专题测试卷03 导数及其应用（名校重组卷）-备战2025年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

专题02 函数 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．（2024·湖北襄阳·二模）已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 2．（2024·北京大兴·三模）下列函数中，是偶函数，且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设，，，，则等于（    ） A．0 B． C． D． 4．（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏泰州·模拟预测）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江西南昌·三模）已知函数.则下列说法中错误的是（   ） A．当时，在上单调递增 B．当时，的最小值是一个与无关的常数 C．可能有三个不同的零点 D．当时，有且仅有一个零点 7．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数恰有两个极值点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 10．（2024·重庆九龙坡·三模）已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·湖南长沙·三模）瑞士数学家Jakob Bernoulli于17世纪提出如下不等式：，有，请运用以上知识解决如下问题：若，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2024·湖南怀化·二模）已知，则的单调增区间为 ． 13．（2024·上海·模拟预测）如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km（其中），两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边距离A处 km才能使水管费用最省？ 14．（2024·河南·模拟预测）已知正数，满足，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2024·河南·三模）已知函数，且在处的切线方程是． (1)求实数，的值； (2)求函数的单调区间和极值． 16．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数（且）. (1)若，求a； (2)若，且对于任意，在区间上总存在极值，求的取值范围. 17．（2024·浙江温州·一模）已知（）. (1)求导函数的最值； (2)试讨论关于的方程（）的根的个数，并说明理由. 18．（2024·山西吕梁·三模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意的，使恒成立，则实数的取值范围. 19．（2023·上海普陀·一模）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质． ①在上的导数存在； ②在上的导数存在，且（其中）恒成立． (1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由． (2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．（2024·湖北襄阳·二模）已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由题意，根据求导公式和运算法则可得，结合导数的定义即可求解. 【详解】由题意知，，则. 所以. 故选：B 2．（2024·北京大兴·三模）下列函数中，是偶函数，且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的奇偶性、函数奇偶性的定义、函数导数判断函数单调性和特殊值判断函数单调性，针对各个选项判断即可； 【详解】对于A，函数是奇函数，A错误； 对于B，函数，所以函数为偶函数，， 令，得，当时，在上单调递减，B正确； 对于C，函数为偶函数，在上单调性有增也有减，C错误； 对于D，函数，所以函数为偶函数， ，，函数在上一定不是减函数，D错误； 故选：B. 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设，，，，则等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可知：可知，且，结合周期性分析求解. 【详解】由题意可得：， 可知，且， 且，所以. 故选：A. 4．（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 5．（2024·江苏泰州·模拟预测）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的导函数，利用换元法将题目条件转化为在上恒成立；再构造函数，判断其函数的单调性，求出最大值即可解答. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 令， 则， 所以在上恒成立. 又因为在上单调递增， 所以当时， 故. 故选：D. 6．（2024·江西南昌·三模）已知函数.则下列说法中错误的是（   ） A．当时，在上单调递增 B．当时，的最小值是一个与无关的常数 C．可能有三个不同的零点 D．当时，有且仅有一个零点 【答案】C 【分析】利用求导，对常数按选项进行分类讨论，从而得到函数的单调性和极值情况，再根据数形结合，即可以判断各选项. 【详解】对于A，由， 当时，， 当时，，则有， 当时，，则有， 所以对任意的，都有，即在上单调递增，故A正确； 对于B，当时， 有， 所以当时，则，即在上递增； 当时，则，即在上递减； 即，所以的最小值是一个与无关的常数，故B正确； 对于D, 当时,分类讨论： 当时，由可知： 所以当或时，则，即在和上递增； 当时，则，即在上递减； 即在时有极小值，在时有极大值， 由于时， （这里运用指数爆炸增长，它的增长速度一定会大于二次函数的增长速度） 所以由上可得有且仅有一个零点； 当时，由可知： 所以当或时，则，即在和上递增； 当时，则，即在上递减； 即在时有极大值，在时有极小值， 由于时，， 所以有且仅有一个零点； 当时，由A得：在上单调递增，由， 由于时，， 所以由上可得有且仅有一个零点； 综上可以判断D是正确的； 对于C，由于当时，有且仅有一个零点， 当时， 有， 所以当时，则，即在上递增； 当时，则，即在上递减； 此时最多有2个不同的零点； 当时，，此时显然只有一个零点； 所以不可能有三个不同的零点，故C是错误的； 故选：C. 