专题06 三角形综合（真题12个考点+模拟19个考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（安徽专用）

专题06 三角形综合(真题12个考点+模拟19个考点） 一．等腰三角形的判定和性质（共5小题） 1．（2020·安徽·中考真题）已知点在上．则下列命题为真命题的是（  ） A．若半径平分弦．则四边形是平行四边形 B．若四边形是平行四边形．则 C．若．则弦平分半径 D．若弦平分半径．则半径平分弦 【答案】B 【分析】根据圆的有关性质、垂径定理及其推论、特殊平行四边形的判定与性质依次对各项判断即可． 【详解】A．∵半径平分弦， ∴OB⊥AC，AB=BC，不能判断四边形OABC是平行四边形， 假命题； B．∵四边形是平行四边形,且OA=OC, ∴四边形是菱形， ∴OA=AB=OB，OA∥BC， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠OAB=60º, ∴∠ABC=120º, 真命题； C．∵， ∴∠AOC=120º，不能判断出弦平分半径， 假命题； D．只有当弦垂直平分半径时，半径平分弦，所以是 假命题， 故选：B． 【点睛】本题主要考查命题与证明，涉及垂径定理及其推论、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解答的关键是会利用所学的知识进行推理证明命题的真假． 2．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：．    3．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 【答案】A 【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解． 【详解】解：如图所示，    延长， 依题意 ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， 则为的中点 如图所示，    设的中点分别为， 则 ∴当点在上运动时，在上运动， 当点与重合时，即， 则三点共线，取得最小值，此时， 则， ∴到的距离相等， 则， 此时 此时和的边长都为2，则最小， ∴， ∴ ∴， 或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，    此时 故A选项错误， 根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确； 周长等于， 即当最小时，周长最小， 如图所示，作平行四边形，连接，    ∵，则 如图，延长,，交于点， 则， ∴是等边三角形， ∴， 在与中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，则， ∴是直角三角形，    在中， ∴当时，最短， ∵ ∴周长的最小值为，故C选项正确； ∵ ∴四边形面积等于    ∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合 ∴四边形面积的最小值为，故D选项正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键． 4．（2022·安徽·中考真题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可得，根据等边三角形的性质可求得△ABC中AB边上的高和△PAB中AB边上的高的值，当P在CO的延长线时，OP取得最小值，OP=CP-OC，过O作OE⊥BC，求得OC=，则可求解． 【详解】解：如图， ，， ∴ = = = ==， ∴， 设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为， 则， ， ∴， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴， ， ∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的线段上， ∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值， 过O作OE⊥BC于E， ∴， ∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC ∴∠OCE=30°，CE= ∴OC=2OE ∵， ∴， 解得OE=， ∴OC=， ∴OP=CP-OC=． 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位置是解题的关键． 5．（2022·安徽·中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE． (1)如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形； (2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC． （ⅰ）求∠CED的大小； （ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）见解析 【分析】（1）先根据DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根据“AAS”证明，得出DE=BC，得出四边形BCDE为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，得出四边形BCDE为菱形； （2）（ⅰ）根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一，证明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根据∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出； （ⅱ）连接EF，根据已知条件和等腰三角形的性质，算出，得出，证明，再证明，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵DC=BC，CE⊥BD， ∴DO=BO， ∵， ∴，， ∴（AAS）， ∴， ∴四边形BCDE为平行四边形， ∵CE⊥BD， ∴四边形BCDE为菱形． （2）（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO， ∴CE垂直平分BD， ∴BE=DE， ∵BO=DO， ∴∠BEO=∠DEO， ∵DE垂直平分AC， ∴AE=CE， ∵EG⊥AC， ∴∠AEG=∠DEO， ∴∠AEG=∠DEO=∠BEO， ∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°， ∴． （ⅱ）连接EF， ∵EG⊥AC， ∴， ∴， ∵ ∵AE=AF， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴，   ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ∴（AAS）， ． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，作出辅助线，得出，得出，是解题的关键． 二．三角形的外角定义及性质（共1小题） 6．（2022·安徽·中考真题）两个矩形的位置如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用三角形外角性质得到∠3=∠1-90°=α-90°，用余角的定义得到∠2=90°-∠3=180°-α． 【详解】解：如图，∠3=∠1-90°=α-90°， ∠2=90°-∠3=180°-α． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了矩形，三角形外角，余角，解决问题的关键是熟练掌握矩形的角的性质，三角形的外角性质，互为余角的定义． 三．与平行线有关的三角形内角和问题（共1小题） 7．（2021·安徽·中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】由图可得 ∵， ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键． 四．与三角形的高有关的计算问题（共1小题） 8．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．    【答案】 【分析】根据公式求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键． 五．用勾股定理解三角形（共5小题） 9．（2020·安徽·中考真题）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕为；再将分别沿折叠，此时点落在上的同一点处．请完成下列探究： 的大小为 ； 当四边形是平行四边形时的值为 ． 【答案】 30 【分析】（1）根据折叠得到∠D+∠C=180°，推出AD∥BC，，进而得到∠AQP=90°，以及∠A=180°-∠B=90°，再由折叠，得到∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°即可； （2）根据题意得到DC∥AP，从而证明∠APQ=∠PQR，得到QR=PR和QR=AR，结合（1）中结论，设QR=a，则AP=2a，由勾股定理表达出AB=AQ=即可解答． 【详解】解：（1）由题意可知，∠D+∠C=180°， ∴AD∥BC， 由折叠可知∠AQD=∠AQR，∠CQP=∠PQR， ∴∠AQR+∠PQR=，即∠AQP=90°， ∴∠B=90°，则∠A=180°-∠B=90°， 由折叠可知，∠DAQ=∠BAP=∠PAQ， ∴∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°， 故答案为：30； （2）若四边形APCD为平行四边形，则DC∥AP， ∴∠CQP=∠APQ， 由折叠可知：∠CQP=∠PQR， ∴∠APQ=∠PQR， ∴QR=PR， 同理可得：QR=AR，即R为AP的中点， 由（1）可知，∠AQP=90°，∠PAQ=30°，且AB=AQ， 设QR=a，则AP=2a， ∴QP=， ∴AB=AQ=， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形中的折叠问题，涉及了平行四边形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是读懂题意，熟悉折叠的性质． 10．（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴ ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．（2022·安徽·中考真题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】连接，过点作于点，如图所示，先利用垂径定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示， 则，， ∵PA＝4，PB＝6， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 故选：D 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键． 12．（2021·安徽·中考真题）如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长． 【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB, ∴∠BEO=∠BFO=90°， ∵∠A=120°， ∴∠B=60°， ∴∠EOF=120°，∠EOH=60°， 由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD， 因为O点是菱形ABCD的对称中心， ∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH， ∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°， ∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°， 所以四边形EFGH是矩形； 设OE=OF=OG=OH=x， ∴EG=HF=2x，， 如图，连接AC，则AC经过点O， 可得三角形ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AC=AB=2, ∴OA=1,∠AOE=30°， ∴AE=， ∴x=OE= ∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=, 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力． 13．（2020·安徽·中考真题）如图，中，，点在上，．若，则的长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD． 【详解】∵∠C=90°， ∴， ∵， ∴AB=5， 根据勾股定理可得BC==3， ∵， ∴cos∠DBC=cosA=， ∴cos∠DBC==，即= ∴BD=， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键． 六．与三角形中位线有关的证明（共1小题） 14．（2021·安徽·中考真题）在中，，分别过点B，C作平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设AD、BC交于点H，作于点F，连接EF．延长AC与BD并交于点G．由题意易证，从而证明ME为中位线，即，故判断B正确；又易证，从而证明D为BG中点．即利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出，故判断C正确；由、和可证明．再由、和可推出 ，即推出，即，故判断D正确；假设，可推出，即可推出．由于无法确定的大小，故不一定成立，故可判断A错误． 【详解】如图，设AD、BC交于点H，作于点F，连接EF．延长AC与BD并交于点G． ∵AD是的平分线，，， ∴HC=HF， ∴AF=AC． ∴在和中，， ∴， ∴，∠AEC=∠AEF=90°， ∴C、E、F三点共线， ∴点E为CF中点． ∵M为BC中点， ∴ME为中位线， ∴，故B正确，不符合题意； ∵在和中，， ∴， ∴，即D为BG中点． ∵在中，， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； ∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵AD是的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； ∵假设， ∴， ∴在中，． ∵无法确定的大小，故原假设不一定成立，故A错误，符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的判定和性质以及含角的直角三角形的性质等知识，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键． 七．动点问题的函数图象（共1小题） 15．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当时，． 故选：A． 八．全等三角形的性质与判定（共2小题） 16．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论． 【详解】解：A、连接，    ∵，，， ∴， ∴     又∵点F为的中点 ∴，故不符合题意； B、连接，    ∵，，， ∴， ∴， 又∵点F为的中点， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； C、连接，    ∵点F为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； D、，无法得出题干结论，符合题意； 故选：D． 17．（2020·安徽·中考真题）如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点 求证：； 若，求的长； 如图2，连接，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）由矩形的形及已知证得△EAF≌△DAB，则有∠E=∠ADB，进而证得∠EGB=90º即可证得结论； （2）设AE=x，利用矩形性质知AF∥BC，则有，进而得到x的方程，解之即可； （3）在EF上截取EH=DG，进而证明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，则证得△HAG为等腰直角三角形，即可得证结论． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC，AD∥BC， 在△EAF和△DAB， ， ∴△EAF≌△DAB(SAS)， ∴∠E=∠BDA， ∵∠BDA+∠ABD=90º， ∴∠E+∠ABD=90º， ∴∠EGB=90º， ∴BG⊥EC； （2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x， ∵AF∥BC，∠E=∠E， ∴△EAF∽△EBC， ∴，又AF=AB=1， ∴即， 解得：，（舍去） 即AE=； （3）在EG上截取EH=DG，连接AH， 在△EAH和△DAG， ， ∴△EAH≌△DAG(SAS)， ∴∠EAH=∠DAG，AH=AG， ∵∠EAH+∠DAH=90º， ∴∠DAG+∠DAH=90º， ∴∠HAG=90º， ∴△GAH是等腰直角三角形， ∴即， ∴GH=AG， ∵GH=EG-EH=EG-DG， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算． 九．相似三角形的综合问题（共3小题） 18．（2024·安徽·中考真题）如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （1）若点N在边上，且，则 （用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为 ． 【答案】 / 【分析】①连接，根据正方形的性质每个内角为直角以及折叠带来的折痕与对称点连线段垂直的性质，再结合平行线的性质即可求解； ②记与交于点K， 可证：，则，，由勾股定理可求，由折叠的性质得到：，，，，，则，，由，得，继而可证明，由等腰三角形的性质得到，故． 【详解】解：①连接，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴， 故答案为：； ②记与交于点K，如图： ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴，， 在中，由勾股定理得， 由题意得：，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，而， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 19．（2022·安徽·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题： （1） °； （2）若，，则 ． 【答案】 45 【分析】（1）先证△ABE≌△GEF，得FG=AE=DG，可知△DFG是等腰直角三角形即可知度数． （2）先作FH⊥CD于H，利用平行线分线段成比例求得MH；再作MP⊥DF于P，证△MPF∽△NHF,即可求得NH的长度，MN=MH+NH即可得解． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°，AB=AD， ∴∠ABE+∠AEB=90°， ∵FG⊥AG， ∴∠G=∠A=90°， ∵△BEF是等腰直角三角形， ∴BE=FE，∠BEF=90°， ∴∠AEB+∠FEG=90°， ∴∠FEG=∠EBA， 在△ABE和△GEF中， ， ∴△ABE≌△GEF（AAS）， ∴AE=FG，AB=GE， 在正方形ABCD中，AB=AD ∵AD=AE+DE，EG=DE+DG， ∴AE=DG=FG， ∴∠FDG=∠DFG=45°． 故填：45°． （2）如图，作FH⊥CD于H， ∴∠FHD=90° 又∵∠G=∠GDH=90°， ∴四边形DGFH是矩形， 又∵DG=FG， ∴四边形DGFH是正方形， ∴DH=FH=DG=2， ∴ ∴， ∴DM=，MH=， 作MP⊥DF于P， ∵∠MDP=∠DMP=45°， ∴DP=MP， ∵DP2+MP2=DM2， ∴DP=MP=， ∴PF= ∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°， ∴∠MFP=∠NFH， ∵∠MPF=∠NHF=90°， ∴△MPF∽△NHF, ∴，即， ∴NH=， ∴MN=MH+NH=+=． 故填： ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及判定以及相似三角形的性质和判定，熟知相关知识点并能熟练运用，正确添加辅助线是解题的关键． 20．（2021·安徽·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）6；（3） 【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证，，即可得，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得，所以，根据SAS即可证得； （2）证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长BM、ED交于点G．易证，可得；设，，，由此可得，；再证明，根据全等三角形的性质可得．证明，根据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而求得的值． 【详解】（1）证明：， ； ， ，， ， ，， ，， ，， 四边形AFCD是平行四边形 在与中． ， （2）， ， 在中，， ， ， 又，， ， 在与中． ， ； ； ， ； ， ； ， ， 或（舍）； （3）延长BM、ED交于点G． 与均为等腰三角形，， ， ， 设，，， 则，， ， ， ； 在与中， ， ； ． ； ， ， ， ， ， ， ， ， （舍），， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键． 一十．三角形与反比例函数综合（共2小题） 21．（2023·安徽·中考真题）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过斜边的中点．    （1） ； （2）为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据已知条件得出的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出的坐标，进而即可求解； （2）根据题意，求得直线，联立与反比例函数解析式，得出的坐标，进而根据两点距离公式求得，，进而即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∴， ∵是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过斜边的中点． ∴； ∴反比例数解析式为 故答案为：； （2）∵， 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为，将点代入并解得， ∴直线的解析式为， ∵反比例数解析式为 联立 解得：或 当时， 当时， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 22．