精品解析：河南省五市2024届高三第二次联合调研检测数学试题

2024年河南省五市高三第二次联合调研检测 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必将本人的姓名､准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 3请按照题号在各题的答题区城（黑色线框）内作答，超出答题区战书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解． 【详解】， 则． 故选：A． 2. 分别是的内角的对边，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解． 【详解】由以及余弦定理，得，解得（负值舍去）． 故选：B． 3. 等比数列满足：，，则等于（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式基本量列式计算即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则且， 即，解得，则. 故选：C. 4. 若向量满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合向量数量积的性质即可求解． 【详解】因为向量，满足，，， 所以，即， 所以，则． 故选：A． 5. 将甲，乙等5人全部安排到四个工厂实习，每人只去一个工厂，每个工厂至少安排1人，且甲，乙都不能去工厂，则不同的安排方法有（ ） A. 72种 B. 108种 C. 126种 D. 144种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理，结合分组分配问题和排列组合知识求解． 【详解】由题意可知，分两种情况讨论， ①工厂安排1人，有种， ②工厂安排2人，有种， 所以不同的安排方法有种． 故选：C． 6. 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围． 【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素， 结合，可知，即，且区间,中含有4个整数， ①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数； ②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意； ③当时，,的区间长度大于3， 若,的区间长度，即． 若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，， 此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意． 若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得； 若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意； 当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数， 故，即，结合可得． 综上所述，或或，即实数的取值范围是,,． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解. 7. 双曲线的左､右焦点分别为，过作圆：的切线，切点为，该切线交双曲线的一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接，则，，由，得，，进而可求得点的坐标，结合点在渐近线上求解即可． 【详解】如图，连接，则，， ，为的中点， ，，， 设,，， ，， 点在渐近线上， ， 离心率． 故选：B． 8. 已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内一点，且五点在同一个球面上，若，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将四面体放入长方体中，求解长方体的长宽高，求解外接球的半径，判断的轨迹，然后求解即可． 【详解】将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为，，， 依题意，可知，， 则，，，解得，， 由于，即异面直线和的距离为， 由于长方体的左右侧面为正方形，所以， 取中点，连接，则左侧面，在左侧面，所以， 又平面，故平面， 四面体的外接球半径为，球心为， 由，知点的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为，圆心为， 过作球的一个轴截面， 所以，且， ，且， 解得， 所以的轨迹长度为． 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，为两两不重合的平面，，，为两两不重合的直线，下列四个命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】A. 或相交，所以该选项错误；B. 或相交，所以该选项错误； C.由面面平行的性质定理得，所以该选项正确；D.则，所以，所以该选项正确. 【详解】A. 若，，则或相交，所以该选项错误； B. 若，，，，则或相交，所以该选项错误； C. 若，，则由面面平行的性质定理得，所以该选项正确； D. 若，，，，则，所以，所以该选项正确. 故选：CD 10. 定义在上的函数满足，则（ ） A. 是周期函数 B. C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由已知，可得，则的周期为4，即可判断；对于B，令，可得，则，即可判断；对于C，由已知，可得函数关于对称，关于对称，则的的图象关于直线对称，即可判断；由已知，得，，代值可推得，即可判断. 