第07讲 命题与证明（2大知识点+3大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

第07讲 命题与证明 课程标准 学习目标 命题的定义 证明的方法 1.了解定义、命题的意义，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果那么…”的形式； 2.了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立； 3..会判断一个命题的真假，了解反例的作用； 4.理解定理、推论、逆定理、互逆定理的概念，会用基本事实去判定其他命题的真假； 5.掌握证明的一般方法和格式. 知识点01 命题 定义:对一个概念的 加以描述说明或作出明确规定的 叫作这个概念的定义. 命题:一般地,对某一件事情作出 的语句(陈述句)叫作命题. 命题的结构:命题通常写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分就是 ,“那么”引出的部分就是 . 互逆命题:对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 ,我们把这样的两个命题称为互逆命题,其中一个叫作原命题,另一个叫作逆命题. 【即学即练1】 1．下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 【即学即练2】 2.下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．等边三角形是锐角三角形 B．直角三角形两锐角互余 C．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 D．全等三角形的对应角相等 【即学即练3】 指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例． (1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； (2)内错角相等； (3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 方法技巧：判断一个语句是否为命题，不能依其对错为标准,主要看其是否有判断作用.像疑问句、做一件事、作一个图等都不是命题. 知识点02 几何问题的证明与反证法 证明:从命题的 出发,通过讲道理(推理),得出其 成立,从而判断这个命题为真命题,这个过程叫证明. 反证法:先假设命题不成立,然后利用命题的条件或有关的结论,通过推理导出 ,从而得出 不成立,这种证明方法称为反证法. 【即学即练1】 1．对于命题“如果，那么”能说明它是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【即学即练2】 2.证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 【即学即练3】 3.求证：在一个三角形中不能有两个角是钝角．（画出图形，写出已知、求证，并借助反证法进行证明．） 题型01 定义与命题 【典例1】下列语句是命题的是（   ） （1）三角形任意两边的和大于第三边； （2）分式的值是零，等于吗? （3）经过三角形外一点分别作三角形三边的垂线； （4）线段的垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等． A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（1）（4） 【典例2】把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为： 【变式1】下列语句：①周长相等的两个三角形全等；②同位角相等；③作的平分线；④垂线段最短，其中命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】下列命题的逆命题成立的是（   ） A．等边三角形是等腰三角形 B．对顶角相等 C．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 D．两直线平行，内错角相等 【变式3】将命题“两直线平行、同旁内角互补”，改写成“如果…，那么…”的形式为 题型02 真命题、假命题与定理 【典例1】下列命题中，真命题的是（   ） ①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②过一点有且只有一条直线与这条直线平行；③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④内错角相等，两直线平行． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【典例2】要说明命题“若，则”是假命题，可以举的一个反例是（    ） A． B． C． D． 【变式1】列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列命题是真命题的是（   ） A．内错角相等 B．若两个角互补，则这两个角的和为 C．相等的角是对顶角 D．两个锐角的和是锐角 题型03 命题的证明 【典例1】用反证法证明命题：“在中，对边是，若，则”的第一步应假设（  ） A． B． C． D． 【典例2】已知：，，是的内角．求证：，，中至多有一个角是钝角． 【变式1】利用反证法证明“在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于”，应先假设（ ） A．三角形有一个角小于 B．三角形的每个角都小于 C．三角形的每个角都大于 D．三角形有一个角大于 【变式2】用反证法证明某一命题的结论“”时，应假设 ． 【变式3】用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角． 求证：∠1＝∠A+∠B．    1．下列语句中，命题的个数为（    ） ①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等； ③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等； A．2个； B．3个； C．4个； D．5个； 2．下列句子是命题的是（   ） A．画 B．小于直角的角是锐角吗？ C．连结 D．若，则 3．下列选项中，可以用来说明“若，则”是假命题的是（   ）． A． B． C． D． 4．命题“若，则”的逆命题是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．下列语句中．不是命题的是（    ） A．内错角相等，两直线平行 B．对顶角相等 C．如果一个数能被2整除．那么它也能被4整除 D．画一条线段 6．下列命题为假命题的是(   ) A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B．对顶角相等 C．三角形的两边之和大于第三边 D．两直线平行，内错角相等 7．下列说法：①满足的，，三条线段一定能组成三角形；②三角形的外心在三角形外部；③成轴对称的两个三角形一定全等；④在中，已知两边长分别为5和12，则第三边长为13；⑤在中，三边分别为，，，若，那么，其中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有2、3、4、5、6五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大，甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大。假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．不能确定 9．下列定理，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．两个全等三角形的对应角相等 C．等角对等边 D．两内角相等的三角形是等腰三角形 10．用反证法证明“a1,a2,a3,a4,a5都是正数，且a1+a2+a3+a4+a5=1，那么这五个数中至少有一个大于或等于”时，应先假设（　　） A．这五个数都大于 B．这五个数都等于 C．这五个数都小于 D．这五个数中至少有一个大于或等于 11．下列句子：①爸爸你去哪儿呢?②舌尖上的中国；③中国好声音是选秀节目；④邱波是喀山世锦赛十米跳台的冠军；⑤你不是调皮捣蛋的坏孩子；⑥奔跑吧兄弟!是命题的有 （只填序号）． 12．命题：若两数相等，则它们的绝对值相等它的逆命题是 ． 13．“如果＞，那么a＜b．”是假命题，举一个反例，其中a＝ ，b＝ ． 14．对角线互相平分的四边形是平行四边形.这个命题的条件是 . 15．下列命题，其中真命题的是 ．（填序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角都是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④相等的角是对顶角． 16．请将命题“邻补角互补”写成“如果……那么……”的形式： ． 17．一个俱乐部里只有两种成员：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”据此可判断李四是 填“老实人”或“骗子”． 18．请写出“两直线平行，同位角相等”的结论： ． 19．把下列命题改写成“如果…，那么…” （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）a+b＝0，则a与b互为相反数； （3）平行于同一条直线的两条直线平行． 20．写出下列命题的条件和结论： (1)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； (2)如果两个三角形全等，那么它们对应边上的高也相等． 21．甲、乙、丙三人中一个是教师，一个是护士．一个是工人．现在只知道丙比工人年龄大，甲和护士不同岁，护士比乙年龄小．请你猜猜他们当中谁是教师，并说明理由． 22．写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)三角形三个内角的和等于； (2)两直线平行，同旁内角互补． 23．求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角． 24．观察下列等式，探究其中的规律：①+﹣1＝，②+﹣＝，③+﹣＝，④+﹣＝，…． （1）按以上规律写出第⑧个等式：_______； （2）猜想并写出第n个等式：_________； （3）请证明猜想的正确性． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 命题与证明 课程标准 学习目标 命题的定义 证明的方法 1.了解定义、命题的意义，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果那么…”的形式； 2.了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立； 3..会判断一个命题的真假，了解反例的作用； 4.理解定理、推论、逆定理、互逆定理的概念，会用基本事实去判定其他命题的真假； 5.掌握证明的一般方法和格式. 知识点01 命题 定义:对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义. 命题:一般地,对某一件事情作出判断的语句(陈述句)叫作命题. 命题的结构:命题通常写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分就是条件,“那么”引出的部分就是结论. 