2.6.2 函数的极值课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第二章　导数及其应用 6.2　函数的极值 北师大版 数学 选择性必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　极值的概念 　　 极值是函数的一种局部性质 1.如图(1),在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值,称点x0为函数y=f(x)的　　　　　,其函数值f(x0)为函数的　　　　　.  　(1) 极大值点 极大值 2.如图(2),在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值,称点x0为函数y=f(x)的　　　　　,其函数值f(x0)为函数的　　　　.  3.函数的极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极小值统称为极值. 极值点在区间的内部 　(2) 极小值点 极小值 名师点睛 1.极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小. 2.极大值与极小值无确定的大小关系.在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小. 思考辨析 函数f(x)可以有多个极大值和极小值吗? 提示 可以,如函数f(x)=sin x,g(x)=cos x在R上有无数多个极大值和极小值. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)函数的极大值一定大于极小值.(　　) (2)函数y=f(x)一定有极大值和极小值.(　　) × × 2.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f'(x)的部分图象如图所示,则下面结论错误的是(　　) A.在(1,2)内函数f(x)单调递增 B.在(3,4)内函数f(x)单调递减 C.在(1,3)内函数f(x)有极大值 D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点 D 解析 根据导函数图象知,x∈(1,2)时,f'(x)>0;x∈(2,4)时,f'(x)<0,x∈(4,5)时,f'(x)>0. ∴f(x)在(1,2),(4,5)内单调递增,在(2,4)内单调递减,x=2是f(x)在[1,5]上的极大值点,x=4是极小值点. 知识点2　求函数y=f(x)极值点、极值的方法 1.求出导数f'(x). 2.解方程f'(x)=0,得出方程的所有实数根. 3.对于方程f'(x)=0的每一个实数根x0,分析f'(x)在x0附近的符号(即f(x)的单调性),确定极值点和极值:从左到右,导函数f'(x)的符号变化.如果f'(x)的符号由正变负,此时x0是极大值点,f(x0)是极大值;如果由负变正,此时x0是极小值点,f(x0)是极小值,如果在f'(x)=0的根x=x0的左、右侧,f'(x)的符号不变,则f(x0)不是极值. 名师点睛 导数等于0的解不一定是极值点;反之,极值点一定是导数等于0的解,故须对f'(x)=0的解进行检验. 思考辨析 对于可导函数f(x),“f(x)在x=x0处的导数f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的什么条件? 提示 必要不充分条件. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若函数y=f(x)在区间(a,x0)内单调递增,在区间(x0,b)内单调递减,则x0是函数y=f(x)的极大值点.(　　) (2)对于函数y=f(x)=x3,因为f'(0)=0,所以x=0是它的极值点.(　　) √ × 2.已知a是函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a等于(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.-4 B.-2 C.4 D.2 D 解析 ∵f(x)=x3-12x,∴f'(x)=3x2-12, 令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=2. 当x∈(-∞,-2),(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, ∴f(x)的极小值点为2. 3.[人教B版P93例1]已知f(x)=x3,求所有使得f'(x)=0的x,并判断所求得的数是否为函数的极值点. 解 因为f'(x)=3x2, 令f'(x)=0,可知3x2=0,由此可解得x=0. 但0不是f(x)=x3的极值点,因为f(0)=0, 而0左侧的点的函数值总是小于0, 且0右侧的点的函数值总是大于0. 这也可以从函数f(x)=x3的图象看出来. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　求函数的极值 角度1.求不含参数的函数的极值 【例1】 求函数f(x)= +ln x的极值. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化如下表: x (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) - 0 + f(x) ↘ 1 ↗ ∴当x=1时f(x)有极小值,即f(1)=1,无极大值. 变式探究求函数f(x)= 的极值. x (0,e) e (e,+∞) f'(x) + 0 - f(x) ↗ ↘ 因此,x=e是函数的极大值点,极大值为f(e)= ,没有极小值. 规律方法　1.讨论函数的性质时,要树立定义域优先的原则. 2.求可导函数f(x)的极值的步骤 变式训练1求下列函数的极值点和极值. (1)f(x)= x3-x2-3x+3; (2)f(x)=x2e-x. 