专题07 锐角三角函数及其应用（真题4个考点+模拟12个考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（安徽专用）

专题07 锐角三角函数及其应用 (真题4个考点+模拟12个考点） 一．利用三角函数关系求值（共1小题） 1．（2020·安徽·中考真题）如图，中，，点在上，．若，则的长度为（  ） A． B． C． D． 二．仰俯角问题（共2小题） 2．（2023·安徽·中考真题）如图，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点时，测得到点的距离为点的俯角为，无人机继续竖直上升到点，测得点的俯角为．求无人机从点到点的上升高度（精确到）．参考数据：，．    3．（2020·安徽·中考真题）如图，山顶上有一个信号塔，已知信号塔高米，在山脚下点处测得塔底的仰角，塔顶的仰角．求山高 (点在同一条竖直线上)． (参考数据： ) 三．方位角问题（共1小题） 4．（2022·安徽·中考真题）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，． 四．其他问题（共2小题） 5．（2021·安徽·中考真题）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，，，，．求零件的截面面积．参考数据：，． 6．（2024·安徽·中考真题）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 一．求角的三角函数值（共5小题） 1．（2024·安徽安庆·三模）如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽安庆·一模）如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点， ， ，，都在网格的格则的正弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽六安·一模）在中，是边上的高，是边上的中线，．若，，则的值为（   ） A．2或 B．2或 C．3或 D．3或 4．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，，连接交于点F，O在上，，． （1）若，则 ° （2）若，则 5．（2024·安徽芜湖·一模）在中，，易知 聪明的小强想求 的值，于是他在上取点 D，使得，则的值为 ． 二．已知三角函数值求长度（共4小题） 6．（2024·安徽合肥·二模）如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接，，．若，，则 ． 7．（2024·安徽合肥·二模）如图，在菱形中，是坐标原点，点在轴上，点，都在第一象限，反比例函数的图象经过点，与线段交于点，，则的面积是 ． 8．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，为等边内一点，，交于点．若，．则的长为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽合肥·一模）如图，直线与坐标轴交于点A、B，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 三．特殊三角形的三角函数（共1小题） 10．（2024·安徽合肥·二模）已知，点E是的中点，平分，，若，，则长为（    ） A． B． C． D． 四．特殊三角函数的混合运算（共3小题） 11．（2024·安徽芜湖·一模）计算的值为（    ） A．4 B． C． D． 12．（2024·安徽蚌埠·三模）计算： 13．（2024·安徽·一模）计算：． 五．由三角函数的值求角的度数（共2小题） 14．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，点P为矩形的外接圆上的动点，连接，，，当平分时，的度数为（　　）    A． B． C．或 D．或 15．（2024·山东菏泽·一模）已知的三个内角，，的对边分别为，，． 观察：若， 则有，． ． 模仿：已知，． (1)求的值； (2)若，求． 六．利用同角三角函数关系求值（共2小题） 16．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，已知为的直径，为的切线，连接交于点为的中点，连接交于点，过点作，垂足为． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 17．（2024·安徽亳州·一模）如图，在正方形中，E是的中点，在延长线上取点F，使，过点F作交于点M，交于点G，交于点N，连接，， ． (1)求证：； (2)若正方形的边长为2． ①求的值； ②求四边形的面积． 七．三角函数综合（共1小题） 18．（2024·安徽合肥·二模）如图1在中，，D是的中点，延长至E，连接、， (1)求证：； (2)在图1中，若，其他条件不变得到图2，在图2中过点D作于点F，H是的中点，过点H作，交于点G，交于点M． ①求证：； ②若，，求的长． 八．解直角三角形相关计算（共4小题） 19．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，点D为的中点，点M在边上，且满足，，垂足为N，交于点P． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 20．（2024·安徽合肥·三模）如图在正方形中，，点E是上一动点，点F在上，且，过点B作交于点G，垂足为点M： （1）当点G是的中点时，则的长为 ； （2）连接，则的最小值为 ； 21．（2024·安徽六安·三模）如图，中，，，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是（      ）    A． B． C． D．10 22．（2024·安徽淮北·三模）如图，线段，点为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D． 