3.5二元一次方程组的应用自学学案2024-2025学年沪科版数学七年级上册

3.5二元一次方程组的应用 一、效率与效益 1、某工厂甲、乙两车间生产汽车零件，四月份甲、乙两车间生产零件数之比是4：7，五月份甲车间提高生产效率，比四月份提高了25%，乙车间却比四月份少生产50个，这样五月份共生产1150个零件．求四月份甲、乙两车间生产零件各多少个。 设未知数： 设四月份甲、乙两车间生产零件各、个； 析题意： 四月份 甲、乙两车间生产零件数之比是4：7，得：4=7； 五月份 甲车间提高生产效率，比四月份提高了25%，生产的个数是： +25% 乙车间却比四月份少生产50个，生产的个数是：-50； 五月份共生产1150个零件，即有 （+25%）+（-50）=1150 列方程组： 解方程组，得 检验未知数的值：把未知数代入方程组，等式成立。 回答问题： 答：四月份甲车间生产零件400个，乙车间生产零件700个。 提示： 增长率问题：原量×（1+增长率）=增长后的量 原量×（1-减少率）=减少后的量 2、H7N9本是一种只在飞禽之间传播的禽流感，但最近已严重威胁到广大人民群众的生命安全．现在我市有一组检疫工作人员，需对甲、乙两个养殖场的所有养鸡逐一检疫．已知，甲养殖场的养鸡比乙养殖场的养鸡多一倍．上午全部工作人员在甲厂检疫，下午一半的工作人员仍留在甲厂（上、下午的工作时间相等），到下班前刚好把甲厂的养鸡检疫完毕，另一半工作人员去乙厂检疫，到下班前还剩下一小部分养鸡未检疫，最后由一人再用两整天的工作时间刚好检疫完．如果这组工作人员每人每天检疫的效率是相等的，则这组工作人员共有 人． 析题意： 甲养殖场养的鸡比乙养殖场养的鸡多一倍； 工作人员检疫，这组工作人员共有（）人； 上午全部工作人员在甲厂检疫，下午一半的工作人员仍留在甲厂，完成检疫；另一半工作人员去乙厂检疫，最后乙厂再由一人用两整天的工作时间刚好检疫完。可以以半天为一个计时单位。 设未知数：乙厂鸡只，人员总数人，效率相同，设为a 列代数式： 乙厂鸡只，甲厂鸡2只；人员总数人，以半天为计时单位。在甲厂工作人员(+0.5)人在半天完成工作，也就是1.5个半天。在乙厂完成工作，先有工作人员0.5人工作半天，也就是0.5个半天；乙厂还有一人工作两天，4个半天。 找等量关系： 工作量 = 工作时间×工作效率 列方程组： 解方程组： 得=16 回答问题 答：这组工作人员共有16人。 提示： 设未知数：设直接未知数；设间接未知数；设辅助未知数 3、一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修队同时施工，8天可以完成，需付两队费用3520元，若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做16天可以完成，需付费用4040元． （1）甲、乙两队工作一天，商店各应付多少钱？ （2）若装修完，商店每天可盈利200元，则如何安排施工更有利于商店？请说明理由． 问题1： 设未知数：甲、乙两队工作一天，商店各应付、元。 找等量关系： 1、 乙两个装修队同时施工，8天可以完成，需付两队费用3520元； 得 （+）×8=3520 先请甲队单独做6天，再请乙队单独做16天可以完成，需付费用4040元。 得 6+16=4040 解方程组 检验方程组 经检验，等式成立。 问题2： 分析题意： 同时施工，8天可以完成； 甲单独做6天，再请乙队单独做16天可以完成； 设未知数： 设甲乙的效率分别是、，则 8+8=6+16 =4 知晓时效： =4 甲的效率是乙的4倍；乙8天的工作量，甲2天就可以完成； 两个装修队同时施工，8天可以完成，需付两队费用3520元； 甲单独完成需10天，需付费3000元。装修完，商店每天可盈利200元。与甲乙同时施工相比，多用2天时间，减少盈利400元。 3520-3400=120 同时施工与甲单独完成，付费多120元。 得到结论： 甲单独施工更有利于商店。 二、速度与行程 4、一列快车长70米，慢车长80米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开所用时间（即“会车”时间）为20秒；若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒。求两车每小时各行多少千米。 设未知数： 设快车车速每小时千米，慢车车速每小时千米。 分析题意： 两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开：两车同时行进，快车行驶 的路程比慢车多了两个车身长度； 两车相向而行，则两车从相遇到离开：两车行驶两个车身长度； 列方程组： 回答问题： 答：快车每小时81千米；慢车每小时54千米。 5、一辆汽车从A地驶往B地，前 路段为普通公路，其余路段为高速公路。已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h。汽车从A地到B地一共行驶了2.2h。