【详解】由可得， 所以，所以的周期为4，故A正确； 由，令， 则，所以， 又，故B正确； 由，可知函数关于对称， 又的周期为4，则， 所以，即函数关于对称， 则的图象关于直线对称，故C正确； 由，且关于对称， 则，所以， 又，且， 则，又， 所以， ，故D错误. 故选：ABC. 11. 把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转（为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】假设斜边长为，则，，即可代入求解A，根据正弦的对称性求解B，再结合基本不等式可判断CD． 【详解】设三角形的斜边长为，则 ①， 所以， 对于A，当时，由①式得，， 所以，故A错误； 对于B，的对称轴为 ，， 当时，，即的图像关于直线对称，故B正确； 对于CD，， 因为，当且仅当时，等号成立， 又由①可得，， 所以， 因为为锐角，所以，所以,， 所以,，所以,， 所以,，所以， 即，故C正确，D错误． 故选：BC． 【点睛】关键点点睛：根据旋转的性质结合锐角三角函数得到，进而根据三角形面积公式得面积表达式. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中x的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，令展开式中的指数为1，即可求出的系数． 【详解】解：在的展开式中， 通项公式为， 令，解得； 展开式中的系数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二项式定理的应用问题，着重考查了二项展开式的通项公式，属于基础题． 13. 函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】显然不是函数的零点，故，，结合等式特点构造函数，由已知可转化为函数图象的交点个数，结合导数与函数性质即可求解． 【详解】显然不是函数的零点，故，， 令，则， 由题意可得，与的图象有一个交点， 当时，，在单调递增， 当且时，，在单调递减，且， 的大致图象如图所示，结合函数图象可知，时，符合题意． 故答案为：． 14. 抛物线的焦点为为上一点，为轴正半轴上一点，若是等边三角形，则直线的斜率为__________，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，可得,．设,，结合等边三角形的性质可得，利用，解得，即可得出结论． 【详解】抛物线的焦点为,，准线方程为， 设，则，， 当位于第一象限时，,． 是等边三角形，， 设,， 则， ， 化简得，解得， 当时，， 当时，， 此时,而为轴正半轴上一点，无法使得为等边三角形，故舍去， 当位于第四象限时，,． 是等边三角形，， 设,， 则， ， 化简得，解得， 当时，， 此时,而为轴正半轴上一点，无法使得为等边三角形，故舍去， ， 当时，，， 综上可得，直线的斜率为，或 故答案为：；． 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前 项和为. （1）求数列的通项公式； （2）证明：，并求数列的前 项和. 【答案】（1） （2）证明：， 成立， ， ， ...... ， 累加得 即， . 【解析】 【分析】（1）降次作差得到，再验证即可； （2）代入得到，再利用累加法即可得到答案. 【小问1详解】 当时，； 当时，， ，当时，适合上式， 故 【小问2详解】 略 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，为的中点，且. （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值. 【答案】（1） 证明：取中点为中点为，连接， 因为为的中点，所以，且， 因为，所以，且， 所以四边形是平行四边形，故， 因为，所以，所以， 因为为等边三角形，为的中点，所以 因为平面平面 所以平面，平面，所以， 所以为等腰三角形，又，所以为等边三角形， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为中点为，连接，则可证得四边形是平行四边形，得，而，可得，再由为等边三角形，，从而可证得平面，得，再结合证得为等边三角形，进而可证得结论； （2）以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，因为，所以， 因为和均为等边三角形，为的中点， 所以，所以，所以， 所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示 则， 所以 设平面，平面的法向量分别为， 则，令，则， 由，令，则， 所以， 设二面角为，则， 所以二面角的正弦值为. 17. 某班欲从6人中选派3人参加学校投篮比赛，现将6人均分成甲､乙两队进行选拔比赛.经分析甲队每名队员投篮命中的概率均为，乙队三名队员投篮命中的概率分别为，.现要求所有队员各投篮一次（队员投篮是否投中互不影响）. （1）若，求甲､乙两队共投中5次的概率； （2）以甲､乙两队投中次数的期望为依据，若乙队获胜，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）甲，乙两队共投中5次可以是甲队投中3次，乙队投中2次或者甲队投中2次，乙队投中3次，据此即可求解； （2）甲队投中的次数服从超几何分布，求出期望，写出乙队投中的次数，写出分布列，求出期望，列出不等式即可求解. 【小问1详解】 记“甲，乙两队共投中5次”为事件，则可以是甲队投中3次，乙队投中2次或者甲队投中2次，乙队投中3次， 则， 甲､乙两队共投中5次的概率为； 【小问2详解】 记甲､乙两队投中次数分别为， 则，所以， 的取值为，则， ， ， ， 所以，的分布列为 0 1 2 3 那么乙队投中次数的期望为 若乙队胜，则， 解得，所以的取值范围为. 18. 已知函数在定义域内有两个极值点. （1）求实数的取值范围； （2）证明：. 【答案】（1） （2）由（1）知， ， 令， 记则故在上单调递增， 又， 所以，使，即， 当时，故在上单调递减； 当时，故在上单调递增； 故， 综上，成立. 