专题08 四边形（真题8个考点+模拟9个考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（安徽专用）

专题08 四边形(真题8个考点+模拟9个考点） 一．特殊平行四边形的判定与性质（共1小题） 1．（2020·安徽·中考真题）已知点在上．则下列命题为真命题的是（  ） A．若半径平分弦．则四边形是平行四边形 B．若四边形是平行四边形．则 C．若．则弦平分半径 D．若弦平分半径．则半径平分弦 二．利用矩形的性质求角度（共1小题） 2．（2022·安徽·中考真题）两个矩形的位置如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 三．利用菱形的性质求线段长度（共2小题） 3．（2021·安徽·中考真题）如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·安徽·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题： （1） °； （2）若，，则 ． 四．利用正方形的性质求线段长度（共1小题） 5．（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 五．利用平行四边形的性质和判定证明（共1小题） 6．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 六．折叠问题（共2小题） 7．（2020·安徽·中考真题）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕为；再将分别沿折叠，此时点落在上的同一点处．请完成下列探究： 的大小为 ； 当四边形是平行四边形时的值为 ． 8．（2024·安徽·中考真题）如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （1）若点N在边上，且，则 （用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为 ． 七．利用矩形的性质和判定证明（共1小题） 9．（2020·安徽·中考真题）如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点 求证：； 若，求的长； 如图2，连接，求证：． 八．四边形综合（共4小题） 10．（2022·安徽·中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE． (1)如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形； (2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC． （ⅰ）求∠CED的大小； （ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF． 11．（2023·安徽·中考真题）在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接．    (1)如图1，求的大小； (2)已知点和边上的点满足． （ⅰ）如图2，连接，求证：； （ⅱ）如图3，连接，若，求的值． 12．（2024·安徽·中考真题）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． (1)求证：； (2)连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 13．（2021·安徽·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 一．多边形角度问题（共4小题） 1．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，以正五边形的边为边作正方形，延长交于点H，则的度数为（    ）.    A． B． C． D． 2．（2024·安徽滁州·二模）如图，P是正五边形的边上一点，过点P作交于点M，交于点N，则的度数为（      ） A．30° B．36° C．45° D．72° 3．（2024·安徽马鞍山·二模）如图，与正五边形的两边，相切于A，C两点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽宿州·一模）如图，在正五边形中，，相交于点，连接，则（   ） A． B． C． D． 二．利用平行四边形性质和判定进行判断（共4小题） 5．（2024·安徽亳州·三模）如图，四边形的对角线，相交于点，，，则下列说法错误的是（       ） A．若，则四边形是矩形 B．若平分，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，的对角线交于点O，E是边上的动点，连接交于点F．若，则下列结论中错误的是（　　）    A．的最小值是 B．总小于 C．当点E是的中点时，的面积是 D．周长的最小值是 7．（2024·安徽阜阳·三模）已知四边形，对角线和交于点O，则下列命题是真命题的是（    ） A．如果，，那么四边形为平行四边形 B．如果，，那么四边形为平行四边形 C．如果，，那么四边形为平行四边形 D．如果，，那么四边形为平行四边形 8．（2024·安徽宿州·一模）下列命题中，真命题是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 三．利用平行四边形性质和判定求长度（共5小题） 9．（2024·安徽合肥·二模）如图，在中，对角线与相交于点O，，，，则的长为（   ） A．8 B．6 C． D． 10．（2024·安徽蚌埠·二模）如图，平行四边形的对角线，相交于点 O，于点 C，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·安徽安庆·二模）如图，在 中，为上一点，延长至点，连接，．若，，，则的长为（   ） A．12 B．14 C． D． 12．（2024·安徽滁州·二模）如图，在中，点， 分别在边 和 上，，连接交对角线于点，若点是的四等分点()，，则的长为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，延长到点，使，过点作于点，连接．若平行四边形的周长为8，则的长是 ．    四．利用平行四边形性质和判定求最值（共4小题） 14．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，，分别为，，的中点，连接，，．将绕点在平面内自由旋转（如图）．若，，则面积的最大值是（    ） A．8 B．16 C． D． 15．（2024·安徽阜阳·二模）如图，为等边三角形，D，E分别是边上的点，且满足，M是边上的一动点，以M，D，E为顶点，为对角线构造．若，则的最小值为（      ） A． B． C．6 D．4 16．（2024·安徽·一模）如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 17．（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形中，， ，的长度可变化，点E在上，点F在上，若，，且F是的中点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 五．利用特殊平行四边形性质和判定求长度或比值（共6小题） 18．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，正方形边长为6，点E、F分别在、上，且，点G、H分别为线段、的中点，连接，若，则的长为（    ）    A．2 B． C． D． 19．（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形的边长为，的边，分别与边相交于点，，若的面积为，则与的长度比为（   ） A． B． C． D． 20．（2024·安徽宿州·一模）如图，在矩形中，E，F分别在边和边上，于点G，且G为的中点．若，则的长为（　　）    A．4 B． C． D． 21．（2024·安徽淮南·三模）如图，点在菱形的边上，连接交菱形的对角线于点取的中点连接若，则（    ） A． B． C． D． 22．（2024·安徽六安·三模）如图，在矩形中，为对角线，点F在上，连接交于点E，且，； （1）则 ； （2）若，为等腰直角三角形，，则 ． 23．（2024·安徽合肥·二模）已知，点是正方形边上一点，连接，延长至，  使， 连接交于点．    （1）若， 则 ° ； （2）连接，，与交于，若， 则 ． 六．利用特殊平行四边形性质和判定求最值（共4小题） 24．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，正方形边长为8，为中点，为上的动点，为上的点，且，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 25．（2024·安徽淮北·二模）已知正方形的边长为4，点是平面内的一动点，连接，且，点是上一点，，连接，下列结论错误的是（    ） A．的最小值是3 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是5 26．（2024·安徽合肥·三模）如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角（其中，），连接、． （1）若点E、F分别是的中点，则点G到的距离是 ； （2）的最小值为 ． 27．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在四边形中，，点E为边上一点，，P为边上动点，以为直角边在右侧作，使得，，连接、，则与差的最大值为 ． 七．四边形与折叠（共4小题） 28．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，若点O是矩形对角线的中点，按如图所示的方式折叠，使边落在上，边也落在上，A、C两点恰好重合于点O，连接交于点G，交于点H． （1）的度数为 度； （2）的值为 ． 29．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，在菱形中，点P是上一点，将沿着折叠，得到，连接． （1）若，，则的度数为 ； （2）点Q是的中点，若，，则的最小值为 ． 30．（2024·安徽·二模）如图，在正方形中，点分别为边上的点，将，分别沿折叠，点恰好落在上的点处，再将沿折叠，点落在上的点处，连接与交于点． （1） ； （2）若，则的长为 ． 31．（2024·安徽六安·二模）在矩形的边上取一点，将沿翻折，点的对应点为点． (1)当在边上时， （）如图，若，，求； （）如图，作平分交于，若，求证：； (2)如图，当点在矩形内部时，若平分交于，，直接写出三者关系为：__________． 八．四边形与旋转（共3小题） 32．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，矩形中，为对角线，将以点为中心逆时针旋转，点的对应点在边上，点的对应点为点，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：为的中点； (3)若，求矩形的周长． 33．（2024·安徽亳州·二模）在矩形中，，． (1)如图（），分别是边的中点，以为邻边作矩形．连接．则的长为______；（直接填空） (2)在（）的条件下，如图（），让矩形绕着点逆时针旋转至点恰好落在上，连接，求出和的长，并求的值． (3)在（）的条件下，如图（），当矩形绕着点逆时针旋转至如图（）位置时，请帮助小明判断的值是否发生变化？若不变，说明理由．若改变，求出新的比值． 34．（2024·安徽合肥·一模）在中，，是斜边上一点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接，，． (1)如图，求证：是的中点； (2)已知点和边上的点满足，连接，，． （）如图，求证：四边形是菱形． （）如图，连接，若，，求值． 九．四边形综合（共4小题） 35．（2024·安徽淮南·二模）如图（1），E是菱形边上一点，是等腰三角形，AE=EF，，交于点G，探究与α的数量关系． (1)如图（2），当时，在上截取，连接，构造全等三角形，可求出的大小，那么______； (2)如图（1），求与α的数量关系． (3)如图（3），当时，过A作垂足为P，若，求的值． 36．（2024·安徽淮南·三模）在正方形中，是对角线，点是的中点，点在上，连接点关于的对称点是连接 (1)如图1，若经过点求证：； (2)如图2，连接若求的长； (3)当点三点共线时，直接写出的长． 37．（2024·安徽合肥·三模）如图1，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，连接交于点P，连接交于Q，连接． (1)求证：； (2)连接，如图2， ①若，求的长； ②若，则 ． 38．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在矩形中，E是边上的动点，以为边向右侧作矩形，使，连接交于点O，连接． (1)如图1，若点E，C，G在同一条直线上． ①求证：． ②若，，求的长． (2)如图2，若，且，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 四边形(真题8个考点+模拟9个考点） 一．特殊平行四边形的判定与性质（共1小题） 1．（2020·安徽·中考真题）已知点在上．则下列命题为真命题的是（  ） A．若半径平分弦．则四边形是平行四边形 B．若四边形是平行四边形．则 C．若．则弦平分半径 D．若弦平分半径．则半径平分弦 【答案】B 【分析】根据圆的有关性质、垂径定理及其推论、特殊平行四边形的判定与性质依次对各项判断即可． 【详解】A．∵半径平分弦， ∴OB⊥AC，AB=BC，不能判断四边形OABC是平行四边形， 假命题； B．∵四边形是平行四边形,且OA=OC, ∴四边形是菱形， ∴OA=AB=OB，OA∥BC， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠OAB=60º, ∴∠ABC=120º, 真命题； C．∵， ∴∠AOC=120º，不能判断出弦平分半径， 假命题； D．只有当弦垂直平分半径时，半径平分弦，所以是 假命题， 故选：B． 【点睛】本题主要考查命题与证明，涉及垂径定理及其推论、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解答的关键是会利用所学的知识进行推理证明命题的真假． 二．利用矩形的性质求角度（共1小题） 2．（2022·安徽·中考真题）两个矩形的位置如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用三角形外角性质得到∠3=∠1-90°=α-90°，用余角的定义得到∠2=90°-∠3=180°-α． 【详解】解：如图，∠3=∠1-90°=α-90°， ∠2=90°-∠3=180°-α． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了矩形，三角形外角，余角，解决问题的关键是熟练掌握矩形的角的性质，三角形的外角性质，互为余角的定义． 三．利用菱形的性质求线段长度（共2小题） 3．（2021·安徽·中考真题）如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长． 【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB, ∴∠BEO=∠BFO=90°， ∵∠A=120°， ∴∠B=60°， ∴∠EOF=120°，∠EOH=60°， 由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD， 因为O点是菱形ABCD的对称中心， ∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH， ∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°， ∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°， 所以四边形EFGH是矩形； 设OE=OF=OG=OH=x， ∴EG=HF=2x，， 如图，连接AC，则AC经过点O， 可得三角形ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AC=AB=2, ∴OA=1,∠AOE=30°， ∴AE=， ∴x=OE= ∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=, 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力． 4．（2022·安徽·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题： （1） °； （2）若，，则 ． 【答案】 45 【分析】（1）先证△ABE≌△GEF，得FG=AE=DG，可知△DFG是等腰直角三角形即可知度数． （2）先作FH⊥CD于H，利用平行线分线段成比例求得MH；再作MP⊥DF于P，证△MPF∽△NHF,即可求得NH的长度，MN=MH+NH即可得解． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°，AB=AD， ∴∠ABE+∠AEB=90°， ∵FG⊥AG， ∴∠G=∠A=90°， ∵△BEF是等腰直角三角形， ∴BE=FE，∠BEF=90°， ∴∠AEB+∠FEG=90°， ∴∠FEG=∠EBA， 在△ABE和△GEF中， ， ∴△ABE≌△GEF（AAS）， ∴AE=FG，AB=GE， 在正方形ABCD中，AB=AD ∵AD=AE+DE，EG=DE+DG， ∴AE=DG=FG， ∴∠FDG=∠DFG=45°． 故填：45°． （2）如图，作FH⊥CD于H， ∴∠FHD=90° 又∵∠G=∠GDH=90°， ∴四边形DGFH是矩形， 又∵DG=FG， ∴四边形DGFH是正方形， ∴DH=FH=DG=2， ∴ ∴， ∴DM=，MH=， 作MP⊥DF于P， ∵∠MDP=∠DMP=45°， ∴DP=MP， ∵DP2+MP2=DM2， ∴DP=MP=， ∴PF= ∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°， ∴∠MFP=∠NFH， ∵∠MPF=∠NHF=90°， ∴△MPF∽△NHF, ∴，即， ∴NH=， ∴MN=MH+NH=+=． 故填： ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及判定以及相似三角形的性质和判定，熟知相关知识点并能熟练运用，正确添加辅助线是解题的关键． 四．利用正方形的性质求线段长度（共1小题） 5．（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴ ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 五．利用平行四边形的性质和判定证明（共1小题） 6．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 【答案】A 【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解． 【详解】解：如图所示，    延长， 依题意 ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， 则为的中点 如图所示，    设的中点分别为， 则 ∴当点在上运动时，在上运动， 当点与重合时，即， 则三点共线，取得最小值，此时， 则， ∴到的距离相等， 则， 此时 此时和的边长都为2，则最小， ∴， ∴ ∴， 或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，    此时 故A选项错误， 根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确； 周长等于， 即当最小时，周长最小， 如图所示，作平行四边形，连接，    ∵，则 如图，延长,，交于点， 则， ∴是等边三角形， ∴， 在与中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，则， ∴是直角三角形，    在中， ∴当时，最短， ∵ ∴周长的最小值为，故C选项正确； ∵ ∴四边形面积等于    ∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合 ∴四边形面积的最小值为，故D选项正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键． 六．折叠问题（共2小题） 7．（2020·安徽·中考真题）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕为；再将分别沿折叠，此时点落在上的同一点处．请完成下列探究： 的大小为 ； 当四边形是平行四边形时的值为 ． 【答案】 30 【分析】（1）根据折叠得到∠D+∠C=180°，推出AD∥BC，，进而得到∠AQP=90°，以及∠A=180°-∠B=90°，再由折叠，得到∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°即可； （2）根据题意得到DC∥AP，从而证明∠APQ=∠PQR，得到QR=PR和QR=AR，结合（1）中结论，设QR=a，则AP=2a，由勾股定理表达出AB=AQ=即可解答． 【详解】解：（1）由题意可知，∠D+∠C=180°， ∴AD∥BC， 由折叠可知∠AQD=∠AQR，∠CQP=∠PQR， ∴∠AQR+∠PQR=，即∠AQP=90°， ∴∠B=90°，则∠A=180°-∠B=90°， 由折叠可知，∠DAQ=∠BAP=∠PAQ， ∴∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°， 故答案为：30； （2）若四边形APCD为平行四边形，则DC∥AP， ∴∠CQP=∠APQ， 由折叠可知：∠CQP=∠PQR， ∴∠APQ=∠PQR， ∴QR=PR， 同理可得：QR=AR，即R为AP的中点， 由（1）可知，∠AQP=90°，∠PAQ=30°，且AB=AQ， 设QR=a，则AP=2a， ∴QP=， ∴AB=AQ=， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形中的折叠问题，涉及了平行四边形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是读懂题意，熟悉折叠的性质． 8．（2024·安徽·中考真题）如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （1）若点N在边上，且，则 （用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为 ． 【答案】 / 【分析】①连接，根据正方形的性质每个内角为直角以及折叠带来的折痕与对称点连线段垂直的性质，再结合平行线的性质即可求解； ②记与交于点K， 可证：，则，，由勾股定理可求，由折叠的性质得到：，，，，，则，，由，得，继而可证明，由等腰三角形的性质得到，故． 【详解】解：①连接，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴， 故答案为：； ②记与交于点K，如图： ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴，， 在中，由勾股定理得， 由题意得：，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，而， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 七．利用矩形的性质和判定证明（共1小题） 9．（2020·安徽·中考真题）如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点 求证：； 若，求的长； 如图2，连接，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）由矩形的形及已知证得△EAF≌△DAB，则有∠E=∠ADB，进而证得∠EGB=90º即可证得结论； （2）设AE=x，利用矩形性质知AF∥BC，则有，进而得到x的方程，解之即可； （3）在EF上截取EH=DG，进而证明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，则证得△HAG为等腰直角三角形，即可得证结论． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC，AD∥BC， 在△EAF和△DAB， ， ∴△EAF≌△DAB(SAS)， ∴∠E=∠BDA， ∵∠BDA+∠ABD=90º， ∴∠E+∠ABD=90º， ∴∠EGB=90º， ∴BG⊥EC； （2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x， ∵AF∥BC，∠E=∠E， ∴△EAF∽△EBC， ∴，又AF=AB=1， ∴即， 解得：，（舍去） 即AE=； （3）在EG上截取EH=DG，连接AH， 在△EAH和△DAG， ， ∴△EAH≌△DAG(SAS)， ∴∠EAH=∠DAG，AH=AG， ∵∠EAH+∠DAH=90º， ∴∠DAG+∠DAH=90º， ∴∠HAG=90º， ∴△GAH是等腰直角三角形， ∴即， ∴GH=AG， ∵GH=EG-EH=EG-DG， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算． 八．四边形综合（共4小题） 10．（2022·安徽·中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE． (1)如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形； (2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC． （ⅰ）求∠CED的大小； （ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）见解析 【分析】（1）先根据DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根据“AAS”证明，得出DE=BC，得出四边形BCDE为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，得出四边形BCDE为菱形； （2）（ⅰ）根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一，证明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根据∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出； （ⅱ）连接EF，根据已知条件和等腰三角形的性质，算出，得出，证明，再证明，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵DC=BC，CE⊥BD， ∴DO=BO， ∵， ∴，， ∴（AAS）， ∴， ∴四边形BCDE为平行四边形， ∵CE⊥BD， ∴四边形BCDE为菱形． （2）（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO， ∴CE垂直平分BD， ∴BE=DE， ∵BO=DO， ∴∠BEO=∠DEO， ∵DE垂直平分AC， ∴AE=CE， ∵EG⊥AC， ∴∠AEG=∠DEO， ∴∠AEG=∠DEO=∠BEO， ∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°， ∴． （ⅱ）连接EF， ∵EG⊥AC， ∴， ∴， ∵ ∵AE=AF， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴，   ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ∴（AAS）， ． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，作出辅助线，得出，得出，是解题的关键． 11．（2023·安徽·中考真题）在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接．    (1)如图1，求的大小； (2)已知点和边上的点满足． （ⅰ）如图2，连接，求证：； （ⅱ）如图3，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据旋转的性质得出，根据等边对接等角得出，在中，根据三角形内角和定理即得出，进而即可求解； （2）（ⅰ）延长交于点，证明四边形是菱形，进而根据平行线分线段成比例得出，，根据等腰三角形的性质，得出是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证； （ⅱ）如图所示，过点作于点，由，得出，，进而根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， 在中， ∴ （2）证明：（ⅰ）证法一： 如图，延长，交于点，则，    ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵是的中点，， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，即， ∴，即点是斜边的中点． ∴． 证法二： ∵，是斜边的中点， ∴点在以为圆心，为直径的上．    ∵， ∴垂直平分． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 证法三： ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵是的中点，， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形． ∴． ∵，是斜边的中点， ∴点在以为圆心，为直径的上． ∴． （ⅱ）如图所示，过点作于点，    ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，菱形的性质与判定，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，求正切，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 12．（2024·安徽·中考真题）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． (1)求证：； (2)连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)（ⅰ）见详解，（ⅱ） 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再证明是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得出，再利用证明，利用全等三角形的性质可得出． （2）（ⅰ）由平行线截线段成比例可得出，结合已知条件等量代换，进一步证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出．（ⅱ）由菱形的性质得出，进一步得出，，进一步可得出，进一步得出，同理可求出，再根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在与中， ∴． ∴． （2）（ⅰ）∵ ∴， 又．， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （ⅱ）∵是菱形， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵．， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 故． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及菱形的性质，掌握这些判定方法以及性质是解题的关键． 13．（2021·安徽·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）6；（3） 【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证，，即可得，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得，所以，根据SAS即可证得； （2）证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长BM、ED交于点G．易证，可得；设，，，由此可得，；再证明，根据全等三角形的性质可得．证明，根据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而求得的值． 【详解】（1）证明：， ； ， ，， ， ，， ，， ，， 四边形AFCD是平行四边形 在与中． ， （2）， ， 在中，， ， ， 又，， ， 在与中． ， ； ； ， ； ， ； ， ， 或（舍）； （3）延长BM、ED交于点G． 与均为等腰三角形，， ， ， 设，，， 则，， ， ， ； 在与中， ， ； ． ； ， ， ， ， ， ， ， ， （舍），， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键． 一．多边形角度问题（共4小题） 1．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，以正五边形的边为边作正方形，延长交于点H，则的度数为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的外角、正方形的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键. 由是正五边形的一个外角可得，再根据正方形的性质可得，最后根据两直线平行线、同旁内角互补即可解答. 【详解】解：∵是正五边形的一个外角， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，即，解得：. 故选C. 2．（2024·安徽滁州·二模）如图，P是正五边形的边上一点，过点P作交于点M，交于点N，则的度数为（      ） A．30° B．36° C．45° D．72° 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和外角，平行线的性质．由正五边形的性质可得，利用平行线的性质求得和的度数，由平角的定义可求解． 【详解】解：五边形是正五边形， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024·安徽马鞍山·二模）如图，与正五边形的两边，相切于A，C两点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．根据切线的性质，可得，，结合正五边形的每个内角的度数为，即可求解． 【详解】解：与正五边形的两边，相切于A，C两点， ，， 正五边形的每个内角度数为：， ， ． 故选：B． 4．（2024·安徽宿州·一模）如图，在正五边形中，，相交于点，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的定义，等腰三角形的判定与性质，判断出是解题的关键． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， 则，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二．利用平行四边形性质和判定进行判断（共4小题） 5．（2024·安徽亳州·三模）如图，四边形的对角线，相交于点，，，则下列说法错误的是（       ） A．若，则四边形是矩形 B．若平分，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，先根据平行四边形的判定证明是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐一判断即可，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 、若则四边形是矩形， 故此选项不符合题意； 、若平分， ∴， ∴， 则四边形是菱形，故此选项不符合题意； 、若且，则四边形是正方形，故此选项不符合题意； 、若且，则四边形是菱形，故此选项符合题意； 故选: . 6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，的对角线交于点O，E是边上的动点，连接交于点F．若，则下列结论中错误的是（　　）    A．的最小值是 B．总小于 C．当点E是的中点时，的面积是 D．周长的最小值是 【答案】B 【分析】由题可证是直角三角形，．A．当时，取最小值，可得的最小值是3；B．如图1，过点作交于，连接，易知．以为直径画交于点，当与或重合时，，当点在线段上(不含端点)，大于．C．得出的面积为，当是的中点时，的面积为，则，可得的面积是为．D、如图2，作关于的对称点，连接，交于，此时的周长取最小值，，则，推出，此时的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， 过点D作交于点H，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， A．当时，取最小值，可得的最小值，该选项正确； B．如图1，过点作交于， 连接，则， ， ， ， ． 以为直径画交于点，    当与或重合时，， 当点在线段上(不含端点)，大于，故该选项错误； C．的面积为， 当是的中点时， 则的面积， ， ， ， 可得的面积是为，故该选项正确； D．如图2，作关于的对称点，    连接，交于，则， ∴， 当三点共线时，此时的周长取最小值， 则， ， ， 此时的周长，故该选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积．平行四边形的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理，圆相关知识点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7．（2024·安徽阜阳·三模）已知四边形，对角线和交于点O，则下列命题是真命题的是（    ） A．如果，，那么四边形为平行四边形 B．如果，，那么四边形为平行四边形 C．如果，，那么四边形为平行四边形 D．如果，，那么四边形为平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了真命题及平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．由平行四边形的判定分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：A、如果，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； B、 如果，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、如果，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D、如果，则，再由，可得，则得到，那么四边形为平行四边形，故本选项符合题意， 故选：D 8．（2024·安徽宿州·一模）下列命题中，真命题是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】C 【分析】根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题进行分析即可． 【详解】解：A．两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确； D．两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了命题与定理，关键是熟练掌握特殊的平行四边形的判定定理． 三．利用平行四边形性质和判定求长度（共5小题） 9．（2024·安徽合肥·二模）如图，在中，对角线与相交于点O，，，，则的长为（   ） A．8 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理与逆定理，先利用平行四边形的性质求出，，然后利用勾股定理的逆定理判断，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解∶在中， ，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 故选∶D． 10．（2024·安徽蚌埠·二模）如图，平行四边形的对角线，相交于点 O，于点 C，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理先求解，再求解，再结合平行四边形的性质可得答案． 【详解】解：∵平行四边形的对角线相互平分，， ∴， 又∵，故为直角三角形， ∴根据勾股定理可得：，而， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 11．（2024·安徽安庆·二模）如图，在 中，为上一点，延长至点，连接，．若，，，则的长为（   ） A．12 B．14 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．由平行四边形的性质得，，再证，然后证，得，即可解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 故选：D 12．（2024·安徽滁州·二模）如图，在中，点， 分别在边 和 上，，连接交对角线于点，若点是的四等分点()，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，由四边形是平行四边形得，从而求证，再根据相似三角形的性质得，又点是的四等分点则，，再证明即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的四等分点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 13．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，延长到点，使，过点作于点，连接．若平行四边形的周长为8，则的长是 ．    【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线的性质，根据平行四边形的性质可得，，再根据，，可知，，即可知为的中位线，即可求解．理解题意的为的中位线是解决问题的关键． 【详解】解：在平行四边形中，，，， ∵平行四边形的周长为8， ∴， ∵，， ∴，， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：2． 四．利用平行四边形性质和判定求最值（共4小题） 14．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，，分别为，，的中点，连接，，．将绕点在平面内自由旋转（如图）．若，，则面积的最大值是（    ） A．8 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】由，，，得，，，进而证明，，由，，分别为，，的中点，得，得腰直角三角形，得面积，由，从而即可得解． 【详解】解：连接，， ∵，，， ∴，，， ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，分别为，，的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴面积的最大值 故选： A． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的旋转，解题关键是正确应用旋转的性质，直角三角形的判定，勾股定理，三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 15．（2024·安徽阜阳·二模）如图，为等边三角形，D，E分别是边上的点，且满足，M是边上的一动点，以M，D，E为顶点，为对角线构造．若，则的最小值为（      ） A． B． C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．作交于点，证明四边形是平行四边形，推出，得到，点在直线上，当时，即有最小值，据此计算即可求解． 【详解】解：作交于点，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上， 当时，即有最小值，根据平行线间的距离相等知的最小值就是等边三角形的高， 作于点， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 16．（2024·安徽·一模）如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】当点与点重合时，点在点处，此时，当点与点重合时，点在点处，此时，由三角形中位线定理得出点在上运动，当时，的值最小，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，求出得出的最小值为，求出的长即可得解． 【详解】解：如图所示： 当点与点重合时，点在点处，此时， 当点与点重合时，点在点处，此时， 为的中位线， ，且， 点为的中点， 为的中位线， ，， 点在上运动，当时，的值最小， 在中，，，， ，， ，， ， 为的角平分线， ， ， ，即， 的最小值为， ， ， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂线段最短，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形的应用，正确运用相关知识点是解题关键． 17．（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形中，， ，的长度可变化，点E在上，点F在上，若，，且F是的中点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】延长，交于点H，延长至点G，使得，连接，．通过，，及四边形是平行四边形得出，，将已知条件聚集在中，利用三角形三边关系求出最值． 【详解】 解：延长，交于点H，延长至点G，使得，连接，． ∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，A、E、G三点共线时，等号成立.， ∴的最小值为6． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称变化求最值，其中涉及平行线的性质，全等三角形的应用，平行四边形的判定及性质，正确利用轴对称变换是解决本题的关键． 五．利用特殊平行四边形性质和判定求长度或比值（共6小题） 18．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，正方形边长为6，点E、F分别在、上，且，点G、H分别为线段、的中点，连接，若，则的长为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 连接并延长，交于点，连接，根据正方形的性质推出, 根据得到, 从而推出, 判定后根据全等三角形的性质得到, 根据推出, 根据是的中点得到, 从而判定, 根据全等三角形的性质得到，根据等量代换得到, 判定为等腰直角三角形，根据三角形中位线的定义判定是的中位线后求出的长，根据等腰直角三角形的性质求出和的长，最后用减去即可求出的长． 【详解】如图, 连接并延长, 交于点, 连接，    ∵四边形是正方形， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∵是中点, , ∴是三角形的中位线， ∴， ∴． 故选: A． 19．（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形的边长为，的边，分别与边相交于点，，若的面积为，则与的长度比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形的面积公式，由正方形的性质可求，，由面积的和差关系可求，即可求，，由相似三角形的判定和性质可求解． 【详解】解：如图，过点作于，交于，    在正方形中，，， 又， 四边形是矩形， ，且正方形的边长为， 正方形的面积， ， 的面积为， ， ， ， ，， ，， ， 故选：C． 20．（2024·安徽宿州·一模）如图，在矩形中，E，F分别在边和边上，于点G，且G为的中点．若，则的长为（　　）    A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中垂线的性质，作出合适的辅助线，构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．连接，且为的中点，得到，利用勾股定理可求出，进而得到，在中，可求出，进而求出，再运用勾股定理即可求． 【详解】解：连接，   四边形是矩形， ， 且为的中点， ，， 在中， ， 在中， ． 在中． 故选：C． 21．（2024·安徽淮南·三模）如图，点在菱形的边上，连接交菱形的对角线于点取的中点连接若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接交于，过作交于，过作于，先求解，，证明，而，可得，，证明，可得，，，再进一步的利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，连接交于，过作交于，过作于， ∵菱形，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴，， ∵，为的中点， ∴， ∴，， ∴， 而， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，三角形的中位线的判定与性质，化为最简二次根式，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 22．（2024·安徽六安·三模）如图，在矩形中，为对角线，点F在上，连接交于点E，且，； （1）则 ； （2）若，为等腰直角三角形，，则 ． 【答案】 【分析】（1）设，，利用矩形的性质证明，利用相似三角形性质得到，进而得到，即可求得； （2）作于点，作于点，利用矩形的性质和等腰直角三角形得到，利用勾股定理算出，利用等面积法得到，利用解直角三角形得到，再利用等面积法得到，继而利用解直角三角形得到，证明，利用相似三角形性质建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：， 设，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，则，解得， ， ， 故答案为：． （2）解：作于点，作于点， 为等腰直角三角形，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形性质和判定，勾股定理，等面积法，解直角三角形，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 23．（2024·安徽合肥·二模）已知，点是正方形边上一点，连接，延长至，  使， 连接交于点．    （1）若， 则 ° ； （2）连接，，与交于，若， 则 ． 【答案】 / 【分析】（1）由正方形的性质，结合，可推出，得到，由可得，再根据角的和差即可求解； （2）作交于点，则，证明，得到，，推出，根据勾股定理可推出，由可得得出，根据得出，即可求解． 【详解】解： (1)在正方形 中，， ∵， ， ， ， ， ， ； (2)作交于点，则， ，， ， ，， ， ，， ， ， ，即， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ； 故答案为：、．    【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 六．利用特殊平行四边形性质和判定求最值（共4小题） 24．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，正方形边长为8，为中点，为上的动点，为上的点，且，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，取的中点，连接，证明，得出，从而得出，连接交于，当、、在同一直线上时，最小，即最小，最小为，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接， ， ∵四边形为正方形，边长为8，为中点， ∴，，， ∵为上的动点， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接交于，当、、在同一直线上时，最小，即最小，最小为， ∵， ∴最小值为， 故选：D． 25．（2024·安徽淮北·二模）已知正方形的边长为4，点是平面内的一动点，连接，且，点是上一点，，连接，下列结论错误的是（    ） A．的最小值是3 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是5 【答案】C 【分析】由题意得到点P在以点B为圆心，的长为半径的圆上运动，点Q在以点B为圆心，长为1半径的圆上运动，在上取点M，使得，连接，根据动点的运动轨迹，结合点到圆上的最值距离，利用勾股定理逐一求值判断即可． 【详解】解：如图，由题意可得：点P在以点B为圆心，的长为半径的圆上运动，点Q在以点B为圆心，长为1半径的圆上运动， 在上取点M，使得，连接， A、当点三点共线时，即点M与点Q重合，有最小值， ， ， 的最小值为3，正确，不符合题意； B、当点三点共线时，即点P与点N重合，有最小值， ， ， 最小值为，正确，不符合题意； C、为定值， 有最大值时，有最大值， 如图，当点三点共线，且点B在点D与点P中间时，有最大值， ， ，此时， 的最大值是，错误，符合题意； D、， ， ， 当点三点共线时，即点P与点G重合，有最小值，最小值为的长， ， ， 的最小值为5，正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了点到圆上距离的最值问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，正确作出辅助线找到动点轨迹是解题的关键． 26．（2024·安徽合肥·三模）如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角（其中，），连接、． （1）若点E、F分别是的中点，则点G到的距离是 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）分别过点G作于M，于H，根据矩形的性质及全等三角形的判定得出，，确定四边形是正方形，再由等腰三角形的判定和性质得出，设，则，结合图形即可求解； （2）过点作，，可证得，进而证得点在的角平分线上，在的延长线上取点，使得，可得，可证得，可得，可知，当、、在同一直线上时去等号，进而可知的最小值为． 【详解】解：分别过点G作于M，于H，如图1，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵E，F分别是边上的中点， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G到的距离为， 故答案为：； （2）∵四边形是矩形，，， ∴，， 过点作，，则四边形是矩形， ∴，， ∵，，则， ∴， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴， 在的延长线上取点，使得，则， 则 ∵， ∴， ∴， 则，当、、在同一直线上时取等号， 即：的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键． 27．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在四边形中，，点E为边上一点，，P为边上动点，以为直角边在右侧作，使得，，连接、，则与差的最大值为 ． 【答案】 【分析】过点Q作，过点D作，证明出，得到，求出，点Q作交于点，得到点Q的轨迹为直线上的线段，过点作，交分别于点，设，则，根据勾股定理表示出 与差，转换为与差的最大值为即轴上一点到，的距离差的最大值，即，两点之间的距离，勾股定理即可求解． 【详解】如图所示，过点Q作，过点D作， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴过点Q作交于点 ∴点Q的轨迹为直线上的线段 如图所示，过点作，交分别于点， 则 设，则， ∴， ∴ 与差的最大值为即轴上一点到，的距离差的最大值， 如图所示，，连接交轴于点，则与差的最大值为 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是得到点Q的轨迹． 七．四边形与折叠（共4小题） 28．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，若点O是矩形对角线的中点，按如图所示的方式折叠，使边落在上，边也落在上，A、C两点恰好重合于点O，连接交于点G，交于点H． （1）的度数为 度； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据矩形性质及折叠性质得点在同一条直线上，证四边形为菱形得， 则， 由此得，进而可得的度数； （2）设， 则， 则， ， 设，， 证得， 则， 将代入， 得， 则， 由此可得 的值. 【详解】（1）∵四边形为矩形， 点是对角线的中点， ∴， ∴， 由折叠的性质得： ，，， ∴点在同一条直线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 故答案为： . （2）由（1）可知： 四边形为菱形， ，设， 则， ∴在中， ， ∴ ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ 同理可得， ∴C， 即，， ∴， ∵，， ∴， 整理得： ， ∴， ， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，图形的折叠变换及性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解矩形的性质，图形的折叠变换及性质，熟练掌握菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键. 29．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，在菱形中，点P是上一点，将沿着折叠，得到，连接． （1）若，，则的度数为 ； （2）点Q是的中点，若，，则的最小值为 ． 【答案】 41 / 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠与轴对称等知识， （1）根据折叠可得，再根据三角形内角和定理可得结论； （2）延长至点F，使得，连接，，则是的中位线，证明是等边三角形，求出，，从而可得结论 【详解】解：（1）由折叠和菱形的定义可知，，， 则， ， 故答案为：41； （2）延长至点F，使得，连接，， 则是的中位线， ， 当取最小值时，有最小值． 连接， ∵四边形是菱形， ∴ 又， ∴是等边三角形， 则，， ∴ ∴垂足为， ∴， ∴ ∴ ∴． 由折叠可知， 又， ， 当点B，E，F共线时，有最小值， 此时的最小值为， 故答案为：． 30．（2024·安徽·二模）如图，在正方形中，点分别为边上的点，将，分别沿折叠，点恰好落在上的点处，再将沿折叠，点落在上的点处，连接与交于点． （1） ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形： （1）根据折叠的性质可得，由平角的定义求得，进而求得，根据正弦的概念计算即可； （2）解求得，，进而求得，由折叠的性质可得，，求得，再解，即可求得． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ； 故答案为：； （2）解：，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 31．（2024·安徽六安·二模）在矩形的边上取一点，将沿翻折，点的对应点为点． (1)当在边上时， （）如图，若，，求； （）如图，作平分交于，若，求证：； (2)如图，当点在矩形内部时，若平分交于，，直接写出三者关系为：__________． 【答案】(1)（）；（）证明见解析； (2)． 【分析】（）（）由折叠可得，，，由矩形的性质可得，，，进而可得，即可得，设，则，由勾股定理得，求出即可求解；（）如图，过点作于，证明可得，，设，，则，，证明可得，即得，得到，再利用三角形面积可得，得到，得到，得到，即可求证； （）如图，过点作，过点作于，交于点，可得，证明得到，，又由折叠可得，，，即可得到四边形是矩形，得到，，即得，，再由可得，进而得到， 由勾股定理得到，即得，即可求证； 本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：（）由折叠可得，，， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； （）如图，过点作于，则， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设，，则，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作，过点作于，交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 八．四边形与旋转（共3小题） 32．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，矩形中，为对角线，将以点为中心逆时针旋转，点的对应点在边上，点的对应点为点，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：为的中点； (3)若，求矩形的周长． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）根据矩形的性质可得，进而由旋转的性质可得，即可求解； （）过点作于点，证明得到即可求证； （）证明得到，设，则，，即得，求出即可求解； 本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：在矩形中，， 是由旋转所得， ， ， ； （2）证明：过点作于点，如图， 由（）知， ， 又∵， ∴， 在和中， ， ， ， 即为的中点； （3）解：，为的中点， ， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴为等腰三角形， ∵两个等腰三角形有公共底角， ， 由（）知， ， 设，则，， ， 解得， ∴，， ∴， 在中，，， ， ∴， 矩形的周长为． 33．（2024·安徽亳州·二模）在矩形中，，． (1)如图（），分别是边的中点，以为邻边作矩形．连接．则的长为______；（直接填空） (2)在（）的条件下，如图（），让矩形绕着点逆时针旋转至点恰好落在上，连接，求出和的长，并求的值． (3)在（）的条件下，如图（），当矩形绕着点逆时针旋转至如图（）位置时，请帮助小明判断的值是否发生变化？若不变，说明理由．若改变，求出新的比值． 【答案】(1)； (2)，，； (3)不变，，理由见解析． 【分析】本题考查四边形综合题、矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题. （）延长交于，则四边形是矩形，在中，利用勾股定理即可解决问题； （）过作于，利用勾股定理相似三角形的性质，分别求出即可解决问题； （）连接，只要证明，列比例式即可解决问题； 【详解】（1）如图， 延长交于，则四边形是矩形， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图中，过作于， 由（）得则四边形是矩形， ∴，， ∵分别是边的中点， ∴，， ∵， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ； （3）解：不变，，理由如下： 连接， 由旋转可知：， 由勾股定理可知：，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 34．（2024·安徽合肥·一模）在中，，是斜边上一点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接，，． (1)如图，求证：是的中点； (2)已知点和边上的点满足，连接，，． （）如图，求证：四边形是菱形． （）如图，连接，若，，求值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（）证明见解析；（）． 【分析】（）由旋转的性质得: 得，由得，则，等角对等边得，即可得，即是的中点； （）（）连接，根据直角三角形斜边上的中线得，由，得是的垂直平分线，，可得，根据平行线的性质得，根据直角三角形斜边上的中线得，由得是的垂直平分线，，可得，可得，即可得出结论； （）过点作于点，由勾股定理得，再由菱形的性质得，进而由锐角三角函数定义得，则， ，，然后由锐角三角函数定义即可得出结论． 【详解】（1）证明: 由旋转的性质得: ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点； （2）（）证明: 连接， ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （）过点作于点， 则， 在中，由勾股定理得:， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，     ∴， ∴。 ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，同角的余角相等，勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，等腰三角形的性质以及锐角三角函数是解题的关键． 九．四边形综合（共4小题） 35．（2024·安徽淮南·二模）如图（1），E是菱形边上一点，是等腰三角形，AE=EF，，交于点G，探究与α的数量关系． (1)如图（2），当时，在上截取，连接，构造全等三角形，可求出的大小，那么______； (2)如图（1），求与α的数量关系． (3)如图（3），当时，过A作垂足为P，若，求的值． 【答案】(1)45； (2)； (3)． 【分析】（1）在上截取，使，连接．先证，再由正方形的性质得到，，则，得到，则，进而得到； （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过A作，垂足为P，设，则，得PD=，AP=，在证，，再得，，得结论， 【详解】（1）解：在上截取，使，连接． ，， ， ， ， ∴四边形是正方形， ，， ， ， ， ； 故答案为：45； ． （2）如图（1）在上截取，使，连接， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ，，， ， α， ， ， ∴； （3）如图（3）过A作，垂足为P，设，则，， ， ∴PD=，AP=， 由（2）得：，， ， ，代入得：， 由（2）知：，， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，三线合一定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 36．（2024·安徽淮南·三模）在正方形中，是对角线，点是的中点，点在上，连接点关于的对称点是连接 (1)如图1，若经过点求证：； (2)如图2，连接若求的长； (3)当点三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，再由对称的性质可得：即可； （2）过点作交的延长线于点延长交于点证明，可得，设则证明是等腰直角三角形，可得，从而得到，然后根据勾股定理，即可求解； （3）连接交于点H，则，，分两种情况讨论：当点E在上时，当点E在上时，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，点是对角线的中点， ， 是等腰直角三角形． 由对称的性质得： ； （2）解：如图，过点作交的延长线于点延长交于点 由对称的性质得： ． ， 设则 ， ， 是等腰直角三角形， （3）解：如图，连接交于点H，则，， 当点E在上时，延长交于点G，过点作于点F，连接，则垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在正方形中，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由对称的性质得：，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当点E在上时， 同理； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，是压轴题，难度较大，尤其是第三问需要分类讨论． 37．（2024·安徽合肥·三模）如图1，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，连接交于点P，连接交于Q，连接． (1)求证：； (2)连接，如图2， ①若，求的长； ②若，则 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)①   ② 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键． （1）过点E作交的延长线于点G，证明，即可得到结论； （2）①连接，证明,则，得到是等腰直角三角形，由（1）知：点Q是的中点，则，证明，则，得到，设，根据勾股定理，得，得到，，Q是的中点，即可得到；②过F作，证明四边形是矩形，进一步得到，设，则，证明，则，得到，求出，得到，证明，得到，则，即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图1，过点E作交的延长线于点G， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴； （2）①解：如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴ ∵， ∴, ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， 由（1）知：点Q是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 根据勾股定理，得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵，Q是的中点， ∴； ②如图3，过F作， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 38．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在矩形中，E是边上的动点，以为边向右侧作矩形，使，连接交于点O，连接． (1)如图1，若点E，C，G在同一条直线上． ①求证：． ②若，，求的长． (2)如图2，若，且，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②； (2)． 【分析】（1）①先证明，推出，据此即可证明； ②由，设，则，，求得，由，求得，据此求解即可； （2）证得矩形和矩形都是正方形，再证明，得到，作于点，分别求得，，据此求解即可． 【详解】（1）①证明：矩形和矩形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∵矩形， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：∵矩形和矩形，，， ∴， ∴矩形和矩形都是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 作于点， 则是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$