（课件） 第2章 §8 数学探究活动(二)：探究函数性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

§8　数学探究活动(二)：探究函数性质 第二章　导数及其应用 1 §8　数学探究活动(二)：探究函数性质 2 §8　数学探究活动(二)：探究函数性质 3 §8　数学探究活动(二)：探究函数性质 4 §8　数学探究活动(二)：探究函数性质 5 §8　数学探究活动(二)：探究函数性质 6 §8　数学探究活动(二)：探究函数性质 7 §8　数学探究活动(二)：探究函数性质 8 §8　数学探究活动(二)：探究函数性质 9 §8　数学探究活动(二)：探究函数性质 10 §8　数学探究活动(二)：探究函数性质 11 §8　数学探究活动(二)：探究函数性质 12 §8　数学探究活动(二)：探究函数性质 13 §8　数学探究活动(二)：探究函数性质 14 谢谢观看 THANK YOU! 15 1．能通过类比一次、二次函数图象与性质的探究，探究三次函数的图象与性质．(重点) 2．能利用导数分析三次函数的图象与性质．(难点) 通过应用导数分析三次函数的图象与性质，培养直观想象、逻辑推理及数学运算素养． 1．定义 形如f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的函数叫作一元三次函数． 由f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)知，f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)， 把Δ＝4b2－12ac叫作三次函数的导函数的判别式． 2．一元三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象与性质的探究 (1)探究三次函数的单调性 一般地，当Δ＝4b2－12ac≤0时，y＝f (x)在R上是单调函数，若a＞0，则在R上单调递增；若a＜0，则在R上单调递减． 当Δ＝4b2－12ac＞0时，y＝f (x)在R上有三个单调区间， 设f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)的零点为x1，x2，且x1＜x2，则 a＞0 a＜0 导函数 Δ＞0 Δ≤0 Δ＞0 Δ≤0 f (x) 图象 (2)探究三次函数图象的对称性 三次函数y＝f (x)的图象是中心对称图形，其对称中心是点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,3a)，f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,3a)))))， 此点的横坐标是其导函数的极值点． 可见，y＝f (x)图象的对称中心在其导函数y＝f ′(x)图象的对称轴上，且是两极值点的中心，同时也是二阶导数为零的点(拐点)． 证明：因为f (x)＝a(x－x0)3＋b(x－x0)＋y0(a≠0)的对称中心是点(x0，f (x0))，其中f (x0)＝y0， 所以如果f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)能写成f (x)＝a(x－x0)3＋b(x－x0)＋y0(a≠0)的形式，那么其对称中心就是点(x0，f (x0))， 所以设f (x)＝a(x＋m)3＋p(x＋m)＋n， 所以3am＝b，3am2＋p＝c，am3＋pm＋n＝d， 所以m＝eq \f(b,3a)，p＝eq \f(3ac－b2,3a)，n＝d＋eq \f(2b3,27a2)－eq \f(bc,3a)， 所以f (x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,3a)))eq \s\up24(3)＋eq \f(3ac－b2,3a) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,3a)))＋d＋eq \f(2b3,27a2)－eq \f(bc,3a)．又f (x0)＝d＋eq \f(2b3,27a2)－eq \f(bc,3a)，得证． (3)探究三次函数零点的个数 ①当Δ≤0时，f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)，y＝f (x)单调递增(或递减)，再结合零点存在性定理可知，y＝f (x)有且只有一个零点． ②当Δ＞0时，方程f ′(x)＝0有两个实数根x1，x2，不妨设x1＜x2，则 若f (x1)·f (x2)＞0，则y＝f (x)的图象与x轴有且只有一个交点，所以y＝f (x)有且只有一个零点． 若f (x1)·f (x2)＜0，则y＝f (x)的图象与x轴有三个交点，所以y＝f (x)有三个零点． 若f (x1)·f (x2)＝0，则y＝f (x)的图象与x轴有一个交点，一个切点，所以y＝f (x)有两个零点． (4)探究三次函数的极值 ①当Δ≤0时，y＝f (x)不存在极值点； ②当Δ＞0时，y＝f (x)极值点有两个，一个是极大值点，另一个是极小值点． (5)探究三次函数图象的切线 已知P(x0，y0)是三次函数y＝f (x)图象上一点， ①在点P(x0，y0)处的切线有且只有一条； ②过点P(x0，y0)的切线，若点P(x0，y0)是对称中心，其切线有且只有一条；若点P(x0，y0)不是对称中心，其切线有两条． $$