专题测试卷01 集合、常用逻辑用语与不等式（名校重组卷）-备战2025年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

专题01 集合、常用逻辑用语与不等式 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·吉林·模拟预测）已知命题，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 4．（2024·天津河北·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三下·福建厦门·强基计划），，若，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·江西·开学考试）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2024·辽宁·模拟预测）若，则使“”成立的一个充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江西·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．当时， C．当时， D．，使得 11．（2024·安徽合肥·模拟预测）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的a、，有； ②、b、，有； ③，使得，有，e称为单位元； ④，，使，称a与b互为逆元． 则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集N关于数的加法构成群 C．实数集R关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2024·山东菏泽·二模）已知，集合．则集合中所有元素之和为 ． 13．（2024高三·全国·专题练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 14．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）已知，或. (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（22-23高一上·安徽·期中）已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 17．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知，. (1)若，求； (2)已知全集，若，求实数的取值范围. 18．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，对，使得成立，求的取值范围. 19．（24-25高三上·江西·开学考试）已知数列，记集合. (1)对于数列，写出集合； (2)若，是否存在，使得?若存在，求出一组符合条件的，若不存在，说明理由； (3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合、常用逻辑用语与不等式 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2．（2024·吉林·模拟预测）已知命题，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题的否定为：，A正确. 故选：A 3．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交集、并集、补集运算规则，以及结合子集的定义即可得解. 【详解】因为，所以且 又 所以， 故选：D. 4．（2024·天津河北·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由可得，解得， 所以由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助指数函数的单调性与绝对值的性质可得集合，借助对数函数定义域计算可得集合，即可得，再利用交集定义即可得解. 【详解】由题意知， ，故， 所以． 故选：A． 6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由命题为假命题，得到为真命题.方法一：参数分离，并构造函数，通过导数求函数单调性求解；方法二：将转化为直线与曲线没有交点，通过导数求切斜方程即可. 【详解】法一：由题可得为真命题， 易知满足，符合题意，此时； 当时，可变形为， 令，则， 当时，；当时，， 当时，单调递减，且；当时，单调递减；当时，单调递增， 所以当时，， 作出函数的图象如图①所示， 由题可知直线与函数的图象没有交点，数形结合可得. 法二：由题可得为真命题， 即直线与曲线没有交点. 设直线与曲线切于点， 由，得，则， 所以， 所以直线与曲线相切， 若直线与曲线没有交点，如图②所示，则. 故选：D. 7．（23-24高三下·福建厦门·强基计划），，若，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再由交集的结果，可知方程有两个实数根，，且，结合韦达定理计算可得. 【详解】由得，解得，所以， 因为，， 所以方程有两个实数根，，且， 所以，故D正确； 又，所以，故A正确，B错误； ，故C正确. 故选：B 8．（24-25高三上·江西·开学考试）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值 【详解】因为，则， 由于， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2024·辽宁·模拟预测）若，则使“”成立的一个充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质及对数函数的单调性结合充分条件的定义即可得解. 【详解】对于A，因为，所以，选项A正确； 对于B，满足，选项错B错误； 对于C，，当时，，选项错C错误； 对于D，， 因为，所以，选项D正确. 故选：AD. 10．（2024·江西·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．当时， C．当时， D．，使得 【答案】AB 【分析】对于A：根据直线方程分析判断；对于B：根据题意求直线交点即可；对于C：根据空集的定义结合直线平行运算求解；对于D：根据直线重合分析求解. 【详解】对于选项A：因为表示过定点，且斜率不为0的直线， 可知表示直线上所有的点， 所以，故A正确； 对于选项B：当时，则，， 联立方程，解得，所以，B正确； 对于选项C：当时，则有： 若，则； 若，可知直线与直线平行，且， 可得，解得； 综上所述：或，故C错误； 对于选项D：若，由选项C可知，且，无解，故D错误． 