九．仰俯角问题（共3小题） 23．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在同一水平地面上有和两栋楼，从楼顶部A点处测得楼的底部D点的俯角为，从楼顶部C点处测得楼的G点的俯角为，且米，已知楼高25米，求楼的高度．（精确到1米，参考数据：，，） 24．（2024·安徽蚌埠·三模）2024年5月，“嫦娥六号”突破月球逆行轨道设计与控制、月背智能采样和月背起飞上升等关键技术，实施月球背面自动采样返回，同时开展着陆区科学探测和国际合作，如图，在斜坡上有一瞭望台，斜坡的坡度为，坡长为50米，雷达的高度为10米，火箭发射前，雷达中心测得火箭底端点的俯角为，仅2秒的时间，测得火箭上升至的处的仰角为，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：，）    25．（2024·安徽合肥·二模）如图，无人机在点A处测得大楼顶端D的俯角为，垂直上升8米到达B处，测得大楼底端C的俯角为，已知米，求大楼的高度． 参考数据：，，，，，． 一十．方位角问题（共3小题） 26．（2024·安徽合肥·二模）如图，在学校处测得图书城在其北偏东方向（即），千米；测得运动馆在其北偏东方向（即），千米，求图书城到运动馆的距离． （参考数据：，，，，，．） 27．（2024·安徽合肥·一模）如图，是一座长为600米的东西走向的大桥，小莉同学研学旅途中乘坐的汽车在笔直的公路上由南向北行驶，在处测得桥头在北偏东方向上，继续行驶500米后到达处，测得桥头在北偏东方向上，求点到公路的距离．（结果保留根号）    28．（2024·安徽合肥·三模）如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．    (1)求的长； (2)求的长（结果精确到0.1）．（参考数据：） 一十一．坡度坡比问题（共3小题） 29．（2024·四川成都·一模）如图，某处有一座塔，塔的正前方有一平台，平台的高米，斜坡的坡度：，点，，，在同一条水平直线上某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，求塔高．(精确到米)(参考数据：，，，，，)    30．（2024·安徽池州·三模）如图，在距某信号塔（垂直地面）的底部点B的右侧30米处有一个斜坡，斜坡的坡度i为，斜坡上4米处有一竖直广告牌（即米，），已知当阳光与水平线夹角成时，信号塔的影子顶端正好和广告牌的顶端影子重合于点E（即点A，C，E在同一条直线上），经测量长度为9米，求信号塔的高度．（结果保留整数）（参考数据：）    31．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，兰兰欲测量广场上某旗杆的高度，她在该旗杆正前方的石坡顶点处测得旗杆顶端的仰角为，在坡脚点处测得旗杆顶端的仰角为，已知石坡高为3米，坡度，求旗杆的高度（其中点在同一直线上）．（结果精确到1米，，，） 一十二．其他问题（共3小题） 32．（2024·安徽合肥·三模）图1、图2别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G、E、D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为，． (1)求此滑雪运动员的小腿的长度； (2)求此运动员的身高．（参考数据： ，，） 33．（2024·安徽淮北·三模）如图，某中式台球桌的桌面是矩形，桌上有一个球P，球P到边的中洞E的距离为，与的夹角为，球P到底洞D的距离为，与的夹角为，求球P到底洞A的距离．（结果保留根号，，，，，，） 34．（2024·安徽安庆·三模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图①，是古代汉族农用工具．桔槔始见于《墨子·备城门》，作“颉皋”，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图②是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，，点A从最高点逆时针旋转到达最低点，求此时水桶B上升的距离．（结果保留两位小数．参考数据：，，，，，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 锐角三角函数及其应用 (真题4个考点+模拟12个考点） 一．利用三角函数关系求值（共1小题） 1．（2020·安徽·中考真题）如图，中，，点在上，．若，则的长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD． 【详解】∵∠C=90°， ∴， ∵， ∴AB=5， 根据勾股定理可得BC==3， ∵， ∴cos∠DBC=cosA=， ∴cos∠DBC==，即= ∴BD=， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键． 二．仰俯角问题（共2小题） 2．（2023·安徽·中考真题）如图，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点时，测得到点的距离为点的俯角为，无人机继续竖直上升到点，测得点的俯角为．求无人机从点到点的上升高度（精确到）．参考数据：，．    【答案】无人机从点到点的上升高度约为米 【分析】解，求得，，在中，求得，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，，，， 在中，， ∴，， 在中，， ∴ （米） 答：无人机从点到点的上升高度约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 3．（2020·安徽·中考真题）如图，山顶上有一个信号塔，已知信号塔高米，在山脚下点处测得塔底的仰角，塔顶的仰角．求山高 (点在同一条竖直线上)． (参考数据： ) 【答案】75米 【分析】设山高CD=x米，先在Rt△BCD中利用三角函数用含x的代数式表示出BD，再在Rt△ABD中，利用三角函数用含x的代数式表示出AD，然后可得关于x的方程，解方程即得结果． 