（2022·安徽·中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则 ． 【答案】3 【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=即可． 【详解】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E， ∴CD∥BE， ∵四边形ABCO为平行四边形， ∴ ，即，OC=AB， ∴四边形CDEB为平行四边形， ∵CD⊥OA， ∴四边形CDEB为矩形， ∴CD=BE， ∴在Rt△COD和Rt△BAE中， ， ∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL）， ∴S△OCD=S△ABE， ∵OC=AC，CD⊥OA， ∴OD=AD， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴S△OCD=S△CAD=， ∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2， ∴S△OBA=， ∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=， ∴． 故答案为3． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质． 一十一．三角形与圆的综合（共4小题） 23．（2024·安徽·中考真题）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． (1)求证：； (2)设，垂足为M，若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键． （1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故， 即． （2）由（1）知，， ∴， 又，， ∴，， ∴圆的半径， ∴， 在中． ， ∴ 即的长为． 24．（2023·安徽·中考真题）已知四边形内接于，对角线是的直径．    (1)如图1，连接，若，求证；平分； (2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可． (2)证明四边形平行四边形，后用勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵对角线是的直径， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵对角线是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形平行四边形， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 25．（2021·安徽·中考真题）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E． （1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长； （2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析． 【分析】（1）根据M是CD的中点，OM与圆O直径共线可得，平分 CD，则有，利用勾股定理可求得半径的长； （2）连接AC，延长AF交BD于G，根据，，可得，，利用圆周角定理可得，可得，利用直角三角形的两锐角互余，可证得，即有． 【详解】（1）解：连接OC， ∵M是CD的中点，OM与圆O直径共线 ∴，平分CD， ． 在中． ∴圆O的半径为 （2）证明：连接AC，延长AF交BD于G． ， 又 在中 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键． 26．（2020·安徽·中考真题）如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点， 求证：； 若求平分． 【答案】证明见解析；证明见解析． 【分析】利用证明利用为直径，证明结合已知条件可得结论； 利用等腰三角形的性质证明： 再证明 利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明： 从而可得答案． 【详解】证明： 为直径， ． 证明： 为半圆的切线， 平分． 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 一十二．勾股定理与网格（共2小题） 27．（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．    (1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； (2)直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； (3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)40 (3) (答案不唯一) 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键． （1）将点A，B，C分别绕点D旋转得到对应点，即可得出． （2）连接，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可． （3）根据网格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标． 【详解】（1）解：如下图所示：    （2）连接，， ∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （3）∵根据网格信息可得出，， ∴是等腰三角形， ∴也是线段的垂直平分线， ∵B，C的坐标分别为，， ∴点， 即．（答案不唯一） 28．（2023·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均为格点（网格线的交点）．    (1)画出线段关于直线对称的线段； (2)将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段； (3)描出线段上的点及直线上的点，使得直线垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质找到关于直线的对称点，，连接，则线段即为所求； （2）根据平移的性质得到线段即为所求； （3）勾股定理求得，，则证明得出，则，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求；    （2）解：如图所示，线段即为所求；    （3）解：如图所示，点即为所求    如图所示，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴ ∴， ∴垂直平分． 【点睛】本题考查了轴对称作图，平移作图，勾股定理与网格问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 一．三角形三边关系的应用（共6小题） 1．（2024·安徽淮北·二模）已知三角形的两边长分别为，第三边长为，若为整数，则的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，再估算出第三边的范围，结合整数直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，设第三边为x，即， ∵，即 ∴， ∵第三条边长为整数， ∴x可能为：2，3，4， 则第三边长不可能为1， 故选：A 2．（2024·安徽合肥·二模）已知，如图中，，点在上，点是关于直线的对称点，连接，当的最小值是2时，的长是（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边关系等知识，解题关键是运用排除法进行解题．连接，由轴对称的性质可得，，在中，可有，即，结合均为定值，可知当与重合时，取最小值，此时，结合题意可得，然后根据三角形三边关系确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， ∵，点是关于直线的对称点， ∴，， 在中，可有，即， ∵均为定值， ∴当与重合时，取最小值，此时， ∵的最小值是2，即有， ∴， 如下图， ∵为锐角， ∴为钝角， ∴，即， ∵， ∴选项A错误，不符合题意； 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴选项C、D错误，不符合题意． 综上所述，选项B符合题意． 故选：B． 3．（2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键． 先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E， ∴， ∵的周长是18，， ∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点． 故选：B． 4．（2022·广东东莞·一模）如图，在正方形ABCD中，已知边长，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，5为半径的圆上，根据点圆模型，在正方形中利用勾股定理求出线段AC长即可． 【详解】连接AC，AF，由轴对称知，AF=AB=5， ∵正方形ABCD中，AB=BC=5，∠ABC=90°， ∴, ∵AF+CF≥AC， ∴当点F运动到AC上时，CF=AC-AF，CF取得最小值， 最小值为， 故选B 【点睛】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、圆的性质、正方形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是准确根据题意得出动点轨迹． 5．（2024·安徽·二模）如图，中，是边的中点，过点作分别交于点（不与重合），取中点，连接并延长交于点，连接．随着点位置的变化，下列结论中错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的周长有最小值为 D．四边形的面积有最小值为9 【答案】D 【分析】A选项：连接，中点，，∴，∴即可求解；B选项：取中点N，连接交于点K，过点B作的对称点，连接，，当点三点共线取得最小值，由对称得，可求，在中，，∴；C选项：连接，先证明，则为等腰直角三角形，，而最小值为，则； D选项：连接，，可证四边形是矩形，设，则， 则． 【详解】解：连接，∵等腰，， ∴，， ∵点D为边的中点，∴,， ∵中点，，∴，∴， 即，当点A、P、D共线时等号成立，故A正确； 连接，∵，∴， ∵，∴， ∴，∵， ∴， ∴，而， ∴为等腰直角三角形， ∴，∵最小值为， ，故C正确，不符合题意； 连接，，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，， ， ， ， ， ， ， 同理可证：，又∵， ∴， 四边形是矩形， ∵，设，则， ， 的最大值为9，故D错误，符合题意． 