精品解析：广东省普宁部分学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

2023-2024学年度广东省高一年级下学期期中考试 数学试卷 2024.4 一、单选题（每小题只有一个正确选项，每小题5分，共40分） 1. 若复数z满足，i是虚数单位，则在复平面内z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在复平面内，复数的共轭复数的虚部为 （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 一个圆台上、下底面的半径分别为2和3，高为，则它的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的倍，则它的侧面积扩大为原来的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 8. 如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 二、多选题（每小题有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9. 如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中正确的是（ ） A. 圆锥轴截面为直角三角形 B. 圆锥的表面积大于球的表面积的一半 C. 圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为 D. 圆锥的体积与球的体积之比为 10. 下列说法正确的是（　　） A. B. 若，则与的夹角是钝角 C. 向量能作为平面内所有向量一个基底 D. 若，则在上的投影向量为 11. 已知复数，且为纯虚数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点在实轴上 D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知向量，的夹角为，则________. 13. 已知圆锥的底面积是，侧面积是，则其体积是__________. 14. 已知复数，则的虚部为__________. 四、解答题 15. 已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 16. 已知复数，且纯虚数. （1）求复数； （2）若，求复数及. 17. 已知非零向量不共线． （1）如果，求证：A，B，D三点共线； （2）若和是方向相反的两个向量，试确定实数k的值． 18. 已知向量满足． （1）求向量与夹角的余弦值； （2）求的值． 19. （1）记是虚数单位，若复数满足，求； （2）若复数． ①若复数为纯虚数，求实数的值； ②若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度广东省高一年级下学期期中考试 数学试卷 2024.4 一、单选题（每小题只有一个正确选项，每小题5分，共40分） 1. 若复数z满足，i是虚数单位，则在复平面内z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算求出复数z即可得出复数对应的点坐标，从而得出在复平面内z对应的点所在象限. 【详解】由题意复数，所以在复平面内z对应的点为，在第二象限. 故选：B. 2. 在复平面内，复数的共轭复数的虚部为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求复数，再根据共轭复数以及虚部的定义分析求解. 【详解】根据题意可知， 则，所以其虚部为. 故选：B. 3. 已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】借助单位向量与反向向量的定义计算即可得. 【详解】. 故选：B. 4. 已知满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】假设，利用复数的除法运算与共轭复数的定义，结合复数相等的性质得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】依题意，设，则， 因为， 所以由，可得， 则， 所以，解得， 所以. 故选：A. 5. 一个圆台的上、下底面的半径分别为2和3，高为，则它的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆台的表面积公式计算． 【详解】由题意得圆台的母线长为， 则圆台的表面积为， 故选：A． 6. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用在上的投影向量的定义求解. 【详解】因为， 所以在上的投影向量的坐标为． 故选：D． 7. 已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的倍，则它的侧面积扩大为原来的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆柱体积公式可求得，代入圆柱侧面积公式即可求得结果. 【详解】设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，侧面积为； 设体积扩大倍后的底面半径为，则，， 其侧面积变为，，即侧面积扩大为原来的倍. 故选：B. 8. 如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算得，再利用三点共线结论得系数和为1，即，再利用基本不等式求出最值即可. 【详解】因为是的中点，且， 所以. 因为三点共线，所以， 即，所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：A. 二、多选题（每小题有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9. 如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中正确的是（ ） A. 圆锥的轴截面为直角三角形 B. 圆锥的表面积大于球的表面积的一半 C. 圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为 D. 圆锥的体积与球的体积之比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合条件由圆锥以及球的表面积体积公式代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】 对于A，设球半径为，则如图所示：， 所以，故A正确； 对于B，圆锥的表面积为， 球的表面积为，所以，故B正确； 对于C，圆锥的母线长为，底面周长为， 所以圆锥侧面展开图中圆心角的弧度数为，故C错误； 对于D，，，，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（　　） A. B. 若，则与的夹角是钝角 C. 向量能作为平面内所有向量的一个基底 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：直接计算判断；对于B：当与反向，举反例判断；对于C：判断是否平行即可；对于D：直接计算投影向量即可. 【详解】，A正确； 当与反向时，，此时与的夹角为，B不正确； 因为，所以，所以向量不能作为基底，C不正确； 在上的投影向量为，D正确. 故选：AD. 11. 已知是复数，且为纯虚数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点在实轴上 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先设，代入中化简，根据为纯虚数得出：，且即可判断选项A、C；由可判断选项B；根据复数的几何意义可判断选项D. 【详解】设， 则. 因为为纯虚数， 所以且，即且. 因此，故A正确；，故B正确； 因为在复平面内对应的点为， 所以在复平面内对应的点不在实轴上，故C错误； 因为表示圆上的点到点的距离， 则最大距离为， 即，故D错误. 故选：AB. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知向量，的夹角为，则________. 【答案】2. 【解析】 【分析】 根据向量数量积的定义,可直接求得. 【详解】设向量,的夹角为 由向量数量积定义可知 代入可得 故答案为: 【点睛】本题考查了向量数量积的定义及求法,属于基础题. 13. 已知圆锥底面积是，侧面积是，则其体积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的底面积与侧面积求底面半径和母线长，勾股定理求圆锥的高，体积公式计算体积. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 由圆锥的底面积是，侧面积是，有，解得， 则圆锥的高， 所以圆锥体积为. 故答案：. 14. 已知复数，则的虚部为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的值的周期性特点，将原式化简并重新按照四项为一组进行分组求和即得. 【详解】 ， 则的虚部为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标形式可求参数的值或者利用共线向量定理可求参数的值； （2）利用向量垂直的坐标形式可求参数的值. 【小问1详解】 方法一：由题意得，，， ∵，∴， 解得. 方法二：由题意得，，不平行，设， 则，∴，解得. 【小问2详解】 由题意得，， ∵，∴， 解得. 16. 已知复数，且为纯虚数. （1）求复数； （2）若，求复数及. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据共轭复数的定义和复数的乘法运算，结合纯虚数的定义，即可求得结果； （2）根据（1）中所求，结合复数的除法运算，求得，再求及即可. 【小问1详解】 ，则，， 又其纯虚数，故，解得，故. 【小问2详解】 ， 则，. 17. 已知非零向量不共线． （1）如果，求证：A，B，D三点共线； （2）若和是方向相反的两个向量，试确定实数k的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理用分别表示出，有，且都过点B，进而可证A，B，D三点共线； （2）根据已知条件有，求得，解出k即可. 【小问1详解】 , ， 所以共线，且有公共点，所以A，B，D三点共线 【小问2详解】 因为和是方向相反两个向量， 所以存在实数，使，且 又不共线，所以，解得，或， 因为，所以，所以 18. 已知向量满足． （1）求向量与夹角的余弦值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可得，再根据数量积的运算律求出，再根据夹角的计算公式计算即可； （2）根据结合数量积的运算律计算即可. 【小问1详解】 设与的夹角为，因为， 所以， 又，所以， 所以， 所以向量与夹角的余弦值为； 【小问2详解】 由 ， 所以． 19. （1）记是虚数单位，若复数满足，求； （2）若复数． ①若复数为纯虚数，求实数的值； ②若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2）① ；② ． 【解析】 【分析】（1）设，根据，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）①根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解；②根据复数在复平面内对应的点在第二象阳，列出不等式组，即可求得实数的取值范. 【详解】解：（1）设且，则， 因为，所以， 即，解得或，所以或． （2）由复数， ①因为复数为纯虚数，所以，解得； ②因为复数在复平面内对应的点在第二象阳，可得， 解得，即，所以实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$