精品解析：河南省焦作市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

河南省焦作市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 考生注意: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列的前5项依次为，按照此规律，可知（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 32 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 某次高三统考共有12000名学生参加，若本次考试的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩在70分到130分之间的人数约为总人数的，则此次考试中数学成绩不低于130分的学生人数约为（ ） A. 2400 B. 1200 C. 1000 D. 800 5. 如图所示，为的边上的高，，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6. 类比数列，我们把一系列向量按照一定的顺序排列，可得到向量列.已知向量列满足，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为:如果函数在区间[]上的图象连续不断，导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在区间[]上的“拉格朗日中值点”.已知函数在区间上的拉格朗日中值点为，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 8. 若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 的图象与轴交于点 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 10. 已知等差数列满足，等比数列满足，则下列说法中正确是（ ） A. 数列的前3项和为86 B. 数列的前50项和为50 C. 若数列的前项和为，则 D. 若，则是公差为的等差数列 11. 已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（ ） A. 点的坐标为 B. 的最小值是 C. 的最大值是0 D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某快餐厅推出一种双人组合套餐，每份套餐包括2份主食和2杯材料，主食有5种可供选择，饮料有4种可供选择，且每份套餐中主食和饮料均不能重复，则这种双人套餐的不同搭配有_______种.（用数字作答） 13. 若直线与曲线相切，则___________. 14. 记数列的前项和为，前项积为，若且，则___________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前12项和，其中表示不超过的最大整数，如，. 16. 某中学为贯彻“阳光体育校园”的办学理念，鼓励全体同学参加春季运动会，随机调研了100名同学并统计他们的意愿后得到下面的列联表. 愿意参加 不愿意参加 总计 男同学 40 女同学 30 总计 50 100 （1）完善列联表，并判断是否有的把握认为该校男生和女生参加春季运动会的意愿有差异; （2）用频率估计概率，从全校同学中随机抽取3人，记其中愿意参加该运动会的人数为，求的分布列和数学期望. 附: 0.1 005 0.01 0001 2.706 3.841 6.635 10828 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若为棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知双曲线的左焦点为，左顶点为，虚轴的上端点为，且. （1）求的方程； （2）若直线的斜率是的斜率为正的渐近线的斜率的2倍，且与交于两点，直线的斜率之和为，求的方程. 19. 已知函数存在两个零点. （1）求实数的取值范围； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省焦作市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 考生注意: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列的前5项依次为，按照此规律，可知（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】利用观察法求出数列的通项公式即可得解. 【详解】数列的前5项依次为，则， 所以. 故选：A 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为，则， 所以，所以， 又因为，所以. 故选：A. 3 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数定义计算即可. 【详解】因为, 因为. 故选：D. 4. 某次高三统考共有12000名学生参加，若本次考试的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩在70分到130分之间的人数约为总人数的，则此次考试中数学成绩不低于130分的学生人数约为（ ） A. 2400 B. 1200 C. 1000 D. 800 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求出即可计算得解. 【详解】依题意，，， 因此， 所以此次考试中数学成绩不低于130分的学生人数约为. 故选：B 5. 如图所示，为的边上的高，，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合直角三角形中三角函数的定义，利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】由题意：在直角中，； 在直角中，; 所以. 故选：C 6. 类比数列，我们把一系列向量按照一定的顺序排列，可得到向量列.已知向量列满足，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造得，再利用等比数列定义和通项公式即可. 详解】， 则，其中， 则是以为首项，2为公比的等比数列， 则，则. 故选：B. 7. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为:如果函数在区间[]上的图象连续不断，导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在区间[]上的“拉格朗日中值点”.已知函数在区间上的拉格朗日中值点为，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用拉格朗日中值定理建立方程求解即得. 【详解】函数，求导得，则， 依题意，，即，整理得， 而，所以. 故选：C 8. 若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的不等式，利用同构的思想，并按分类讨论，构造函数，利用导数探讨单调性转化为恒成立的不等式求解. 【详解】由，得，当时，，当时，， 不等式恒成立，当时，令函数，求导得， 当时，，函数在上单调递增，而当时，， 不等式，即，于是， 因此，恒成立，令，求导得， 则函数在上单调递增，，于是，则， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 的图象与轴交于点 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据周期求出判断A，计算可判断B，计算判断C，根据余弦函数的单调性判断D. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，解得，故A正确； 由，令，则，即函数与轴交于点为，故B错误； 因为，所以函数图象关于直线对称，故C正确； 当时，，由余弦函数单调性知在上单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：ACD 10. 