取中点N，连接交于点K，过点B作的对称点，连接， 由上知点P为中点，∴为中位线，， ∴， ∵，当点三点共线取得最小值， ∵，，∴， 由对称得，可求， 在中，，∴， 故B正确，不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，矩形的判定与性质，线段最值等问题，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 6．（2024·安徽宿州·二模）如图，是等边边上的高，在、上分别取一点E、F，使，连接、．若，设，则的最小值为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】过点C作，且在上取点，使得，连接，根据等边三角形的性质可证得，得到，则．连接，则，当点B，F，共线时，m的值最小．根据等边三角形的性质与勾股定理即可解答． 【详解】解：如图1，过点C作，且在上取点，使得，连接．   是等边三角形，，， ，， ， ，， ， ， ∴． 连接，则， 共线时，m的值最小，为，如图2，． ∵在等边三角形中，，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴在中，， 即m的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的三边关系，勾股定理，正确作出辅助线，将线段进行转化是解题的关键． 二．与三角形的高有关的计算问题（共2小题） 7．（2024·安徽蚌埠·二模）清初安徽数学家梅文鼎创造性的设计直角三角形，证明了：是锐角的高，则．如图，已知中，，，，点在边上，以为折痕将折叠，使得点落在上的点，则（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键．由折叠性质可设：，根据求解即可． 【详解】解：由折叠性质可设： ∴ ∵ ∴，解得： ∴ 故选：B． 8．（2024·安徽淮南·二模）嘉淇剪一个锐角做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则线段分别是的（    ）    A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线 C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线 【答案】B 【分析】根据三角形的高线、角平分线及中线的定义依次判断即可． 【详解】解：由图可得，图①中，线段是的高线， 图②中，线段是的角平分线， 图③中，线段是的中线， 故选：B． 【点睛】题目主要考查三角形的高线、角平分线及中线的定义，理解题意是解题关键． 三．与三角形中线有关的计算问题（共1小题） 9．（2024·安徽安庆·二模）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．12 B．14 C．18 D．24 【答案】C 【分析】连接，由点是的重心，点是边的中点，可得点在一条直线上，且，，通过可得，从而得到，通过，可得，再根据四边形的面积为6，可得出，进而可得出的面积． 【详解】解：如图所示，连接，   ，点是的重心，点是边的中点， 点在一条直线上，且，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，   ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，根据三角形的中线求面积，熟练掌握三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 四．与三角形有关的计算（共8小题） 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，与相切于点B，的延长线交于点C，D为优弧上任意一点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由切线的性质求得，则，根据圆周角定理，得，于是得到问题的答案． 本题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 11．（2024·安徽六安·二模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等等知识，掌握这两个知识点是关键． 首先根据平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求出，最后利用对顶角相等求解即可． 【详解】如图所示 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：B． 12．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，直线，与的边相交，且，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识．由两直线平行，同旁内角互补可得出和的度数，再根据三角形内角和可得出的度数． 【详解】解：∵，， ∴，， 在中，， 故选：D． 13．（2024·安徽亳州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点．若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得到，再由平角的定义得到 ，则由三角形内角和定理可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 14．（2024·安徽滁州·三模）如图，在中，，点D是边上一点，且．若，则（       ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，得到，根据，得到，结合，解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A． 15．（2024·安徽合肥·二模）如图，和都是等腰三角形，且，，是的中点，若点在直线上运动，连接，则在点运动过程中，的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】设的中点为，连接，过点作于，证和全等得，因此当为最小时，为最小，根据“垂线段最短”得，故点与点重合时，为最小，最小值为的长，然后在中求出的长即可． 【详解】解：设的中点为，连接，过点作于，如下图所示： 和都是等腰三角形，且， ，，， ， 点是的中点，点是的中点，， ， 在和中， ， ， ， 当为最小时，为最小， 点为的中点，，点在直线上运动， 根据“垂线段最短”得：， 当点与点重合时，为最小，最小值为的长， 在中，，， ， 在中，，， ， 的最小值为， 即的最小值为 故选：D． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解垂线段最短是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线构造全等三角形和直角三角形． 16．（2024·安徽淮北·三模）如图，在中，，点D是边上一点，且．过点B作的垂线，垂足为点F，交边于点E，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌㩧等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理和外角的性质即可得到结论． 【详解】∵，， ， ， ， ， ， 故选：B． 17．（2024·安徽合肥·三模）两个直角三角板如图所示摆放，其中，，，，分别与交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质，根据平行线的性质得，根据三角形内角和定理得，再根据三角形外角的性质得到．掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的大小为． 故选：B． 五．全等三角形的概念及性质（共1小题） 18．（2024·安徽宿州·二模）如图，的对角线交于点O，添加下列条件不能判断四边形是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的性质，等角对等边，对于A、B可以通过平行四边形的性质结合等边对等角证明一组邻边相等；对于C可根据全等三角形的性质证明一组邻边相等；对于D，无法证明四边形是菱形． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故A不符合题意； B、当添加时，同理可证明四边形是菱形，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴四边形是菱形，故C不符合题意； D、添加不能证明四边形是菱形，故D不符合题意； 故选：D． 六．根据全等的判定与性质进行判断（共6小题） 19．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，矩形中，为边上一点（不与重合），连接，过点作，垂足为，连接与相交于点．则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则最小为2 【答案】D 【分析】根据是矩形，得出，．若，则，再结合，得出，证出，即可判断选项A；若，根据等腰三角形的性质得出，再根据直角三角形的性质得出，证明，得出，即可判断选项B；过点E作交于点N，过点P作交于点M，过点B作交延长线于点G，若，则，，证明，得出，根据，即可判断选项C；若，则，连接，当时，最小，算出，即可判断选项D； 【详解】解：∵是矩形， ∴，， 若，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则，故A正确； 若， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 则为等腰三角形，故B正确； 过点E作交于点N，过点P作交于点M，过点B作交延长线于点G， 若， 则，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，故C正确； D、若，则， 连接， 当时，最小， ∵， ∴三点共线，即， ∴， ∴， ∴， 则最小为，故D错误； 故选：D． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短，矩形的性质，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 20．（2024·安徽安庆·二模）在正方形中， E，F分别是，上中点，连接， 交于点G，连接，，则下面结论中：①； ②；③；④ ．正确的是（　　） A．①②③④ B．①④ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】利用证明即可判断①；延长交延长线于点，证明，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以判断②；然后根据②得到，即得到，，然后求出和的度数即可判断③；过点作于点，得到，即可得到，再根据可以求出，即可判断④． 【详解】解：∵是正方形， ∴，， 又∵E，F分别是，上中点， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，即， ∴，故①正确； 延长交延长线于点， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②正确； 由②可得：， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，故③正确； 过点作于点， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故④错误； 故选D．    【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边对等角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21．