【详解】解：设山高CD=x米，则在Rt△BCD中，，即， ∴， 在Rt△ABD中，，即， ∴， ∵AD－CD=15， ∴1.2x－x=15，解得：x=75． ∴山高CD=75米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的知识是解题的关键． 三．方位角问题（共1小题） 4．（2022·安徽·中考真题）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，． 【答案】96米 【分析】根据题意可得是直角三角形，解可求出AC的长，再证明是直角三角形，求出BC的长，根据AB=AC-BC可得结论． 【详解】解：∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方， ∴是直角三角形， ∴， ∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°， 在Rt△ACD中，，CD=90米， ∴米， ∵， ∴ ∴， ∴ 即是直角三角形， ∴， ∴米， ∴米， 答：A，B两点间的距离为96米． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题． 四．其他问题（共2小题） 5．（2021·安徽·中考真题）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，，，，．求零件的截面面积．参考数据：，． 【答案】53.76cm2 【分析】首先证明，通过解和，求出AE，BE，CF，BF，再根据计算求解即可． 【详解】解：如图， 四边形AEFD为矩形， ， ∴EF//AB， ∵， ∴， ∵ ∴ 在中，． 又 同理可得， 答：零件的截面面积为53.76cm2 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，通过解和，求出AE，BE，CF，BF的长是解答此题的关键． 6．（2024·安徽·中考真题）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，过点于，则，，由题意可得，，，， 解求出、，可求出，再由勾股定理可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点于，则，，由题意可得，，，， 在中，，， ∴，， ∴， ∴在，， ∴， ∴． 一．求角的三角函数值（共5小题） 1．（2024·安徽安庆·三模）如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义，作直径，根据勾股定理求出，根据余弦函数的定义求出，根据圆周角定理得到，等量代换即可． 【详解】解：如图所示：作直径， 在中，，， 又（圆周角定理）， 故选A. 2．（2024·安徽安庆·一模）如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点， ， ，，都在网格的格则的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，先证明，从而可得，然后在中，求出的值，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：， ， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2024·安徽六安·一模）在中，是边上的高，是边上的中线，．若，，则的值为（   ） A．2或 B．2或 C．3或 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，求角的正切值，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．分当H在上时和当H在的延长线上时两种情况，画出图形求解即可． 【详解】如图1，当H在上时，作，垂足为E， ∵，，， ∴，． ∵是边上的中线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． ∴，， 故； 如图2，当H在的延长线上时，同理可得可得 ，， 故． 故选D．      4．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，，连接交于点F，O在上，，． （1）若，则 ° （2）若，则 【答案】 65 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，可得，由可得； （2）过点D作于点M，于点N，于点R，于S，得得由勾股定理求出求出证明得，，从而可得答案 【详解】解：（1）∵ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴； （2）过点D作于点M，于点N，于点R，于S，如图，     则 ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 由勾股定理得， ∴ ∵， ∴， ∴ 又 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴ ∴ 故答案为：65； 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质在，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，勾股定理以及求角的正切值，正确作出辅助线构造全等三角形以及相似三角形是解答本题的关键 5．（2024·安徽芜湖·一模）在中，，易知 聪明的小强想求 的值，于是他在上取点 D，使得，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】 根据等边对等角可得，再利用三角形的外角可知，然后在中设为x，则，利用勾股定理先求出即可解答． 