互逆命题:对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,我们把这样的两个命题称为互逆命题,其中一个叫作原命题,另一个叫作逆命题. 【即学即练1】 1．下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．命题都是由题设和结论两部分组成的．根据命题的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．两点之间线段最短，是命题； B．在同一个平面内两直线不平行就相交，是命题； C．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题； D．对顶角相等，是命题． 故选：C． 【即学即练2】 2.下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．等边三角形是锐角三角形 B．直角三角形两锐角互余 C．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】B 【分析】本题考查了互逆命题的知识，“两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题”．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：A、等边三角形是锐角三角形的逆命题是：如果一个三角形是锐角三角形，那么这个三角形是等边三角形，错误； B、直角三角形两锐角互余的逆命题是：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，正确； C、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，错误； D、全等三角形的对应角相等的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，错误； 故选：B． 【即学即练3】 指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例． (1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； (2)内错角相等； (3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 【答案】(1)题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题 (2)题设：如果两个角是内错角，结论：这两个角相等；是假命题，举反例见解析； (3)题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么同旁内角互补．是真命题 【分析】（1）如果引出的部分就是命题的题设，那么引出的部分就是命题的结论，题设成立，结论也成立命题是真命题，否则是假命题，据此结合补角的定义判定即可； （2）两直线平行，内错角才相等，画出不平行的直线形成的内错角即可； （3）利用平行线的性质判定即可； 【详解】（1）解：题设：如果两个角的和等于平角时， 结论：那么这两个角互为补角； 是真命题； （2）解：题设：如果两个角是内错角， 结论：这两个角相等； 是假命题，如图与是内错角，；    （3）解：题设：如果两条平行线被第三条直线所截， 结论：那么同旁内角互补． 是真命题． 【点睛】本题考查了命题，掌握命题的概念和真假命题的判定方法是解题的关键． 方法技巧：判断一个语句是否为命题，不能依其对错为标准,主要看其是否有判断作用.像疑问句、做一件事、作一个图等都不是命题. 知识点02 几何问题的证明与反证法 证明:从命题的条件出发,通过讲道理(推理),得出其结论成立,从而判断这个命题为真命题,这个过程叫证明. 反证法:先假设命题不成立,然后利用命题的条件或有关的结论,通过推理导出矛盾,从而得出假设不成立,这种证明方法称为反证法. 【即学即练1】 1．对于命题“如果，那么”能说明它是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了举反例说明假命题，举的反例要满足命题的条件，但不满足命题结论，据此判断即可． 【详解】解：显然前三个选项中的例子既符合命题的条件，也符合命题的结论，不是举反例；选项D中例子符合命题条件，即，但，不符合命题结论，故是反例； 故选：D． 【即学即练2】 2.证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 【答案】C 【分析】本题考查了反证法“假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法”，熟记定义是解题关键．根据反证法的定义即可解答． 【详解】解：由证明过程可知，证明方法是反证法， 故选：C． 【即学即练3】 3.求证：在一个三角形中不能有两个角是钝角．（画出图形，写出已知、求证，并借助反证法进行证明．） 【答案】见解析 【分析】根据反证法的证明方法假设出命题，进而证明即可． 【详解】已知：如图，△ABC 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是钝角 证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是钝角，不妨设∠A、∠B为钝角，则∠A+∠B>180°， 这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立， 所以原命题正确． 