2023年贵州省黔东南州榕江县中考数学一模试卷

2023年贵州省黔东南州榕江县中考数学一模试卷 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分。 1．（3分）实数2022的相反数是（　　） A．﹣2022 B．﹣ C． D．2022 2．（3分）一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）据国家医保局最新消息，全国统一的医保信息平台已全面建成，在全国31个省份和新疆生产建设兵团全域上线，医保信息化标准化取得里程碑式突破．数1360000000用科学记数法表示为（　　） A．1.36×107 B．13.6×108 C．1.36×109 D．0.136×1010 4．（3分）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 5．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　） A．检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量 B．检测一批LED灯的使用寿命 C．检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量 D．检测一批家用汽车的抗撞击能力 6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 7．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π（　　） A． B． C．3 D．2 8．（3分）如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据（　　） A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC 9．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同）（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（﹣，﹣2m）（m，1），则△OAB的面积是（　　） A．3 B． C． D． 11．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧； ②作直线PQ交AB于点D； ③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM． 若AB＝2，则AM的长为（　　） A．4 B．2 C． D． 12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），且tan∠ABE＝．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF的面积都分成相等的两部分（　　） A．y＝3x B．y＝﹣x+ C．y＝﹣2x+11 D．y＝﹣2x+12 二、填空题：每小题4分，共16分。 13．（4分）若分式的值为2，则x的值是 　 　． 14．（4分）如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为 　 　． 15．（4分）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式．现有周长为18的三角形的三边长满足a：b：c＝4：3：2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 　 　． 16．（4分）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，∠DBC＝20°，则∠BAF＝　 　°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中　 　． 三、解答题：本大题9小题，共98分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17．（12分）（1）计算：． 圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．选择一个你喜欢的数作为被污染的数字，并计算该式子． （2）以下是某同学化简分式 的部分运算过程： 解：原式＝ ① ＝② ＝ ③ … 解： 上面的运算过程中第 　 　步出现了错误；请你写出完整的解答过程． 18．（10分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试（百分制）进行整理，信息如下： a．成绩频数分布表： 成绩x（分） 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 频数 7 9 12 16 6 b．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）： 70  71  72  72  74  77  78  78  78  79  79  79 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，成绩的中位数是 　 　分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 　 　． （2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． （3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价． 19．（10分）如图，点A（m，4）在反比例函数y＝（x＞0），点B在y轴上，OB＝2，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，且OD＝1． （1）点B的坐标为 　 　，点D的坐标为 　 　，点C的坐标为 　 　（用含m的式子表示）； （2）求k的值和直线AC的表达式． 20．（10分）如图，在▱ABCD中，AC，点E，F在AC上 （1）求证：四边形EBFD是平行四边形； （2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形． 21．（10分）某市电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价） 种类 真丝衬衣 真丝围巾 进价（元/件） a 80 售价（元/件） 300 100 （1）求真丝衬衣进价a的值． （2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22．（10分）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC），圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米． （1）求∠BAD的度数． （2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）． （参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈） 23．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径 （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若，AD＝1，求CD的长度． （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 24．（12分）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高． 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 25．（12分）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：　 　． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝　 　°，∠CBQ＝　 　°； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系 （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，直接写出AP的长． 2023年贵州省黔东南州榕江县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分。 1．（3分）实数2022的相反数是（　　） A．﹣2022 B．﹣ C． D．2022 【分析】根据相反数的定义直接求解． 【解答】解：实数2022的相反数是﹣2022， 故选：A． 【点评】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答此题的关键． 2．（3分）一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示． 【解答】解：从上面看，是一个矩形． 故选：A． 【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 3．（3分）据国家医保局最新消息，全国统一的医保信息平台已全面建成，在全国31个省份和新疆生产建设兵团全域上线，医保信息化标准化取得里程碑式突破．数1360000000用科学记数法表示为（　　） A．1.36×107 B．13.6×108 C．1.36×109 D．0.136×1010 【分析】将较大的数写成a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数即可． 【解答】解：1360000000＝1.36×109， 故选：C． 【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是解题的关键． 4．（3分）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【分析】根据对顶角的性质解答即可． 【解答】解：根据对顶角相等的性质，可得：∠1＝30°， 故选：A． 【点评】本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解答本题关键． 5．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　） A．检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量 B．检测一批LED灯的使用寿命 C．检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量 D．检测一批家用汽车的抗撞击能力 【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量，故A符合题意； B、检测一批LED灯的使用寿命，故B不符合题意； C、检测黄冈、咸宁三市的空气质量，故C不符合题意； D、检测一批家用汽车的抗撞击能力，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键． 6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC． 【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠EDC ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC， ∴BF＝FD，DE＝EC， ∴▱AFDE的周长＝AB+AC＝5+5＝10． 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的性质，找出对应相等的边，利用等腰三角形的性质把四边形周长转化为已知的长度去解题． 7．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π（　　） A． B． C．3 D．2 【分析】连接OB、OC，根据⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径OB＝OC＝3，而六边形ABCDEF是正六边形，即知∠BOC＝＝60°，△BOC是等边三角形，即可得正六边形的边长为3． 【解答】解：连接OB、OC ∵⊙O的周长等于6π， ∴⊙O的半径OB＝OC＝＝3， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC＝＝60°， ∴△BOC是等边三角形， ∴BC＝OB＝OC＝7， 即正六边形的边长为3， 故选：C． 【点评】本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于60°，从而得到△BOC是等边三角形． 8．（3分）如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据（　　） A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC 【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案． 【解答】解：A．利用三角形三边对应相等，三角形形状确定； B．利用三角形两边，两三角形全等，故此选项不合题意； C．AB，∠B，故此选项符合题意； D．根据∠A，BC，故此选项不合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 9．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同）（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率． 【解答】解：设立春用A表示，立夏用B表示，大寒用D表示， 由上可得，一共有12种可能性， ∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是＝， 故选：C． 【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 10．（3分）一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（﹣，﹣2m）（m，1），则△OAB的面积是（　　） A．3 B． C． D． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m，进而求出点A、B的坐标，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵点A（﹣，﹣2m）在反比例函数y＝上， ∴﹣6m＝， 解得：m＝2， ∴点A的坐标为：（﹣，﹣4），3）， ∴S△OAB＝××5﹣××7×1﹣， 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点、反比例函数图象上点的坐标特征，求出点A、B的坐标是解题的关键． 11．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧； ②作直线PQ交AB于点D； ③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM． 若AB＝2，则AM的长为（　　） A．4 B．2 C． D． 【分析】证明△AMB是等腰直角三角形，即可得到答案． 【解答】解：由作图可知，PQ是AB的垂直平分线， ∴AM＝BM， ∵以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M， ∴DA＝DM＝DB， ∴∠DAM＝∠DMA，∠DBM＝∠DMB， ∵∠DAM+∠DMA+∠DBM+∠DMB＝180°， ∴2∠DMA+2∠DMB＝180°， ∴∠DMA+∠DMB＝90°，即∠AMB＝90°， ∴△AMB是等腰直角三角形， ∴AM＝AB＝＝2， 故选：B． 【点评】本题考查尺规作图中的相关计算问题，解题的关键是根据作图证明△AMB是等腰直角三角形． 12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），且tan∠ABE＝．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF的面积都分成相等的两部分（　　） A．y＝3x B．y＝﹣x+ C．y＝﹣2x+11 D．y＝﹣2x+12 【分析】分别求出矩形OABC和菱形ABEF的中心的坐标，利用待定系数法求经过两中心的直线即可得出结论． 【解答】解：连接OB，AC，连接AE，它们交于点N， 则直线MN为符合条件的直线l，如图， ∵四边形OABC是矩形， ∴OM＝BM． ∵B的坐标为（10，4）， ∴M（5，7），BC＝4． ∵四边形ABEF为菱形， BE＝AB＝10． 过点E作EG⊥AB于点G， 在Rt△BEG中， ∵tan∠ABE＝， ∴， 设EG＝3k，则BG＝3k， ∴BE＝＝5k， ∴5k＝10， ∴k＝7， ∴EG＝8，BG＝6， ∴AG＝7． ∴E（4，12）． ∵B的坐标为（10，4）， ∴A（4，4）． ∵点N为AE的中点， ∴N（2，3）． 设直线l的解析式为y＝ax+b， ∴， 解得：， ∴直线l的解析式为y＝﹣7x+12， 故选：D． 【点评】本题主要考查了矩形和菱形的性质，中点坐标的特征，直角三角形的边角关系定理，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键． 二、填空题：每小题4分，共16分。 13．（4分）若分式的值为2，则x的值是 　4　． 【分析】依据题意列出分式方程，解分式方程即可求得结论． 【解答】解：由题意得：＝3， 去分母得：2＝2（x﹣5）， 去括号得：2x﹣6＝5， 移项，合并同类项得：2x＝8， ∴x＝3． 经检验，x＝4是原方程的根， ∴x＝4． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了解分式方程，解分式方程需要验根，这是容易丢掉的步骤． 14．（4分）如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为 　（﹣2，﹣1）　． 【分析】直接根据平移的性质可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，且A（﹣1，D（3， ∴点A是点D向左平移7个单位所得， ∵C（2，﹣1）， ∴B（﹣8，﹣1）． 故答案为：（﹣2，﹣5）． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和平移的性质，属于基础题，解答本题的关键是找出平移的规律． 15．（4分）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式．现有周长为18的三角形的三边长满足a：b：c＝4：3：2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 　3　． 【分析】根据题意先求出a、b、c，再代入公式进行计算即可． 【解答】解：根据a：b：c＝4：3：4，设a＝4k，c＝2k， 则2k+3k+2k＝18， 解得：k＝8， ∴a＝4k＝4×5＝8，b＝3k＝4×2＝6， ∴S＝＝＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了二次根式的运算，要注意运算顺序，解答的关键是对相应的运算法则的熟练掌握． 16．（4分）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，∠DBC＝20°，则∠BAF＝　80　°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中　4﹣　． 【分析】第一个问题证明△BCD≌△ACE（SAS），推出∠DBC＝∠EAC＝20°，可得∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．第二个问题，如图1中，设BF交AC于点T．证明∠BCT＝∠AFT＝60°，推出点F在△ABC的外接圆上运动，当∠ABF最小时，AF的值最小，此时CD⊥BD，求出AE，EF可得结论． 【解答】解：∵△ACB，△DEC都是等边三角形， ∴AC＝CB，DC＝EC， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴∠DBC＝∠EAC＝20°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°． 如图1中，设BF交AC于点T． 同法可证△BCD≌△ACE， ∴∠CBD＝∠CAF， ∵∠BTC＝∠ATF， ∴∠BCT＝∠AFT＝60°， ∴点F在△ABC的外接圆上运动，当∠ABF最小时，此时CD⊥BD， ∴BD＝＝＝4， ∴AE＝BD＝2，∠BDC＝∠AEC＝90°， ∵CD＝CE，CF＝CF， ∴Rt△CFD≌Rt△CFE（HL）， ∴∠DCF＝∠ECF＝30°， ∴EF＝CE•tan30°＝， ∴AF的最小值＝AE﹣EF＝4﹣， 故答案为：80，4﹣． 【点评】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轨迹，解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题：本大题9小题，共98分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17．（12分）（1）计算：． 圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．选择一个你喜欢的数作为被污染的数字，并计算该式子． （2）以下是某同学化简分式 的部分运算过程： 解：原式＝ ① ＝② ＝ ③ … 解： 上面的运算过程中第 　③　步出现了错误；请你写出完整的解答过程． 【分析】（1）任意选择一个数进行有理数混合运算即可； （2）根据分式的混合运算顺序准确进行计算即可． 【解答】解：（1）选择被污染的数是， 原式＝（﹣2）×﹣3 ＝﹣1﹣8 ＝﹣8（答案不唯一）； （2）运算过程中第③步出现了错误， 原式＝ ＝ ＝× ＝× ＝． 故答案为：③． 【点评】本题考查分式的混合运算，解决本题的关键是掌握分式的混合运算顺序． 18．（10分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试（百分制）进行整理，信息如下： a．成绩频数分布表： 成绩x（分） 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 频数 7 9 12 16 6 b．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）： 70  71  72  72  74  77  78  78  78  79  79  79 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，成绩的中位数是 　78.5　分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 　44%　． （2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． （3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价． 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可，用不低于80分的人数除以被测试人数即可； （2）根据中位数的意义求解即可； （3）答案不唯一，合理均可． 【解答】解：（1）这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数、26个数据的平均数为， 所以这组数据的中位数是78.5分， 成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为×100%＝44%， 故答案为：78.5，44%； （2）不正确， 因为甲的成绩77分低于中位数78.5， 所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩； （3）测试成绩不低于80分的人数占测试人数的44%，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好（答案不唯一． 【点评】本题考查了中位数，频数分布表等知识，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键． 19．（10分）如图，点A（m，4）在反比例函数y＝（x＞0），点B在y轴上，OB＝2，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，且OD＝1． （1）点B的坐标为 　（0，2）　，点D的坐标为 　（1，0）　，点C的坐标为 　（m+1，2）　（用含m的式子表示）； （2）求k的值和直线AC的表达式． 【分析】（1）根据OB＝2可得点B的坐标，根据OD＝1可得点D的坐标为（1，0），由平移规律可得点C的坐标； （2）根据点C和D的坐标列方程可得m的值，从而得k的值，再利用待定系数法可得直线AC的解析式． 【解答】解：（1）由题意得：B（0，2），3）， 由平移可知：线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位， ∵点A（m，8）， ∴C（m+1，2）， 故答案为：（6，2），0），4）； （2）∵点A和点C在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝4m＝2（m+5）， ∴m＝1， ∴A（1，3），2）， ∴k＝1×2＝4， 设直线AC的表达式为：y＝nx+b， ， 解得：， ∴直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6． 【点评】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB和OD的长得出平移的规律是解题关键． 20．（10分）如图，在▱ABCD中，AC，点E，F在AC上 （1）求证：四边形EBFD是平行四边形； （2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形． 【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明； （2）根据平行四边形的性质可得DA＝DC，然后利用等腰三角形的性质可得DB⊥EF，进而可以证明四边形EBFD是菱形． 【解答】证明：（1）在▱ABCD中，OA＝OC， ∵AE＝CF． ∴OE＝OF， ∴四边形EBFD是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴DA＝DC， ∴平行四边形ABCD为菱形， ∴DB⊥EF， ∴平行四边形EBFD是菱形． 【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21．（10分）某市电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价） 种类 真丝衬衣 真丝围巾 进价（元/件） a 80 售价（元/件） 300 100 （1）求真丝衬衣进价a的值． （2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）利用总价＝单价×数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值； （2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件，根据真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）依题意得：50a+80×25＝15000， 解得：a＝260． 答：a的值为260． （2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件， 依题意得：300﹣x≥2x， 解得：x≤100． 设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000． ∵20＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝100时，w取得最大值，此时300﹣x＝300﹣100＝200． 答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，最大利润是8000元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22．（10分）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC），圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米． （1）求∠BAD的度数． （2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）． （参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈） 【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可； （2）分别求出∠ADC和∠ABC的正切值，用AC表示出CD和CB，得到一个只含有AC的关系式，再解答即可． 【解答】解：（1）∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°， ∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝47°， 答：∠BAD的度数是47°． （2）在Rt△ABC中，， ∴． 在Rt△ADC中，， ∵BD＝4， ∴， ∴， ∴AC≈3.3（米）， 答：表AC的长是7.3米． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质和三角函数，熟练掌握建模思想是解决本题的关键． 23．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径 （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若，AD＝1，求CD的长度． （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【分析】（1）由圆周角定理可得∠ADC＝∠ABC＝90°，可求∠ADB＝∠CDB＝45°，可证AB＝BC，即可求解； （2）由勾股定理可求CD的长； （3）由面积的和差关系可求解． 【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，理由如下： ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∵∠ADB＝∠CDB， ∴∠ADB＝∠CDB＝45°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADB＝∠ACB＝45°，∠CDB＝∠CAB＝45°， ∴∠BAC＝∠ACB， ∴AB＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形； （2）∵AB＝BC＝，∠ABC＝90°， ∴AC＝2， ∴CD＝＝＝； （3）如图，连接OD， ∴△OAD为等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×32＝﹣． 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 24．（12分）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高． 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 【分析】任务1：利用待定系数法可得抛物线的函数表达式； 任务2：根据该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面至少1m，灯笼长0.4m，计算悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m； 任务3：介绍两种方案：分别挂7盏和8盏． 【解答】解：任务1： 以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，6），﹣5）， 设抛物线的解析式为：y＝ax2， 把点B（10，﹣6）代入得：100a＝﹣5， ∴a＝﹣， ∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2； 任务2： ∵该河段水位再涨3.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m， ∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣2+1.8+6+0.4＝﹣3.8， 即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m， 当y＝﹣1.8时，﹣x2＝﹣1.7， ∴x＝±6， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤2； 任务3： 方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼， ∵﹣6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.7m， ∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.8×4＞6， 若顶点一侧悬挂8盏灯笼时，1.6×3＜6， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂5盏灯笼， ∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣1.6×8＝﹣4.8； 方案二：如图7， ∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.4+1.6×（4﹣1）＞6， 若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+6.6×（4﹣8）＜6， ∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼， ∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣0.8﹣6.6×3＝﹣6.6． 【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中求解析式，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键． 25．（12分）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：　∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM（任写一个即可）　． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝　15　°，∠CBQ＝　15　°； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系 （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，直接写出AP的长． 【分析】（1）由折叠的性质可得AE＝BE＝AB，∠AEF＝∠BEF＝90°，AB＝BM，∠ABP＝∠PBM，由锐角三角函数可求∠EMB＝30°，即可求解； （2）①由“HL”可证Rt△BCQ≌Rt△BMQ，可得∠CBQ＝∠MBQ＝15°； ②由“HL”可证Rt△BCQ≌Rt△BMQ，可得∠CBQ＝∠MBQ； （3）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【解答】解：（1）∵对折矩形纸片ABCD， ∴AE＝BE＝AB， ∵沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处， ∴AB＝BM，∠ABP＝∠PBM， ∵sin∠BME＝＝， ∴∠EMB＝30°， ∴∠ABM＝60°， ∴∠CBM＝∠ABP＝∠PBM＝30°， 故答案为：∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM（任写一个即可）； （2）①由（1）可知∠CBM＝30°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°， 由折叠可得：AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°， ∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°， 又∵BQ＝BQ， ∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL）， ∴∠CBQ＝∠MBQ＝15°， 故答案为：15，15； ②∠MBQ＝∠CBQ，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°， 由折叠可得：AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°， ∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°， 又∵BQ＝BQ， ∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL）， ∴∠CBQ＝∠MBQ； （3）由折叠的性质可得DF＝CF＝4cm，AP＝PM， ∵Rt△BCQ≌Rt△BMQ， ∴CQ＝MQ， 当点Q在线段CF上时，∵FQ＝6cm， ∴MQ＝CQ＝3cm，DQ＝5cm， ∵PQ2＝PD2+DQ2， ∴（AP+6）2＝（8﹣AP）2+25， ∴AP＝， 当点Q在线段DF上时，∵FQ＝1cm， ∴MQ＝CQ＝5cm，DQ＝8cm， ∵PQ2＝PD2+DQ8， ∴（AP+5）2＝（7﹣AP）2+9， ∴AP＝， 综上所述：AP的长为cm或． 【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/7 16:01:57；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$