（2024·安徽池州·三模）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，、分别交于点、，以下结论： ①； ②若是的中点，则； ③的周长等于长的倍； ④连接，则为等腰直角三角形． 有几个是正确的（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，正方形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定定理和正确作辅助线是解决此类题的关键． ①将绕点逆时针旋转得到，连接，先证明，中，，即，从而可判断①； ②过作，交延长线于，设，，则，，，，中，，，解得，再求解即可判断②． ③先证明的周长，再由正方形的性质判断③； ④先证明，再证明，再由相似三角形的性质及等腰三角形的判定即可判断④． 【详解】解：①将绕点逆时针旋转得到，连接， ， ， 绕点逆时针旋转得到， ，，， 又， ， ， 而， 中，， ，故①正确； ②过作，交延长线于，如图： 由（1）同理可得，， ，， 设，，则，，，， 中，， ， 解得， ， 设，则， ，， 中，， ， 故②正确； ③的周长 ， 正方形中，， 的周长， 的周长等于长的倍； 故③正确． ④，， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，故④正确， 故正确的有：①②③④． 故选：D 22．（2024·安徽亳州·二模）如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，则下列结论中错误的是（    ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出选项A正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出选项B正确；求出，，证明，可得，判断出选项C正确；根据全等三角形对应边相等可得，根据，，判断出选项D错误． 【详解】在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分， 故选项A正确，不符合题意； ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故选项B正确；不符合题意； ， ， 又，， 在和中， ， ， ，， 故选C正确，不符合题意； 由上述①、⑤、③可得、，， ， 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 23．（2024·安徽滁州·一模）如图，的对角线，相交于点O，点E为边的中点，连接并延长交边于点F，，．下列结论错误的是（    ） A． B． C．四边形为菱形 D． 【答案】D 【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】解：点为的中点， ， 又， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 即，故A正确； 在平行四边形中，，，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故C正确； ， 在中，， ，则，故B正确； 在平行四边形中，， 又点为的中点， ，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，三角形的中线性质，掌握菱形的判定是解题关键． 24．（2023·安徽滁州·二模）如图，中，点，分别是，的中点，点在上，且，则下列结论中不正确的是（    ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得到，则，再证明为的中位线，得到，进而推出，即可判断A；根据，得到，即可得到，即可判断B；证明，得到，则，即可判断C；延长交于点，证明，得到，，即可判断D． 【详解】解：∵点是的中点，， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴平分，故选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴，选项B不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，选项C符合题意； 延长交于点， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，选项D不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判断，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 七．根据全等的判定与性质求长度（共5小题） 25．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，正方形边长为6，点E、F分别在、上，且，点G、H分别为线段、的中点，连接，若，则的长为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 连接并延长，交于点，连接，根据正方形的性质推出, 根据得到, 从而推出, 判定后根据全等三角形的性质得到, 根据推出, 根据是的中点得到, 从而判定, 根据全等三角形的性质得到，根据等量代换得到, 判定为等腰直角三角形，根据三角形中位线的定义判定是的中位线后求出的长，根据等腰直角三角形的性质求出和的长，最后用减去即可求出的长． 【详解】如图, 连接并延长, 交于点, 连接，    ∵四边形是正方形， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∵是中点, , ∴是三角形的中位线， ∴， ∴． 故选: A． 26．（2024·安徽淮北·三模）如图，在正方形中，点为边延长线上一点，连接，交，分别于，两点．若，则的长度为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，，进而证明，由相似三角形的性质可得，进而可得，设，则，可得关于的一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形为正方形，为该正方形的对角线， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，正确作出辅助线，并运用相似三角形的性质求解是解题关键． 27．（2024·安徽安庆·三模）如图，是的中线，是的中线，延长交于点F，已知，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 过点D作交于点G，根据平行线的性质得出，．证明，根据全等三角形的性质可得，由可证，再根据是的中线，结合相似三角形的性质即可得，即可求解； 【详解】如图，过点D作交于点G， 则，． ∵是的中线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴． 28．（2024·安徽合肥·二模）如图，D，E，F是的边上的点，且满足，，，连接，过点C作，垂足为H．    （1）的度数是 ． （2）若，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形和等腰三角形是解决问题的难点． （1）先根据邻补角定义及得，再根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得，同理，由此可得的度数； （2）在上截取，连接，则，证和全等得，再证和全等得，从而得，然后根据等腰三角形的性质可得的长． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ， 同理：， ， 故答案为：． （2）在上截取，连接，如下图所示：    ∵， ∴， 在和中， ， ， ， 由（1）可知：， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 29．（2024·安徽亳州·三模）如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上． （1）与的大小关系是 （填“相等”或“不相等”）； （2）若，则的长是 ． 【答案】 相等 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）证明，，从而可得结论； （2）如图．过点作于点，过点作于点，交的延长线于点，则，证明，可得，，证明和是等腰直角三角形，再进一步可得答案． 【详解】解：（1）等腰， ，． ∵， ， ， ， ， ； 故答案为：相等 （2）如图．过点作于点，过点作于点，交的延长线于点， 则， ∴， ∵， ∴，，， ，， ， ，， ， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， 由勾股定理得． 故答案为： 八．根据全等的判定与性质求线段比值（共3小题） 30．（2024·安徽·二模）如图，在和中，，，，分别连接，，延长，交于点． （1） ． （2）若，则的值为 ． 【答案】 /度 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）证明，利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题． （2）过点作，交BE于点，证明，设，则，，，可得结论． 【详解】解：（1）， ， 即, ，， ， ． ， ． 故答案为：； （2）如图，过点作，交于点， ， ， ． ， ， ，， ． ， ． 由（1）知，， ， ． ， 设，则，， , ， ． 故答案为：． 31．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，若点O是矩形对角线的中点，按如图所示的方式折叠，使边落在上，边也落在上，A、C两点恰好重合于点O，连接交于点G，交于点H． （1）的度数为 度； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据矩形性质及折叠性质得点在同一条直线上，证四边形为菱形得， 则， 由此得，进而可得的度数； （2）设， 则， 则， ， 设，， 证得， 则， 将代入， 得， 则， 由此可得 的值. 【详解】（1）∵四边形为矩形， 点是对角线的中点， ∴， ∴， 由折叠的性质得： ，，， ∴点在同一条直线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 故答案为： . （2）由（1）可知： 四边形为菱形， ，设， 则， ∴在中， ， ∴ ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ 同理可得， ∴C， 即，， ∴， ∵，， ∴， 整理得： ， ∴， ， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，图形的折叠变换及性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解矩形的性质，图形的折叠变换及性质，熟练掌握菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键. 32．（2024·安徽合肥·二模）已知，点是正方形边上一点，连接，延长至，  使， 连接交于点．    （1）若， 则 ° ； （2）连接，，与交于，若， 则 ． 【答案】 / 【分析】（1）由正方形的性质，结合，可推出，得到，由可得，再根据角的和差即可求解； （2）作交于点，则，证明，得到，，推出，根据勾股定理可推出，由可得得出，根据得出，即可求解． 【详解】解： (1)在正方形 中，， ∵， ， ， ， ， ， ； (2)作交于点，则， ，， ， ，， ， ，， ， ， ，即， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ； 故答案为：、．    