2.6.2 函数的极值 课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

— 第二章 导数及其应用 — 2.6.2 函数的极值 1.理解极值、极值点的概念，了解函数在某点处取得极值的条件． 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值． 学习目标 a b x1 x5 x4 x3 x2 O y x 问题：函数y=f(x)在x1，x2等点处的函数值与其左右附近的函数值什么关系？ f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，x1，x3，x5为极大值点， f(x2)，f(x4)为极小值，x2，x4为极小值点. 问题导入 设函数y=f(x)的定义域为D，设x0属于D，如果对x0附近的任意不同于x0的x，都有f(x)<f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值. 设函数y=f(x)的定义域为D，设x0属于D，如果对x0附近的任意不同于x0的x，都有f(x)＞f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值. x0 x0 极大值 极小值 新知讲授 极大值点与极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 极值点是自变量的值，极值指的是函数值. x0 x0 极大值 极小值 新知讲授 思考：(1)函数是否一定存在极值?若存在，是否是唯一的? (2)极大值是否一定比极小值大? (3)函数的极值点是否可以出现在区间的端点? (1)在一个给定的区间上，函数可能存在若干个极值，也可能不存在极值；函数可以只有极大值没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值又有极小值. (2)极大值与极小值之间无确定的大小 关系，即一个函数的极大值未必大于 极小值. (3)不可以，函数在一个区间的端点处 一定不可能取得极值，因为不符合极 值点的定义. 函数y=f(x)的图像中，A,B对应横坐标x1，x2是函数的极值点.已知曲线y=f(x)在点A，B处存在切线. 1.A，B处的切线具有什么特征？这说明f(x)在x1，x2 处的导数具有什么特点？ 2.曲线在A，B处附近的点处的切线具有什么特征？ A B 图中可以看出，曲线在A，B处的切线都是水平的，这等价于 新知讲授 函数y=f(x)的图像中，A,B对应横坐标x1，x2是函数的极值点.已知曲线y=f(x)在点A，B处存在切线. 2.曲线在A，B处附近的点处的切线具有什么特征？ A B 在极大值点附近 在极小值点附近 f (x)<0 f (x)>0 f (x)>0 f (x)<0 新知讲授 归纳总结 一般地，如果是的极值点，且在处可导，则必有 . 新知讲授 讨论：(1)若有，则一定是函数的极值点吗？ (2)函数的极值点与函数的单调性有什么关系？ (1)不一定，例如对于函数f(x)=x3，虽有f'(0)=0，但由于无论恒有f'(x)，即函数f(x)=x3是增函数，所以0不是函数f(x)=x3的极值点. 即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件. (2)极大值点可以看成函数单调递增区间到单调递减区间的转折点，极小值点可以看成函数单调递减区间到单调递增区间的转折点. 新知讲授 结合导数与函数单调性的关系，我们可以得到如下表格： x (a，x0) x0 (x0，b) f ′(x) ＋ － y=f (x) 增加↗ 极大值 减少↘ x (a，x0) x0 (x0，b) f ′(x) － ＋ y=f (x) 减少↘ 极小值 增加↗ y a b x0 O x y a b x0 O x 新知讲授 例1 函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y=f(x)在区间(3，5)内单调递增； ②函数y=f(x)在区间内单调递减； ③函数y=f(x)在区间(-2，2)内单调递增； ④当x=-时，函数y=f(x)有极大值； ⑤当x=2时，函数y=f(x)有极大值. 则上述判断中正确的序号是　　　.  f'(x)的图象 x∈(3，4)，f'(x)＜0 x∈(4，5)，f'(x)＞0 f(x)单调递减← f(x)单调递增← (3，4)单调递减，(4，5)单调递增 x∈(，2)，f'(x)＞0 x∈(2，3)，f'(x)＜0 f(x)单调递增← f(x)单调递减← (，2)单调递增，(2，3)单调递减 新知讲授 例1 函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y=f(x)在区间(3，5)内单调递增； ②函数y=f(x)在区间内单调递减； ③函数y=f(x)在区间(-2，2)内单调递增； ④当x=-时，函数y=f(x)有极大值； ⑤当x=2时，函数y=f(x)有极大值. 则上述判断中正确的序号是　　　.  ③⑤ f'(x)的图象 x∈(-2，2)，f'(x)＞0 f(x)单调递增← √ (3，4)单调递减，(4，5)单调递增 (，2)单调递增，(2，3)单调递减 × √ 新知讲授 方法归纳 对于这类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的， (1)如果“左正右负”，那么函数f(x)在这个根处取得极大值； (2)如果“左负右正”，那么函数f(x)在这个根处取得极小值； (3)如果左右符号不改变，那么函数f(x)在这个根处不取极值. 新知讲授 例2 求下列函数的极值： (1)f (x)＝sin x－cos x＋x＋1(0<x<2π)；(2)f (x)＝x2e－x． 解:(1)f′(x)＝cos x＋sin x＋1＝1＋sin(x＋)， 令f′(x)＝0，从而sin(x＋)＝﹣，又0＜x＜2π，所以x＝π或x＝. 求可导函数f(x)的极值的步骤: ①求导数f'(x). ②求方程f'(x)=0的根. ③观察f'(x)在方程f'(x)=0的根左右两边的符号， 如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值； 如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值. 方法归纳 新知讲授 例3 已知函数f(x)=x3－x2＋ax－2. (1)若函数的极大值点是﹣1，求a的值； (2)若函数f(x)有两个极值点，求a的取值范围. 解:(1)f′(x)＝x2－2x＋a， 由题意有f′(﹣1)＝1＋2＋a＝0，解得a＝﹣3， 则f′(x)＝x2－2x－3， 经验证可知，f(x)在x＝﹣1处取得极大值，故a＝﹣3. (2)由题意有方程x2－2x＋a＝0有两个不等实根， ∴△＝(﹣2)2－4a＞0，解得a＜1， 故a的取值范围是(﹣∞，1). 因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以求解后必须检验． 1.下列函数中存在极值的是( ) A.y= B.y=x-ex C.y=2 D.y=x3 2.已知a是函数f(x)=x3-12x的极小值点，则a等于( ) A.-4　　　B.-2　　　C.4　　　D.2 3.函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为( 　 ) A.－e B.－1 C.1－e D.0 B D B 当堂检测 4.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数y=f'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) D 当堂检测 回顾：结合本课内容，回答下列问题？ 1. 什么是极值？极值点是一个点吗？ 2. 函数在某点取得极值的充要条件是什么？ 3. 如何求函数的极值？ 总 结 当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表： x (0，π) π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2))) eq \f(3π,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π)) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) ↗ π＋2 ↘ eq \f(3π,2) ↗ 因此，当x＝eq \f(3π,2)时，f (x)有极小值eq \f(3π,2)；当x＝π时，f (x)有极大值π＋2． (2)f ′(x)＝2xe－x－x2e－x， 令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝2， 当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ 0 － f (x) ↘ 0 ↗ eq \f(4,e2) ↘ 所以f (x)的极小值是f (0)＝0，极大值是f (2)＝eq \f(4,e2)． $$