解 (1)函数f(x)的定义域为R.f'(x)=x2-2x-3. 令f'(x)=0,得x1=-1,x2=3, 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由上表可以看出,-1为函数f(x)的极大值点,极大值为f(-1)= ,3为函数f(x)的极小值点,极小值为f(3)=-6. (2)函数f(x)的定义域为R. f'(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x. 令f'(x)=0,得x=0或x=2. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 由上表可以看出,0为函数f(x)的极小值点,极小值为f(0)=0. 2为函数f(x)的极大值点,极大值为f(2)=4e-2. 角度2.求含有参数的函数的极值 【例2】 设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1. (1)求f(x)的单调区间; (2)讨论f(x)的极值. 解 由已知得f'(x)=6x[x-(a-1)], 令f'(x)=0, 解得x1=0,x2=a-1, (1)当a=1时,f'(x)=6x2≥0, f(x)在(-∞,+∞)内单调递增. 当a>1时,f'(x)=6x[x-(a-1)], 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 (0,a-1) a-1 (a-1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 从上表可知,函数f(x)在(-∞,0)内单调递增, 在(0,a-1)内单调递减,在(a-1,+∞)内单调递增. 综上,当a=1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞); 当a>1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a-1,+∞),单调递减区间为(0,a-1). (2)由(1)知,当a=1时,函数f(x)没有极值. 当a>1时,函数在x=0处取得极大值1,在x=a-1处取得极小值1-(a-1)3. 规律方法　讨论参数应从f'(x)=0的根所在的范围与大小关系入手进行. 变式训练2已知函数f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)的极值. 解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1- . (1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f'(x)=1- (x>0), 因而f(1)=1,f'(1)=-1. 所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0. ①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,函数f(x)无极值; ②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a. 又因为当x∈(0,a)时,f'(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0, 从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值. 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值. 探究点二　根据函数的极值求参数 【例3】 [2024陕西咸阳期中]已知函数f(x)= x3-ax2+12x+b在x=3处取得极小值-2. (1)求实数a,b的值; (2)若函数y=f(x)-λ有三个零点,求实数λ的取值范围. 解 (1)f'(x)=4x2-2ax+12, 因为f(x)在x=3处取得极小值-2, 所以f'(3)=36-6a+12=0,得a=8, 此时f'(x)=4x2-16x+12=4(x-1)(x-3), 所以f(x)在(1,3)内单调递减,在(3,+∞)内单调递增, 所以f(x)在x=3时取得极小值,符合题意, 所以a=8,f(x)= x3-8x2+12x+b. 又f(3)=b=-2,所以b=-2. (2)由(1)知y=f(x)-λ= x3-8x2+12x-2-λ, 所以y'=4(x-1)(x-3), 列表如下: x (-∞,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞) y' + 0 - 0 + y ↗ 极大值 -λ ↘ 极小值-2-λ ↗ 规律方法　已知函数的极值求参数时应注意两点 (1)待定系数法:常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组,用待定系数法求解. (2)验证:因为导数值为0的解不一定就是极值点,故利用上述方程组解出的解必须验证. 变式训练3设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值; (2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由. 当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,2)时,f'(x)>0; 当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0. 故x=1是函数f(x)的极小值点,x=2是函数f(x)的极大值点. 