b))的导数. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　复合函数的概念 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y的值,那么y可以表示成x的函数,称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作　　　　,其中u为　　　　　.  y=f(φ(x)) 中间变量 思考辨析 函数y=log2(x+1)是复合函数吗?是由哪些函数复合而成的? 提示 是,函数y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1这两个函数复合而成的. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) √ √ × 2.函数y=sin(2x-1)如果看成复合函数y=f(φ(x)),下列式子正确的是(　　) A.φ(x)=2x　　　 B.φ(x)=sin x C.φ(x)=2x-1 D.φ(x)=sin(2x-1) C 解析 y=sin(2x-1)是由函数y=sin u和u=2x-1复合而成,可见φ(x)=2x-1. 知识点2　复合函数的求导法则 复合函数y=f(φ(x))对x的导数为y'x=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x),其中u=φ(x). 名师点睛 求复合函数的导数需处理好以下环节: (1)中间变量的选择应是基本初等函数结构; (2)关键是正确分析函数的复合层次; (3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导; (4)善于把一部分表达式作为一个整体; (5)最后要把中间变量换成关于自变量的函数. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)函数y=e-x的导数为y'=e-x.(　　) (2)函数f(x)=sin 4x的导数为f'(x)=cos 4x.(　　) (3)已知f(x)=ln(2x+1),则f'(x)= . (　　) × × √ 2.函数y=(2 025-8x)3的导数y'等于(　　) A.3(2 025-8x)2 B.-24x C.-24(2 025-8x)2 D.24(2 025-8x)2 C 解析 y'=3(2 025-8x)2×(2 025-8x)'=3(2 025-8x)2×(-8)=-24(2 025-8x)2. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　求复合函数的导数 【例1】 求下列函数的导数. (1)y=(4-3x)2;(2)y=cos(2x- );(3)y=ln(4x-1);(4)y= . 分析先分析每个复合函数的构成,再按照复合函数的求导法则进行求导. 解 (1)设y=u2,u=4-3x,则yu'=2u,ux'=-3,于是yx'=yu'·ux'=-6(4-3x)=18x-24,即y'=18x-24. 规律方法　1.解答此类问题常犯两个错误: (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数; (2)若是复合函数,不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成. 2.复合函数求导的步骤: 变式训练1[人教B版教材例题]求下列函数的导数. (1)h(x)=e5x-1; (2)f(x)=ln(2x+1); 解 (1)h(x)=e5x-1可以看成f(u)=eu与u=g(x)=5x-1的复合函数,因此h'(x)=f'(u)g'(x)=(eu)'(5x-1)'=eu×5=5e5x-1. (2)f(x)=ln(2x+1)可以看成h(u)=ln u与u=g(x)=2x+1的复合函数,因此 探究点二　复合函数求导与导数的运算法则的综合应用 【例2】 求下列函数的导数. 规律方法　此类问题出错的主要原因一般有两个:一是基本初等函数的导数公式记忆有误;二是求导法则掌握不到位,尤其是对于积与商的求导法则中的符号混淆.对于复杂函数求导,一般遵循先化简再求导的原则,但要注意化简过程中变换的等价性. 变式训练2求下列函数的导数. (1)y=(2x-1)3; (2)y=sin 2x+cos 2x; (3)y=(ln x)2. 解 (1)设y=u3,u=2x-1,则yu'=3u2,ux'=2,于是yx'=yu'·ux'=6(2x-1)2,即y'=6(2x-1)2. (2)y'=(sin 2x)'+(cos 2x)'=2cos 2x-2sin 2x. 探究点三　与复合函数有关的切线问题 【例3】 (1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(　　) A (2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=　　　　　.  2 解析 令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又因为切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2. 变式探究将本例(2)中的问题改为“求曲线y=eax在点(0,1)处的切线与坐标轴围成的面积”. 解 由题意可知,切线方程为y-1=2x, 即2x-y+1=0. 令x=0得y=1; 规律方法　导数综合应用的解题策略 本题正确地求出复合函数的导数是前提,审题时应注意所给点是不是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数.解决已知经过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)求复合函数的导数. (2)复合函数求导与导数的运算法则的综合应用. (3)复合函数的导数几何意义的应用. 2.方法归纳:复合函数求导、数形结合. 3.常见误区:不能正确地区分所给函数是否为复合函数. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 18 19 20 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2.