【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 九．根据全等的判定与性质求线段最值（共4小题） 33．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知：如图中，，，点，，分别是边，，上一点，且，． （1）若，则 ； （2）线段的长度的最小值为 ． 【答案】 ； ． 【分析】（）过作于点，由勾股定理得：，证明，根据性质可得：，，设，则，由，即，求出即可； （）过作于点，过作于点，由勾股定理得：，由，设，则，由勾股定理得，同（）理可证，根据性质得，再由勾股定理得出，根据求出有最小值即可； 本题考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，二次函数的最值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）如图，过作于点， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴，即，解得， ∴， 故答案为：； （）如图，过作于点，过作于点， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 由， 设，则，由勾股定理得， 同（）理可证， ∴，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得： ， 当时，有最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 34．（2024·安徽亳州·二模）如图，在中，，，．请解决下列问题： （1）的长是 ； （2）若点是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点在运动过程中，线段的长的最小值是 ． 【答案】 2 【分析】（）根据度直角三角形的性质及勾股定理求解即可． （）如图，取的中点，连接，，证是等边三角形得．再证，得，从而可得当时，线段最短，即线段的值最小，在中，利用勾股定理即可得解． 【详解】解：（）∵，，， ∴． ∴在中，由勾股定理得． 故答案为：； （）如图，取的中点，连接，，则． ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴．， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴当时，线段最短，即线段的值最小， ∵在中，，， ∴， ∴线段的长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定及性质以及直角三角形的性质是解题的关键。 35．（2024·安徽芜湖·三模）如图，在边长为4的正方形中，E 为边靠近点A 的四等分点．F 为边上一动点，将线段 绕点F 顺时针旋转得到线段， 连接，则的最小值 为（      ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】过点作交于点，过点作交于点，根据绕点顺时针旋转得到线段，可得，，利用易证，再根据四边形是矩形，可得，，设，则，，，根据勾股定理可得，即当时，有最小值． 【详解】解：如图，过点作交于点，过点作交于点， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∵，四边形是正方形， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则，， ， 在中，， 即当时，有最小值， ∴当时，最小值是， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，最值等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 36．（2024·安徽芜湖·三模）如图，E是正方形的边上一点，连接，在的右上一侧以为直角边作等腰直角三角形，连接，若，则的周长的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】D 【分析】结合等腰直角三角形性质得出，，再证明，因为，所以，得出是等腰直角三角形，作点A关于直线CF的对称点，当点A，C，在同一直线上，的周长最小．得证 即可作答．本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】提示：如图，过点F作，交的延A长线于点H，连接, ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 连接AC，则，， ∴，． 作点A关于直线CF的对称点， ∴，点A，C，在同一直线上， 连接，交CF于点，连接，则， 此时最小， 即的周长最小． 过点作，交DC的延长线于点I， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小为． 故选：D． 一十．根据全等的判定与性质求面积（共1小题） 37．（2024·安徽池州·三模）如图，已知点为正方形内一点，点，分别在，边上，且，，连接，，若，．    （1）的最小值为 ； （2）在（1）的条件下，四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的几何综合，结合三角形全等的判定与性质，线段的最值问题，本题的关键是利用等腰直角三角形构造全等． （1）连接，过点分别作于点，于点，证明，得点在对角线上，利用是等腰直角三角形，得当最小时，最小，再计算即可； （2）可知四边形为正方形，计算即可． 【详解】（1）如图，连接，过点分别作于点，于点，    ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴点在对角线上， 在正方形中，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当时，即当点和点重合时，最小， 最小值等于； （2）由（1）可得当点和点重合时，四边形为正方形， ∴四边形的面积为． 一十一．根据全等的判定与性质求面积最值（共1小题） 38．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，，分别为，，的中点，连接，，．将绕点在平面内自由旋转（如图）．若，，则面积的最大值是（    ） A．8 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】由，，，得，，，进而证明，，由，，分别为，，的中点，得，得腰直角三角形，得面积，由，从而即可得解． 【详解】解：连接，， ∵，，， ∴，，， ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，分别为，，的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴面积的最大值 故选： A． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的旋转，解题关键是正确应用旋转的性质，直角三角形的判定，勾股定理，三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 一十二．角平分线的有关计算（共2小题） 39．（2024·安徽安庆·一模）如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的判定与性质，根据题意得到是的角平分线，由角平分线定义求解即可得到的度数，读懂题意，熟记角平分线的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作、，如图所示： 两把一样的直尺， ， 由角平分线的判定定理可得是的角平分线， ， ， 故选：A． 40．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，平分，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形、三角形的外角等知识，解题的关键是根据题意，则，根据，则，根据等量代换，，根据三角形的外角，则，根据相似三角形的判定和性质，，推出，即可． 【详解】∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选：A． 一十三．用勾股定理解三角形（共2小题） 41．（2024·安徽六安·三模）如图，在矩形中，，，点E为射线上一动点，沿折叠，得到，若，则的长为（      ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键． 设，根据矩形的性质和轴对称的性质求出，，，的长度，根据勾股定理和线段的和差关系求出和的长度，再根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴点F在上，如图所示， 四边形是矩形，，， ，，， 设，则， 将沿折叠，点C恰好落在边上的点F处， ，， ∴， ∴， ∵， ∴． 解得． 故选：A． 42．（2024·安徽合肥·二模）如图，在中，对角线与相交于点O，，，，则的长为（   ） A．8 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理与逆定理，先利用平行四边形的性质求出，，然后利用勾股定理的逆定理判断，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解∶在中， ，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 故选∶D． 一十四．勾股定理与网格（共2小题） 43．（2024·安徽滁州·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，C均为格点（网格线的交点） ．    (1)将线段向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到线段，画出 ； (2)连接，，画出的高； (3)借助网格，用无刻度的直尺，在上画出点E，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）根据平移的性质即可找到A，C的对应点，故可求解； （2）连接，，得到，找到的中点，根据三线合一即可得到高； （3）将平移，的对应点为D，C的对应点为F，与的交点即为E点． 此题主要考查网格作图，解题的关键是根据网格的特点，平移，做高以及平行线． 【详解】（1）如图，线段为所求； （2）如图，连接，，为所求； ∵，， ∴， 取的中点D，故， 故线段为所求； （3）将平移至，的对应点为D，C的对应点为F，与的交点即为E点， 故， 故E点为所求．    44．（2024·安徽合肥·一模）如图，在网格纸中，有一个格点（顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形）． (1)将先向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，请直接画出平移后的； (2)仅使用无刻度直尺画出的角平分线，交于E点，标出点E（保留作图痕迹，无需写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平移作图，等腰三角形的性质与判定，勾股定理： （1）根据平移方式找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可得到答案； （2）如图所示，取格点F，连接，取格点G，连接交于E，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，取格点F，连接，取格点G，连接交于E，线段即为所求． 