请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程。 路程角度： 设未知数： 设普通路段 x km，高速路段 y km； 分析题意： 前 路段为普通公路，其余路段为高速公路； 在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为 100km/h； 列方程组： 解方程组，得 时间角度： 设未知数： 设普通路段行驶时间x小时，高速路段行驶时间y小时。 分析题意： 汽车从A地到B地一共行驶了2.2h； 从A地驶往B地，前 路段为普通公路，其余路段为高速公路； 列方程组： 解方程组，得 三、配比与配套 6、要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？ 设未知数： 设10%的盐水需x千克，85%的盐水需y千克。 分析题意： 要配浓度是45%的盐水12千克。 浓度45%的盐水12千克，含盐量12×45%； 10%的盐水x千克，含盐量10%x； 85%的盐水y千克，含盐量85%y。 列方程组： 解方程组，得 答：10%的盐水需6.4千克，85%的盐水需5.6千克。 提示： 溶质质量=溶液质量×浓度 混合前溶质和=混合后的溶质 混合前溶液和=混合后的溶液 7、两种酒精,甲种含水15%，乙种含水5%，现在要配成含水12%的酒精500克.每种酒精各需多少克? 分析1：x克甲种酒精里面有多少克水？ 分析2：引入未知数，将上述等量关系用表格表示。 甲种酒精/g 乙种酒精/g 总量/g 需要量 x y 500 含水量 15%x 5%y 12%×500 解：设甲种酒精需要x克，乙种酒精需要y克， 根据题意，有 解得： 答：甲种酒精需要350克，乙种酒精需要150克。 8、两块含铝锡的合金，第一块含铝40克，含锡10克，第二块含铝3克，锡27克，这两种合金各取多少克,熔化以后才能得到含铝62.5％的合金40克? 解：设第一种合金取x克，第二种合金取y克， 根据题意，有 ， 解得 答：第一种合金取30克，第二种合金取10克，熔化以后才能得到含铝62.5％的合金40克。 9、玻璃厂熔炼玻璃液，原料是石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%.根据化验，石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%.试问在3.2t原料中，石英砂和长石粉各多少吨？分析：问题中涉及了哪些已知量和未知量？它们之间有何关系？引入未知数，填写下表： 石英砂/t 长石粉/t 总量/t 需要量 x y 含二氧化硅 （小技巧：列表可以帮助我们理清数量关系.） 解：设需石英砂x t，长石粉y t. 由所需总量，得 ① 再由所含二氧化硅的百分率，得 ② 解得 答：在3.2t原料中，石英砂0.3 t，长石粉2.9t. 10、列方程组表示下列各题中的数量关系. (1)甲种矿石含铁的百分数是乙种矿石的1.5倍.甲种矿石5份，乙种矿石3份混合成的矿石含铁52.5％，设甲种为x％，乙种为y％。 (2)甲、乙两种盐水各取100克混合，所得盐水含盐为10％，若甲种盐水取400克，乙种盐水取500克混合，所得盐水含盐为9％，设甲为x％，乙为y％。 11、某村20位农民筹集7万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表： 作物品种 每公顷需要人数 每公顷投入资金/万元 蔬菜 4 1.5 荞麦 3 1 在现有情况下，这20位农民应承包多少公顷田地，怎样安排终止才能使所有人都有工资，且资金正好够用？ 解：设蔬菜的种植面积为x公顷，荞麦的种植面积为y公顷， 根据题意，有 解，得 所以承包的田地面积：x+y=6(公顷)， 人员安排：4x=8(人)，3y=12(人)， 答：这20位农民应承包6公顷田地，安排8人种植2公顷蔬菜，12人种植4公顷荞麦，才能使所有人都有工资，且资金正好够用。 12、某工厂有22名工人，一个工人每天可加工3个螺栓或10个螺帽，1个螺栓与4个螺帽配套，要求工人每天加工的螺栓和螺帽完整配套且没有剩余。若安排个工人加工螺栓，个工人加工螺帽，则列出正确的二元一次方程组为（ ） 分析题意： 一个工人每天可加工3个螺栓或10个螺帽，个工人加工螺栓，个工 人加工螺帽，则每天可加工3个螺栓或10个螺帽。 某工厂有22名工人； 1个螺栓与4个螺帽配套，要求工人每天加工的螺栓和螺帽完整配套且 没有剩余，则4×3=10； 列方程组： 13、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 m 的某种布料可做衣身3 个或衣袖5 只，现计划用132 m 这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 解： 设用x m 布料做衣身，用y m 布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套。 