2023年贵州省六盘水市钟山区中考数学一模试卷

2023年贵州省六盘水市钟山区中考数学一模试卷 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分。 1．（3分）当x＝2时，代数式3x﹣1的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．4 2．（3分）如图，△ADC中DC边上的高是（　　） A．线段AB B．线段AD C．线段AC D．线段BC 3．（3分）新课标（2022版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”．教务处为了解学校老师对新课标的关注度（　　） A．测量 B．实验 C．调查 D．直接观察 4．（3分）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，AC：AB＝1：2，则△ACD与△ABC的面积比是（　　） A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4 5．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，黑色部分的图形构成了一个轴对称图形，使黑色部分仍然是一个轴对称图形的概率是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）在运动会上，有13名同学参加某项比赛．他们的预赛成绩各不同，要取前6名参加决赛．小明得知自己的成绩后，只需要知道这13名同学成绩的（　　） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．极差 7．（3分）如图，矩形OABC的顶点O（0，0），B（﹣2，2），若矩形绕点O旋转180°（　　） A．（1，） B．（﹣1，﹣） C．（1，﹣） D．（﹣2，0） 8．（3分）如图，已知数轴上有三点A，B，C，，点A对应的数是3a，点C对应的数是21，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（3分）如图，在△ABC中，BC＝6，∠C＝90°，以点B为圆心，与AB交于点D，再分别以A，大于的长为半径画弧，N，作直线MN，分别交AC，F，则AE的长度为（　　） A． B．3 C． D． 10．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，连接BE，交OC于点P，则线段AB的长度为（　　） A．3 B． C．3 D．5 11．（3分）如图，反比例函数与一次函数y＝ax+b（a≠0）（1，3），B（c，﹣1），则k﹣a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 12．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+c与直线y＝2x+2022上纵坐标为m的点共有3个，且它们的横坐标分别为x1，x2，x3（x1，x2，x3互不相同）．若n＝x1+x2+x3，则m﹣n的值为（　　） A．2012 B．2022 C．1006 D．1011 二、填空题：每小题4分，共16分。 13．（4分）某校对八年级600名学生进行视力测试，经统计，视力在4.6～4.8这一小组的频率为0.25　 　人． 14．（4分）如图，△ABC和△BCD内接于⊙O，AC与BD相交于点E．若AB∥CD，则∠BEC的度数为 　 　． 15．（4分）《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1．图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为 　 　． 16．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC、AB＝6，点P是△ABC内部的一个动点，连接PC，过点P作PD⊥BC交BC于点D． （1）∠APB＝　 　； （2）当线段CP最短时，△BCP的面积为 　 　． 三、解答题：本大题9小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）（1）小明解分式方程的过程如下： 去分母，得2x+3＝1﹣（x﹣1），…第一步 去括号，得2x+3＝1﹣x+1，…第二步 移项，得2x+x＝1+1﹣3，…第三步 合并同类项，得3x＝﹣1，…第四步 系数化为1，得．…第五步 检验：当时，x≠0，…第六步 ∴是原分式方程的解．…第七步 上述解答过程是从第 　 　步开始出现错误的，请写出正确的解答过程； （2）在初中阶段，我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，并解这两个方程． ①x2+6x﹣3＝0；②x2﹣4x＝0；③x2﹣7x＝7；④x2﹣9＝0． 18．（10分）某校将今年的学生艺术节以线上举办的形式进行，除了精彩纷呈的各项线上艺术活动外，还举办了“艺术基础知识挑战赛”，该校从七，八年级中各随机抽取20名同学的比赛成绩（百分制）（成绩得分用x表示，共分成五组：A．75≤x＜80，B．80≤x＜85，C．85≤x＜90，D．90≤x＜95，E．95≤x≤100），绘制了如下不完整的统计图表： 抽取的两个年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 91 a b 25% 八年级 93 96 98 25% 注：七年级D组中的成绩分别是：90，91，93 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，并写出上表中a，b的值：a＝　 　，b＝　 　； （2）你认为哪个年级的成绩好一些？并请说明理由（写出一条理由即可）： （3）若七年级共有1200人参与了此次比赛活动，估计该年级此次竞赛成绩不低于91分的有多少人？ 19．（10分）如图，在▱ABCD中，点E是边AB的中点，交CB延长线于点F，且DE平分∠ADC． （1）求证：△ADE≌△BFE． （2）若BF＝5，EF＝5，求△FCD的面积． 20．（10分）城市因文明而美丽，市民因礼仪而优雅，某市在创建全国文明典范城市的过程中，营造干净整洁的生活氛围，创建和谐文明的社区环境，B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的价格比B种垃圾桶每组的价格少120元 （1）求A，B两种垃圾桶每组的单价； （2）该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A，B两种垃圾桶共40组．则最多可以购买B种垃圾桶多少组？ 21．（10分）如图，小明想要测量大树BH和楼房CG的高度，先在A处用高1.5米的测角仪测得大树顶端H的仰角∠HDE＝45°，再向前走7米到达树根B处，又测得楼房顶端G的仰角∠GEF＝68° （1）求大树BH的高度； （2）求楼房CG的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48） 22．（10分）如图，已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝ax+b的图象交于M（2，m）和N（﹣1，﹣4）两点，y轴于AB两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）求△MON的面积； （3）请直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围． 23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E上任意一点，连接GD交AB于点F，AG． （1）求证：∠ADC＝∠AGD； （2）连接BG，若AD＝DG，BF＝2，求⊙O的半径． 24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣2，0），B（1，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）M是抛物线对称轴上的一个动点，求MB+MC的最小值； （3）若P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在；若不存在，请说明理由． 25．（12分）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时 （1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，则CD与BE的数量关系是 　 　； （2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.6cm； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1.5，0），C（1.5，3.5），△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，求B点坐标． 2023年贵州省六盘水市钟山区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分。 1．（3分）当x＝2时，代数式3x﹣1的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．4 【分析】直接把已知数据代入得出答案． 【解答】解：当x＝2时，则3x﹣7＝2×3﹣6＝5． 故选：A． 【点评】此题主要考查了代数式求值，正确代入数据是解题关键． 2．（3分）如图，△ADC中DC边上的高是（　　） A．线段AB B．线段AD C．线段AC D．线段BC 【分析】根据三角形高线的定义（从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线）进行判断． 【解答】解：△ADC中DC边上的高是线段AB． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的高，正确理解三角形的高线的定义是解决问题关键． 3．（3分）新课标（2022版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”．教务处为了解学校老师对新课标的关注度（　　） A．测量 B．实验 C．调查 D．直接观察 【分析】根据调查的目的和要求，结合具体的问题情境进行判断即可． 【解答】解：由于教务处为了解学校老师对新课标的关注度，可采用全面调查的方式进行， 故选：C． 【点评】本题考查调查收集数据的过程与方法，理解调查的目的和要求是正确解答的关键． 4．（3分）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，AC：AB＝1：2，则△ACD与△ABC的面积比是（　　） A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可以解答本题． 【解答】解：∵∠B＝∠ACD，∠CAD＝∠BAC， ∴△ACD∽△ABC， ∴＝＝， 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的性质，解答本题的关键是明确相似三角形的面积之比等于相似比的平方． 5．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，黑色部分的图形构成了一个轴对称图形，使黑色部分仍然是一个轴对称图形的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有13种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵由题意，共16﹣3＝13种等可能情况，所示的5种情况， ∴概率为P＝． 故选：B． 【点评】本题考查了利用轴对称设计图案以及几何概率，先得出所有等可能的结果数n，再找出某事件发生的结果数m，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率＝． 6．（3分）在运动会上，有13名同学参加某项比赛．他们的预赛成绩各不同，要取前6名参加决赛．小明得知自己的成绩后，只需要知道这13名同学成绩的（　　） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．极差 【分析】由于有13名同学参加比赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小． 【解答】解：共有13名学生参加比赛，取前6名．我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，所以小明知道这组数据的中位数． 故选：C． 【点评】本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 7．（3分）如图，矩形OABC的顶点O（0，0），B（﹣2，2），若矩形绕点O旋转180°（　　） A．（1，） B．（﹣1，﹣） C．（1，﹣） D．（﹣2，0） 【分析】先计算D点坐标，再过D作DE⊥x轴于点E，求出D点的坐标，进而求得旋转后D点坐标． 【解答】解：∵矩形OABC的顶点O（0，0），3）， ∴D（﹣1，）， 如图，过D作DE⊥x轴于点E，DE＝， ∴D（﹣1，）， ∴绕点O旋转180后D点的坐标为（1，﹣）， 故选：C． 【点评】本题考查旋转变换，矩形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 8．（3分）如图，已知数轴上有三点A，B，C，，点A对应的数是3a，点C对应的数是21，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据数轴上两点间距离可得：AB＝2a，AC＝21﹣3a，从而可得2a＝（21﹣3a），然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵点A对应的数是3a，点B对应的数是5a， ∴AB＝5a﹣3a＝2a，AC＝21﹣8a， ∵， ∴8a＝（21﹣8a）， 解得：a＝3， 故选：B． 【点评】本题考查了数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键． 9．（3分）如图，在△ABC中，BC＝6，∠C＝90°，以点B为圆心，与AB交于点D，再分别以A，大于的长为半径画弧，N，作直线MN，分别交AC，F，则AE的长度为（　　） A． B．3 C． D． 【分析】根据cosA＝＝，求出AF，AB，可得结论． 【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝6， ∴AB＝＝＝10， ∵BC＝BD＝6， ∴AD＝AB﹣BD＝10﹣8＝4， ∵EF垂直平分线段AD， ∴∠AFE＝90°，AF＝DF＝2， ∵cosA＝＝， ∴＝， ∴AE＝， 故选：A． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，连接BE，交OC于点P，则线段AB的长度为（　　） A．3 B． C．3 D．5 【分析】过点E作EH⊥AC于H，利用正方形的性质，以及平行线分线段成比例，得到HE是三角形的中位线，证明△BOP≌△EHP，利用相似比，求出PH，进而求出OH，利用等腰三角形的性质，求出CE，利用AB＝CD＝2CE即可求解． 【解答】解：如图，过点E作EH⊥AC于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，∠ACD＝∠ACB＝∠DBC＝45°， ∴EH∥BD， ∴， ∵E为CD的中点， ∴HE＝OD＝， 设CH＝EH＝OH＝x， ∴x， ∴x， ∵EH∥BD， ∴△BOP∽△EHP， ∴OP：PH＝OB：EH＝4：1， ∴：PH＝3：1， ∴， ∴CH＝OH＝OP+PH＝， ∴AB＝2x＝2． 故选：C． 【点评】此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质，通过添加辅助线，证明三角形相似是解题的关键． 11．（3分）如图，反比例函数与一次函数y＝ax+b（a≠0）（1，3），B（c，﹣1），则k﹣a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k，则可求得反比例函数解析式，则可求得B点坐标，把A、B坐标代入一次函数解析式可求得a、b，进一步求得k﹣a的值． 【解答】解：∵点A（1，3）在反比例函数图象上， ∴k＝5×3＝3， ∴反比例函数解析式为y＝， ∵B（c，﹣1）在反比例函数图象上， ∴c＝﹣3， ∴B（﹣5，﹣1）， ∵A、B在一次函数图象上， ∴，解得， ∴k﹣a＝3﹣1＝5． 故选：A． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得k、a的值是解题的关键． 12．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+c与直线y＝2x+2022上纵坐标为m的点共有3个，且它们的横坐标分别为x1，x2，x3（x1，x2，x3互不相同）．若n＝x1+x2+x3，则m﹣n的值为（　　） A．2012 B．2022 C．1006 D．1011 【分析】由抛物线解析式求出抛物线对称轴，设A，B在抛物线上，C在直线上，从而可得m与n的关系，进而求解． 【解答】解：∵y＝ax2﹣5ax+c， ∴抛物线对称轴为直线x＝＝， 设A（x1，m），B（x2，m）在抛物线上，点C在直线上，B关于对称轴对称， ∴x6+x2＝5， ∴n＝x8+x2+x3＝7+x3， ∴x3＝n﹣2， 把（x3，m）代入y＝2x+2022得m＝4x3+2022＝2n+2012， ∴m﹣4n＝2012，即m﹣n＝1006， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握函数与方程的关系，掌握二次函数的性质． 二、填空题：每小题4分，共16分。 13．（4分）某校对八年级600名学生进行视力测试，经统计，视力在4.6～4.8这一小组的频率为0.25　150　人． 【分析】用总人数乘以样本中数据在4.8～4.6这一小组的频率即可． 【解答】解：该小组人数有：600×0.25＝150（人）． 故答案为：150． 【点评】此题是对频率、频数灵活运用的综合考查． 注意：每个小组的频数等于数据总数减去其余小组的频数，即各小组频数之和等于数据总和． 频率＝． 14．（4分）如图，△ABC和△BCD内接于⊙O，AC与BD相交于点E．若AB∥CD，则∠BEC的度数为 　86°　． 【分析】根据圆周角定理和平行线的性质以及三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】解：∵∠A＝43°， ∴∠D＝∠A＝43°， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠D＝43°， ∴∠BEC＝∠A+∠ABD＝86°， 故答案为：86°． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，平行线的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 15．（4分）《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1．图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为 　　． 【分析】根据图1和方程组得关系即可确定图2的方程组． 【解答】解：根据题意，得， 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 16．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC、AB＝6，点P是△ABC内部的一个动点，连接PC，过点P作PD⊥BC交BC于点D． （1）∠APB＝　90°　； （2）当线段CP最短时，△BCP的面积为 　　． 【分析】（1）由∠ABP+∠PBC＝90°得到∠BAP+∠ABP＝90°，即可得到∠APB＝90°； （2）首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可得到＝，即可得到S△BCP＝S△OBC＝． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC， ∴∠BAP+∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°； 故答案为：90°； （2）设AB的中点为O，连接OP， ∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P， 在Rt△BCO中，∠OBC＝90°，OB＝3， ∴OC＝＝5， ∴PC＝OC﹣OP＝5﹣4＝2． ∴＝， ∵S△OBC＝BC•OB＝， ∴S△BCP＝S△OBC＝×7＝， 故答案为：． 【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型． 三、解答题：本大题9小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）（1）小明解分式方程的过程如下： 去分母，得2x+3＝1﹣（x﹣1），…第一步 去括号，得2x+3＝1﹣x+1，…第二步 移项，得2x+x＝1+1﹣3，…第三步 合并同类项，得3x＝﹣1，…第四步 系数化为1，得．…第五步 检验：当时，x≠0，…第六步 ∴是原分式方程的解．…第七步 上述解答过程是从第 　一　步开始出现错误的，请写出正确的解答过程； （2）在初中阶段，我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，并解这两个方程． ①x2+6x﹣3＝0；②x2﹣4x＝0；③x2﹣7x＝7；④x2﹣9＝0． 【分析】（1）按照解分式方程的步骤进行计算，逐一判断即可解答； （2）①利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答； ②利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答； ③利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答； ④利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）一， 正确的解答过程如下： 去分母，得2x+3＝x﹣（x﹣6） 去括号，得2x+3＝x﹣x+2， 移项，得2x﹣x+x＝﹣3+6， 合并同类项，得2x＝﹣2， 系数化为6，得x＝﹣1， 检验：当x＝﹣1时，x≠5， ∴x＝﹣1是原分式方程的根， 故答案为：一； （2）①x2+2x﹣3＝0， x4+6x＝3， x8+6x+9＝4+9， （x+3）8＝12， x+3＝±2， x1＝﹣3+8，x2＝﹣4﹣2； ②x7﹣4x＝0， x（x﹣3）＝0， x＝0或x﹣3＝0， x1＝3，x2＝4； ③x5﹣7x＝7， 整理得：x5﹣7x﹣7＝5， ∵Δ＝（﹣7）2﹣8×（﹣7）＝49+28＝77＞0， ∴， ∴，； ④x2﹣6＝0， （x+3）（x﹣3）＝0， x+3＝6或x﹣3＝0， x7＝﹣3，x2＝6． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，因式分解法，公式法，解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18．（10分）某校将今年的学生艺术节以线上举办的形式进行，除了精彩纷呈的各项线上艺术活动外，还举办了“艺术基础知识挑战赛”，该校从七，八年级中各随机抽取20名同学的比赛成绩（百分制）（成绩得分用x表示，共分成五组：A．75≤x＜80，B．80≤x＜85，C．85≤x＜90，D．90≤x＜95，E．95≤x≤100），绘制了如下不完整的统计图表： 抽取的两个年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 91 a b 25% 八年级 93 96 98 25% 注：七年级D组中的成绩分别是：90，91，93 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，并写出上表中a，b的值：a＝　92　，b＝　100　； （2）你认为哪个年级的成绩好一些？并请说明理由（写出一条理由即可）： （3）若七年级共有1200人参与了此次比赛活动，估计该年级此次竞赛成绩不低于91分的有多少人？ 【分析】（1）根据频数分布直方图中的数据，可以得到B组的人数，从而可以将频数分布直方图补充完整，然后即可得到a和b的值； （2）根据表格中的数据，可以得到哪个年级的成绩好一些，并说明理由； （3）根据表格中的数据，可以计算出该年级此次竞赛成绩高于平均分91分的有多少人． 【解答】解：（1）B组的学生有：20﹣1﹣4﹣2﹣8＝3（人）， 补全的频数分布直方图如图所示， a＝（91+93）÷4＝92， 七年级得满分的有：20×25%＝5（人），b＝100， 故答案为：92，100； （2）八年级的成绩好一些．理由：八年级的平均成绩好于七年级，故八年级的成绩好一些； （3）1200×＝660（人）， 即该年级此次竞赛成绩高于平均分91分的有720人． 【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19．（10分）如图，在▱ABCD中，点E是边AB的中点，交CB延长线于点F，且DE平分∠ADC． （1）求证：△ADE≌△BFE． （2）若BF＝5，EF＝5，求△FCD的面积． 【分析】（1）根据平行四边形的性质易证△ADE≌△BFE（AAS）； （2）连结CE，根据平行四边形的性质和角平分线的定义，可得△CDF是等腰三角形，根据全等三角形的性质可得E是DF的中点，根据等腰三角形性质可得CE⊥DF，根据勾股定理可得CE的长，即可求出△DCF的面积． 【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ABF， ∵点E是边AB的中点， ∴AE＝BE， 在△ADE和△BFE中， ， ∴△ADE≌△BFE（AAS）； （2）解：连结CE，如图所示： ∵△ADE≌△BFE， ∴DE＝EF，AD＝BF＝5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝5， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADF＝∠CDF， ∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠F， ∴∠CDF＝∠F， ∴CD＝CF＝10， ∴△DCF是等腰三角形， ∵E是DF的中点， ∴CE⊥DF， ∵DE＝EF＝4， 在Rt△DEC中，根据勾股定理， ∵DF＝2EF＝10， ∴， ∴△DCF的面积为． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，三角形的面积等，证明△DCF是等腰三角形是解题的关键，本题综合性较强． 20．（10分）城市因文明而美丽，市民因礼仪而优雅，某市在创建全国文明典范城市的过程中，营造干净整洁的生活氛围，创建和谐文明的社区环境，B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的价格比B种垃圾桶每组的价格少120元 （1）求A，B两种垃圾桶每组的单价； （2）该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A，B两种垃圾桶共40组．则最多可以购买B种垃圾桶多少组？ 【分析】（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+120）元，利用数量＝总价÷单价，结合用8000元购买A种垃圾桶的组数量是用10400元购买B种垃圾桶的组数量相等，列出分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（20﹣y）组，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过8000元，列出一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再取其中的最大整数值即可． 【解答】解：（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元， 依题意得：＝， 解得：x＝400， 经检验，x＝400是原方程的解， ∴x+120＝400+120＝520． 答：A种垃圾桶每组的单价为400元，B种垃圾桶每组的单价为520元； （2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（4﹣y）组， 依题意得：400（40﹣y）+520y≤18000， 解得：y≤， 又∵y为正整数， ∴y的最大值为16． 答：最多可以购买B种垃圾桶16组． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 21．（10分）如图，小明想要测量大树BH和楼房CG的高度，先在A处用高1.5米的测角仪测得大树顶端H的仰角∠HDE＝45°，再向前走7米到达树根B处，又测得楼房顶端G的仰角∠GEF＝68° （1）求大树BH的高度； （2）求楼房CG的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48） 【分析】（1）根据题意可得：AD＝BE＝CF＝1.5米，DE＝AB＝7米，BH⊥DF，然后在Rt△DEH中，利用锐角三角函数的定义求出HE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）根据题意可得：EF＝BC，DF⊥CG，设EF＝BC＝x米，则DF＝（x+7）米，然后在Rt△GDF中，利用锐角三角函数的定义求出GF的长，再在Rt△EFG中，利用锐角三角函数的定义求出GF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：AD＝BE＝CF＝1.5米，DE＝AB＝4米， 在Rt△DEH中，∠HDE＝45°， ∴HE＝DE•tan45°＝7（米）， ∴BH＝HE+BE＝7+4.5＝8.7（米）， ∴大树BH的高度为8.5米； （2）由题意得：EF＝BC，DF⊥CG， 设EF＝BC＝x米， ∵DE＝2米， ∴DF＝DE+EF＝（x+7）米， 在Rt△GDF中，∠GDF＝45°， ∴GF＝DF•tan45°＝（x+7）米， 在Rt△EFG中，∠GEF＝68°， ∴GF＝EF•tan68°≈4.48x（米）， ∴2.48x＝x+7， 解得：x≈6.73， ∴GF＝x+7＝11.73（米）， ∴CG＝GF+CF＝11.73+1.5≈13.2（米）， ∴楼房CG的高度约为13.2米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 22．（10分）如图，已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝ax+b的图象交于M（2，m）和N（﹣1，﹣4）两点，y轴于AB两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）求△MON的面积； （3）请直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围． 【分析】（1）把N的坐标代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，把M的坐标代入求出M的坐标，把M、N的坐标代入一次函数y＝ax+b即可求出一次函数的解析式； （2）求出A的坐标，求出△AOM和△AON的面积，即可求出答案； （3）根据函数的图象和M、N的坐标即可得出答案． 【解答】解：（1）∵把N（﹣1，﹣4）代入y5＝得：k＝4， ∴反比例函数的解析式是y1＝， ∵M（2，m）代入反比例函数y1＝得：m＝2， ∴M的坐标是（2，5）， 把M、N的坐标代入一次函数y2＝ax+b得：， 解得：， ∴一次函数的解析式是y＝2x﹣2； （2）∵把y＝7代入一次函数的解析式是y＝2x﹣2得：7＝2x﹣2， 解得x＝6， ∴A（1，0）， ∴S△MON＝SAOM+S△AON＝×1×4+； （3）从图象可知：当y3＞y2时自变量x的取值范围是x＜﹣1或3＜x＜2． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想，题目比较好． 23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E上任意一点，连接GD交AB于点F，AG． （1）求证：∠ADC＝∠AGD； （2）连接BG，若AD＝DG，BF＝2，求⊙O的半径． 【分析】（1）由垂径定理得到＝，由圆周角定理推出∠ADC＝∠AGD． （2）连接DO，GO，设⊙O的半径为r，△AOD≌△GOD（SSS），推出∠ADO＝∠GDO，由等腰三角形的性质得到OD⊥AG，由圆周角定理推出BG⊥AG，判定OD∥BG，推出△BGF∽△ODF，因此，得到，求出r＝6，即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴＝， ∴∠ADC＝∠AGD． （2）解：连接DO，GO， 设⊙O的半径为r， ∵AD＝GD，DO＝DO， ∴△AOD≌△GOD（SSS）， ∴∠ADO＝∠GDO， ∵AD＝DG， ∴OD⊥AG， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AGB＝90°， ∴BG⊥AG， ∴OD∥BG， ∴△BGF∽△ODF， ∴， ∴， ∴r＝6， ∴⊙O的半径为6． 【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是由△AOD≌△GOD（SSS），推出∠ADO＝∠GDO，判定OD⊥AG，由△BGF∽△ODF，推出，得到关于r的方程． 24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣2，0），B（1，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）M是抛物线对称轴上的一个动点，求MB+MC的最小值； （3）若P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）当A、C、M三点共线时，MB+MC的值最小，最小值为AC，求出AC的长即为所求； （3）过点P作PE∥y轴交AC于E，当PD最大时，△APC的面积最大，也就是PE最大，先求直线AC的解析式，设P（t，t2+t﹣2），则E（t，﹣t﹣2），则PE＝﹣（t+1）2+1，当t＝﹣1时，PE有最大值，此时P（﹣1，﹣2）． 【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），4）代入y＝ax2+bx﹣2，得： ， 解得， ∴y＝x2+x﹣3； （2）如图， ∵A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴AM＝BM， ∴MB+MC＝AM+MC， 当A、C、M三点共线时，最小值为AC， 令x＝0，则y＝﹣2， ∴C（6，﹣2）， ∴AC＝＝5， ∴MB+MC的最小值为2； （3）线段PQ存在最大值，理由如下： 过点P作PE∥y轴交AC于E， 当PQ最大时，△APC的面积最大， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝﹣x﹣7， 设P（t，t2+t﹣2），则E（t， ∴PE＝﹣t﹣5﹣（t2+t﹣2）＝﹣t4﹣2t＝﹣（t+1）3+1， ∴当t＝﹣1时，PE有最大值， 此时P（﹣2，﹣2）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 25．（12分）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时 （1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，则CD与BE的数量关系是 　CD＝BE　； （2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.6cm； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1.5，0），C（1.5，3.5），△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，求B点坐标． 【分析】（1）证∠DAC＝∠ECB，再由AAS证△ADC≌△CEB即可； （2）证△ADC≌△CEB（AAS），得AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，即可解决问题； （3）过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，证△AEC≌△CFB（AAS），得AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，则FG＝CG+CF＝4，BH＝FH﹣BF＝1，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠ECB＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠ECB， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴CD＝BE． 故答案为：CD＝BE； （2）∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠CBE+∠ECB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECB+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE， ∴BE＝CD＝CE﹣DE＝7.5﹣1.5＝0.9（cm）， 即BE的长为6.9cm； （3）如图3，过点C作直线l∥x轴，过A作AE⊥l于点E，交x轴于点H， 则∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°， ∵A（﹣7.5，0），2.5）， ∴EG＝OA＝1.7，CG＝1.5， ∴CE＝EG+CG＝7， ∵∠ACE+∠EAC＝90°，∠ACE+∠FCB＝90°， ∴∠EAC＝∠FCB， 在△AEC和△CFB中， ， ∴△AEC≌△CFB（AAS）， ∴AE＝CF＝3.5，BF＝CE＝4， ∴FG＝CG+CF＝1.5+7.5＝5，BH＝FH﹣BF＝4.5﹣3＝5.5， ∴B点坐标为（5，3.5）． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/7 16:02:10；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$