已知等差数列满足，等比数列满足，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列前3项和为86 B. 数列的前50项和为50 C. 若数列的前项和为，则 D. 若，则是公差为的等差数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列及等比数列的基本量运算求出通项公式，再根据求和公式判断A，再应用分组求和及裂项相消判断B，C选项，根据定义判断等差数列的公差判断D选项. 【详解】因为所以， 因为，所以， 对于A：的前3项和为，A选项错误； 对于B：的前50项和为，B选项正确； 对于C：，，C选项正确； 对于D：，， 所以是公差为的等差数列，D选项错误. 故选：BC. 11. 已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（ ） A. 点的坐标为 B. 的最小值是 C. 的最大值是0 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将直线的方程化简为点斜式，判断出A项的正误；根据时被圆截得弦长最短，算出的最小值，从而判断出B项的正误； 利用平面向量数量积的定义与运算性质，结合圆的性质求出的最大值与的大小，从而判断出CD两项的正误． 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径． 对于A，直线，可化为， 所以直线经过点，斜率为， 因此直线过定点，A项正确； 对于B，当时，直线到圆心的距离达到最大值， 此时，可知的最小值是，故B项不正确； 对于C，，由于的最小值是，此时取最大值，故最大值为0，故C项正确； 对于D，设的中点为，连接，则， 可得 ，故D项正确． 故选：ACD． 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某快餐厅推出一种双人组合套餐，每份套餐包括2份主食和2杯材料，主食有5种可供选择，饮料有4种可供选择，且每份套餐中主食和饮料均不能重复，则这种双人套餐的不同搭配有_______种.（用数字作答） 【答案】60 【解析】 【分析】利用组合数和分步乘法计数原理计算得出。 【详解】先从5种主食选2种，有种选法，再从4中饮料中选2种，有种选法，所以共有种不同的搭配. 故答案为：60 13. 若直线与曲线相切，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义列出方程组并求解即得. 【详解】设直线与曲线相切的切点坐标为， 由，求导得，于是，解得. 故答案为：1 14. 记数列前项和为，前项积为，若且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】计算数列的前几项，推得数列是最小正周期为4的数列，由，可得首项为2，进而得到所求和． 【详解】若，即， 设，，，，， 可得数列是最小正周期为4的数列， 则， 即有，，，， 可得， 则． 故答案为：． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前12项和，其中表示不超过的最大整数，如，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）降次作差即可得到，最后验证即可； （2）求出前12项的每一项，最后求和即可. 【小问1详解】 当时，，①， 所以当时，②， ①②得， 即也满足该式，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 依次类推，可知. 所以数列的前12项和为. 16. 某中学为贯彻“阳光体育校园”的办学理念，鼓励全体同学参加春季运动会，随机调研了100名同学并统计他们的意愿后得到下面的列联表. 愿意参加 不愿意参加 总计 男同学 40 女同学 30 总计 50 100 （1）完善列联表，并判断是否有把握认为该校男生和女生参加春季运动会的意愿有差异; （2）用频率估计概率，从全校同学中随机抽取3人，记其中愿意参加该运动会的人数为，求的分布列和数学期望. 附:. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算的观测值并回答问题. （2）求出概率，利用二项分布求出分布列并求出数学期望. 【小问1详解】 依题意，列联表为： 愿意参加 不愿意参加 总计 男同学 40 20 60 女同学 10 30 40 总计 50 50 100 零假设为性别与是否有意愿参加春季运动会独立， ， 所以拒绝零假设， 所以有的把握认为该校男生和女生参加春季运动会的意愿有差异. 【小问2详解】 依题意，愿意参加春季运动会的概率为， 的可能值为0，1，2，3，且， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若为棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由给定条件证得，再利用线面垂直的性质、判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量坐标，再利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 在四棱锥中，由平面，平面，得， 在矩形中，为边的中点，， 则，，即有， 而平面，所以平面. 【小问2详解】 显然直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知双曲线的左焦点为，左顶点为，虚轴的上端点为，且. （1）求的方程； （2）若直线的斜率是的斜率为正的渐近线的斜率的2倍，且与交于两点，直线的斜率之和为，求的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到关于的方程组，解出即可； （2）设，联立双曲线方程得到韦达定理式，再计算得，代入韦达定理式即可求出. 【小问1详解】 设的半焦距为. 因为，所以， 解得，所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 易知，因为的斜率为正的渐近线的斜率为， 所以的斜率为1，故设. 设.联立消去，整理得， 则，得，即或， . 又， 所以 . 整理得，解得(舍去)或， 所以直线的方程为，即. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法，再联立双曲线方程得到韦达定理式，最后计算斜率之积即可. 19. 已知函数存在两个零点. （1）求实数的取值范围； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数法求含参函数的单调性，进而得出即可求解； （2）根据已知条件将问题转化为当时， 恒成立，设，由，得，再分和三种情况讨论，利用导数法求函数的最值即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，所以在上单调递增，不可能存在两个零点，不符合题意； 当时，令，则，解得， 当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 因为存在两个零点， 所以，解得， 此时，又，当时，， 所以有两个零点，符合题意， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 当时，恒成立，即恒成立， 设， 由题意知当时，恒成立，则， 即，解得， 若，则当且时，，所以，不符合题意， 若，则恒成立，符合题意， 下面证明：当时，对任意恒成立（*）， 要证，即证， 因为，所以， 只需证明即可， ， 令，则 当时，， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，，，在单调递减； 当时，，，在单调递增， 所以，即命题（*）得证， 综上所述，的取值范围是． 【点睛】关键点睛：第一问直接利用导数法求含参函数的单调性，得出即可；第二问：根据已知条件将问题转化为当时， 恒成立， 设，由，得，再分和三种情况讨论即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$