[探究点二]若f(x)=e2xln 2x,则f'(x)等于(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3.[探究点二]若函数f(x)=x(1-ax)2(a>0),且f'(2)=5,则a等于(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 A 解析 f'(x)=(1-ax)2-2ax(1-ax), 则f'(2)=12a2-8a+1=5(a>0),解得a=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C 解析 因为y=sin2x, 所以y'=2sin x(sin x)'=2sin x·cos x=sin 2x, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5.[探究点三]函数y=e2x-4的图象在点(2,1)处的切线方程为(　　) A.2x-y-3=0 B.2x+y-3=0 C.ex-y-2e+1=0 D.ex+y+2e-1=0 A 解析 y'=2e2x-4, 则当x=2时,y'=2e0=2,∴所求切线的斜率为2. 又切点为(2,1),∴切线方程为y-1=2(x-2), 即2x-y-3=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6.[探究点一]质点M按规律s(t)=(2t+1)2做直线运动(位移s(t)的单位:m,时间t的单位:s),则质点M在t=2时的瞬时速度为　　　　　m/s.  20 解析 ∵s(t)=(2t+1)2,∴s'(t)=2(2t+1)×2=8t+4, 则质点在t=2时的瞬时速度为s'(2)=8×2+4=20(m/s). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7.[探究点三]设曲线f(x)=ax-ln(x+1)在点(1,f(1))处的切线与直线y= x平行,则a=　 .  1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8.[探究点二]求下列函数的导数. (1)y=(2x-1)4; (2)y=e-x·sin 2x; 解 (1)y'=4(2x-1)3·(2x-1)'=8(2x-1)3. (2)y'=(e-x)'sin 2x+e-x·(sin 2x)'=-e-xsin 2x+2e-xcos 2x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B 级 关键能力提升练 9.设f(x)=ln(2x-1),若f(x)在x0处的导数f'(x0)=1,则x0的值为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,设g(x)=e-x·f(x),若函数g(x)的导函数g'(x)的图象如图所示,则(　　) A.a<b,b<c B.a>b,b>c C. >1,b=c D. <1,b=c D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12.设a∈R,函数f(x)=ex+ae-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是 ,则切点的横坐标为(　　) A 解析 对f(x)=ex+ae-x求导得f'(x)=ex-ae-x,定义域为R, 又f'(x)是奇函数,故f'(0)=1-a=0, 解得a=1,故有f'(x)=ex-e-x, 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13.(多选题)若直线y= x+b(b∈R)是曲线 y=f(x)的切线,则曲线y=f(x)可以是(　　) A.f(x)=x3+2x2+8 B.f(x)=tan x C.f(x)=xex D.f(x)= AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 对于选项C,由f(x)=xex可得f'(x)=ex+xex=ex(x+1),令f'(x)=ex(x+1)= , 即2x+2=e-x,作出y=2x+2和y=e-x的图象如图所示, 故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14.(多选题)设函数f(x)=cos( x+φ)(-π<φ<π).若f(x)+f'(x)是偶函数,则φ=(　　) AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f'(x),且f(ln x)=2x-ln x,则f'(1)=　　　　　.  2e-1 解析 因为f(ln x)=2x-ln x, 令t=ln x,则x=et,所以f(t)=2et-t, 即f(x)=2ex-x,所以f'(x)=2ex-1, 因此f'(1)=2e-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16. 已知函数f(x)=asin x+b(ex-e-x)+1 (a∈R,b∈R),f'(x)为f(x)的导函数,则 f(2 022)+f(-2 022)+f'(2 023)-f'(-2 023)的值为　　　　　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17. 设函数f(x)=aexln x+ ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,则a=　　　　　,b=　　　　　.  1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18.(1)已知函数f(x)= x2+2x-3ln x,求f'(x)>0的解集; (2)设曲线y=e2ax+1在点(0,e)处的切线与直线2x-ey+1=0垂直,求a的值.   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C 级 学科素养创新练 19.若曲线y=ln x在点P(e,1)处的切线也是曲线y=eax的一条切线,则a=　　　　　.  e-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20.曲线y=e2x·cos 3x在(0,1)处的切线与直线l的距离为 ,求直线l的方程. (1)函数y=是由y=与u=2x+1复合而成. (　　) (2)函数y=sin是由y=sin u与u=-2x+复合而成. (　　) (3)函数y=2x2-是复合函数. (　　) 3.求函数y=的导数. 解 ∵y=(3x+1, ∴y'=-(3x+1(3x+1)'=-(3x+1. (2)设y=cos u,u=2x-,则yu'=-sin u,ux'=2, 于是yx'=yu'·ux'=-2sin(2x-),即y'=-2sin(2x-). (3)设y=ln u,u=4x-1,则yu'=,ux'=4,于是yx'=yu'·ux'=,即y'=. (4)设y=eu,u=x2,则yu'=eu,ux'=2x,于是yx'=yu'·ux'=·2x,即y'=2x. (3)y=; (4)y=sin. f'(x)=h'(u)g'(x)=(ln u)'(2x+1)'=×2=. (3)y=可以看成函数y=与u=2x-1的复合函数,因此 yx'=()'(2x-1)'=. (4)y=sin可以看成函数y=sin u与u=2x+的复合函数,因此 yx'=(sin u)''=2cos. (1)y=; (2)y=x; (3)y=xcos(2x+)sin(2x+). 解 (1)∵(ln 3x)'=×(3x)'=, ∴y'=. (2)y'=(x)'=x'+x()'=. (3)∵y=xcos(2x+)sin(2x+)=x(-sin 2x)·cos 2x=-xsin 4x, ∴y'=(-xsin 4x)'=-sin 4x-cos 4x=-sin 4x-2xcos 4x. (3)设y=u2,u=ln x,则yu'=2u,ux'=, 于是yx'=yu'·ux'=,即y'=. A. B.2 C.3 D.0 解析 设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行. ∵y'=, ∴y'=2, 解得x0=1,∴y0=ln(2-1)=0,即切点坐标为(1,0). ∴切点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离为d=,即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是. 令y=0得x=-. 故所求面积为S=×1=. 1.[探究点一]已知f(x)=,则f'(x)=(　　) A. B.2 C. D. 解析 f(x)==(x+4,则f'(x)=(x+4. A.e2xln 2x+ B.e2xln 2x+ C.2e2xln 2x+ D.2e2x· 解析 f'(x)=(e2x)'ln 2x+e2x(ln 2x)'=2e2xln 2x+e2x. 4.[探究点三]函数y=sin2x的图象在点A()处的切线的斜率是(　　) A. B. C. D. 所以所求斜率k=sin=sin. 解析 f'(x)=a-, 由题意得f'(1)=,即a-, 所以a=1. (3)y=. (3)y'=. A. B. C.1 D. 解析 由f(x)=ln(2x-1),得f'(x)=. 由f'(x0)==1,解得x0=.故选B. 10.要得到函数f(x)=sin(2x+)的导函数f'(x)的图象,只需将f(x)的图象(　　) A.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变) B.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变) C.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变) D.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变) A.ln 2 B.-ln 2 C. D.- 设切点为(x0,y0),则f'(x0)=,得=2或=-(舍去),则x0=ln 2. ln 解析 因为直线y=x+b(b∈R)是曲线y=f(x)的切线,直线的斜率为, 所以y=f(x)在某点处的导数值为, 对于选项A,由f(x)=x3+2x2+8可得f'(x)=3x2+4x,令f'(x)=3x2+4x=,即6x2+8x-1=0,因为Δ=82-4×6×(-1)>0,所以f'(x)=有解,故选项A正确; 对于选项B,由f(x)=tan x可得f'(x)=, 令f'(x)=,则cos2x=2,方程无解,故选项B不正确; 由f(x)=ln可得f'(x)=-,令f'(x)=-, 解得x=-,不满足x>-, 所以f'(x)=-无解,故选项D不正确. 所以f'(x)=有解,故选项C正确; 对于选项D,由2x+1>0可得x>-, 所以f(x)=ln的定义域为, A. B.- C. D.- 解析 f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)=2sin(x+φ+π), 因为f(x)+f'(x)为偶函数, 则φ+π=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ-,k∈Z. 又-π<φ<π,所以φ=-. 解析 函数f(x)=aexln x+,求导得f'(x)=aex+bex-1, 因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,因此f'(1)=ae=e,f(1)=b=2,所以a=1,b=2. 解 (1)由题可得f'(x)=x+2-(x>0), 由f'(x)>0可得x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1, 又因为x>0,故不等式的解集为{x|x>1}. (2)由题可得f'(x)=2ae2ax+1,依题意f'(0)=2ae=-,解得a=-. 解 y'=(e2x)'·cos 3x+e2x·(cos 3x)'=2e2x·cos 3x-3·sin 3x,∴k=2. ∴在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0), 即y=2x+1. 设符合题意的直线l的方程为y=2x+b, 根据题意,得,∴b=6或-4. ∴符合题意的直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4. $$