探究点三　由函数图象分析函数的极值 【例4】 已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x) 是函数f(x)的导函数),给出以下说法:①函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增;②函数f(x)在x=-1处取得极大值;③函数f(x)在x=- 处取得极大值;④函数f(x)在x=1处取得极小值,其中正确的说法有　　　　　　.(填所有正确的序号)  ①②④ 解析 从图象上可以发现,当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,于是f'(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,①正确;当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0,当x∈(-1,0)时,xf'(x)>0,所以f'(x)<0,故函数f(x)在x=-1处取得极大值,②正确;当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,③错误;当x∈(0,1)时, xf'(x)<0,于是f'(x)<0,故f(x)在区间(0,1)内单调递减,而在区间(1,+∞)内单调递增,所以函数f(x)在x=1处取得极小值,④正确. 规律方法　由函数图象研究极值的方法 利用导数研究函数极值问题是较为常见的一种题型,解答这类问题的关键是选准出发点.对于导函数的图象,我们重点考查其在哪个区间上为正、哪个区间上为负、在哪个点处与x轴相交(在该点处,导函数的值是怎样变化的,若是由正值变为负值,则在该点处取得极大值;若由负值变为正值,则在该点处取得极小值). 变式训练4已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,给出以下结论:①函数f(x)在(-2,-1)和(1,2)内单调递增;②函数f(x)在(-2,0)内单调递增,在(0,2)内单调递减;③函数f(x)在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值;④函数f(x)在x=0处取得极大值.其中真命题的序号是　　　　.(填所有真命题的序号)  ②④ 解析 函数f(x)在(-2,-1)内单调递增,在(1,2)内单调递减,故①错误;因为f'(x)在(-2,0)内大于0,所以函数f(x)在(-2,0)内单调递增,同理f(x)在(0,2)内单调递减,故②正确;③错误;当-2<x<0时,f'(x)>0,当0<x<2时,f'(x)<0,故函数f(x)在x=0处取得极大值,④正确. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)求函数的极值. (2)根据函数的极值求参数. (3)由函数的图象分析函数的极值. 2.方法归纳:待定系数法、数形结合法. 3.常见误区:求极值时忽略f'(x)=0的根的左右两侧符号的判断. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2. [探究点二]若函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间为(　　) A.(-1,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-∞,-1)和(1,+∞) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3. [探究点二]函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10,则a,b的值为(　　) A.a=3,b=-3或a=-4,b=11 B.a=-4,b=2或a=-4,b=11 C.a=-4,b=11 D.以上都不对 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4. [探究点一(角度1)](多选题) 已知函数f(x)=2ex- x的极值点为x0,则(　　) A.x0∈(-2,-1) B.x0∈(0,2) C.f(x0)∈(-1,0) D.f(x0)∈ AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 对于A选项,由已知可得,f'(x)=2ex- , 令f'(x)=0,则x0=-ln 4, 当x<-ln 4时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,-ln 4)内单调递减, 当x>-ln 4时,f'(x)>0,所以f(x)在(-ln 4,+∞)内单调递增, 所以,f(x)在x=-ln 4时,有极小值,且x0=-ln 4∈(-2,-1),故A选项正确; 对于B选项,由A知x0=-ln 4∈(-2,-1),故B选项错误; 故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5. [探究点二](多选题) 已知函数f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1处取得极大值,则a=(　　) A.3 B.1 C.-3 D.-1 AD 解析 因为f(x)=x3-ax2-a2x+3,故f'(x)=3x2-2ax-a2, 由函数f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1处取得极大值,可得f'(-1)=3+2a-a2=0, 解得a=3或a=-1, 当a=3时,f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1), 此时当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,当x∈(-1,3)时,f'(x)<0, 则函数f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1处取得极大值,符合题意; 当a=-1时,f'(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1), 此时当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,当x∈ 时,f'(x)<0, 则函数f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1处取得极大值,符合题意,故a=3或a=-1, 故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6. [探究点一(角度1)]函数y=xex在其极值点处的切线方程为　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7. [探究点一(角度1)]设函数f(x)=sin x-cos x+x+1,0<x<2π,则函数f(x)的极大值为　　　　,极小值为　　　　.  π+2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8. [探究点二]若函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值,则函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为　　　　　　　　.  -5 解析 ∵函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值,且f'(x)=(x2+c)+2x(x-2), ∴f'(2)=0, ∴(c+4)+(2-2)×4=0, ∴c=-4, ∴f'(x)=(x2-4)+2x(x-2). ∴函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为 f'(1)=(1-4)+(1-2)×2=-5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.[探究点一(角度2)]已知函数f(x)= +x+1,求函数f(x)的极值. ①当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在R上为增函数,f(x)无极值. ②当a>0时,令f'(x)=0,得ex=a,x=ln a. 当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0; 当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0, ∴f(x)在(-∞,ln a)内单调递减,在(ln a,+∞)内单调递增,f(x)在x=ln a取得极小值,极小值为f(ln a)=ln a+2,无极大值. 综上所述,当a≤0时,f(x)无极值;当a>0时,f(x)有极小值ln a+2,无极大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 关键能力提升练 10.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)·f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) D 解析 由函数的图象可知,f'(-2)=0,f'(2)=0,并且当x<-2时,f'(x)>0; 当-2<x<1时,f'(x)<0;当1<x<2时,f'(x)<0; 当x>2时,f'(x)>0,故函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.若函数f(x)=x2-4x+aln x有唯一的极值点,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,0) B.(-∞,0)∪{2} C.(-∞,0] D.(-∞,0]∪{2} C 若f(x)有唯一的极值点, 则令g(x)=2x2-4x+a,g(x)图象的对称轴为x=1, ∴g(0)≤0,解得a≤0. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.(多选题) 已知函数f(x)= sin x-cos x,则下列说法正确的是(　　) AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.(多选题) 函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f'(x)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是(　　) A.f(-2)>f(-1) B.x=1是f(x)的极小值点 C.函数f(x)在(-1,1)内有极大值 D.x=-3是f(x)的极大值点 AD 解析 由y=f'(x)的图象可知,当x∈(-∞,-3)时,f'(x)>0,所以函数f(x)单调递增; 当x∈(-3,-1)时,f'(x)<0,所以函数f(x)单调递减,因此有f(-2)>f(-1),x=-3是f(x)的极大值点,所以选项A,D正确; 当x∈(-1,1)或x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以函数f(x)单调递增,因此函数f(x)在 (-1,1)内没有极大值,且x=1不是f(x)的极小值点,所以选项B,C不正确, 故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.(多选题) 如图是函数y=f(x)的导函数的图象,对于下列四个判断,其中正确的是(　　) A.f(x)在(-2,-1)内是单调递增函数 B.f(x)在(2,4)内是单调递减函数 C.当x=-1时,f(x)取得极小值 D.当x=1时,f(x)取得极大值 BC 解析 从导函数图象可以看出函数f(x)在(-2,-1),(2,4)内为单调递减函数; f(x)在(-1,2),(4,5)内为单调递增函数,故A错误,B正确,f(x)在x=-1处取得极小值,f(x)在x=2处取得极大值,C正确,D错误.