第一章 预备知识（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（北师大版2019必修第一册）

第一章 预备知识（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用交集与补集的概念计算即可. 【详解】由题意可知，所以. 故选：D 2．命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得结论. 【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题可知： 命题“”的否定为“”. 故选：B 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合交并补运算，结合选项即可逐一求解. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B，或，所以，故B错误， 对于C，，但，故C错误， 对于D，，故D正确， 故选：D 4．已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法即可判断A，利用不等式的性质即可判断B，举出反例即可判断CD. 【详解】对于A，， 因为，所以， 所以， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：B. 5．已知集合，则“”是“集合M仅有1个真子集”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】由集合M仅有1个真子集的条件，结合充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】集合仅有1个真子集，即集合M只有一个元素， 若，方程等价于，解得，满足条件； 若，方程要满足，有， 则集合仅有1个真子集，有或， 则时满足集合M仅有1个真子集， 集合M仅有1个真子集时不一定有， 所以“”是“集合M仅有1个真子集”的充分不必要条件. 故选：B. 6．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对集合分和讨论即可得答案. 【详解】对集合M，当时，， 当时，， 所以， 所以. 故选：A 7．已知，，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用“1”的代换求得的最小值，再由求解. 【详解】解：设， 则，解得， 则， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2， 又因为对，，且恒成立， 所以， 故选：B 8．以max M表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】设，根据定义，得到，两次运用基本不等式，再运用不等式性质，得到,开方即可. 【详解】设，则.显然． ，当且仅当取得等号. ，当且仅当取得等号. 两式相乘，即，则. 此时，前面都要成立，则，，则. 的最小值为2,当且仅当取得最小值. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据幂函数的值域得出集合A，解一元二次不等式得集合B，按照集合间的交、并、补混合运算逐一判断即可. 【详解】∵，， ∴，即A正确；，即B正确； 或，即C错误； 或，即D错误； 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了集合的表示以及集合间的混合运算，属于基础题. 10．已知关于的一元二次不等式的解集为{或}，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】利用一元二次不等式、二次函数、一元二次的关系求参数一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，所以且，，故A正确，B错误； 不等式，故C正确； 不等式， 即，所以或，故D错误. 故选：AC 11．已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，代入 ，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的妙用得出D. 【详解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立， 即的最大值是，故A不正确； 对于B，∵，∴，， 所以，故B正确； 对于C，∵，且，∴，即 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，∵， 即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误． 故选：BC． 2、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．命题，命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对参数进行分类讨论，合理转化后利用集合法求解即可. 【详解】由题意得，解得， 当时，由题意得，解得， 由于是的充分不必要条件，则可推出， 故得，解得， 当时，是空集，不符合要求，故排除， 当时，由题意得，解得， 此时不满足题意，故排除， 故答案为：． 13．定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 . 【答案】 【分析】根据新定义求出集合中的所有元素，即可得解. 【详解】，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 所以，所以集合中所有元素之和为. 故答案为： 14．研究问题：“已知关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(1，2)，解关于x的不等式cx2－bx＋a＞0”，有如下解法：由ax2－bx＋c＞0⇒a－b＋c＞0.令y＝，则y∈，所以不等式cx2－bx＋a＞0的解集为.类比上述解法，已知关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x的不等式＋＜0的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意，将替换x可得所求的方程，并且可知∈(－2，－1)∪(2，3)，从而求出的解集. 【详解】关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)， 用－替换x，不等式可以化为＋＝＋＜0， 因为－∈(－2，－1)∪(2，3)，所以＜x＜1或－＜x＜－， 即不等式＋＜0的解集为∪ 故答案为： ∪ 【点睛】本题考查整体代换的思想，理解题意，将方程问题和不等式问题进行转化是解题的关键，本题属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知全集，集合，， (1)分别求； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) (3) 【分析】（1）先利用一元二次不等式和绝对值不等式解得集合，根据集合的运算的定义求出结果； （2）对集合分类讨论参数的取值范围； （3）若，对集合分类讨论参数的取值范围； 【详解】（1）集合 或， 或 （2）， ①当时，， ②当时，则， 解得， 综上所述，的取值范围为； （3）若， ①当时，， ②当时，或， 或， 综上所述，若，则的取值范围为， 所以若，则的取值范围． 16．（15分） 已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出； （2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可. 【详解】（1）因为，又， 所以. （2）或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 17．（15分） 为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】(1)4米，28800元 (2) 【分析】(1)建立函数模型，利用基本不等式求最小值;(2)根据不等式的恒成立问题求参数的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元， 则 . 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元. （2）由题意可得，对任意的恒成立. 即，从而恒成立， 令， 又在为单调增函数，故.所以. 18．（17分） 设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)4 (3)答案见解析 【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解； （2）变形为，利用基本不等式求解可得； （3）整理得，根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可. 【详解】（1）由恒成立得：对一切实数x恒成立. 当时，不等式为，不合题意； 当时，，解得：； 综上所述：实数m的取值范围为． （2），， ， （当且仅当，即时取等号），的最小值为4． （3）由得：； ①当时，，解得：，即不等式解集为； ②当时，令，解得：，； 1）当，即时，不等式解集为； 2）当，即时，不等式解集为； 3）当，即时，不等式可化为， ，不等式解集为； 4）当，即时，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 19．（17分） 已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 【答案】(1)，，， (2)4 (3)证明见详解 【分析】根据条件，可列出（1）（2）中所有满足条件的；对（3），分情况讨论，寻找使是倍数的集合. 【详解】（1）所有可能的集合为：，，，. （2）不妨设：，由于，且， 所以. 由题意，是12的倍数时，或. 当时，因为， 所以当且仅当时，成立，故符合题意. 当时， 若，则，故或符合题意； 若，则，故符合题意； 若，则，无解. 综上，所有可能的集合为，，，. 故满足条件的集合的个数为. （3）（1）当时，设，则 ， 这个数取个值，故其中有两个数相等. 又因为，于是， 从而互不相等，互不相等， 所以存在，使得. 又因，故. 则，则，结论成立. （2）当时，不妨设， 则（），在这个数中任取3个数，. 若与都是的倍数，， 这与矛盾. 则至少有2个数，它们之差不是的倍数，不妨设不是的倍数. 考虑这个数：，，，，，. ①若这个数除以的余数两两不同，则其中必有一个是的倍数，又，且均不为， 故存在，使得. 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立. ②若这个数除以的余数中有两个相同，则它们之差是的倍数，又，均不是的倍数， 故存在，使得. 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立. 综上，存在非空集合，使得是的倍数. 【点睛】关键点点睛：如何找到非空集合，使得是的倍数是问题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 预备知识（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，则“”是“集合M仅有1个真子集”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 7．已知，，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．以max M表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 10．已知关于的一元二次不等式的解集为{或}，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 11．已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．命题，命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 ． 13．定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 . 14．研究问题：“已知关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(1，2)，解关于x的不等式cx2－bx＋a＞0”，有如下解法：由ax2－bx＋c＞0⇒a－b＋c＞0.令y＝，则y∈，所以不等式cx2－bx＋a＞0的解集为.类比上述解法，已知关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x的不等式＋＜0的解集为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知全集，集合，， (1)分别求； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 16．（15分）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17．（15分）为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 18．（17分）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式． 19．（17分） 已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$