【解析】 【分析】（1）求导，将问题转化为一元二次方程根的分布即可求解， （2）将代入化简，构造，利用导数求解单调性，即可求解函数的最值求解. 【小问1详解】 ， 由题知在有两个不等实根（设， 所以，解得. 故实数的取值范围是. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19. 如图，为圆上一动点，过点分别作轴､轴的垂线，垂足分别为，点满足，点的轨迹记为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若过点的两条直线分别交曲线于两点，且，求证：直线过定点； （3）若曲线交轴正半轴于点，直线与曲线交于不同的两点，直线分别交轴于两点，试探究：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） 证明：由题知 直线与坐标轴不平行，不妨设， 联立，得， 解得或（舍去），， 此时，同理， 当时，， ， 直线的方程为， 易知直线过定点， 当时，直线斜率不存在，此时方程为， 综上，直线过定点. （3）存在点 【解析】 【分析】（1）设，求得D点并代入，化简求得曲线的方程； （2）设，将直线的方程与曲线的方程联立，求得的坐标，对进行分类讨论，由此证得直线过定点并求得定点坐标； （3）假设存在点使得，先求得，设出的坐标，由直线和直线的方程求得两点的坐标，结合在曲线上求得点的坐标. 【小问1详解】 设，则， 由知 ， 在上，，即， 故曲线的方程为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 假设存在使得，设， 因为， 所以，即，即， 关于轴对称，设， 易知，故方程为：， 令，得，同理， ，又，解得， 故存在点符合题意. 【点睛】方法点睛：利用相关点代入法求动点的轨迹方程，首先是设动点坐标为然后根据对称性、向量或比例求得相关点的坐标，再根据相关点在题目给定的曲线上，利用代入法，化简后可求得动点的轨迹方程，最后要注意是否有特殊点不符合题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河南省五市高三第二次联合调研检测 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必将本人的姓名､准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 3请按照题号在各题的答题区城（黑色线框）内作答，超出答题区战书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 分别是的内角的对边，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 3. 等比数列满足：，，则等于（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 4. 若向量满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 将甲，乙等5人全部安排到四个工厂实习，每人只去一个工厂，每个工厂至少安排1人，且甲，乙都不能去工厂，则不同的安排方法有（ ） A. 72种 B. 108种 C. 126种 D. 144种 6. 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的左､右焦点分别为，过作圆：的切线，切点为，该切线交双曲线的一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内一点，且五点在同一个球面上，若，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，为两两不重合的平面，，，为两两不重合的直线，下列四个命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 10. 定义在上的函数满足，则（ ） A. 是周期函数 B. C. 的图象关于直线对称 D. 11. 把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转（为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中x的系数为______. 13. 函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为__________. 14. 抛物线的焦点为为上一点，为轴正半轴上一点，若是等边三角形，则直线的斜率为__________，__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前 项和为. （1）求数列的通项公式； （2）证明：，并求数列的前 项和. 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，为的中点，且. （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值. 17. 某班欲从6人中选派3人参加学校投篮比赛，现将6人均分成甲､乙两队进行选拔比赛.经分析甲队每名队员投篮命中的概率均为，乙队三名队员投篮命中的概率分别为，.现要求所有队员各投篮一次（队员投篮是否投中互不影响）. （1）若，求甲､乙两队共投中5次的概率； （2）以甲､乙两队投中次数的期望为依据，若乙队获胜，求的取值范围. 18. 已知函数在定义域内有两个极值点. （1）求实数的取值范围； （2）证明：. 19. 如图，为圆上一动点，过点分别作轴､轴的垂线，垂足分别为，点满足，点的轨迹记为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若过点的两条直线分别交曲线于两点，且，求证：直线过定点； （3）若曲线交轴正半轴于点，直线与曲线交于不同的两点，直线分别交轴于两点，试探究：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $