2.4～2.5有理数乘方、有理数混合运算（第4-5课时）讲义 2024-2025学年北师大版数学七年级上册

2.4-2.5有理数乘方、有理数混合运算（第4-5课时） 【知识梳理】 知识点一 有理数的乘方 1、乘方的定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，读作“a的n次幂”或者“a的n次方”，a叫做底数，n叫做指数． 注意：分数和负数的乘方要“（ ）” 表示有n个a连续相乘； 2、指数就近原则：指数挨着谁就管谁 有括号：管括号里的 无括号：管紧挨着的 3、乘方运算 1 先定号：底数为正，永远为正；底数为负，奇负偶正 2 再定值：相同底数相乘 4、当n为奇数时，；当n为偶数时，． 1 1的任意次方都是1； 2 0的正整数次方是都是0 3 -1的奇数次方是-1 4 -1的偶数次方是1 知识点二 有理数混合运算 先乘方，再乘除、最后加减 有括号先算括号，有绝对值先算绝对值 同级运算，从左往右 【例题精讲与精练】 知识点一 有理数的乘方 乘方的定义 【例题1】（2023广东佛山）下列对于，叙述正确的是（ ） A. 底数是、指数是4 B. 表示4个3相乘的积的相反数 C. 表示4个相乘的积 D. 表示4与的积 【例题精练】 1、（2023广东佛山）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示．这样捏合到第____次后可拉出64根细面条. 2、计算（　　） A． B． C． D． 3、-表示 （ ） A、4个-3相乘 B、4个3相乘的积的相反数 C、3个-4相乘 D、3个4相乘的积的相反数 【例题2】一根1m长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第2023次剪完后剩下铜丝的长度是（　　） A． B． C． D． 【例题精练】 1、一条1米长的线，小明第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第五次后剩下的线的长度是_____米． 【例题3】计算：_________________． 【例题精练】 1、与-+1结果相等的是（ ） A、-3-2+1 B、-3-2÷（-1） C、-3×（-2）+1 D、-3×2÷（-1） 2、比较﹣|﹣2|与（﹣1）3的大小，结果是（　　） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 3、（2023惠州惠阳区期末）计算6×（-2）÷（-3）-=（ ） 【例题4】（23-24七年级·全国·单元测试）如果，那么 ． 【例题精练】 1、（23-24七年级·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 偶次方和绝对值的非负性 【例题1】（2023广东佛山）若，则的值是（ ）． A. B. 1 C. D. 2023 【例题精练】 1、（2023广东佛山）若，则________． 2、（2022泸州中考）若+|b+3|=0，则ab=（ ） 知识点二 有理数混合运算 【例题1】(2023广东佛山)计算：． 【例题精练】 1、（2023广东佛山）计算：． 2、 3、 计算的值是（ ） A. B. 0 C. D. 1 4、（2022•馆陶县二模）淇淇在计算：时，步骤如下： 解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+6÷﹣6………………① ＝﹣2022+6+12﹣18………………………② ＝﹣2048…………………………………③ （1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是 　①　；（填序号） （2）请给出正确的解题过程． 【例题2】（2023广东佛山） 先阅读，再解题： 因为，，，… 所以 参照上述解法计算： （1）； （2）． 【例题精练】 1、 阅读下列两组材料，解答下列问题． 材料一：观察下列各式：，可以发现底数为3的幂的个位数是有一定规律的： 材料二：观察下列各式：，…， （1）根据材料一蕴藏的规律回答：的个位数字是__________； （2）计算：（要有必要的解答过程）； （3）计算：（要有必要的解答过程）； 2、（2023广东佛山）观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）=________ 3、观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）=________ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4-2.5有理数乘方、有理数混合运算（第4-5课时） 【知识梳理】 知识点一 有理数的乘方 1、乘方的定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，读作“a的n次幂”或者“a的n次方”，a叫做底数，n叫做指数． 注意：分数和负数的乘方要“（ ）” 表示有n个a连续相乘； 2、指数就近原则：指数挨着谁就管谁 有括号：管括号里的 无括号：管紧挨着的 3、乘方运算 1 先定号：底数为正，永远为正；底数为负，奇负偶正 2 再定值：相同底数相乘 4、当n为奇数时，；当n为偶数时，． 1 1的任意次方都是1； 2 0的正整数次方是都是0 3 -1的奇数次方是-1 4 -1的偶数次方是1 知识点二 有理数混合运算 先乘方，再乘除、最后加减 有括号先算括号，有绝对值先算绝对值 同级运算，从左往右 【例题精讲与精练】 知识点一 有理数的乘方 乘方的定义 【例题1】（2023广东佛山）下列对于，叙述正确的是（ ） A. 底数是、指数是4 B. 表示4个3相乘的积的相反数 C. 表示4个相乘的积 D. 表示4与的积 答案：表示4个3相乘的积的相反数， 故选B． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方的定义以及相关概念，解答此题的关键是要明确：乘方的结果叫做幂，在中，a叫做底数，n叫做指数． 【例题精练】 1、（2023广东佛山）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示．这样捏合到第____次后可拉出64根细面条. 答案：解：∵26=64， ∴捏合到第6次后可拉出64根细面条， 故答案为6． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，是基础题，理解乘方的定义是解题的关键． 2、计算（　　） A． B． C． D． 答案：解：原式， 故选：B． 3、-表示 （ ） A、4个-3相乘 B、4个3相乘的积的相反数 C、3个-4相乘 D、3个4相乘的积的相反数 答案：B 【例题2】一根1m长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第2023次剪完后剩下铜丝的长度是（　　） A． B． C． D． 答案：解：第一次剪去绳子的，剩下是， 第二次剪去剩下绳子的，剩下是，⋯⋯ 第2023次剪完后剩下绳子的长度是． 故答案为：C． 【例题精练】 1、一条1米长的线，小明第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第五次后剩下的线的长度是_____米． 答案：解：一条1米长的线，第一次剪去一半后还剩米， 第二次剪去剩下的一半后还剩米， 第三次剪去剩下的一半后还剩米， 第四次剪去剩下的一半后还剩米， 第五次剪去剩下的一半后还剩米，即是 故答案为： 【例题3】计算：_________________． 答案：解：； 故答案为：0. 【例题精练】 1、与-+1结果相等的是（ ） A、-3-2+1 B、-3-2÷（-1） C、-3×（-2）+1 D、-3×2÷（-1） 答案：D 2、比较﹣|﹣2|与（﹣1）3的大小，结果是（　　） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 解：∵﹣|﹣2|＝﹣2，（﹣1）3＝﹣1， ∴﹣2＜﹣1， 故选：C． 3、（2023惠州惠阳区期末）计算6×（-2）÷（-3）-=（ ） 答案：5 【例题4】（23-24七年级·全国·单元测试）如果，那么 ． 答案：解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 因此． 故答案为：4． 【例题精练】 1、（23-24七年级·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 答案：解： ＝1×8 ＝8 故选：B． 偶次方和绝对值的非负性 【例题1】（2023广东佛山）若，则的值是（ ）． A. B. 1 C. D. 2023 答案：解：∵， ∴且， ∴且， ∴ ． 故选：A． 【例题精练】 1、（2023广东佛山）若，则________． 答案：，且 ，，即，， ． 故答案为：1． 2、（2022泸州中考）若+|b+3|=0，则ab=（ ） 答案：-6 知识点二 有理数混合运算 【例题1】(2023广东佛山)计算：． 答案：解： 【例题精练】 1、（2023广东佛山）计算：． 答案：解：原式 ； 2、 答案：解： ． 3、 计算的值是（ ） A. B. 0 C. D. 1 答案：解：； 故选C． 3、（2022•馆陶县二模）淇淇在计算：时，步骤如下： 解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+6÷﹣6………………① ＝﹣2022+6+12﹣18………………………② ＝﹣2048…………………………………③ （1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是 　①　；（填序号） （2）请给出正确的解题过程． 解：（1）∵（﹣1）2022＝1，（﹣2）3＝﹣8，6÷（﹣）＝6÷＝36， ∴原式＝1﹣（﹣8）+6÷， ∴开始出现错误的步骤是①， 故答案为：①； （2）原式＝1﹣（﹣8）+6÷ ＝1+8+6×6 ＝1+8+36 ＝45． 【例题2】（2023广东佛山） 先阅读，再解题： 因为，，，… 所以 参照上述解法计算： （1）； （2）． 答案：（1）解：根据上述解法可得： ； （2）∵，，…，， 所以 = = =． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算的规律探究及运用，熟练的利用规律进行计算是解本题的关键． 【例题精练】 1、 阅读下列两组材料，解答下列问题． 材料一：观察下列各式：，可以发现底数为3的幂的个位数是有一定规律的： 材料二：观察下列各式：，…， （1）根据材料一蕴藏的规律回答：的个位数字是__________； （2）计算：（要有必要的解答过程）； （3）计算：（要有必要的解答过程）； 答案： 【小问1详解】 解：由材料一可知：的个位数字以3，9，7，1为一个循环组依次循环， ∵， ∴的个位数字是9， 故答案为：9； 小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 2、（2023广东佛山）观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）=________ 答案：【详解】解：由已知等式可知：， ， ， 归纳类推得：，其中n为正整数， 则， 因此， ， ， ， 故答案为：． 3、观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）=________ 答案： 【详解】解：由已知等式可知：， ， ， 归纳类推得：，其中n为正整数， 则， 因此， ， ， ， 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$