证明且G为的中点，由三线合一定理即可知即为所求． 一十五．直角三角形斜边中线的应用（共2小题） 45．（2024·安徽滁州·三模）如图，中，，，O 为的中点，P为 上动点，连接并延长至点D，使得，则 的最小值为（       ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、垂线段最短和四点共圆，过点D作交于点E，证得，有，即可知取最大值时满足条件，由题意可知，有点D、A、B和C四点共圆，当时，最小，则最大，则，有，求得即可． 【详解】解∶过点D作交于点E，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵为定值， ∴取最大值时，的值最小， ∵O 为的中点，，， ∴， ∵， ∴点D、A、B和C四点以点O为圆心，为半径的圆上， 则点D在运动， 当时，最小，则最大，如图， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 故选：C． 46．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在中，为边的中点，交的延长线于点，交于点，若，则的长度为（    ）． A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．证明出，可求，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 一十六．三角形与反比例函数（共2小题） 47．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的边轴，，点B关于直线的对称点的坐标为，若反比例函数的图象经过点B．则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及坐标与图形变化﹣对称，等腰三角形性质，解直角三角形，熟知反比例函数的图象和性质及轴对称的性质是解题的关键．过点B作x轴的垂线，根据轴对称的性质结合解直角三角形，求出点B的坐标即可解决问题． 【详解】解：过点B作x轴的垂线，垂足为M， 点B和点关于对称， ，． ， ， 又轴， ， ， ． 点的坐标为， ． 在中， ， ， ， 则点B的坐标为． 将点B坐标代入得， ． 故答案为：． 48．（2024·安徽马鞍山·二模）已知在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限内，的边与反比例函数有交点． （1）如图①，点A在反比例函数的图象上，轴，垂足为点B，的面积为6，则k的值为 ． （2）如图②，反比例函数的图象经过的顶点A和边的中点C．若的面积为6，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合，k的几何意义，以及三角形中位线性质． （1）根据k的几何意义得到求解，再结合，即可解题； （2）根据三角形中位线性质得到的面积为6，的面积为12，设，表示出点B，点C的坐标，利用点A，点C都在反比例函数图象上建立等式求解出，即可解题． 【详解】（1）解：的面积为6， ， ， ， ． 故答案为：． （2）解：边的中点为C．的面积为6， 的面积为6，的面积为12， 设， ， ，即， ， ， 整理得， 解得， k的值为， 故答案为：． 一十七．三角形与圆（共2小题） 49．（2024·安徽安庆·一模）如图，四边形的四个顶点都在上，平分连接，且． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考由圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆周角定理、垂径定理推出，由垂径定理、勾股定理得到关于圆半径的方程． （1）由角平分线定义得到，由圆周角定理推出，由垂径定理推出，得到，由圆心角、弧、弦的关系推出； （2）连接与交于，由垂径定理得到，由勾股定理求出，设半径为，由勾股定理得到，求出，即可得到圆的半径长． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接与交于， ， ， ， ， ， ， ， ∴的半径是． 50．（2024·安徽合肥·三模）如图，是的外接圆，，弦交于点E，且． (1)求证：是等边三角形； (2)过点O作于点F，延长交于点G，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明可得，结合，可得结论； （2）先证明，求解，可得，证明．如图，过B作于点M，求解，，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）证明：在中，， ∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴为等边三角形； （2）∵， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴． 如图，过B作于点M， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 一十八．网格题（共2小题） 51．（2024·安徽合肥·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)以点为旋转中心，将旋转，得到，请画出； (2)将线段向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段；（点与点对应，点与点对应） (3)画出格点，使得．（只需画出一个点，作图过程用虚线表示） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图旋转变换、平移变换、等腰直角三角形，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）以点为直角顶点作等腰直角三角形，即可得格点． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：如图，以点为直角顶点作等腰直角三角形， 可得， 则点即为所求（答案不唯一）． 52．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上． (1)先将向右平移9个单位，再向下平移4个单位，在网格中画出平移后的； (2)把以点为中心，顺时针旋转， ①请在网格中画出旋转后的； ②在线段上确定一点，使． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查了网格作图，平移作图、旋转作图，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）分别找出对应点、、即可求解； （2）①分别找出对应线段、即可求解；②根据三角形同底时面积比等于高之比即可找到点． 【详解】（1）分别将点、、向右平移9个单位，再向下平移4个单位得到对应点、、，连接各点，得平移后的，如图所示： （2）①利用网格特点，分别将、以为中心顺时针旋转找出对应线段、，连接，得旋转后的，如图所示： ②如图，点即为所求的点，理由如下： 由图可知，中边上的高为2，、边上的高为1， 一十九．三角形综合（共2小题） 53．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知，如图1，在，，，点D是的中点，将线段绕点D逆时针旋转度，得，连接． (1)求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图2，若，求证：； (3)若，，求． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）连接，设，得出，再根据直角三角形的性质得出，根据旋转的性质得，即可得，表示出，，再根据即可求解； （2）作交于点F，连接，由（1）得：，即为等腰直角三角形，得出、为等腰直角三角形，证明，得出，再根据，即可证明； （3）作交于点G，连接，由（1）得：，故，在中，设，则，证明为等边三角形，算出，得出，证明，根据相似三角形的性质得出，求出，，根据即可求解． 【详解】（1）解：连接， 设， ∵， 则， 为中点， ， 又， ， ，， ， ， ， ； （2）解：作交于点F，连接， 由（1）知：， 即为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴、为等腰直角三角形， 得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：作交于点G，连接，     ， 由（1）知：， 故， 在中，， 设，则， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 54．（2024·安徽马鞍山·三模）如图①，在锐角中，于点为上一点，为边的中点，连接并延长交边于点为边的中点，连接． (1)若，求的长； (2)如图②，若， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：为的中点． 【答案】(1)2 (2)（ⅰ）详见解析；（ⅱ）详见解析 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据，得出为等腰直角三角形，．再结合，得出，根据为的中点，即可得，即可求解； （2）证明：（ⅰ）如图①，连接，证明，得出，再证明，结合为的中点，运用相似三角形的性质即可证明； （ⅱ）如图②，连接交于点，连接．证明为的中位线，从而得出为等腰直角三角形，．结合（1）中，（2）（ⅰ）中，相似比为，即可得出，，，，证明即可证明； 【详解】（1）解：， 为等腰直角三角形， ． ， ， 为的中点， ， ， ； （2）证明：（ⅰ）如图①，连接， ， ， 由（1）可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ． （ⅱ）如图②，连接交于点，连接． 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， 为等腰直角三角形， ． 由（1）知， 由（2）（ⅰ）知，相似比为， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 为的中点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角形综合(真题12个考点+模拟19个考点） 一．等腰三角形的判定和性质（共5小题） 1．（2020·安徽·中考真题）已知点在上．则下列命题为真命题的是（  ） A．若半径平分弦．则四边形是平行四边形 B．若四边形是平行四边形．则 C．若．则弦平分半径 D．若弦平分半径．则半径平分弦 2．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 4．（2022·安徽·中考真题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·安徽·中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE． (1)如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形； (2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC． （ⅰ）求∠CED的大小； （ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF． 二．三角形的外角定义及性质（共1小题） 6．（2022·安徽·中考真题）两个矩形的位置如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 三．与平行线有关的三角形内角和问题（共1小题） 7．（2021·安徽·中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 四．