2.8数学探究活动(二)探究三次函数性质课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第二章　导数及其应用 8　数学探究活动(二)探究三次函数性质 北师大版 数学 选择性必修第二册 三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是高中阶段一种重要的函数,同时又是高考的重点内容.三次函数的性质存在一定的规律性,下面用导数工具探求其图象及性质. 一、三次函数图象和性质 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),导数f'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0), 令Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac). 1.三次函数的单调性 性质1:当a>0且b2-3ac≤0,则f(x)在(-∞,+∞)内单调递增; 当a<0且b2-3ac≤0,则f(x)在(-∞,+∞)内单调递减. 性质2:若b2-3ac>0,则f'(x)=0有两个解: 当a>0且b2-3ac>0时,f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递增,在(x1,x2)内单调递减; 当a<0且b2-3ac>0时,f(x)在(-∞,x2)和(x1,+∞)内单调递减,在(x2,x1)内单调递增. 根据a和Δ的不同情况,其图象特征分别为: 2.三次函数的极值 性质3:当b2-3ac≤0时,f(x)无极值. 当b2-3ac>0时, 二、经典案例 1.含参三次函数单调区间的求解 三次函数单调区间由f'(x)>0或f'(x)<0的解集来决定,因此可以从根的大小、判别式Δ和二次项系数等方面来入手讨论. 求三次函数的单调区间,就是确定二次不等式f'(x)>0或f'(x)<0的解集,其解法就等同于含参数的一元二次不等式的解法了. 【例1】 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=- 与x=1时都取得极值. (1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间; (2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求实数c的取值范围. 2.三次函数根据单调性求参问题 已知三次函数单调性求参数范围可转化为f'(x)≥0恒成立或f'(x)≤0恒成立问题来处理,注意等号不能遗漏,否则造成参数范围的漏解. 已知三次函数单调性求参数范围可有两种方法解决,一是分离参数,二是二次函数思想.做题时要随机应变. 【例2】 f(x)=x3+ax2+2x-1, (1)f(x)在区间[1,3]上单调递增,求a的取值范围; (2)f(x)在区间[-1,2]上单调递减,求a的取值范围; (3)f(x)在(0,1)内不单调,求a的取值范围. (2)∵f(x)在[-1,2]上单调递减, ∴f'(x)=3x2+2ax+2≤0在[-1,2]上恒成立, 即f'(x)=3x2+2ax+2在[-1,2]上的最大值小于或等于0,考虑函数h(x)=3x2+2ax+2在[-1,2]上的最大值,最大值为h(-1)或h(2), (3)f'(x)=3x2+2ax+2, f(x)在(0,1)内不单调⇔f'(x)在(0,1)内有正有负. ①f(x)在(0,1)内只有一个极值点, 3.三次函数单调性与极值综合应用 【例3】 若函数f(x)=ax3-(a2-4)x+4,当x=1时,函数f(x)有极大值. (1)求函数的解析式; (2)若存在x∈[-3,2],使得f(x)+m≥0能成立,求m的取值范围. 解 (1)f'(x)=3ax2-(a2-4), ∵当x=1时,函数f(x)有极大值,∴f'(1)=3a-(a2-4)=0,解得a=4,或a=-1. 若a=4,f'(x)=12x2-12=12(x+1)(x-1), 可得当-1<x<1时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增. ∴当x=1时,函数f(x)有极小值,不符合题意,舍去. 若a=-1,f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1), 可得当-1<x<1时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减. ∴当x=1时,函数f(x)有极大值,则f(x)=-x3+3x+4. (2)f(x)=-x3+3x+4, 存在x∈[-3,2],使得f(x)+m≥0能成立, 则-m≤f(x)max. 由(1)可得,函数f(x)在区间[-3,-1)内单调递减,在区间(-1,1)内单调递增,在区间(1,2]上单调递减. 而f(-3)=22,f(1)=6,∴f(x)max=22. ∴-m≤22,解得m≥-22. ∴m的取值范围是[-22,+∞). 规律方法　1.要学会用导数方法解决三次函数单调性与极值问题中四类题型:(1)已知函数解析式求单调性问题;(2)已知函数解析式求极值问题;(3)已知含参数的函数解析式的极值问题求参数;(4)已知含参数的函数解析式的单调性问题求参数. 2.通过上述例题研究了三次(高次)函数的性质,同时验证了高次函数与导数知识的关系,使学生既学到了新知识,又巩固了旧知识,为更有效解决三次函数的极值、某一区间的单调性、证明不等式等问题找到较好的解决办法. 3.上述例题均以三次函数为背景,主要考查导数在研究函数的单调性、极值、最值中的应用,意在考查考生运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题的能力. x1=,x2= (1)若a>0,f(x)在x1=处有极大值f(x1);f(x)在x2=处有极小值f(x2). (2)若a<0,f(x)在x1=处有极大值f(x1),f(x)在x2=处有极小值f(x2). 解 (1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f'(x)=3x2+2ax+b, 由解得 f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1), 函数f(x)的单调性如下表: x - 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数f(x)的单调递增区间是和(1,+∞),单调递减区间是(-,1). (2)因为f(x)=x3-x2-2x+c,x∈[-1,2], 根据(1)中函数f(x)的单调性, 得f(x)在区间[-1,-)内单调递增,在区间[-,1]内单调递减,在区间[1,2]上单调递增, 所以当x=-时,f(x)=+c为极大值, 而f(2)=2+c>+c,所以f(2)=2+c为最大值. 要使f(x)<c2对x∈[-1,2]恒成立,只需c2>f(2)=2+c,解得c<-1或c>2. 所以实数c的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞). 解 (1)∵f(x)在[1,3]上单调递增, ∴f'(x)=3x2+2ax+2≥0在[1,3]上恒成立,即a≥在[1,3]上恒成立,考虑函数g(x)=在[1,3]上的最大值,g'(x)=, 当x∈[1,3]时,g'(x)<0,∴g(x)在[1,3]上单调递减,g(x)max=g(1)=-, ∴a≥-,故a的取值范围为. ∴,即无解,则a不存在,a的取值范围为空集. 第一种情形:f'(0)·f'(1)<0,即2(3+2a+2)<0,即a<-; 第二种情形:f'(0)=0,此时2≠0,舍去; 第三种情形:f'(1)=0,此时a=-,f'(x)=0的两个根为1和,满足题意. 综上,a≤-. ②f(x)在(0,1)内有两个极值点,则 解得-<a<-. 综合①②得a的取值范围为(-∞,-). $$