2.5 简单复合函数的求导法则（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

导 数 及 其 应 用 §5　简单复合函数的求导法则 第二章 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 学习目标 1. 了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2．能够利用复合函数的求导法则，对简单的复合函数求导(仅限于形如y＝f(ax＋b)的函数). 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 x的函数 复合函数 y＝f(φ(x)) 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 ACD 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 f′(u)φ′(x) 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C ln 2 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：2e－3 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：y＝1 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 知识点一　复合函数的概念 函数y＝(－x＋2)2是哪些函数复合成的？ 复合函数的定义 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成________，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的________，记作__________________，其中u为中间变量． 复合函数中，把函数y＝f(u)称为外层函数，把u＝φ(x)称为内层函数，内层函数和外层函数通常为基本初等函数． [例1] 函数y＝sin (2x－1)如果看成复合函数y＝f(φ(x))，下列式子正确的是(　　) A．φ(x)＝2x B．φ(x)＝sin x C．φ(x)＝2x－1 D．φ(x)＝sin (2x－1) y＝sin (2x－1)是由函数y＝sin u和u＝2x－1复合而成，可见φ(x)＝2x－1. 判断复合函数的复合关系的一般方法 从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本初等函数为主体形式，各层的中间变量结构也是基本初等函数关系．这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本初等函数． [练1] (多选)下列哪些函数是复合函数(　　) A．y＝log2(2x＋1) B．y＝2x2－ C．y＝2ln x D．y＝cos 函数y＝2x2－是函数y＝2x2与函数y＝－的和，不是复合函数． 知识点二　复合函数的导数 复合函数y＝(－x＋2)2的导数是y′＝2(－x＋2)吗？ 复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为yx′＝[f(φ(x))]′＝____________________，其中u＝φ(x). (1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构． (2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则． (3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． [例2] 求下列函数的导数： (1)y＝e2x＋1； (2)y＝； (3)y＝5log2(1－x)； (4)y＝sin3x＋sin 3x. (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数， ∴yx′＝yu′ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数， ∴yx′＝yu′ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－. (3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2 u和u＝1－x的复合函数， ∴yx′＝yu′ux′＝(5log2u)′(1－x)′＝＝. (4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数， ∴y′x＝(u3)′(sin x)′＋(sin v)′(3x)′ ＝3u2cos x＋3cos v ＝3sin2x cos x＋3cos 3x. 求复合函数的导数的步骤 [练2] 求下列函数的导数； (1)y＝(x2－4)2； (2)y＝log2(2x2＋3x＋1)； (3)y＝esin (ax＋b). (1)y′＝2(x2－4)(x2－4)′＝2(x2－4)·2x＝4x3－16x. (2)y′＝[log2(2x2＋3x＋1)]′ ＝(2x2＋3x＋1)′ ＝. (3)y′＝[esin (ax＋b)]′＝esin (ax＋b)[sin (ax＋b)]′ ＝a cos (ax＋b)esin (ax＋b). [例3] 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sin (0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18 h的导数，并解释它的实际意义． 设f(x)＝3sin x，x＝φ(t)＝t＋， 所以s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cos x·＝cos ， 将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝cos ＝(m/h). s′(18)表示当t＝18时时，潮水的高度上升的速度为 m/h. 复合函数应用问题的注意点 (1)正确求导是关键． (2)涉及切线问题，若切点已知，则求出切线斜率、切, 线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标． (3)实际问题中，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况． [练3] (1)已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln (3x－m)相切，则实数m＝(　　) A．ln B．－ln C．ln D．－ln (2)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． (1)设切点坐标为(x0，ln (3x0－m))，由y＝ln (3x－m)求导，得y′＝， 所以即 解得m＝ln . (2)由题，令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，所以f′(0)＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则＝2，得x0＝－，则y0＝2x0＋1＝0，所以0＝ln (－＋1)＋a，所以a＝ln 2. ◎随堂演练 1．已知函数f(x)＝cos 2x，则f(x)的导数f′(x)＝(　　) A．sin 2x B．2sin 2x C．－sin 2x D．－2sin 2x f′(x)＝(cos 2x)′＝－sin 2x·(2x)′＝－2sin 2x. 2．函数f(x)＝ln (3x－2)－2x的图象在点(1，f(1))处的切线方程是(　　) A．x＋y＋1＝0 B．x＋2y＋3＝0 C．x－2y－3＝0 D．x－y－3＝0 f′(x)＝－2，则切线的斜率是f′(1)＝1，f(1)＝－2， 则切线方程是y－(－2)＝1×(x－1)，即x－y－3＝0. 3．已知函数f(x)＝e2x＋1－3x，则f′(0)＝_______． 由题意f′(x)＝2e2x＋1－3，所以f′(0)＝2e－3. 4．曲线y＝2x－ln 2x在x＝处的切线方程是______． 当x＝时，y＝1，则切点为，y′＝2－，故切线斜率k＝2－＝0， 所以切线方程为y－1＝0·，化简得y＝1. $$