2.1平均变化率与瞬时变化率课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第二章　导数及其应用 1　平均变化率与瞬时变化率 北师大版 数学 选择性必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,理解平均变化率和瞬时变化率的概念. 2.会求函数在指定区间上的平均变化率和某一点的瞬时变化率. 3.能用平均变化率和瞬时变化率解决或说明一些实际问题,并初步体会极限思想. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　平均速度与平均变化率 1.用一段时间内物体的平均速度刻画了物体运动的快慢,当时间从t0变为t1时,物体所走的路程s(t0)变为s(t1),这段时间内物体的平均速度 =　　　　　　　　.  2.对一般的函数y=f(x)来说,当自变量x从x1变为x2时,函数值从f(x1)变为f(x2),它在区间[x1,x2]的平均变化率=　　　　　　　.  通常我们把自变量的变化x2-x1称作自变量x的改变量,记作Δx,函数值的变化f(x2)-f(x1)称作函数值y的改变量,记作Δy.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比,即 用它来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. Δx≠0,Δy∈R 名师点睛 1.如果物体的运动规律是s=s(t),那么函数s(t)在t到t+Δt这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速度,即 2.函数平均变化率是用来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化快慢的量. 思考辨析 下表是某人吃完退烧药后,他的体温变化情况: x/min 0 10 20 30 40 50 60 y/℃ 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.9 观察上表,若以表中的时间点为起点和终点,以10 min为一个时间段,每10分钟病人的体温变化相同吗?哪段时间体温变化较快?如何刻画体温变化的快慢? 提示 每10分钟病人的体温变化不相同,从20分钟到30分钟变化最快,用体温的平均变化率刻画体温变化的快慢. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)函数y=f(x)在[x1,x2]的平均变化率 .(　　) (2)函数y=f(x)在[x1,x2]的平均变化率的几何意义即为过(x1,f(x1)),(x2,f(x2))两点的直线的斜率.(　　) √ √ 2.已知抛物线y=3x-x2在x0=2处的改变量为Δx=0.1,则 的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.-0.11 B.-1.1 C.3.89 D.0.29 B 3.一物体的运动函数是s(t)=3+2t,则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为　　　.  2 知识点2　瞬时速度与瞬时变化率 1.瞬时速度:物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 2.瞬时变化率:对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则该函数的平均变化率为 　 Δx不能等于0  如果当Δx趋于0时,平均变化率趋于某个值,那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率.瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢. 名师点睛 从物理的角度看,瞬时速度就是将平均速度的时间段改为时间点,即让时间段[t,t+Δt]或者[t+Δt,t]中的时间间隔|Δt|无限趋近于0,此时时间段[t,t+Δt]或者[t+Δt,t]内的平均速度就无限趋近于t时刻的瞬时速度. 思考辨析 如果某物体在某时间段内的平均速度为0,能否判定该物体在此时间段内的瞬时速度都为0? 提示 不能. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)在计算物体运动的瞬时速度时,h(t0+Δt)>h(t0).(　　) (2)瞬时速度是刻画物体在区间[t0,t0+Δt](Δt>0)上变化快慢的物理量.(　　) (3)瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢.(　　) × × √ 2.一质点的运动规律是s=t2+3(路程s的单位为m,时间t的单位为s),则该质点在t=1 s时的瞬时速度是　　　　　 m/s.  2 重难探究·能力素养速提升 探究点一　平均变化率 角度1.求物体运动的平均速度 【例1】 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)=sin t, t∈[0, ]. (2)比较(1)中两个平均速度的大小,说明其几何意义. 规律方法　求物体运动的平均速度的主要步骤 (1)先计算位移的改变量s(t2)-s(t1); (2)再计算时间的改变量t2-t1; (3)得平均速度 变式训练1[人教B版P64例2]已知某物体运动的位移x(单位:m)是时间t(单位:s)的函数,而且t=0.1时,x=0.25;t=0.5时,x=2.25.求这个物体在时间段[0.1,0.5]内的平均速度. 角度2.求函数的平均变化率 【例2】 求函数f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值. 规律方法　求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy,求平均变化率的主要步骤: 变式训练2函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则实数m的值为　　　　.  2 探究点二　瞬时变化率 角度1.求物体运动的瞬时速度 【例3】 某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1 s时的瞬时速度. 当Δt趋于0时,3+Δt趋于3. ∴物体在t=1处的瞬时变化率为3,即物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s. 变式探究1在本例条件不变的前提下,试求物体的初速度. 变式探究2在本例条件不变的前提下,物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s? 解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 当Δt趋于0时,(2t0+1)+Δt趋于2t0+1, 则2t0+1=9,∴t0=4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 规律方法　求运动物体在t=t0的瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0). (2)求平均速度 (3)求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时, 无限趋近于常数v,即为t0时刻的瞬时速度. 变式训练3一质点M按函数s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若质点M在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s,求常数a的值. 解 ∵质点M在t=2 s附近的平均变化率为 当Δt趋于0时,4a+aΔt趋于4a, ∴4a=8,解得a=2. 角度2.求函数的瞬时变化率 【例4】 估算函数y=x- 在x=1处的瞬时变化率. 规律方法　估算一个函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率的步骤如下: (1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)求平均变化率 (3)当Δx趋于0时, 趋于的那个确定值即为所求函数在某点处的瞬时变化率. 变式训练4已知函数f(x)= ,估算f(x)在x=1处的瞬时变化率为　　　　.  探究点三　平均变化率的意义 【例5】 已知函数h(x)=-4.9x2+6.5x+10. (1)计算从x=1到x=1+Δx的平均变化率,其中Δx的值为①2;②1;③0.1;④0.01. (2)根据(1)中的计算,当Δx越来越小时,函数h(x)在区间[1,1+Δx](Δx>0)上的平均变化率有怎样的变化趋势? (2)当Δx越来越小时,函数f(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化率逐渐变大,并接近于-3.3. 规律方法　1.通过例5可知,一般地,当Δx变化时,函数f(x)在[x0,x0+Δx](Δx>0)上的平均变化率是变化的,当Δx越来越小时,f(x)在某区间上的平均变化率呈现出一定的规律性,如果平均变化率随Δx趋于0,此时平均变化率的值也就趋于某一个确定的值(即瞬时变化率). 变式训练5下面是一段登山路线图,同样是登山,但是从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.想想看,为什么?你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗? 本节要点归纳 1.知识清单: (1)平均变化率. (2)瞬时变化率. (3)平均变化率的几何意义与实际意义. 2.方法归纳:数形结合. 3.常见误区:误以为Δx,Δy都为正值. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 18 19 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.[探究点三]如图,从上端口往一高为H的水缸匀速注入水,水注满所用时间为T.当水深为h时,水注入所用时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A.公司亏损且亏损幅度变大 B.公司的盈利增加,增加的幅度变大 C.公司亏损且亏损幅度变小 D.公司的盈利增加,增加的幅度变小 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.[探究点一(角度1)、探究点二(角度1)]一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s=t2+2t,设其在t∈[2,3]内的平均速度为v1,在t=3时的瞬时速度为v2,则 =(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5. [探究点二(角度2)]已知y=f(x)=-x2+10,则y=f(x)在x= 处的瞬时变化率 是(　　) A.3 B.-3 C.2 D.-2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6. [探究点一(角度2)]设函数f(x)=xlg x-x,当x由1变到10时,f(x)的平均变化率为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7. [探究点二(角度1)]一物体的运动方程为s(t)=t2-3t+2,则其在t=　　　时的瞬时速度为1.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8. [探究点三]泰山十八盘是泰山登山路中最险要的一段,在当地有“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”之说,一段登山路线如图所示,同样是登山,从A处到B处会感觉比较轻松,而从C处到D处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9. [探究点二(角度1)]枪弹在枪筒中的运动可以近似看作是匀加速直线运动,其路程(单位:m)与时间(单位:s)的关系式为s(t)= at2,如果枪弹的加速度a=5×105 m/s2,且当t=1.6×10-3 s时,枪弹从枪口射出,求枪弹射出枪口时的瞬时速度.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意知,a=5×105 m/s2,t=1.6×10-3 s, ∴at=8×102=800(m/s), 即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B 级 关键能力提升练 10.物体的运动函数是s=-4t2+16t,在某一时刻的速度为零,则相应时刻为 (　　) A.t=1 B.t=2 C.t=3 D.t=4 B 解析 设在t时刻的速度为0, 当Δt趋于0时,-8t+16-4Δt趋于-8t+16, 由-8t+16=0,解得t=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.已知甲、乙两个小区在[0,t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示. 给出下列四个结论: ①在[t1,t2]这段时间内,甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大; ②在[t2,t3]这段时间内,乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大; ③在t2时刻,甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢; ④甲小区在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[t2,t3]的平均分出量最大. 其中所有正确结论的序号是(　　) A.①② B.②③ C.①④ D.③④ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.如图所示,单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积(阴影部分)的2倍,则函数y=f(x)的图象是(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.函数y=f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在区间[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为(　　) A.k1>k2 B.k1<k2 C.k1=k2 D.不确定 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.(多选题)已知某物体的运动函数为s(t)=7t2+8(0≤t≤5),则(　　) A.当t=1到t=3时该物体的平均速度是28 B.该物体在t=4时的瞬时速度是56 C.该物体位移的最大值为43 D.该物体在t=5时的瞬时速度是70 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15.将半径为R的球加热,若半径从R=1到R=m时球的体积的平均变化率为 ,则m的值为　　　　　　.(注:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2))  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.一个小球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的路程h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为h=2t2+3t,则当t=3 s时球的瞬时速度为　　　m/s.  15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+1,该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5.求Δt的取值范围. 解 质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的平均速度为 又因为4+Δt≤5, 所以Δt≤1,且Δt>0, 故Δt的取值范围为(0,1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C 级 学科素养创新练 18.服药后,人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位:mg/mL)来表示,它是时间t(单位:min)的函数,表示为c=c(t),下表给出了c(t)的一些函数值. t/min 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c(t)/(mg/mL) 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 服药后30 min~70 min这段时间内,药物浓度的平均变化率为 　　　　　　 mg/(mL·min).  -0.002 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.若一物体运动函数如下:(位移单位:m,时间单位:s) (1)物体在t∈[3,5]内的平均速度; (2)物体的初速度v0; (3)物体在t=1时的瞬时速度.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解 (1)∵物体在t∈[3,5]上的时间变化量为Δt=5-3=2(s), 物体在t∈[3,5]上的位移变化量为 Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48(m), ∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为 =24(m/s). ∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为24 m/s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 . . 解析 令y=f(x)=3x-x2. ∵Δy=f(2+0.1)-f(2)=(3×2.1-2.12)-(3×2-22)=-0.11,∴=-1.1. 解析 平均速度==2. =.　　 解析 Δs=s(1+Δt)-s(1)=(1+Δt)2+3-(12+3)=2Δt+(Δt)2,∴=2+Δt, 当Δt趋于0时,趋于2, 故该质点在t=1 s时的瞬时速度为2 m/s. (1)分别求该物体在区间[0,]和[]上的平均速度; 解 (1)物体在区间[0,]上的平均速度为 . 物体在区间[]上的平均速度为 . (2)由(1)可知>0,所以.作出函数s(t)=sin t在[0,]上的图象,如图所示,可以发现,s(t)=sin t在[0,]上随着t的增大,函数值s(t)增大得越来越慢. . 解 所求平均速度为=5(m/s). 解 函数f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为 =6x0+3Δx. 当x0=2,Δx=0.1时,函数y=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2+3×0.1=12.3. 解析 根据题意,=m+1=3,解得m=2. 解 ∵==3+Δt, 解 求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度. ∵=1+Δt,当Δt趋于0时,1+Δt趋于1. ∴物体在t=0时的瞬时变化率为1,即物体的初速度为1 m/s. 又=(2t0+1)+Δt, . =4a+aΔt, 解 因为Δy=(1+Δx)--(1-)=Δx+,所以=1+. 当Δx趋于0时,1+趋于2,因此可以得到函数y=x-在x=1处的瞬时变化率为2. ; 解析 由题意可得 , 当Δx趋于0时,趋于,因此f(x)在x=1处的瞬时变化率为. 解 (1)∵Δy=h(1+Δx)-h(1)=-4.9(Δx)2-3.3Δx,∴=-4.9Δx-3.3. ①当Δx=2时,=-4.9×2-3.3=-13.1; ②当Δx=1时,=-4.9×1-3.3=-8.2; ③当Δx=0.1时,=-4.9×0.1-3.3=-3.79; ④当Δx=0.01时,=-4.9×0.01-3.3=-3.349. 2.的极限值可以刻画函数在某点处的变化快慢.具体到实际问题当中,可以刻画山的陡峭程度等. 解 ∵山路从A到B高度的平均变化率为 hAB=, 山路从B到C高度的平均变化率为 hBC=, ∴hBC>hAB, ∴山路从B到C比从A到B陡峭. 1.[ 探究点一(角度2)]函数f(x)=在区间[1,8]上的平均变化率为(　　) A.- B.- C. D. =-,故选B. 3. [探究点三]某公司的盈利y(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系是y=f(x),假设>0(x1>x0≥0)恒成立,且=10,=1,则说明后10天与前10天相比(　　) A. B. C. D. 解析 ∵=-Δx-3,当Δx趋于0时,趋于-3. 解析 f(10)-f(1)=10lg 10-10-(lg 1-1)=10-10+1=1, ∴当x由1变到10时,f(x)的平均变化率为. 解析 设物体在t=t0时的瞬时速度为1, 因为 = =2t0-3+Δt, 当Δt趋于0时,2t0-3+Δt趋于2t0-3, ∴2t0-3=1,解得t0=2. 解 山路从A处到B处高度的平均变化率为,山路从C处到D处高度的平均变化率为,由,知山路从C处到D处比从A处到B处陡峭,故从A处到B处会感觉比较轻松,而从C处到D处会感觉比较吃力. 解 ∵s(t)=at2,∴=at+aΔt. 当Δt趋于0时,at+aΔt趋于at, ∴=-8t+16-4Δt, 解析 k1==2x0+Δx, k2==2x0-Δx. 由题意知Δx>0,∴k1>k2. 解析 该物体在t=1到t=3时的平均速度是=28,故A正确; 物体在t=4时的瞬时速度是当Δt趋于0时,=56+7Δt趋于56,故B正确; 物体的最大位移是7×52+8=183,故C错误; 物体在t=5时的瞬时速度是当Δt趋于0时,=70+7Δt趋于70,故D正确. 解析 设球的体积为V,ΔV=m3-×13=(m3-1),∴, ∴m2+m+1=7, ∴m=2或m=-3(舍去). 解析 =4t+3+2Δt. 当t=3,且Δt趋于0时,趋于15.所以当t=3 s时球的瞬时速度为15 m/s. =4+Δt, 解析 当时间t从30 min变到70 min时,血液中药物的浓度c相对于时间t的平均变化率为=-0.002 mg/(mL·min). s=f(t)=求: (2)求物体的初速度v0,即求物体在t=0时的瞬时速度. ∵==3Δt-18, 当Δt趋于0时,3Δt-18趋于-18. ∴物体的初速度为-18 m/s. (3)∵==3Δt-12, 当Δt趋于0时,3Δt-12趋于-12. ∴物体在t=1时的瞬时速度为-12 m/s. $$