2024年贵州省黔东南州榕江县平永镇初级中学中考数学二模试卷

2024年贵州省黔东南州榕江县平永中学中考数学二模试卷 一、选择题：以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确的，每小题3分，共36分。 1．（3分）如果（﹣2024）×□＝1，那么“□”内应填的实数是（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 2．（3分）如图，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）一个不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中摸出3个球（　　） A．至少有1个球是白球 B．至少有1个球是红球 C．至少有2个球是白球 D．至少有2个球是红球 4．（3分）如图，若AC是∠BAD的平分线，且AB∥CD，则∠BAC的度数为（　　） A．70° B．45° C．35° D．30° 5．（3分）小美将某服饰店的促销活动告诉小明后，小明假设某一商品的定价为x元，并列出关系式为0.7（5x﹣100），则下列何者可能是小美告诉小明的内容？（　　） A．买五件等值的商品可减100元，再打3折，最后不到1000元 B．买五件等值的商品可打3折，再减100元，最后不到1000元 C．买五件等值的商品可减100元，再打7折，最后不到1000元 D．买五件等值的商品可打7折，再减100元，最后不到1000元 6．（3分）若二次函数y＝a（x+b）2+c（a≠0）的图象，经过平移后可与y＝（x+3）2的图象完全重合，则a，b，c的值可能为（　　） A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0 C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2 7．（3分）某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制作如下表格：对于不同的x，下列统计量中不会发生改变的是（　　） 年龄（岁） 16 15 14 13 12 人数 2 9 8﹣x x 1 A．中位数，众数 B．平均数，方差 C．平均数，中位数 D．众数，方差 8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是（　　） A．4 B．2 C．5 D．4 9．（3分）如图所示，直线l1：y＝x+6与直线l2：y＝﹣x﹣2交于点P（﹣2，3），不等式x﹣2的解集是（　　） A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2 10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，以下结论错误的是（　　） A．∠ABP＝∠A B．AD＝CD C．∠PBC＝∠ACD D．∠BPC＝118° 11．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边CD，EF与⊙O相切于点C，F，CO，则∠COF的度数是（　　） A．120° B．144° C．150° D．160° 12．（3分）无字证明是数学证明中的一道亮丽的风景线，这种亮丽甚至不需要用语言来描述，这种证明方式被认为比严格的数学证明更优雅、更有条理．借助形的几何直观性来表示数之间的关系，这种证明方法被称为数形结合．如图，请利用数形结合思想猜测，的值最接近的有理数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：每小题4分，共16分。 13．（4分）分解因式：a2+4（a﹣1）+8＝　 　． 14．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的根是 　 　． 15．（4分）有两组相同的纸牌，它们的牌面数分别是1，2，3．从每组牌中各随机摸出一张，这为一次试验．小明做了200次试验后发现和为2的情况出现了23次，据此估计牌面数字的和是2的概率是 　 　（精确到0.1）． 16．（4分）在数学探究活动中，小美将矩形ABCD纸片先对折，展开后折痕是EF，连接AM，过点M作MN⊥AM交CD于点N．将△MCN沿MN翻折，已知矩形ABCD中AB＝4，BC＝6　 　． 三、解答题：本大题9小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、 17．（12分）（1）计算：（﹣1）2023+（π﹣3.14）0+2cos30°+； （2）先化简，再求值：（x﹣2）2+（x+2）（x﹣2）﹣2x（x+1），其中． 18．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，﹣5），C（5，n），交y轴于点B （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接OA，OC，求△AOC的面积． 19．