专题测试卷02 函数（名校重组卷）-备战2025年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

专题02 函数 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．（2024·山西阳泉·三模）设集合，则集合与集合的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川内江·模拟预测）设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·重庆·期末）若为偶函数，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 4．（24-25高三上·河南·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·宁夏银川·三模）命题，命题函数且在上单调，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）如图，边长为1的正方形，其中边在轴上，点与坐标原点重合，若正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴上时，再以为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形的某个顶点落在轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点滚动时形成的曲线为，则（ ） A．0 B． C．1 D． 8．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·河南·开学考试）已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是偶函数 D． 11．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.给出定义：在平面直角坐标系中，能够将圆心位于坐标原点的圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”.给出下列命题： ①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个； ②函数可以是某个圆的“优美函数”； ③余弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”； ④函数是“优美函数”的充要条件为存在，使得对恒成立. A．① B．② C．③ D．④ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2024·广东深圳·三模）函数的单调递增区间是 ． 13．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ． 14．（2024·河北石家庄·三模）给定函数，用表示中的较大者，记．若函数的图象与有3个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（23-24高三上·安徽马鞍山·阶段练习）二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围. 16．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)若过定点，求的单调递减区间； (2)若值域为，求a的取值范围． 17．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 18．（2024·浙江金华·模拟预测）太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度（E为入射光能量且为入射光入射有效面积），电池板转换效率与入射光功率密度成反比，且比例系数为k． (1)若平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式； (2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量，锂离子蓄电池的放电量．设，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？ 注：①蓄电池电能储存量； ②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好． 19．（24-25高三上·河南·开学考试）设函数的定义域为，若存在正实数，使得对于任意，有，且，则称是上的“距增函数”. (1)已知函数，证明：对于任意正实数是上的“距增函数”； (2)若是上的“距增函数”，求的取值范围； (3)已知是定义在上的“2距增函数”，求的取值范围. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．（2024·山西阳泉·三模）设集合，则集合与集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合中函数的值域，集合中函数的定义域，得到这两个集合，可判断集合间的关系. 【详解】函数值域为，函数定义域为， 即，，所以有. 故选：C. 2．（2025·四川内江·模拟预测）设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由指数函数的单调性比较与的大小，再作商比较的大小即可得解. 【详解】， ，而 而，因为，所以， 所以，故， 所以. 故选：B 3．（23-24高二下·重庆·期末）若为偶函数，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】由求出，代入，检验是否满足题意. 【详解】的定义域为， 解得：或， 若为偶函数，则， 所以，解得：， 所以， . 所以为偶函数，满足题意. 故选：B. 4．（24-25高三上·河南·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指对数互化、对数的运算性质和换底公式计算找到关系式； 【详解】因为，所以， ，故. 故选：A. 5．（2024·宁夏银川·三模）命题，命题函数且在上单调，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据对数复合型函数的单调性，由命题求出的取值范围，再判断充分性和必要性即可. 【详解】设，则可化为． 充分性：当时，函数在上单调递减，在上单调递减， 且当时，，在上单调递增， 当时，，此时没有意义，故充分性不成立． 必要性：若在上单调递减，则，所以在上单调递减， 且在上恒成立，所以，得， 所以当时，在上单调递增； 若在上单调递增，则，所以在上单调递减， 且在上恒成立，所以，得，不符合题意，舍去. 综上可知，当函数在上单调时，，因此必要性成立． 所以是的必要不充分条件． 故选：B． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出时，，从而得到当时，的值域包含，得到不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】当时，，又的值域为R， 故当时，的值域包含． 故，解得． 故选：C 7．（2024高三·全国·专题练习）如图，边长为1的正方形，其中边在轴上，点与坐标原点重合，若正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴上时，再以为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形的某个顶点落在轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点滚动时形成的曲线为，则（ ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据已知条件及函数的周期性即可求解. 【详解】由题意可知，是周期为的函数，所以. 由题意可得，当时，点恰好在轴上，所以，则， 所以. 故选：C. 8．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出的值域，再借助二次函数求出的值域，最后利用指数函数单调性求解即得. 【详解】函数在上单调递增，， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】作出函数的图象，设，则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，可得出，再结合对称性与对数运算即可得正确选项. 【详解】函数的图象如图所示， 设，则， 则直线与函数的图象个交点横坐标分别为， 对于A：函数的图象关于直线对称，则，故A正确； 对于B：由图象可知，且， ∴，即，所以，故B正确； 对于C，当时，， 由图象可知，则，故C错误； 对于D，由图象可知， 所以，故D错误. 故选：AB. 10．（24-25高三上·河南·开学考试）已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是偶函数 D． 【答案】ABD 【分析】A.令求解判断；B.分别令，求解判断；C.令利用函数奇偶性定义判断；D.令求解判断. 【详解】令，得，A正确. 令，得，所以. 令，得，所以，B正确. 令，得，所以是奇函数，C错误. 令，得，所以D正确. 故选：ABD 11．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.给出定义：在平面直角坐标系中，能够将圆心位于坐标原点的圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”.给出下列命题： ①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个； ②函数可以是某个圆的“优美函数”； ③余弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”； ④函数是“优美函数”的充要条件为存在，使得对恒成立. A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AB 【分析】根据定义分析可得优美函数的特征为函数图象关于圆心（即坐标原点）成中心对称，再逐一分析各个命题即可得解. 【详解】依题意，函数是优美函数，等价于函数图象关于圆心（即原点）成中心对称， 对于A，以原点为对称中心的中心对称图形有无数个，如函数，为常数，命题①是真命题，A正确； 对于B，函数的定义域为R， ， 即函数的图象关于原点成中心对称，命题②是真命题，B正确； 对于C，余弦函数不是关于原点成中心对称的图形，命题③是假命题，C错误； 对于D，函数的图象关于点成中心对称，而点不一定为原点，命题④是假命题，D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2024·广东深圳·三模）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求出结果. 【详解】函数， 由，解得或， 函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递增区间为. 故答案为：. 13．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ． 【答案】（不唯一） 【分析】根据幂函数的单调性奇偶性即可得解. 【详解】因为在上单调递增，又在区间上单调递减， 所以可以为偶函数，不妨取， 此时，函数定义域为， 且，故为偶函数， 满足在区间上单调递减. 故答案为：（不唯一） 14．（2024·河北石家庄·三模）给定函数，用表示中的较大者，记．若函数的图象与有3个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】在同一坐标系下画出的图象，求出交点坐标；结合图象再做出满足条件的直线，进而求出的取值范围即可. 【详解】 由，， 因为， 所以图象变为： 其中，当且仅当时取最大值； 且设两函数在第一象限的交点为，即当， ， 解得：， 由题意与函数的图象有3个不同的交点， 由数形结合易知：，或， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（23-24高三上·安徽马鞍山·阶段练习）二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用求得，由可求得，即得答案； （2）依题意可得当时，恒成立，参变分离可得恒成立，再令，，求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）由题意设， 由得； 由得， 即恒成立，故，则， 故； （2）因为当时，的图象恒在图象的上方， 所以当时，恒成立， 即当时，恒成立， 令，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 16．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)若过定点，求的单调递减区间； (2)若值域为，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，得到，令，求得函数的定义域为，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定法，即可求解； （2）根据题意，转化为，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由函数过定点， 可得，可得，解得，所以， 令，解得或，即函数的定义域为， 设，则函数在上为单调递减函数， 又由函数在定义域上为单调递增函数， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减， 所以函数的递减区间为. （2）解：由函数的值域为， 即为函数值域的子集，即， 当时，可得，此时函数的值域为，符合题意； 当时，则满足，解得，所以； 当时，此时的开口向下，显然不满足题意， 综上可得，实数的取值范围为. 17.（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据在区间上是严格减函数可得，解不等式可得整数的值，检验是否符合奇函数即可； （2）对任意实数，不等式恒成立，而在上为减函数，由此可得解． 【详解】（1）依题意为奇函数，在区间上是严格减函数， 可得，解得， 由于,故，1，2， 当和时，，此时为奇函数，符合要求， 当时，，此时为偶函数，不符合要求， ； （2）不等式，即， 又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数， 所以，则， 所以实数的取值范围为． 18．（2024·浙江金华·模拟预测）太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度（E为入射光能量且为入射光入射有效面积），电池板转换效率与入射光功率密度成反比，且比例系数为k． (1)若平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式； (2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量，锂离子蓄电池的放电量．设，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？ 注：①蓄电池电能储存量； ②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用题目所给公式及数据计算即可得； （2）用S，k，Q表示出两种蓄电池的放电量后作差比大小即可得. 【详解】（1）， 若平方米，则； （2）由，即， 铅酸蓄电池的放电量为：， 锂离子蓄电池的放电量为：， 则 ， 令，可得， 即时，，此时应选择铅酸蓄电池， 当时，，此时应选择锂离子蓄电池， 当时，，两种电池都可以. 19．（24-25高三上·河南·开学考试）设函数的定义域为，若存在正实数，使得对于任意，有，且，则称是上的“距增函数”. (1)已知函数，证明：对于任意正实数是上的“距增函数”； (2)若是上的“距增函数”，求的取值范围； (3)已知是定义在上的“2距增函数”，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据函数导数判断函数单调性，结合增函数得证明是上的“距增函数”； （2）根据“距增函数”的定义，可得，解不等式求得的取值范围； （3）根据是定义在上的“2距增函数”，有，对分类讨论结合函数的单调性求得的取值范围； 【详解】（1）证明：因为，所以，所以在上单调递增. 对于任意正实数，所以， 所以是上的“距增函数”. （2）因为是上的“距增函数”，所以， 即，化简得， 所以无解，即， 解得（舍去）.所以的取值范围为. （3）因为是定义在上的“2距增函数”，所以. ①若，则. 因为在上单调递增，所以恒成立. ②若，则. 因为，所以. 令，则，即. 令函数，则. 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. ③若，则. 由（2）可得，要使得是定义在上的“2距增函数”，则必须满足. 当时，. 综上，的取值范围为. 试卷第4页，共14页 试卷第3页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$