故选：AB． 11．（2024·安徽合肥·模拟预测）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的a、，有； ②、b、，有； ③，使得，有，e称为单位元； ④，，使，称a与b互为逆元． 则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集N关于数的加法构成群 C．实数集R关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 【答案】AD 【分析】根据“”运算的定义，结合集合中元素与集合的关系判断，对每个选项逐一判断即要可． 【详解】对于A选项，对所有的、，有，且满足①乘法结合律； ②，使得，有； ③，，有，故A正确； 对于B选项，①自然数满足加法结合律； ②，使得，有； 但是对于，，不存在，使，故B错误； 对于C选项，对所有的、，有， ①实数满足加法结合律； ②，使得，有； 但对于，，不存在，使，故C错误； 对于D选项，对所有的、，可设，，，，，， 则， ①满足加法结合律，即、、，有； ②，使得，有； ③，设，，，，使，故D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2024·山东菏泽·二模）已知，集合．则集合中所有元素之和为 ． 【答案】5 【分析】根据题意，求出，即可得集合中所有元素之和． 【详解】由题意，得， 则集合中所有元素之和为. 故答案为：5 13．（2024高三·全国·专题练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用分离参变量思想，再用换元法转化到对钩函数求最小值，即可得到取值范围. 【详解】由， 因为，所以，令， 由， 构造函数， 即，当且仅当时取等号， 所以 故答案为：. 14．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】解一元二次不等式化简集合A，再分类求解不等式化简集合B，并利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】由“”是“”的必要不充分条件，得， 依题意，集合， ， 当，即时，，则，解得； 当，即时，，则，解得， 当，即时，，满足，因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）已知，或. (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出的范围，依题意是的充分条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解即可； （2）先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由，解得， 由，即，等价于，解得， 所以，即，即； 令，或， 因为是的充分条件，所以， 所以或， 解得或，即实数的取值范围是或； （2）依题意，：，由（1）知， 令， 又是的必要不充分条件，所以真包含于，所以（等号不同时取到）， 解得，当时：，符合题意； 当时：，符合题意； 综上可得实数的取值范围是． 16．（22-23高一上·安徽·期中）已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理，即可求解； （2）根据（1）的结果，不等式为，分解因式后，讨论的取值，解不等式. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以与是方程的两个实数根， 由根与系数的关系，得， 解得：，； （2）由（1）知不等式为， 即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为． 17．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知，. (1)若，求； (2)已知全集，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求集合，再结合集合的交集运算求解即可； （2）根据题意分析可知，结合子集的性质进行求解即可. 【详解】（1）由题意可得：，， 当时，因为， 所以. （2）由（1）可得：，， 因为，则，可知， 则或，解得或， 所以实数a的取值范围为. 18．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，对，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）利用分类讨论的思想求解含有参数的不等式的解集. （2）利用函数的思想构造函数分类讨论求函数的值域，然后根据根据条件即得. 【详解】（1）令，解得或， ①当时，，不等式的解集为， ②当时，，不等式的解集为， ③当时，，不等式的解集为. 综上所述：时，不等式的解集为时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； （2）由， 代入整理得，令， ①当，即时，对任意. 所以此时不等式组无解. ②当，即时，对任意. 所以解得； ③当，即时，对任意. 所以，此时不等式组无解. ④当，即时，对任意. 所以此时不等式组无解. 综上，实数的取值范围是. 19．（24-25高三上·江西·开学考试）已知数列，记集合. (1)对于数列，写出集合； (2)若，是否存在，使得?若存在，求出一组符合条件的，若不存在，说明理由； (3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】(1)根据题意给出的集合新定义，即可得出答案；(2)使用假设法，假设存在，使得，进行计算检验，从而得出结论； (3)由，根据题意给出的集合新定义可对进行计算分析，讨论元素的奇偶情况，即可得出答案． 【详解】（1）因为数列， 所以，，， 所以 （2）假设存在，使得，则有 ， 由于与奇偶性相同， 所以与奇偶性不同， 又因为，， 所以中必有大于等于3的奇数因子 这与无1以外的奇数因子矛盾， 故不存在，使得； （3）由题意得， 当，时，， 除，外，，， 其中与一奇一偶，则能拆成奇数与偶数之乘积， 在正偶数中，只有无法拆成一个大于2的奇数与一个不小于2的偶数之乘积， 又中的元素均为偶数，故， 故2至2024偶数中除去4，8，16，32，64，128，256，512，1024， 所以， 故的最大值为． 【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 试卷第2页，共14页 试卷第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$