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (1)当a=0时,f(x)的极值点个数为　　　　　;  (2)若f(x)恰有两个极值点,则a的取值范围是　　　　　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,其中a>0. (1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间; (2)求函数f(x)的极值.   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 级 学科素养创新练 17.已知函数f(x)=x+a(2-ex)+2(a∈R). (1)若函数f(x)在x=0处的切线与直线x+y-1=0平行,求实数a的值; (2)若函数f(x)的极大值不小于3a,求实数a的取值范围. 解 (1)f(x)=x+a(2-ex)+2,f'(x)=1-aex, 因为f(x)在x=0处的切线与直线x+y-1=0平行, 所以f(x)在x=0处的切线斜率为f'(0)=1-a=-1, 解得a=2,所以实数a的值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2)f'(x)=1-aex, 当a≤0时,f'(x)=1-aex>0,所以f(x)在R上单调递增,无极大值; 当a>0时,令f'(x)=1-aex=0,解得x=-ln a, 当x∈(-∞,-ln a)时,f'(x)=1-aex>0,f(x)在(-∞,-ln a)内单调递增, 当x∈(-ln a,+∞)时,f'(x)=1-aex<0,f(x)在(-∞,-ln a)内单调递减, 所以f(x)在x=-ln a处取得极大值f(-ln a)=-ln a+a(2-e-ln a)+2=-ln a+2a+1≥3a, 即-ln a-a+1≥0,设g(a)=-ln a-a+1(a>0), 则g(a)在(0,+∞)内单调递减,且g(1)=0, 要使g(a)≥0,则a∈(0,1],所以a的取值范围为(0,1]. 解 (1)函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=-,令f'(x)=0,得x=1. 解 函数f(x)=的定义域为(0,+∞), 且f'(x)=.令f'(x)=0,解得x=e. 当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表: (2)由f'(x)=1-,x>0知, 因为函数y=f(x)-λ有三个零点,所以 即-2<λ<,所以λ的取值范围为. 解 (1)∵f(x)=aln x+bx2+x,定义域为(0,+∞). ∴f'(x)=+2bx+1,x>0, ∴f'(1)=f'(2)=0, ∴a+2b+1=0且+4b+1=0, 解得a=-,b=-. (2)由(1)可知f(x)=-ln x-x2+x, 且定义域是(0,+∞), f'(x)=-x-1-x+1=-. 1. [探究点三] (多选题)设函数f(x)=sin,则下列结论正确的是(　　) A.y=f(x)的图象关于直线x=对称 B.y=f(x)的图象关于点中心对称 C.f(x)在区间有两个极值点 D.f(x)在区间内单调递减 对于C选项,因为f(x0)=2x0=(1-x0),-2<x0<-1,所以1<-x0<2, 所以1<(1-x0)<,即f(x0)∈,故C选项错误; 对于D选项,由C知f(x0)∈,故D选项正确. y=- 解析 令y'=ex+xex=(1+x)ex=0, 得x=-1,∴y=-, ∴在极值点处的切线方程为y=-. 　　 解 f(x)=+x+1的定义域为R,f'(x)=1-. 解析 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-4+, A.f(x)的图象关于点中心对称 B.f(x)在区间上单调递减 C.f(x)在(0,2π)内有且仅有2个极小值点 D.f(x)的图象关于直线x=对称 解析 f(x)=sin x-cos x=2sin, 当x=时,f(x)=0,故f(x)的图象关于点中心对称,A正确; 当x∈时,x-,则f(x)=2sin上不单调,B错误; 当x∈(0,2π)时,x-,则f(x)只有在x-处取得极小值,故在(0,2π)内有且仅有1个极小值点,C错误; 当x=时,f=2sin=2,所以f(x)的图象关于直线x=对称,D正确.故选AD. 15.[2024北京海淀校级月考]已知函数f(x)= 解 (1)当a=1时,f(x)=ln x+x2-3x,定义域为(0,+∞), 则f'(x)=+2x-3=, 由f'(x)>0,解得0<x<或x>1,由f'(x)<0,解得<x<1, 所以函数f(x)的单调递增区间为,(1,+∞);单调递减区间为. (2)函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,定义域为(0,+∞), 则f'(x)=+2ax-(2a+1)=, 令f'(x)=0,解得x1=1,x2=, ①当a>时,函数f(x)的单调递增区间为,(1,+∞),单调递减区间为, 所以函数f(x)在x=取得极大值,为f=-ln 2a-, 在x=1取得极小值,为f(1)=-a-1; ②当0<a<时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),,单调递减区间为, 所以函数f(x)在x=1取得极大值,为f(1)=-a-1, 在x=取得极小值,为f=-ln 2a-; ③当a=时,f'(x)≥0恒成立,故函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无极值. 综上,当a>时,f(x)的极大值为-ln 2a-,极小值为-a-1; 当0<a<时,f(x)的极大值为-a-1,极小值为-ln 2a-; 当a=时,f(x)无极值. 则g'(a)=--1=-<0恒成立, $$