【点睛】此题主要考查了反证法，解题的关键是熟练掌握反证法的一般步骤： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 题型01 定义与命题 【典例1】下列语句是命题的是（   ） （1）三角形任意两边的和大于第三边； （2）分式的值是零，等于吗? （3）经过三角形外一点分别作三角形三边的垂线； （4）线段的垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等． A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（1）（4） 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，“判断事物的语句叫命题，命题有题设与结论两部分组成；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理”，解题的关键是了解有关的性质及定义．根据线段垂直平分线的性质、三角形的三边关系分式的性质等知识逐一分析即可求解． 【详解】（1）三角形的任意两边之和大于第三边，是命题，符合题意； （2）分式的值是零，等于吗? 不是命题，不符合题意； （3）经过三角形外一点分别作三角形三边的垂线，不是命题，不符合题意； （4）线段的垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等，是命题，符合题意． 故选：D． 【典例2】把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为： 【答案】如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的概念，命题是由题设和结论两部分组成，根据命题的概念作答即可． 【详解】解：把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等 ． 【变式1】下列语句：①周长相等的两个三角形全等；②同位角相等；③作的平分线；④垂线段最短，其中命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，根据题意逐项分析判断，即可求解． 【详解】①周长相等的两个三角形全等，是命题； ②同位角相等，是命题； ③作∠ABC的平分线，未作出判断，不是命题； ④垂线段最短，是命题， 故选：C． 【变式2】下列命题的逆命题成立的是（   ） A．等边三角形是等腰三角形 B．对顶角相等 C．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】A、逆命题为：等腰三角形是等边三角形，不成立，不符合题意； B、逆命题为：相等的角是对顶角，不成立，不符合题意； C、逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，不成立，不符合题意； D、逆命题为：内错角相等，两直线平行，成立，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是会写出一个命题的逆命题． 【变式3】将命题“两直线平行、同旁内角互补”，改写成“如果…，那么…”的形式为 【答案】如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补 【分析】本题考查了一个命题写成“如果…那么…”的形式，根据命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设和结论进行分析解答即可． 【详解】把命题“两直线平行，同旁内角互补”改写成“如果那么”的形式为：如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补． 故答案为：如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补． 题型02 真命题、假命题与定理 【典例1】下列命题中，真命题的是（   ） ①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②过一点有且只有一条直线与这条直线平行；③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④内错角相等，两直线平行． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查了命题真假判断，平行公理及其推论，平行线的判定与性质；根据平行公理的推论可判定①；根据平行公理可判定②；根据平行线的性质与判定可判断③与④． 【详解】解：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，这是平行公理的推论，故①是真命题；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故②是假命题；两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故③是假命题；内错角相等，两直线平行，这是平行线的判定定理，是真命题，故真命题是①④． 故选：C． 【典例2】要说明命题“若，则”是假命题，可以举的一个反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例的方法．举的反例是满足条件，但不能得到结论，据此可得答案． 【详解】解：A. 时，，此选项不符合题意； B. 时，，此选项不符合题意； C. 时，满足，但，此选项不符合题意； D. 时，满足，但，此选项符合题意； 故选：D． 【变式1】列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据有理数的乘方、有理数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：当时，，， 说明命题“若，则”是假命题， 故选：D． 【变式2】下列命题是真命题的是（   ） A．内错角相等 B．若两个角互补，则这两个角的和为 C．相等的角是对顶角 D．