【点睛】方法点睛：对参数进行分类讨论，来判断原函数的单调性和极值，从而就可以解决问题. 7．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数恰有两个极值点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导后，令，则只需要有两个不同的零点，利用导数求得在上单调递减，在上单调递增，则，得，再结合零点存在性定理可判断出在和上各有一个零点，从而可求得结果. 【详解】的定义域是，，令， 所以，令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 要使恰有两个极值点，则，解得， 此时， 所以在上有唯一的零点， 令，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以， 所以， 所以在上有唯一的零点， 综上，当时，在上有两个不同的零点，且零点两侧的函数异号， 所以a的取值范围是． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数解决函数极值点问题，解题的关键是将问题转化为有两个不同的零点，结合零点存在性定理分析，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 8．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小. 【详解】设，， 时，，为减函数， 时，，为增函数，所以， ，即. 设，， 时，，为增函数， 时，，为减函数， 所以，，即，所以. 设，， 为增函数，所以，所以，即. 故选：D 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 10．（2024·重庆九龙坡·三模）已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可. 【详解】由， 令，则， 因为，所以，故A错误； 令，则，① 所以， 因为为奇函数，所以为偶函数，， 所以，② 由①②并整理得， 即， 所以， 所以是周期为的周期函数，故，故B正确； 因为，所以，故C正确； 由上知， 在①中，令，得，所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性、周期性及导数的计算.解题关键在于熟练地应用函数奇偶性、周期性的定义及导数的计算，利用赋值法推导出函数，的性质. 11．（2024·湖南长沙·三模）瑞士数学家Jakob Bernoulli于17世纪提出如下不等式：，有，请运用以上知识解决如下问题：若，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】不妨设，根据选项C的结构构造函数，利用导数研究其单调性，结合题目不等式结论即可判定正确，再根据题目不等式结论证明得及，相加即可判断B正确，结合C判断A正确，得解. 【详解】不妨设，先证明C：证明在上单调递减即可. ，即要证明， 即要证明， 因为，得证， 所以，即，故选项C正确，D错误； 再证明B：，因此， 同理，故，且，所以AB正确. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2024·湖南怀化·二模）已知，则的单调增区间为 ． 【答案】/ 【分析】求出函数的导数，再解导函数大于0的不等式即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得，所以的单调增区间为. 故答案为： 13．（2024·上海·模拟预测）如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km（其中），两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边距离A处 km才能使水管费用最省？ 【答案】 【分析】设点距点， 得到，且，再设总的水管费用为元，求得，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】据题意知， 只有点在线段上某一适当位置，才能使总运费最省， 设点距点， 如图所示， 则， 所以， 再设总的水管费用为元，则， 可得，令，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 所以，当时，函数取得极小值，也时最小值， 所以函数在处取得最小值，此时， 故供水站建立在之间距甲厂处，可使水管费用最省. 故答案为：20 14．（2024·河南·模拟预测）已知正数，满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】将整理为，构造函数，等式化为，由单调递增得到，令，求的最大值即为求在上的最大值. 【详解】由，得，所以. 设，由，得在上单调递增， 因为，为正数，所以，则等式化为，所以，即，得. 令，则， 当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 则，故的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：同构法解决恒成立问题 将等式两边整理为结构相同的形式，由此构造新函数，本题中将整理为，从而构造函数. 3、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2024·河南·三模）已知函数，且在处的切线方程是． (1)求实数，的值； (2)求函数的单调区间和极值． 【答案】(1)， (2)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到方程组，解得即可； （2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调区间，从而求出极值. 