【详解】解：如图， 是的外角， 在中，设为x，则， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了求角的正切值，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，三角形外角性质，勾股定理，根据题目的已知条件得到是解题的关键． 二．已知三角函数值求长度（共4小题） 6．（2024·安徽合肥·二模）如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接，，．若，，则 ． 【答案】10 【分析】根据边为直径作，得到，设，结合得到，继而得到，利用，得到，利用勾股定理解答即可． 本题考查了圆周角定理，正切函数，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握圆周角定理，正切函数，勾股定理是解题的关键． 【详解】∵边为直径作， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得 (舍去), ∴， 故答案为：10． 7．（2024·安徽合肥·二模）如图，在菱形中，是坐标原点，点在轴上，点，都在第一象限，反比例函数的图象经过点，与线段交于点，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的值的几何意义，正弦的定义；根据和求出点的坐标，再求出菱形面积，由即可求解． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， ， ∴设，则 ∴ 点在反比例函数图象上， ， 或舍去， ，， ， ． 故答案为：． 8．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，为等边内一点，，交于点．若，．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点取中点，连接可得垂直平分根据中位线定理可得由平行线分线段成比例定理得求出、根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图连接并延长交于取的中点连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及中位线、勾股定理、正切平行线分线段成比例定理等知识掌握等腰三角形的判定与性质以及中位线定理是解题的关键． 9．（2024·安徽合肥·一模）如图，直线与坐标轴交于点A、B，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及正切函数的应用，熟练掌握直角三角形的特征和正切函数是解题的关键．由直线与坐标轴交于点、，得到，结合，得到，利用正切函数计算即可， 【详解】解：∵直线与坐标轴交于点、， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 三．特殊三角形的三角函数（共1小题） 10．（2024·安徽合肥·二模）已知，点E是的中点，平分，，若，，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作于点M，作于点N，证明四边形是正方形，可证，利用三角函数，比例式计算即可． 本题考查了正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的余弦函数，熟练掌握正方形的判定和性质，特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】过点D作于点M，作于点N， ∵, ∴四边形是矩形， ∵平分, ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选B． 四．特殊三角函数的混合运算（共3小题） 11．（2024·安徽芜湖·一模）计算的值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先代入特殊角的函数值、化简即可． 【详解】解：， 故选C． 12．（2024·安徽蚌埠·三模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的计算，熟知特殊角的三角函数值是解题关键．根据特殊角三角函数值和二次根式化简整理，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 13．（2024·安徽·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值的混合计算，先计算特殊角三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解； 五．由三角函数的值求角的度数（共2小题） 14．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，点P为矩形的外接圆上的动点，连接，，，当平分时，的度数为（　　）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】连接，推出是的直径，利用三角函数的定义求得，再分类讨论，当点P在上方和点P在下方时，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵点P为矩形的外接圆上的动点， ∴， ∴是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当点P在上方时， ∵平分，    ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在下方时，    同理可得， ∴； 综上，的度数为或 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，根据矩形的性质证明是的直径是解题的关键． 15．（2024·山东菏泽·一模）已知的三个内角，，的对边分别为，，． 观察：若， 则有，． ． 模仿：已知，． (1)求的值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角函数边角关系，及三角形面积． （1）根据题意，观察式子由边角关系即可求解； （2）先求出c的值，由边角关系求出，根据即可求解． 【详解】（1）解：由观察可知，， ， ； （2）解：， 由观察得， ， ， 又由观察得， ， ． 六．利用同角三角函数关系求值（共2小题） 16．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，已知为的直径，为的切线，连接交于点为的中点，连接交于点，过点作，垂足为． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了直径对的圆周角是直角，同弧或等弧对的圆周角相等，切线的性质，勾股定理，正切函数，求弧长等知识，灵活运用这些知识是关键． （1）连接，由F为为的中点及为的直径，得；再由切线的性质得，则得，从而问题得证； （2）连接，在中，由勾股定理求得，从而利用正切关系求出，则由（1）得，从而求得；利用弧长公式即可求得弧长． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为的中点， ． 为的直径， ． ， ， ， 为的切线， ， ， ， 即平分； （2）解：如图，连接， 平分， ， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得． 在中，， ， 由（1）得：， ， ， ， ， ∴的长为． 17．（2024·安徽亳州·一模）如图，在正方形中，E是的中点，在延长线上取点F，使，过点F作交于点M，交于点G，交于点N，连接，， ． (1)求证：； (2)若正方形的边长为2． ①求的值； ②求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)① ② 【分析】（1）根据正方形的性质得到直角和题干的，利用等角的余角相等，再由，即可证明； （2）①先利用勾股定理求出，再由等角的三角函数相等， ，求出，继而求出即可． ②先求的面积，再由即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）①∵正方形的边长为2，E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ；     ②在中， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数，正确理解题意，熟知知识点是解决问题的关键． 七．三角函数综合（共1小题） 18．（2024·安徽合肥·二模）如图1在中，，D是的中点，延长至E，连接、， (1)求证：； (2)在图1中，若，其他条件不变得到图2，在图2中过点D作于点F，H是的中点，过点H作，交于点G，交于点M． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据，D是的中点，得到，继而得到直线是线段的垂直平分线，得到，证明； （2）①连接，根据，H是的中点，得到中位线，结合，利用三角函数证明即可． ②根据，，结合三角形中位线定理，利用三角函数，平行线分线段成比例定理，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，三角函数的应用，平行线分线段成比例定理，熟练掌握三角形中位线定理，三角函数的应用，是解题的关键． 【详解】（1）∵，D是的中点， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵ ∴． （2）①连接， ∵，H是的中点， ∴中位线， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②∵，， ∴, 设， 则， 解得， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴． 八．解直角三角形相关计算（共4小题） 19．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，点D为的中点，点M在边上，且满足，，垂足为N，交于点P． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）设，则，根据勾股定理求出，再根据余弦定义求解即可； （2）延长，交的延长线于点E，过点A作交的延长线于点F，结合直角三角形的性质求出，，则，根据相似三角形的性质得出，设，则，，根据比例的性质求出，根据平行线的性质推出，，根据相似三角形的性质等量代换求解即可． 【详解】解：（1）∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，延长，交的延长线于点E，过点A作交的延长线于点F， ∵，于N， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（2024·安徽合肥·三模）如图在正方形中，，点E是上一动点，点F在上，且，过点B作交于点G，垂足为点M： （1）当点G是的中点时，则的长为 ； （2）连接，则的最小值为 ； 【答案】 1 / 【分析】（1）过F点作于H点，,则四边形，都是矩形，则可得，根据证明，则可得，又由，即可求出的长； （2）连接交于O点，可证，则可得，取中点P，连接、，过P点作于Q点，则可得．再求出的长，根据两点之间线段最短可得当A、M、P三点共线时取最小值，由此可求得的最小值． 【详解】（1） ∵四边形是正方形， ，． 过F点作于H点， 则四边形，都是矩形， ，， ． ，， ， 又， ， ，点G是的中点， ， ， 又，， ． 故答案为：1 （2） 连接，交于O点， ， ， ，， ， 又， ， ． ，， ， ． 取中点P，连接、，过P点作于Q点， 则， ，， ， ， ． 在中，P是中点， ， ， 当A、M、P三点共线时取最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质．两点之间线段最短，直角三角形的性质．熟练掌握根据“两点之间线段最短”求最小值是解题的关键． 21．（2024·安徽六安·三模）如图，中，，，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是（      ）    A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】如图，作于，于．由，设，，利用勾股定理构建方程求出，再证明，推出，由垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，作于，于．   ， ， ， 设，， 则有：， ， 解得（舍去）， ∴， ，，，则 ∴， ，， ， ， ， 当C、D、H三点共线时，， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 22．（2024·安徽淮北·三模）如图，线段，点为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】以为斜边向上作等腰直角，连接，．利用相似三角形的性质证明，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，根据，可得结论． 【详解】解：以为斜边向上作等腰直角，连接，． ， ， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴ ，同理， ，， ， ， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ， ， 故线段长度的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，点与圆的位置关系，三角形三边关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 九．仰俯角问题（共3小题） 23．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在同一水平地面上有和两栋楼，从楼顶部A点处测得楼的底部D点的俯角为，从楼顶部C点处测得楼的G点的俯角为，且米，已知楼高25米，求楼的高度．（精确到1米，参考数据：，，） 【答案】18米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点C作，垂足为F，根据题意可得：，，，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：过点C作，垂足为F， 由题意得：，，，， ∴， ∵在中，米， ∴（米）， ∴米， ∴在中，（米）， ∵米， ∴（米）， ∴楼的高度约为18米． 24．（2024·安徽蚌埠·三模）2024年5月，“嫦娥六号”突破月球逆行轨道设计与控制、月背智能采样和月背起飞上升等关键技术，实施月球背面自动采样返回，同时开展着陆区科学探测和国际合作，如图，在斜坡上有一瞭望台，斜坡的坡度为，坡长为50米，雷达的高度为10米，火箭发射前，雷达中心测得火箭底端点的俯角为，仅2秒的时间，测得火箭上升至的处的仰角为，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：，）    【答案】火箭发射时速度约为425米/秒 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于点，延长交的延长线于点，设，则，在中，利用勾股定理求出x，在中，利用正切定义求出，在中，利用正切定义求出，即可求解． 【详解】解：过点作于点，延长交的延长线于点，    在中，，坡度为 设，则由解得 ， 在中，， ， 在中， ， ， ， （米/秒） 答：火箭发射时速度约为425米/秒． 25．（2024·安徽合肥·二模）如图，无人机在点A处测得大楼顶端D的俯角为，垂直上升8米到达B处，测得大楼底端C的俯角为，已知米，求大楼的高度． 参考数据：，，，，，． 【答案】大楼的高度约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角问题，正确作出辅助线、构造直角三角形是成为解题题的关键． 如图，过点A，B作的垂线，分别与的延长线交于点E、F，然后在和中解直角三角形求得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，过点A，B作的垂线，分别与的延长线交于点E，F， 在中，，米， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴， 又∵， ∴（米），即大楼的高度约为27.1米． 一十．方位角问题（共3小题） 26．（2024·安徽合肥·二模）如图，在学校处测得图书城在其北偏东方向（即），千米；测得运动馆在其北偏东方向（即），千米，求图书城到运动馆的距离． （参考数据：，，，，，．） 【答案】13千米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理，分别过点作于，于，过点作于，在中，解直角三角形得出千米，千米，在中，解直角三角形得出千米，千米，最后再由勾股定理计算即可得出答案，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，分别过点作于，于，过点作于， 在中，，千米， ∴，， ∴千米，千米， 在中，，千米， ∴，， ∴千米，千米， 在中，千米，千米， ∴（千米）. 答：图书城到运动馆的距离约为13千米． 27．（2024·安徽合肥·一模）如图，是一座长为600米的东西走向的大桥，小莉同学研学旅途中乘坐的汽车在笔直的公路上由南向北行驶，在处测得桥头在北偏东方向上，继续行驶500米后到达处，测得桥头在北偏东方向上，求点到公路的距离．（结果保留根号）    【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，延长交于点E，设米，则米，分别在和中，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，延长交于点E，    设米，则米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∵， ∴， 解得：， 即点到公路的距离为米． 28．（2024·安徽合肥·三模）如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．    (1)求的长； (2)求的长（结果精确到0.1）．（参考数据：） 【答案】(1)km (2)km 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟悉掌握三角函数是解题的关键． （1）用正弦三角函数求解即可． （2）结合第一问，求解长度，用正切三角函数求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ． （2）， ． 一十一．坡度坡比问题（共3小题） 29．（2024·四川成都·一模）如图，某处有一座塔，塔的正前方有一平台，平台的高米，斜坡的坡度：，点，，，在同一条水平直线上某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，求塔高．(精确到米)(参考数据：，，，，，)    【答案】塔高约为米 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作，垂足为，设米，在，中，分别求得，根据，建立方程，即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，    由题意得：米，，， 斜坡的坡度：，米， ， 米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 塔高约为米． 30．（2024·安徽池州·三模）如图，在距某信号塔（垂直地面）的底部点B的右侧30米处有一个斜坡，斜坡的坡度i为，斜坡上4米处有一竖直广告牌（即米，），已知当阳光与水平线夹角成时，信号塔的影子顶端正好和广告牌的顶端影子重合于点E（即点A，C，E在同一条直线上），经测量长度为9米，求信号塔的高度．（结果保留整数）（参考数据：）    【答案】信号塔的高度约为26米． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是对坡度坡角的理解掌握情况．过点E分别作的垂线，垂足为G，F，设，则，则在中，（米），由勾股定理得，再列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点E分别作的垂线，垂足为G，F，    则得四边形为矩形， ∴， ∵的坡度i为， ∴设，则， 在中，（米）， 由勾股定理得， 即， 解得（负值已舍去）， ∴米，米， 在中，（米），， ∴（米）， ∴（米）， 答：信号塔的高度约为26米． 31．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，兰兰欲测量广场上某旗杆的高度，她在该旗杆正前方的石坡顶点处测得旗杆顶端的仰角为，在坡脚点处测得旗杆顶端的仰角为，已知石坡高为3米，坡度，求旗杆的高度（其中点在同一直线上）．（结果精确到1米，，，） 【答案】36米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，过作于．由石坡的坡度是，得出米，证明四边形是矩形，得出，米．设米，解直角三角形得出米，从而得到（米），（米），再由得出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：如图，过作于． 石坡的坡度是，米， 米． 由题意得：， ∴四边形是矩形， ，米． 设米， ， （米）， （米），（米）， 在台阶点处测得旗杆顶的仰角为， ， ， 解得：， （米）， 答：旗杆的高度约为36米． 一十二．其他问题（共3小题） 32．（2024·安徽合肥·三模）图1、图2别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G、E、D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为，． (1)求此滑雪运动员的小腿的长度； (2)求此运动员的身高．（参考数据： ，，） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据含角的直角三角形的性质即可得到答案； （2）利用求出，根据分别求出和，即可得到答案 【详解】（1）解：在中，， 则， 答：此滑雪运动员的小腿ED的长度为； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴，， ∴， 答：此运动员的身高约为． 33．（2024·安徽淮北·三模）如图，某中式台球桌的桌面是矩形，桌上有一个球P，球P到边的中洞E的距离为，与的夹角为，球P到底洞D的距离为，与的夹角为，求球P到底洞A的距离．（结果保留根号，，，，，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作于点，过作于点，分别解，，求出的长，勾股定理，求出的长，即可．添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，过作于点，则：， 在中， ， ．         在中， ， ， 答：球P到底洞A的距离为． 34．（2024·安徽安庆·三模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图①，是古代汉族农用工具．桔槔始见于《墨子·备城门》，作“颉皋”，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图②是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，，点A从最高点逆时针旋转到达最低点，求此时水桶B上升的距离．（结果保留两位小数．参考数据：，，，，，） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：过O点作，再过和B点分别作，，根据已知条件即可得出米，米，再解和即可求出答案． 【详解】解：过O点作，再过和B点分别作，，如图∶ ∵米， ∴米，米 又∵ ∴，， 而，， 在和中， ， ∴ 答：水桶B上升的距离约为米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$