两个锐角的和是锐角 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断命题的真假．根据平行线的性质，补角的性质，对顶角，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，原说法是假命题，故本选项不符合题意； B、若两个角互补，则这两个角的和为，是真命题，故本选项不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，原说法是假命题，故本选项不符合题意； D、两个锐角的和不一定是锐角，原说法是假命题，故本选项不符合题意； 故选：B 题型03 命题的证明 【典例1】用反证法证明命题：“在中，对边是，若，则”的第一步应假设（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】反证法，是假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证，根据反证法的证明方法即可求解． 【详解】解：原命题的条件是“在中，对边是，若”，结论是“”， ∴根据反证法的证明方法，在原命题的条件下，假设结论不成立，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查反证法的证明方法，掌握命题的条件，结论，反证法的证明方法是解题的关键． 【典例2】已知：，，是的内角．求证：，，中至多有一个角是钝角． 【答案】见解析 【分析】利用反证法的步骤得出答案．首先假设∠、∠、∠中有两个或三个钝角（或∠、∠、∠中至少有两个钝角），然后再去说明我们的假设与三角形内角和定理矛盾，因而假设错误，所以∠A，∠B，∠C中至多有一个角是钝角． 【详解】证明：假设∠、∠、∠中有两个或三个钝角， 则， 与三角形内角和定理矛盾，因而假设错误， 所以∠A，∠B，∠C中至多有一个角是钝角． 【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 【变式1】利用反证法证明“在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于”，应先假设（ ） A．三角形有一个角小于 B．三角形的每个角都小于 C．三角形的每个角都大于 D．三角形有一个角大于 【答案】B 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：一个角大于或等于的反面是：小于． 故应假设：三角形的每个角都小于． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反证法的基本步骤，正确确定大于或等于的反面，是解决本题的关键． 【变式2】用反证法证明某一命题的结论“”时，应假设 ． 【答案】 【分析】根据反证法的步骤，得出a>b的反面是即可． 【详解】解：反证法证明“a > b”时，应先假设． 故答案为： ． 【点睛】本题考查反证法，解此题的关键是掌握反证法的一般思路及解题步骤． 【变式3】用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角． 求证：∠1＝∠A+∠B．    【答案】见解析 【分析】首先假设三角形的一个外角不等于与它不相邻的两个内角的和，根据三角形的内角和等于180°，得到矛盾，所以假设不成立，进而证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【详解】已知：如图，∠1是△ABC的一个外角， 求证：∠1＝∠A+∠B， 证明：假设∠1≠∠A+∠B， 在△ABC中，∠A+∠B+∠2＝180°，如下图所示：    ∴∠A+∠B＝180°﹣∠2， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝180°﹣∠2， ∴∠1＝∠A+∠B， 与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立即：∠1＝∠A+∠B． 【点睛】本题考查了反证法的运用，反证法的一般解题步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 1．下列语句中，命题的个数为（    ） ①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等； ③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等； A．2个； B．3个； C．4个； D．5个； 【答案】C 【分析】根据命题的概念判断即可. 【详解】①若两个角相等，则它们是对顶角，是假命题； ②等腰三角形两底角相等，是真命题； ③画线段，不是命题； ④同角的余角相等，是真命题； ⑤同位角相等，是假命题； 故选：C. 【点睛】此题考查了命题，解题的关键是熟悉命题的概念. 2．下列句子是命题的是（   ） A．画 B．小于直角的角是锐角吗？ C．连结 D．若，则 【答案】D 【分析】根据命题的定义“判断一件事情的语句，叫做命题”依次判断即可． 【详解】解：A、画，没有对事情做出判断，故不是命题； B、小于直角的角是锐角吗？没有对事情做出判断，故不是命题； C、连结，没有对事情做出判断，故不是命题； D、若，则，是命题； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题的判断，熟记命题的定义是解题的关键． 3．下列选项中，可以用来说明“若，则”是假命题的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异号两数的绝对值大小比较，举反例即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，，与“若，则”矛盾，、 ∴“若，则”是假命题， 故选：B． 【点睛】本题考查了举反例判断命题的真假，正确的举出反例是解题的关键． 4．