【详解】（1）因为，所以， 又在处的切线方程为， 所以，， 解得，． （2）由（1）可得定义域为，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 则在处取得极小值， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 因此极小值为，无极大值． 16．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数（且）. (1)若，求a； (2)若，且对于任意，在区间上总存在极值，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）分和，确定的符号，可确定的值. （2）把问题转化成为有两个不相等的实根，且必有一根在区间内，在根据二次函数的零点分布求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，由得：（），所以. 当时，，由得：（），所以. 所以. （2）时，. 所以，（）. 所以，（） 对于任意，在区间上总存在极值就是： 有两个不相等的实根，且必有一根在区间内. 因为函数是开口向上的二次函数，且， 所以必有：. 由， 设，则在上单调递减，所以，所以， 由. 综上可知：. 所以，所求的取值范围是： 17．（2024·浙江温州·一模）已知（）. (1)求导函数的最值； (2)试讨论关于的方程（）的根的个数，并说明理由. 【答案】(1)最大值等于 (2)答案见解析 【分析】 （1）求出导函数，令，对再求导，利用导数确定单调性得最值； （2）方程变形为，令，对求导，确定单调性，得出函数值域后可得结论． 【详解】（1） ∵，记 ∴，解得： 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值等于. （2） 方法1：由，即，即. 令，∴，由解得： ∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且 所以：当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解. 方法2：由，即，即. 令，，∴，由解得： ∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且 所以：当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解. 方法3：由，即，两边取对数得：，即. 令，所以由，解得 当时，，单调递增，当时，，单调递减 所以 当，即时，方程无解； 当，即时，方程有1个解； 当，即时，方程有2个解. 18．（2024·山西吕梁·三模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意的，使恒成立，则实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由，定义域为，求导，令，讨论当取不同的值时的正负情况，即可得到的单调性； （2）法一：由可化为，令，讨论取正、负、零时恒成立，即可得到实数的取值范围； 法二：由可得，令，即恒成立，由，则令，则恒成立，讨论取正、负、零时的单调情况，得到极值，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）的定义域为， 令， 又， ，当，即时，，此时在上单调递增 ，当，即时， 令，解得 其中，当时， 所以在单调递增，在单调递减； 当时，， 故在单调递减，单调递增. 综上：在上单调递增； 在上单调递增； 在上单调递减，在上单调递增. （2）法一：不妨设，则，同除以得， 所以令， 当时，恒成立， ，若恒成立，符合题意， ，当恒成立， 令则， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以， ，若，同理恒成立，由知，当 所以不存在满足条件的. 综上所述：. 法二：. 令，则只需在单调递增， 即恒成立， ，令，则恒成立； 又， ①当时，在单调递增成立； ②当时，在单调递增，又，故不恒成立.不满足题意； ③当时，由得在单调递减，在单调递增， 因为恒成立，所以， 解得， 综上，. 19．（2023·上海普陀·一模）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质． ①在上的导数存在； ②在上的导数存在，且（其中）恒成立． (1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由． (2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【答案】(1)函数在区间上具有性质； (2)存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是； (3)的最大值为. 【分析】（1）令，按照题目所给定义，求出和，并判断是否恒成立即可； （2）先利用为奇函数且在处取得极值求出实数，的值，再按照题目所给定义，求出，即可求出的取值范围； （3）分离参数得，构造函数，通过的最小值，即可确定正整数的最大值. 【详解】（1）令，， 则，， ，， 当时，恒成立， ∴函数在区间上具有性质； （2）∵， ∴， ∵在处取得极值，且为奇函数， ∴在处也取得极值， ∴，解得， ∴， ， 当时，令，解得；令，解得； 故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值， ∴， 当时，恒成立， ∴存在实数，使在区间上恒成立， ∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是； （3）∵， ∴， 令， 则， 令， 则， 当时，，在区间上单调递增， 又∵，， ∴存在，使， ∴当时，，，在区间上单调递减， 当时，，，在区间上单调递增， ∴当时，的最小值为， 由，有， ∴， ∵，∴， 又∵恒成立， ∴， ∵且， ∴的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题中存在无法求解零点，使用了虚设零点的方法，设，再通过的代换，求得的最小值，这种方法，是解决“隐零点”的常用方法之一. 试卷第2页，共19页 试卷第1页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $$