湖南省衡阳市衡阳县第四中学2023-2024学年高三下学期开学摸底考试数学试卷

第四中学2023-2024学年下学期高三开学摸底考试数学试卷 【满分：150分】 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐照.如需改动，用 橡皮擦干净后，再选徐其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结東后，将本试巻和答题卡一并收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为( ) A.240 B.216 C.180 D.108 2.已知是等差数列的前n项和，，则( ) A.22 B.33 C.40 D.44 3.已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 4.设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A.若，，则 B.若，，，则 C.若，，则 D.若，，则 5.我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象，如图所示，下列结论错误的是( ) A.图象具有对称性，对称轴是直线 B.当或时，函数值y随x值的增大而增大 C.当或时，函数最小值是0 D.当时，函数的最大值是4 6.八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中.给出下列结论，其中正确的结论为( ) A.与的夹角为 B. C. D.在上投影向量为（其中为与同向的单位向量） 7.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最大值是( ) A. B. C. D. 8.设抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，，若将直线绕点F逆时针旋转得到直线l，且直线l与抛物线交于C，D两点，则( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数，则( ) A.的最大值为 B.的图象关于点对称 C.是偶函数 D.不等式的解集是 10.若复数，则下列正确的是( ) A.当或时，z为实数 B.若z为纯虚数，则或 C.若复数z对应的点位于第二象限，则 D.若复数z对应的点位于直线上，则或 11.已知函数关于x的方程有从小到大排列的四个不同的实数根，，，，若，则( ) A. B. C.M的最小值为 D.M的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知多项式，则___________. 13.已知底面为正方形的四棱锥的五个顶点在同一个球面上，，，，，则四棱锥外接球的体积为__________. 14.已知函数，其中表示p，q中的最大值，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.（13分）在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，，. （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数a，使得为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 16.（15分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的菱形，，AC与BD交于点O，平面平面ABCD，，，. （1）求证：平面ABCD； （2）若，点Q为AE的中点，求二面角的余弦值. 17.（15分）已知椭圆的右顶点为，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆的左焦点和左顶点分别为F和，过点F的直线与C交于M，N两点，直线 与交于点P，证明：点P在定直线上. 18.（17分）已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设，，是函数的两个极值点，证明：恒成立. 19.（17分）每年6月中旬到7月中旬，长江中下游区域内会出现一段连续阴雨天气，俗称“梅雨期”.依据某地河流“梅雨期”的水文观测点的历史统计数据，所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示. （1）以频率作为概率，试求A河流在“梅雨期”水位的第80百分位数并估计该地在今年“梅雨期”发生1级灾害的概率； （2）该地河流域某企业，在今年“梅雨期”，若没受1，2级灾害影响，利润为1000万元；若受1级灾害影响，则亏损200万元；若受2级灾害影响则亏损2000万元. 现此企业有如下三种应对方案： 方案 防控等级 费用（单位：万元） 方案一 无措施 0 方案二 防控1级灾害 80 方案三 防控2级灾害 200 试问，若仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?并说明理由. 答案以及解析 1.答案：C 解析：按照是否取到0进行分类：①若从0，2，4取的2个数字中不含0，则共有个无重复数字的四位数；②若从0，2，4取的2个数字中含0，则共有个无重复数字的四位数.因此满足条件的共有个数. 2.答案：B 解析：解法一：因为是等差数列，所以， 则，所以. 解法二：设等差数列的公差为d，则由得，得， 所以. 3.答案：C 解析：由双曲线离心率为可得，即可得，又，即可得； 由题意可得双曲线C的渐近线方程为.故选：C. 4.答案：B 解析：对于A，若，，则有可能，故A错误； 对于B，若，，则直线a，b的方向向量，分别为平面，法向量， 又，即，所以，故B正确； 对于C，若，，则有可能，故C错误； 对于D，若，，则有可能，故D错误.故选：B. 5.答案：D 解析：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线，故A正确；令可得，，，，和是函数图象与x轴的交点坐标.又对称轴是直线，当或时，函数值y随x值的增大而增大，故B正确；由图象可知点和是函数图象的最低点，则当或时，函数最小值是0，故C正确；由图象可知，当时，函数值y随x值的减小而增大，当时，函数值y随x值的增大而增大，均存在大于顶点纵坐标的函数值，故当时，函数值4并非最大值，故D错误.故选D. 6.答案：D 解析：由八卦图可知与的夹角为，其大小为，即与的夹角为，所以A错误；由向量的平行四边形法则可知，即B错误； 易知，又，所以，而，所以，即C错误； 易知在上的投影向量为，即D正确.故选：D. 7.答案：D 解析：因为，由正弦定理得， 所以，所以， 由余弦定理得， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 所以当时，取得最大值，此时，， 所以的最大值是.故选：D. 8.答案：A 解析：，设，，， 则，所以，则，故，所以， 则直线l的倾斜角，所以直线l的斜率，所以直线l的方程为，联立，消y得，， 设，，则，所以. 故选：A. 9.答案：ACD 解析：由题意可得.，则的 最大值为，故A正确.令，解得，则的图象关于点对称，故B错误.是偶函数，则C正确.，即，即，则，解得，即不等式的解集是，故D正确. 10.答案：ACD 解析：对A：当，；当，，故或时，z均为实数，A正确； 对B：z为纯虚数，则，解得，故B错误； 对C：复数z对应的点位于第二象限，则，解得，故C正确； 对D：复数z对应的点位于直线上，则，即，解得或，对应复数分别为或，故D正确； 故选：ACD. 11.答案：AC 解析：在平面直角坐标系内作出函数的图象，如图.显然A正确； 当时，，，故B不正确； ，，， ，当且仅当.时，取等量，故C正确； ，，无最大值.故D不正确.故选AC. 12.答案：74 解析：对于，其二项展开式的通项为，令，得，故，对于，其二项展开式的通项为，令，得，故，所以.故答案为：74. 13.答案： 解析：由题意知，，且平面，，所以平面PCD，而平面ABCD，则平面平面ABCD.由条件知，所以.如图，取CD的中点G连接AC，BD，交于点O，则O为正方形ABCD的中心，过点G作平面CDP的垂线，则点O在该垂线上，所以O为四棱锥外接球的球心，由于， 所以四棱锥外接球的体积为. 14.答案： 解析：令，，当时，，在区间内无零点；当时，，， 当，即时，为函数的零点. 当时，令，则，令，则，令，则，在区间上单调递减，区间上单调递增，，.当时，在区间内有两个零点.综上，当时函数有三个零点. 15.答案：（1） （2）存在，且 解析：（1）因为，则，则，故，， ，所以，C为锐角，则， 因此，. （2）显然，若为钝角三角形，则C为钝角， 由余弦定理可得， 解得，则， 由三角形三边关系可得，可得，，故. 16.答案：（1）证明见解析 （2）. 解析：（1）证明：如图，取BC中点G，连接FG，OG， 因为，所以， 又因为平面平面ABCD，平面平面， 平面， 所以平面ABCD，O，G分别为AC，BC中点， 所以，. 因为，， ，， 所以四边形EFGO为平行四边形， 所以，所以平面ABCD. （2）如图，以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，OE所在直线为z轴建立空间坐标系，设， ，，，， ，，，，， 设平面QBC的法向量，，， 则即， 则. 设平面ABC的法向量， 设二面角的平面角为，为锐角， 所以. 二面角的余弦值. 17.答案：（1） （2）见解析 解析：（1）依题意可得：.又，则，所以，所以， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由（1）得，所以直线l的方程为， 由，可得， 设，，显然， 所以，， 故. 由题意可得，，则直线的方程为， 直线的方程为. 设直线与的交点坐标为， 则， 故 ， 解得，故直线与的交点在直线上. 18.答案：（1）答案见解析； （2）证明见解析 解析：（1）的定义域为， ， ①当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减； ②当时，令，得或，令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减； ③当时，则，所以在上单调递增； ④当时，令，得或，令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 在时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减， （2），则的定义域为，， 若有两个极值点，，，则方程的判别式 ，且，，所以， 因为，所以，得， 所以 设，其中， 令得， 又， 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减， 即的最大值为，而， ， 从而恒成立. 19.答案：（1）0.155 （2）企业应选择方案二 解析：（1）频率分布直方图中6个小矩形的面积分别是0.1，0.25，0.3，0.2，0.1，0.05， 设“梅雨期”水位的第80百分位数为x， ， ， “梅雨期”水位的第80百分位数为43.75m. 设该河流“梅雨期”水位小于40m为事件，水位在40m至50m为事件，水位大于50m为事件， ，，， 设该地发生1级灾害为事件B，由条形图可知：，，， ， ， . （2）由（1）可知“梅雨期”该河流不发生灾害的概率为， 发生1级灾害的概率为0.155，发生2级灾害的概率为， 设第种方案的企业利润为， 若选择方案一，则该企业在“梅雨期”的平均利润（万元）， 若选择方案二，则该企业在“梅雨期”的平均利润（万元），若选择方案三，则该企业在“梅雨期”的平均利润（万元），14分由于，故企业应选择方案二. 学科网（北京）股份有限公司 $$