命题“若，则”的逆命题是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据已知中的原命题，结合逆命题的定义，可得答案． 【详解】解：命题“若，则”的逆命题是：若，则， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了由原命题写出逆命题，掌握逆命题的题设与结论是原命题的结论与题设是解答本题的关键． 5．下列语句中．不是命题的是（    ） A．内错角相等，两直线平行 B．对顶角相等 C．如果一个数能被2整除．那么它也能被4整除 D．画一条线段 【答案】D 【分析】根据命题的定义，句子可以改写成“如果……那么……”形式，则为命题，如果不能就不是． 【详解】解：A．内错角相等，两直线平行，改写成：如果两条直线被第三条直线所截所成的角中，内错角相等，那么这两条直线平行，是命题，故此选项不符合题意； B．对顶角相等，改写成：如果两个角是对顶角，那么这两角相等，是命题，故此选项不符合题意； C．如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除，是命题，故此选项不符合题意； D．画—条线段，无法改写，不是命题，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果……那么……”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．正确理解命题的定义是解题的关键． 6．下列命题为假命题的是(   ) A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B．对顶角相等 C．三角形的两边之和大于第三边 D．两直线平行，内错角相等 【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定方法对A进行判定；根据对顶角的性质对B进行判断；根据三角形三边关系对C进行判断；根据平行线的性质对D进行判断． 【详解】A、有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A选项为假命题； B、对顶角相等，所以B选项为真命题； C、三角形的两边之和大于第三边，所以C选项为真命题； D、两直线平行，内错角相等，所以D选项为真命题． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；熟知其定义是解题的关键． 7．下列说法：①满足的，，三条线段一定能组成三角形；②三角形的外心在三角形外部；③成轴对称的两个三角形一定全等；④在中，已知两边长分别为5和12，则第三边长为13；⑤在中，三边分别为，，，若，那么，其中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】根据构成三角形的三边满足：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边，可知①错误；根据外心的定义，可知②错误；根据成轴对称图形的性质，完全重合的两个三角形必定全等，可知③正确；根据直角三角形中的勾股定理可知，只有当两条直角边为5和12，才能确定斜边为13，否者错误，可知④错误；根据勾股定理的逆定理可知，当时，边为斜边，从而，可知⑤错误，综上所述即可得到答案． 【详解】解：①根据构成三角形的三边满足：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边，可知满足的，，三条线段不一定能组成三角形，故①错误； ②根据外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心不一定在三角形外部，故②错误； ③根据成轴对称图形的性质，成轴对称图形的两个三角形会完全重合，完全重合的两个三角形必定全等，故③正确； ④根据直角三角形中的勾股定理可知，只有当两条直角边为5和12，才能确定斜边为13，否者错误，故④错误； ⑤根据勾股定理的逆定理可知，当时，边为斜边，从而，故⑤错误； 故选：D． 【点睛】本题考查命题的判断，涉及到三角形三边关系、三角形外心定义、成轴对称图形的性质、勾股定理的应用和勾股定理逆定理的应用，熟练掌握相关定义与性质是解决三角形问题的关键． 8．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有2、3、4、5、6五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大，甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大。假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．不能确定 【答案】B 【分析】先分析甲手中的数，根据甲不知道谁手中的数更大，推出甲手中的数不可能为2和6，再根据乙也不知道谁手中的数更大，即可推出乙手中的数不可能为3和5，即可得出答案 【详解】五张纸牌上分别写有2、3、4、5、6五个数字， ∵甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大， ∴甲手中的数可能为3，4，5， ∵乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大． ∴乙手中的数不可能是3，5，只能是4． 故选：B． 【点睛】本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理，根据题目意思分析判断是解题的关键． 9．下列定理，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．两个全等三角形的对应角相等 C．等角对等边 D．两内角相等的三角形是等腰三角形 【答案】B 【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答． 