衣身与衣袖(恰好配套)的比是1 ∶ 2 根据题意，每2 m 的某种布料可做衣身3 个或衣袖5 只， x m布料可做衣身3× 个，y m布料可做衣袖5×个。 得 解，得 答：用60 m 布料做衣身，用72 m 布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套。 四、折扣与收益 14、某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%、乙商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打8折销售，乙商品打八五折酬宾，某顾客购买甲、乙商品各一件，共付款538元，已知商场盈利88元，求甲、乙两种商品的进价各是多少？ 设未知数： 设甲、乙两种商品的进价各是x、y 元。 列代数式： 甲商品加价50%、乙商品加价40%作为标价，甲乙商品标价各是 （1+50%）x、（1+40%）y； 甲商品打8折销售，乙商品打八五折酬宾，甲乙商品销售价 （1+50%）x×0.8和（1+40%）y×0.85； 列方程组： 根据题意， 顾客购买甲、乙商品各一件，共付款538元，已知商场盈利88元； 得 解方程组，得 答：甲乙两种商品进价各是250元、200元。 销售问题中进价、利润率、利润、售价、标价、折扣等之间的关系： 售价=标价×折扣； 售价=进价+进价×加价比率 售价= 进价+ 利润； 利润率= ×100%. 15、重庆某水果市场与今年4月份两次同时购进了车厘子、芒果两种不同单价的水果，第一次购买车厘子的数量比芒果的数量多50%，第二次购买车厘子的数量比第一次购买车厘子的数量少60%，结果第二次购买水果的总数量比第一次购买水果的总数量多20%，第二次购买两种水果的总费用少20%（车厘子、芒果单价不变），则车厘子的单价与芒果的单价的比值是 设： 第一次购买芒果数量为x， 第一次购买车厘子的数量比芒果的数量多50%，则第一次购买车厘子的数量1.5x； 第二次购买车厘子的数量比第一次购买车厘子的数量少60%，则第二次购买车厘子数量1.5x-1.5x×60%=0.6x， 第二次购买水果的总数量比第一次购买水果的总数量多20%，第二次购买水果的总量是x+1.5x+(x+1.5x)20%=3x， 第二次购买芒果数量3x-0.6x=2.4x。 再设车厘子、芒果单价a、b元，第一次购买车厘子、芒果花费1.5xa+xb元；第二次购买车厘子、芒果花费0.6xa+2.4xb元。 第二次购买两种水果的总费用少20%，则有 1.5xa+xb-(1.5xa+xb)20%=0.6xa+2.4xb 3a=8b a:b=8:3 答：车厘子的单价与芒果的单价的比值是8比3。 16、在当地农业技术部门的指导下，李明家增加了种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收. 如图3.4－1 是李明和他的爸爸、妈妈的一段对话. 收入/元 投资/元 净赚/元 去年 x y 8000 今年 (1+35%)x (1+10%)y 11800 解：设李明家去年种植菠萝的收入为x 元，投资为y 元. 由题意，得 解，得 (1+35%)x=1.35×12 000=16200 答：李明家今年菠萝的收入为16200 元。 五、数与量搭配 17、将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼?设有只鸡，个笼子，可列方程组： ． 析： 个笼子，每个笼子4只，还有一只鸡无笼可放：鸡的数量4+1； 个笼子，每个笼里放5只，闲置1个笼子：鸡的数量5（-1）: 解： 根据题意，可得方程组： 18、养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天用饲料675kg；一周后又购进大牛12头和小牛5头，这时一天用饲料940kg。饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18-20km，每头小牛约需饲料7-8km。你能通过计算检验他的估计吗？ 析： 等量关系：30头大牛和15头小牛，1天用饲料675kg 30+12头大牛和15+5头小牛，1天用饲料940kg 设： 大牛一天需饲料x kg，小牛一天需饲料y kg，则 答：每头大牛一天需饲料20kg，每头小牛需饲料5kg。 活动发展： 随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲、乙两种饲养员各多少人？ 设： 李大叔应聘请甲、乙两种饲养员各x、y人，则 答：李大叔应聘请甲、乙两种饲养员各4人和2人。 19、端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个，其中荷包每个4元，五彩绳每个3元，设王老师购买荷包个，五彩绳个，根据题意，下列列出的方程组正确的是（ ）。 析： 构成等量关系的量有两个：购买荷包和五彩绳花费的钱数，荷包和五彩 绳的个数。 选： 符合等量关系的是B。 20、为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有人，女生有人，根据题意，所列方程组正确的是（　　） 析：与上题同理 选： D 21、现有球迷150人欲同时租用A，B，C三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中A，B，C三种型号客车载客量分别为50人，30人，10人，要求每辆车必须载满，其中A型客车最多租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有（ ）。 A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 析： 同时租用A，B，C三种型号客车； A型客车最多租两辆； A， B，C三种型号客车载客量分别为50人，30人，10人； 解：A型客车1辆，B型车可用或1辆，或2辆，或3辆； A型客车2辆，B型车可用1辆。 答：B 22、某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少个学生? （2）若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满，请你设计出所有的租车方案． （1）解： 设每辆小客车和每辆大客车各能坐、个学生，得 答：每辆小客车和每辆大客车各能坐20、45名学生； （2） 解： 设小客车辆，大客车辆，根据题意，得 20+45=400 、都是整数。20、400都是10的偶数倍。20与任何整数相乘都是10的偶数倍；45是奇数，必须是4的倍数，45才是10的偶数倍，等式才能成立。 方案一：租小客车11辆，大客车4辆；方案二：租小客车2辆，大客车8辆；方案三：租小客车20辆。 六、数字组合 23、一个两位的十位数字与个位数字的和是7，如果把两位数加上45，那么恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（ ） A、34 B、25 C、16 D、61 设未知数： 设十位数字为，个位数字为,则这个两位数是10+； 找等量关系： 十位数字与个位数字的和是7； 把两位数加上45，那么恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两 位数； 列方程组： 解方程组，得 得结论： 两位数是16 做选择：C 提示：区分数这个概念与数字这个概念的不同。 24、有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又知原百位数字的9 倍比原三位数去掉百位数字后的两位数小3，求原三位数. 解法提醒 解决这类题的关键在于正确地用式子表示一个多位数：如一个三位数，当它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c时，这个三位数可表示为100a+10b+c.在数字问题中，应注意：(1)数字与数的区别，怎样用数字表示数；(2)根据数字的特点，求得的解应是小于10的非负整数(最高位上的数字不能为0). 设未知数： 设原百位数字为x，原三位数去掉百位数字后的两位数为y. 列代数式： 原三位数是100x + y；最左边的数字移到最右边,三位数是10y + x； 分析题意： 由题意： 原百位数字的9 倍比原三位数去掉百位数字后的两位数小3； 将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45； 得 列方程组： 4×100+39=439. 答：原三位数为439. 利用方程组解决数字问题时，一般不直接设这个数，而是设这个数的数位上的数字，再根据数的表示方法表示出这个数. 25、小明在匀速行驶的汽车里，某一个时刻看到公路里程碑上的数是一个两位数；30分钟后，里程碑上的数字与第一次看到的两位数正好互换了两个数字的位置；再过20分钟，里程碑上的数是在第一次看到的两位数的两个数字中间添加了一个“0”。则第一次看到的里程碑上的数字为（ ） 设： 两位数的数字是x、y， 某一个时刻看到公路里程碑上的数是一个两位数，则数为10x + y； 30分钟后，里程碑上的数字与第一次看到的两位数正好互换了两个数 字的位置，则两位数是10y + x； 再过20分钟，里程碑上的数是在第一次看到的两位数的两个数字中间 添加了一个“0”，则这个数是100x + y。 再设 速度为a，则 解，得 y = 7x 当x=1时，y=7. 答：第一次看到里程碑上的数字是17. 列方程解决实际问题的一般步骤是什么？ 一设：设未知数； 二审：审题，弄清题意即题目中的相等关系； 三列：根据题目中的相等关系，列出方程组； 四解：解所列方程组，求出未知数的值； 五检：检验解是否是方程组的解，是否符合题意； 六答：写出答案（包括单位名称）。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$