（10分）某校近期对七、八年级学生进行了“新型冠状病毒防治知识”线上测试，为了解他们的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了50名学生的成绩（百分制）（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a、七年级的频数分布直方图如图（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100） b、七年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：80；80.5；81；82；83；84；84；86；86.5；88；89 c、七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.3 m 90 八年级 87.2 85 91 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为 　 　； （2）在随机抽样的学生中，七年级小张同学与八年级小李同学的成绩都为84分，请问谁在自己的年级排名更靠前？请说明理由； （3）七年级学生中，有2位女同学和1位男同学获得满分，这3位同学被授予“疫情防控标兵”称号，求两名女生不相邻的概率． 20．（10分）如图，在▱ABCD中，AC＝BC，M，CD的中点． （1）求证：四边形AMCN是矩形； （2）若，BC＝2，求四边形ABCD的面积． 21．（10分）镇远古镇位于贵州省黔东南苗族侗族自治州镇远县，河水蜿蜒，以“S”形穿城而过．为助力乡村振兴，该河旁有一座小山，山高BC＝80m（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C，A与河岸E，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°． （1）求山脚A到河岸E的距离； （2）试求此处河宽EF（结果精确到0.1m．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）． 22．（10分）小芳早上7：50出门赶到距家1200m的学校上学．已知小芳的速度是80m/min，她刚出门5min，妈妈想起昨晚班主任在家长群发通知，今天学生在家上网课，网课8：20开始，并且在途中追上了她，小芳立即和妈妈以120m/min的速度走回家 （1）妈妈追上小芳用了多长时间？ （2）小芳是否能赶在网课开始前进入网课直播间上课？ 23．（12分）如图，以等腰△ABC的一腰AC为直径作⊙O，交底边BC于点D，过点D作腰AB的垂线，垂足为E （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若∠F＝30°，，求⊙O的半径； （3）在（2）条件下，求阴影部分的面积S． 24．（12分）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 25．（12分）如图①，将△ABC沿中位线EH折叠，使点A落在边BC上的点D处，HG折叠，使点B，折痕形成一个四边形EFGH．小刚在探索这个问题时发现四边形EFGH是矩形． 小刚是这样想的：→EF⊥FG，HG⊥FG，HG⊥EH→矩形EFGH （1）请参考小刚的思路写出证明过程； （2）连接AD，当AD＝BC时，写出线段EF，CG的数量关系，并说明理由； （3）如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，DC＝10，E为AB的中点，把四边形ABCD折叠成如图②所示的正方形EFGH，D落在点M处，顶点A，求BC的长． 2024年贵州省黔东南州榕江县平永中学中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确的，每小题3分，共36分。 1．（3分）如果（﹣2024）×□＝1，那么“□”内应填的实数是（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案． 【解答】解：∵（﹣2024）×（﹣）＝1， ∴“□”内应填的实数是﹣． 故选：C． 【点评】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义． 2．（3分）如图，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：从上边看三个等宽的矩形， 故选：B． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，把从上面看到的图形画出来是解题关键． 3．（3分）一个不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中摸出3个球（　　） A．至少有1个球是白球 B．至少有1个球是红球 C．至少有2个球是白球 D．至少有2个球是红球 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A、至少有1个球是白球是随机事件； B、摸出3个球，可以是5个红球2个白球，则至少有1个球是红球是必然事件； C、至少有4个球是白球是随机事件； D、至少有2个球是红球是随机事件； 故选：B． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4．（3分）如图，若AC是∠BAD的平分线，且AB∥CD，则∠BAC的度数为（　　） A．70° B．45° C．35° D．30° 【分析】由平行线的性质推出∠D+∠BAD＝180°，求出∠BAD＝70°，由角平分线定义得到∠BAC＝∠BAD＝35°． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠D+∠BAD＝180°， ∵∠D＝110°， ∴∠BAD＝70°， ∵AC是∠BAD的平分线， ∴∠BAC＝∠BAD＝35°． 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠D+∠BAD＝180°． 5．（3分）小美将某服饰店的促销活动告诉小明后，小明假设某一商品的定价为x元，并列出关系式为0.7（5x﹣100），则下列何者可能是小美告诉小明的内容？（　　） A．买五件等值的商品可减100元，再打3折，最后不到1000元 B．买五件等值的商品可打3折，再减100元，最后不到1000元 C．买五件等值的商品可减100元，再打7折，最后不到1000元 D．买五件等值的商品可打7折，再减100元，最后不到1000元 【分析】根据0.7（5x﹣100）＜1000，可以理解为买五件减100元，再打7折得出总价小于1000元． 【解答】解：由关系式可知： 0.7（8x﹣100）＜1000， 由5x﹣100，得出五件商品减100元， 故可以理解为：买五件等值的商品可减100元，再打7折． 故选：C． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据已知最后打3折，再得出不等关系是解题关键． 6．（3分）若二次函数y＝a（x+b）2+c（a≠0）的图象，经过平移后可与y＝（x+3）2的图象完全重合，则a，b，c的值可能为（　　） A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0 C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2 【分析】根据二次函数的平移性质得出a不发生变化，即可判断a＝1． 【解答】解：∵二次函数y＝a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y＝（x+3）5的图形完全叠合， ∴a＝1． 故选：A． 【点评】此题主要考查了二次函数的平移性质，根据已知得出a的值不变是解题关键． 7．（3分）某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制作如下表格：对于不同的x，下列统计量中不会发生改变的是（　　） 年龄（岁） 16 15 14 13 12 人数 2 9 8﹣x x 1 A．中位数，众数 B．平均数，方差 C．平均数，中位数 D．众数，方差 【分析】根据频数表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为8，即可知出现次数最多的数据及第10、11个数据的平均数，可得答案． 【解答】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为8﹣x+x＝8， 故该组数据的众数为15岁， 总数为20，按大小排列后，15， 则中位数为：岁， 即对于不同的x，统计量不会发生改变的是众数和中位数． 故选：A． 【点评】本题考查了频数分布表及统计量的选择，掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是关键． 8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是（　　） A．4 B．2 C．5 D．4 【分析】由两点距离公式可求AC的长，由矩形的性质可求OB＝AC＝5，即可求解． 【解答】解：连接AC， ∵点A（4，﹣2），3）， ∴AC＝＝5， ∵四边形ABCO是矩形， ∴OB＝AC＝5， ∴点B的横坐标为6， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 9．（3分）如图所示，直线l1：y＝x+6与直线l2：y＝﹣x﹣2交于点P（﹣2，3），不等式x﹣2的解集是（　　） A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2 【分析】利用函数图象写出直线l1：y＝x+6与在直线l2：y＝﹣x﹣2上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：当x＞﹣2时，x+6＞﹣， 所以不等式x+2＞﹣． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝3/2x+6的值大于y＝﹣5/2 x﹣2的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝3/2x+6在直线y＝﹣5/2 x﹣2上方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，以下结论错误的是（　　） A．∠ABP＝∠A B．AD＝CD C．∠PBC＝∠ACD D．∠BPC＝118° 【分析】利用基本作图得到BP平分∠ABC，则可对B选项进行判断；利用基本作图可得到D点为AC的垂直平分线与AB的交点，则根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，所以可对B选项进行判断；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠ACB＝72°，则∠PBC＝36°，接着利用DA＝DC得到∠ACD＝∠A＝36°，可对A、C选项进行判断；根据三角形内角和定理计算出∠BPC＝108°，则可对D选项进行判断． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝×（180°﹣36°）＝72°， ∴∠PBC＝∠ABC＝36°， 由作图痕迹得到BP平分∠ABC，D点为AC的垂直平分线与AB的交点， ∴∠ABP＝∠CBP＝36°，所以A选项不符合题意； ∴DA＝DC，所以B选项不符合题意； ∵DA＝DC， ∴∠ACD＝∠A＝36°， ∴∠PBC＝∠ACD＝36°， 所以C选项不符合题意； ∵∠PBC＝36°，∠ACD＝36°， ∴∠PCB＝36°， ∴∠BPC＝180°﹣36°﹣36°＝108°， ∴D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质． 11．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边CD，EF与⊙O相切于点C，F，CO，则∠COF的度数是（　　） A．120° B．144° C．150° D．160° 【分析】根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案． 【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边CD，EF与⊙O相切于点C，F， ∴∠OFE＝90°＝∠OCD， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠D＝∠E＝＝120°， 在五边形OCDEF中， ∠COF＝（5﹣2）×180°﹣90°×6﹣120°×2＝120°， 故选：A． 【点评】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 12．（3分）无字证明是数学证明中的一道亮丽的风景线，这种亮丽甚至不需要用语言来描述，这种证明方式被认为比严格的数学证明更优雅、更有条理．借助形的几何直观性来表示数之间的关系，这种证明方法被称为数形结合．如图，请利用数形结合思想猜测，的值最接近的有理数为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据所给图形，发现阴影部分面积变化的规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 当n越来越大时，阴影部分的面积越来越接近正方形面积的， 所以当n无穷大时，的值最接近． 故选：A． 【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现阴影部分面积变化的规律是解题的关键． 二、填空题：每小题4分，共16分。 13．（4分）分解因式：a2+4（a﹣1）+8＝　（a+2）2　． 【分析】先把括号去掉，然后合并同类项，最后利用十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：原式＝a2+4a﹣3+8 ＝a2+4a+4 ＝（a+2）3， 故答案为：（a+2）2． 【点评】本题主要考查了分解因式，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法． 14．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的根是 　x1＝3，x2＝﹣1　． 【分析】根据因式分解法可以解答此方程． 【解答】解：x2﹣2x﹣2＝0， （x﹣3）（x+2）＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣1， 故答案为：x3＝3，x2＝﹣8． 【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是会用因式分解法解方程． 15．（4分）有两组相同的纸牌，它们的牌面数分别是1，2，3．从每组牌中各随机摸出一张，这为一次试验．小明做了200次试验后发现和为2的情况出现了23次，据此估计牌面数字的和是2的概率是 　0.1　（精确到0.1）． 【分析】根据题意结合概率的计算方法进行解答即可． 【解答】解：根据题意得： ≈0.1， 答：估计牌面数字和是4的概率约是0.1； 故答案为：4.1． 【点评】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键在于掌握概率的计算方法及相关知识． 16．（4分）在数学探究活动中，小美将矩形ABCD纸片先对折，展开后折痕是EF，连接AM，过点M作MN⊥AM交CD于点N．将△MCN沿MN翻折，已知矩形ABCD中AB＝4，BC＝6　4或　． 【分析】连接CC′交MN于点G，由折叠可得，MN是CC′的垂直平分线，从而可得∠MGC＝90°，CN＝C′N，先设BM＝x，则CM＝BC﹣CM＝6﹣x，根据矩形的性质可得∠B＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝4，再根据同角的余角相等可得∠BAM＝∠CMN，从而证明△ABM∽△MCN，进而利用相似三角形的性质可得CN＝C′N＝，然后求出FN的长，再根据同角的余角相等可得∠C′CF＝∠CMN，从而可得∠C′CF＝∠BAM，进而可证明△ABM∽△CFC′，利用相似三角形的性质可求出FC′＝x，最后在Rt△FNC′中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：连接CC′交MN于点G， 由折叠得： MN是CC′的垂直平分线， ∴∠MGC＝90°，CN＝C′N， 设BM＝x，则CM＝BC﹣BM＝6﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝4， ∴∠BAM+∠AMB＝90°， ∵MN⊥AM， ∴∠AMN＝90°， ∴∠AMB+∠CMN＝90°， ∴∠BAM＝∠CMN， ∴△ABM∽△MCN， ∴＝， ∴＝， ∴CN＝， ∴CN＝C′N＝， 由折叠得： CF＝CD＝2， ∴FN＝CF﹣CN＝2﹣＝， ∵∠BCC′+∠C′CF＝90°，∠BCC′+∠CMN＝90°， ∴∠C′CF＝∠CMN， ∴∠C′CF＝∠BAM， ∵∠B＝∠CFC′＝90°， ∴△ABM∽△CFC′， ∴＝， ∴＝， ∴FC′＝x， 在Rt△FNC′中，C′F2+FN8＝C′N2， ∴（x）2+（）2＝（）2， ∴x＝4或x＝， ∴BM的长为：4或， 故答案为：4或． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题：本大题9小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、 17．（12分）（1）计算：（﹣1）2023+（π﹣3.14）0+2cos30°+； （2）先化简，再求值：（x﹣2）2+（x+2）（x﹣2）﹣2x（x+1），其中． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）（﹣1）2023+（π﹣3.14）5+2cos30°+ ＝﹣1+1+8×+﹣1﹣2 ＝﹣1+1++﹣1﹣6 ＝﹣1； （2）（x﹣4）2+（x+2）（x﹣3）﹣2x（x+1） ＝x4﹣4x+4+x6﹣4﹣2x3﹣2x ＝﹣6x， 当时，原式＝﹣6×． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，实数的运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，﹣5），C（5，n），交y轴于点B （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接OA，OC，求△AOC的面积． 【分析】（1）先将点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，进而可求出点C坐标，再用待定系数法即可求出一次函数解析式． （2）求出点D的坐标，将△AOC的面积转化为△COD与△AOD的面积之和即可解决问题． 【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得， m＝﹣2×（﹣5）＝10， 所以反比例函数解析式为． 将点C坐标代入反比例函数解析式得， n＝2， 所以点C的坐标为（5，7）， 将A，C两点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数解析式为y1＝x﹣3． （2）将y＝7代入一次函数解析式得， x＝3， 所以点D的坐标为（3，2）， 所以S△AOC＝S△COD+S△AOD＝． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． 19．（10分）某校近期对七、八年级学生进行了“新型冠状病毒防治知识”线上测试，为了解他们的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了50名学生的成绩（百分制）（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a、七年级的频数分布直方图如图（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100） b、七年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：80；80.5；81；82；83；84；84；86；86.5；88；89 c、七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.3 m 90 八年级 87.2 85 91 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为 　82　； （2）在随机抽样的学生中，七年级小张同学与八年级小李同学的成绩都为84分，请问谁在自己的年级排名更靠前？请说明理由； （3）七年级学生中，有2位女同学和1位男同学获得满分，这3位同学被授予“疫情防控标兵”称号，求两名女生不相邻的概率． 【分析】（1）根据中位数的意义，结合七年级的数据，找出从小到大排列后的第25、26为的两个数即可； （2）根据七、八年级的中位数，与84分的关系可得答案； （3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中两名女生不相邻的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）由七年级的频数分布直方图可知，将七年级50名学生的成绩从小到大排列， ∴中位数＝82（分）， 即m＝82， 故答案为：82； （2）小张同学在七年级的排名靠前，理由如下： 84分在七年级中位数82分以上，而在八年级中位数85分以下， 所以小张同学在七年级的排名靠前； （3）画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中两名女生不相邻的结果有4种， ∴两名女生不相邻的概率＝． 【点评】本题考查了树状图法求概率以及频数分布直方图、中位数等知识，利用树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 20．（10分）如图，在▱ABCD中，AC＝BC，M，CD的中点． （1）求证：四边形AMCN是矩形； （2）若，BC＝2，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由已知条件得出AM∥CN，AM＝CN，证出四边形AMCN是平行四边形，由等腰三角形的性质得出∠CMA＝90°，即可得出四边形AMCN是矩形； （2）根据，BC＝2，即可得到CM和BM的长，再根据等腰三角形的性质即可得到AB的长，进而得出▱ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵M、N分别是AB和CD的中点， ∴AM＝BM，AM∥CN， ∴四边形AMCN是平行四边形， 又∵AC＝BC，AM＝BM， ∴CM⊥AB， ∴∠CMA＝90°， ∴四边形AMCN是矩形． （2）解：∵， ∴∠B＝60°， ∵BC＝2，∠BMC＝90°， ∴∠BCM＝30°， ∴Rt△BCM中，BM＝，CM＝， ∵AC＝BC，CM⊥AB， ∴AB＝4BM＝2， ∴▱ABCD的面积为AB×CM＝2×＝2． 【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，由等腰三角形的性质得出CM⊥AB是解决问题的关键． 21．（10分）镇远古镇位于贵州省黔东南苗族侗族自治州镇远县，河水蜿蜒，以“S”形穿城而过．为助力乡村振兴，该河旁有一座小山，山高BC＝80m（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C，A与河岸E，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°． （1）求山脚A到河岸E的距离； （2）试求此处河宽EF（结果精确到0.1m．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）． 【分析】（1）根据题意可得：BC⊥AC，BD∥CF，从而可得∠DBE＝∠BEC＝45°，再根据已知易得：AC＝0.7BC＝56m，然后在Rt△BEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）先利用平行线的性质可得∠DBF＝∠BFC＝31°，从而可得在Rt△BFC中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：BC⊥AC，BD∥CF， ∴∠DBE＝∠BEC＝45°， ∵坡面AB的坡度i＝1：0.4， ∴＝， ∵BC＝80m， ∴AC＝0.7BC＝56（m）， 在Rt△BEC中，CE＝， ∴AE＝CE﹣AC＝80﹣56＝24（m）， ∴山脚A到河岸E的距离为24m； （2）∵BD∥CF， ∴∠DBF＝∠BFC＝31°， 在Rt△BFC中，BC＝80m， ∴CF＝≈≈133.33（m）， ∵CE＝80m， ∴EF＝CF﹣CE＝133.33﹣80≈53.3（m）， ∴此处河宽EF约为53.8m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 22．（10分）小芳早上7：50出门赶到距家1200m的学校上学．已知小芳的速度是80m/min，她刚出门5min，妈妈想起昨晚班主任在家长群发通知，今天学生在家上网课，网课8：20开始，并且在途中追上了她，小芳立即和妈妈以120m/min的速度走回家 （1）妈妈追上小芳用了多长时间？ （2）小芳是否能赶在网课开始前进入网课直播间上课？ 【分析】（1）设妈妈追上小芳用了x min，利用路程＝速度×时间，结合妈妈追上小芳时两人的路程相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用路程＝速度×时间，可求出妈妈追上小芳时离家的距离，利用时间＝路程÷速度，可求出小芳返回家所用时间，将各时间段相加，再与30min比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设妈妈追上小芳用了x min， 根据题意得：180m＝80（x+5）， 解得：m＝4． 答：妈妈追上小芳用了8min； （2）妈妈追上小芳时离家的距离为80×（5+4）＝720（m）， 小芳返回家所用时间为720÷120＝8（min）， ∵5+4+2+5＝20（min），8：20﹣6：50＝30（min）， ∴小芳能赶在网课开始前进入网课直播间上课． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 23．（12分）如图，以等腰△ABC的一腰AC为直径作⊙O，交底边BC于点D，过点D作腰AB的垂线，垂足为E （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若∠F＝30°，，求⊙O的半径； （3）在（2）条件下，求阴影部分的面积S． 【分析】（1）连接OD，AD，证点D是BC的中点，由三角形中位线定理证OD∥AB，可推出∠ODF＝90°，即可得到结论； （2）连接OD，证明∠DAC＝30°，可得结论； （3）连接OH，DH，CH．证明DH是△ABC的中位线，△DOH是等边三角形，可得结论． 【解答】（1）证明：如图，连接OD， ∵AC是直径， ∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC， 又AB＝AC， ∴BD＝CD， 又AO＝CO， ∴OD∥AB， 又FE⊥AB， ∴FE⊥OD， ∵OD是半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：在Rt△ODF中，∠F＝30°， ∴∠DOC＝90°﹣30°＝60°， ∵OA＝OD， ∴， 在Rt△ADC中， 设CD＝x，则AC＝6x， ∴x＝6， ∴AC＝2， ∴r＝1， （3）解：连接OH，DH． ∵AB＝AC，∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AC是直径， ∴∠AHC＝90°， ∴CH⊥AB， ∴AH＝BH， ∵BD＝CD， ∴DH∥AC，DH＝， ∴OH＝OD＝DH， ∴△DOH是等边三角形， ∵DH∥AC， ∴S△ADH＝S△ODH， ∴S△ADE＝S四边形OHED， Rt△ADE中，，， ∴． 【点评】本题属于圆综合题，考查了圆的有关性质，切线的判定与性质，解直角三角形等，解题关键是能够根据题意作出适当的辅助线，并熟练掌握解直角三角形的方法． 24．（12分）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【分析】（1）由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标； （3）根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案． 【解答】解：（1）如图1，由题意得A（2， 设y＝a（x﹣2）2+2， 又∵抛物线过点（2，1.5）， ∴5.5＝4a+6， ∴a＝﹣， ∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2， 当y＝0时，4＝﹣4+2， 解得x1＝2，x2＝﹣2（舍去）， ∴喷出水的最大射程OC为5m； （2）∵对称轴为直线x＝2， ∴点（0，7.5）的对称点为（4， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移3m得到的， ∴点B的坐标为（2，0）； （3）∵EF＝6.5， ∴点F的纵坐标为0.2， ∴0.5＝﹣（x﹣2）4+2， 解得x＝2±5， ∵x＞0， ∴x＝8+2， 当x＞4时，y随x的增大而减小， ∴当2≤x≤6时，要使y≥5.5， 则x≤2+5， ∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，y＝1.5＞7.5， ∴当0≤x≤8时，要使y≥0.5， ∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为2+4﹣3＝6， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB， ∴d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是8≤d≤2． 【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． 25．（12分）如图①，将△ABC沿中位线EH折叠，使点A落在边BC上的点D处，HG折叠，使点B，折痕形成一个四边形EFGH．小刚在探索这个问题时发现四边形EFGH是矩形． 小刚是这样想的：→EF⊥FG，HG⊥FG，HG⊥EH→矩形EFGH （1）请参考小刚的思路写出证明过程； （2）连接AD，当AD＝BC时，写出线段EF，CG的数量关系，并说明理由； （3）如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，DC＝10，E为AB的中点，把四边形ABCD折叠成如图②所示的正方形EFGH，D落在点M处，顶点A，求BC的长． 【分析】（1）根据四个角是直角的四边形是矩形即可证明． （2）根据三角形的中位线定理得到EF＝AD．由折叠的性质可知：BF+CG＝BC，由此即可证明． （3）首先求出正方形的边长，利用勾股定理求出BH，再证明△CGH∽△HBE，可得＝，求出CH即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AE＝EB，AH＝HC， ∴EH∥BC， 由折叠的性质可知：EF⊥BC，HG⊥BC， ∴EF⊥EH，HG⊥EH， ∴∠EHG＝∠HGF＝∠HEF＝∠EFG＝90°， ∴四边形EFGH是矩形． （2）解：结论：BF+CG＝EF． 理由：如图①中，连接AD． 由折叠的性质可知：BF＝DF，CG＝DG， ∴BF+CG＝BD+（BD+CD）＝， ∵AE＝EB，BF＝FD， ∴EF＝AD， ∵AD＝BC， ∴EF＝BF+CG． （3）解：如图②中， 由折叠的性质可知：FG＝CD＝5， ∵四边形EFGH是正方形， ∴EH＝GH＝5， ∵AE＝EB＝2，∠B＝90°， ∴BH＝3， ∵∠B＝∠EHG＝∠HGC＝90°， ∴∠C+∠GHC＝90°，∠GHC+∠EHB＝90°， ∴∠C＝∠EHB， ∴△CGH∽△HBE， ∴＝， ∴＝， ∴HC＝， ∴BC＝BH+CH＝． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了翻折变换，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/7 16:01:01；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$