【详解】解：A、其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，正确，所以有逆定理； B、其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理； C、其逆命题是“等边对等角”，正确，所以有逆定理； D、其逆命题是“等腰三角形的两个内角相等”，正确，所以有逆定理． 故选B． 【点睛】本题考查的是命题与逆命题，其中用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题又叫定理. 10．用反证法证明“a1,a2,a3,a4,a5都是正数，且a1+a2+a3+a4+a5=1，那么这五个数中至少有一个大于或等于”时，应先假设（　　） A．这五个数都大于 B．这五个数都等于 C．这五个数都小于 D．这五个数中至少有一个大于或等于 【答案】C 【分析】熟记反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 【详解】根据反证法的步骤，则 应先假设这五个数都小于． 故选C． 【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 11．下列句子：①爸爸你去哪儿呢?②舌尖上的中国；③中国好声音是选秀节目；④邱波是喀山世锦赛十米跳台的冠军；⑤你不是调皮捣蛋的坏孩子；⑥奔跑吧兄弟!是命题的有 （只填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】直接根据命题的定义进行判断． 【详解】①是疑问句，没有判断；②没有对事情作出判断；⑥是祈使句，不含判断的意思；只有③④⑤是对某一件事情作出判断的语句． 故答案为：③④⑤． 【点睛】本题考查命题的判断，熟练掌握命题是对一件事情作出判断的语句是解题的关键． 12．命题：若两数相等，则它们的绝对值相等它的逆命题是 ． 【答案】若两数的绝对值相等，则这两数相等 【分析】把一个命题的条件和结论对调就得到它的逆命题． 【详解】命题：“若两数相等，则它们的绝对值相等”的条件是“若两数相等”，结论是“它们的绝对值相等”，故其逆命题是“若两数的绝对值相等，则这两个数相等”. 故答案为：若两数的绝对值相等，则这两个数相等． 【点睛】本题考查了对逆命题的理解，熟练掌握逆命题的定义是解题关键． 13．“如果＞，那么a＜b．”是假命题，举一个反例，其中a＝ ，b＝ ． 【答案】 1 -2 【分析】a取正数，b取一个负数即可． 【详解】解：当a＝1，b＝﹣2可说明“如果＞，那么a＜b．”是假命题． 故答案为1，﹣2． 【点睛】本题考查的是利用举反例的方法判定一个命题是假命题，掌握举反例的方法是解题的关键． 14．对角线互相平分的四边形是平行四边形.这个命题的条件是 . 【答案】一个四边形的两条对角线互相平分 【分析】对原命题进行分析从而找出其条件与结论将题目填写完整即可． 【详解】解：∵命题可改写为：如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形. ∴条件是：一个四边形的两条对角线互相平分；结论是：这个四边形是平行四边形． 故答案为一个四边形的两条对角线互相平分. 【点睛】本题考查了命题，表示判断的语句叫做命题，命题通常由条件（题设）和结论（题断）两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知的事项推断出的事项. 15．下列命题，其中真命题的是 ．（填序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角都是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④相等的角是对顶角． 【答案】①②③ 【分析】先理解真命题的定义：正确的命题称为真命题；再根据相对应知识点进行判断真假： ①根据平行线的判断方法进行判断； ②根据直角的定义进行判断； ③根据平方的相关知识进行判断； ④根据对顶角的定义判断． 【详解】解：同旁内角互补，两直线平行，①是真命题； 如果两个角都是直角，那么它们相等，②是真命题； 如果两个实数相等，那么它们的平方相等，③是真命题； 相等的角指的是大小相等的角；对顶角是如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角就是对顶角；可见，对顶角一定是相等的角，而相等的角未必是对顶角，故④是假命题． 故答案为①②③． 【点睛】本题考查了命题和定理的相关知识点，熟练掌握真假命题的定义是解题的关键． 16．请将命题“邻补角互补”写成“如果……那么……”的形式： ． 【答案】如果两个角是邻补角，那么这两个角互补 【分析】根据题意，分清命题的条件和结论，即可． 【详解】命题“邻补角互补”写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补． 故答案为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补． 【点睛】本题考查命题的定义，解题的关键是理解命题的条件和结论． 17．一个俱乐部里只有两种成员：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”据此可判断李四是 填“老实人”或“骗子”． 【答案】骗子 【分析】先根据成员座位得出成员人数为偶数，然后判断张三李四说的话的真假，从而判断是老实人还是骗子． 【详解】解：根据“俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人”可知俱乐部总人数为偶数， 所以张三答：“共有45人．”为假话，即张三为骗子， 所以李四说：“张三是老实人．”也为假话，即李四是骗子． 故答案为：骗子． 【点睛】本题主要考查逻辑推理的应用，推断出成员人数为偶数是解题关键． 18．请写出“两直线平行，同位角相等”的结论： ． 【答案】同位角相等 【分析】命题是由题设和结论两部分组成的，将这个命题改写成“如果那么”的形式即可得出答案． 【详解】解：将命题改写成“如果那么”的形式为：如果两直线平行，那么同位角相等， 则此命题的结论为：同位角相等， 故答案为：同位角相等． 【点睛】本题考查了命题，熟练掌握命题的概念是解题关键． 19．把下列命题改写成“如果…，那么…” （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）a+b＝0，则a与b互为相反数； （3）平行于同一条直线的两条直线平行． 【答案】（1）如果同旁内角互补，那么两直线平行；（2）如果，那么a与b互为相反数；（3）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 【分析】（1）根据如果是条件，那么是结论的方法改写即可； （2）根据如果是条件，那么是结论的方法改写即可； （3）根据如果是条件，那么是结论的方法改写即可． 【详解】（1）如果同旁内角互补，那么两直线平行； （2）如果，那么a与b互为相反数； （3）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 【点睛】本题考查了命题，掌握命题的改写方法是解题关键． 20．写出下列命题的条件和结论： (1)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； (2)如果两个三角形全等，那么它们对应边上的高也相等． 【答案】(1)条件：两条直线被第三条直线所截，结论：同旁内角互补 (2)条件：两个三角形全等，结论：对应边上的高相等 【分析】（1）如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补，“如果”后面的是条件，“那么”后面的是结论； （2）如果两个三角形全等，那么它们对应边上的高也相等，“如果”后面的是条件，“那么”后面的是结论． 【详解】（1）条件：两条直线被第三条直线所截，结论：同旁内角互补； （2）条件：两个三角形全等，结论：对应边上的高相等． 【点睛】本题考查了命题，掌握命题的结构是解题的关键． 21．甲、乙、丙三人中一个是教师，一个是护士．一个是工人．现在只知道丙比工人年龄大，甲和护士不同岁，护士比乙年龄小．请你猜猜他们当中谁是教师，并说明理由． 【答案】乙是教师，理由见解析 【分析】根据年龄关系推出丙是护士，再根据年龄大小得到乙是教师． 【详解】解：乙是教师， 理由如下：∵甲和护士不同岁，护士比乙年龄小， ∴甲、乙都不是护士， ∴丙是护士， ∵护士比工人年龄大，护士比乙年龄小， ∴乙不是工人， ∴乙是教师． 【点睛】本题主要考查的是推理和论证，根据题意推出丙是护士是解题的关键． 22．写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)三角形三个内角的和等于； (2)两直线平行，同旁内角互补． 【答案】(1)内角和等于的多边形是三角形；真命题 (2)同旁内角互补，两直线平行；真命题 【分析】（1）将命题“如果，那么”中条件与结论互换，即得一个新命题“如果，那么”，我们称这样的两个命题互为逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题．据此写出命题的逆命题，然后判断真假即可； （2）根据逆命题的概念，写出命题的逆命题，然后判断其真假即可． 【详解】（1）解：命题“三角形三个内角的和等于”的逆命题为：“内角和等于的多边形是三角形”， 逆命题是真命题； （2）解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是：“同旁内角互补，两直线平行”， 逆命题是真命题． 【点睛】此题考查了命题与判断命题的真假，熟练掌握逆命题的概念、正确找出一个命题中的题设与结论是解答此题的关键． 23．求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角． 【答案】见解析 【分析】先假设结论不成立，反面成立，从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾即可． 【详解】已知：四边形． 求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角． 证明：假设四边形中没有一个角是钝角或直角，即， 于是． 这与“四边形的内角和为”矛盾， 所以四边形中至少有一个角是钝角或直角． 【点睛】此题考查了反证法，解题关键要掌握反证法的步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 24．观察下列等式，探究其中的规律：①+﹣1＝，②+﹣＝，③+﹣＝，④+﹣＝，…． （1）按以上规律写出第⑧个等式：_______； （2）猜想并写出第n个等式：_________； （3）请证明猜想的正确性． 【答案】（1）+−＝；（2）+−＝；（3）证明见解析． 【分析】（1）仔细观察四个等式，可以发现第一个数的分母为连续的奇数，第二个数的分母为连续的偶数，第三个分母为连续的自然数，据此进一步整理即可得出答案； （2）根据（1）中的规律直接进行归纳总结即可； （3）利用分式的运算法则进行计算验证即可. 【详解】（1）观察四个等式，可以发现第一个数的分母为连续的奇数，第二个数的分母为连续的偶数，第三个分母为连续的自然数， ∴第⑧个等式为：+−＝， 故答案为：+−＝； （2）根据（1）中规律总结归纳可得：+−＝， 故答案为：+−＝； （3）证明： 对等式左边进行运算可得：+−=＝， ∵等式右边＝， ∴左边＝右边， ∴+−＝成立． 【点睛】本题主要考查了分式运算中数字的变化规律，根据题意正确找出相应的规律是解题关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$