与三角形的高有关的计算问题（共1小题） 8．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．    五．用勾股定理解三角形（共5小题） 9．（2020·安徽·中考真题）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕为；再将分别沿折叠，此时点落在上的同一点处．请完成下列探究： 的大小为 ； 当四边形是平行四边形时的值为 ． 10．（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 11．（2022·安徽·中考真题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（    ） A． B．4 C． D．5 12．（2021·安徽·中考真题）如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（    ） A． B． C． D． 13．（2020·安徽·中考真题）如图，中，，点在上，．若，则的长度为（  ） A． B． C． D． 六．与三角形中位线有关的证明（共1小题） 14．（2021·安徽·中考真题）在中，，分别过点B，C作平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 七．动点问题的函数图象（共1小题） 15．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A． B． C． D． 八．全等三角形的性质与判定（共2小题） 16．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（    ） A． B． C． D． 17．（2020·安徽·中考真题）如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点 求证：； 若，求的长； 如图2，连接，求证：． 九．相似三角形的综合问题（共3小题） 18．（2024·安徽·中考真题）如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （1）若点N在边上，且，则 （用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为 ． 19．（2022·安徽·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题： （1） °； （2）若，，则 ． 20．（2021·安徽·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 一十．三角形与反比例函数综合（共2小题） 21．（2023·安徽·中考真题）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过斜边的中点．    （1） ； （2）为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ． 22．（2022·安徽·中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则 ． 一十一．三角形与圆的综合（共4小题） 23．（2024·安徽·中考真题）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． (1)求证：； (2)设，垂足为M，若，求的长． 24．（2023·安徽·中考真题）已知四边形内接于，对角线是的直径．    (1)如图1，连接，若，求证；平分； (2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 25．（2021·安徽·中考真题）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E． （1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长； （2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：． 26．（2020·安徽·中考真题）如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点， 求证：； 若求平分． 一十二．勾股定理与网格（共2小题） 27．（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．    (1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； (2)直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； (3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 28．（2023·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均为格点（网格线的交点）．    (1)画出线段关于直线对称的线段； (2)将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段； (3)描出线段上的点及直线上的点，使得直线垂直平分． 一．三角形三边关系的应用（共6小题） 1．（2024·安徽淮北·二模）已知三角形的两边长分别为，第三边长为，若为整数，则的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·安徽合肥·二模）已知，如图中，，点在上，点是关于直线的对称点，连接，当的最小值是2时，的长是（    ） A． B． C． D．4 3．（2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 4．（2022·广东东莞·一模）如图，在正方形ABCD中，已知边长，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 5．（2024·安徽·二模）如图，中，是边的中点，过点作分别交于点（不与重合），取中点，连接并延长交于点，连接．随着点位置的变化，下列结论中错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的周长有最小值为 D．四边形的面积有最小值为9 6．（2024·安徽宿州·二模）如图，是等边边上的高，在、上分别取一点E、F，使，连接、．若，设，则的最小值为（    ）    A． B． C．2 D．3 二．与三角形的高有关的计算问题（共2小题） 7．（2024·安徽蚌埠·二模）清初安徽数学家梅文鼎创造性的设计直角三角形，证明了：是锐角的高，则．如图，已知中，，，，点在边上，以为折痕将折叠，使得点落在上的点，则（    ） A．3 B．4 C． D．5 8．（2024·安徽淮南·二模）嘉淇剪一个锐角做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则线段分别是的（    ）    A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线 C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线 三．与三角形中线有关的计算问题（共1小题） 9．（2024·安徽安庆·二模）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．12 B．14 C．18 D．24 四．与三角形有关的计算（共8小题） 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，与相切于点B，的延长线交于点C，D为优弧上任意一点，若，则（　　） A． B． C． D． 11．（2024·安徽六安·二模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，直线，与的边相交，且，，那么（    ） A． B． C． D． 13．（2024·安徽亳州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点．若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 14．（2024·安徽滁州·三模）如图，在中，，点D是边上一点，且．若，则（       ）    A． B． C． D． 15．（2024·安徽合肥·二模）如图，和都是等腰三角形，且，，是的中点，若点在直线上运动，连接，则在点运动过程中，的最小值为（    ） A． B． C． D．2 16．（2024·安徽淮北·三模）如图，在中，，点D是边上一点，且．过点B作的垂线，垂足为点F，交边于点E，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·安徽合肥·三模）两个直角三角板如图所示摆放，其中，，，，分别与交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 五．全等三角形的概念及性质（共1小题） 18．（2024·安徽宿州·二模）如图，的对角线交于点O，添加下列条件不能判断四边形是菱形的是（   ） A． B． C． D． 六．根据全等的判定与性质进行判断（共6小题） 19．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，矩形中，为边上一点（不与重合），连接，过点作，垂足为，连接与相交于点．则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则最小为2 20．（2024·安徽安庆·二模）在正方形中， E，F分别是，上中点，连接， 交于点G，连接，，则下面结论中：①； ②；③；④ ．正确的是（　　） A．①②③④ B．①④ C．②③ D．①②③ 21．（2024·安徽池州·三模）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，、分别交于点、，以下结论： ①； ②若是的中点，则； ③的周长等于长的倍； ④连接，则为等腰直角三角形． 有几个是正确的（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（2024·安徽亳州·二模）如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，则下列结论中错误的是（    ） A．平分 B． C． D． 23．（2024·安徽滁州·一模）如图，的对角线，相交于点O，点E为边的中点，连接并延长交边于点F，，．下列结论错误的是（    ） A． B． C．四边形为菱形 D． 24．（2023·安徽滁州·二模）如图，中，点，分别是，的中点，点在上，且，则下列结论中不正确的是（    ） A．平分 B． C． D． 七．根据全等的判定与性质求长度（共5小题） 25．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，正方形边长为6，点E、F分别在、上，且，点G、H分别为线段、的中点，连接，若，则的长为（    ）    A．2 B． C． D． 26．（2024·安徽淮北·三模）如图，在正方形中，点为边延长线上一点，连接，交，分别于，两点．若，则的长度为（    ） A． B．1 C． D． 27．（2024·安徽安庆·三模）如图，是的中线，是的中线，延长交于点F，已知，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 28．（2024·安徽合肥·二模）如图，D，E，F是的边上的点，且满足，，，连接，过点C作，垂足为H．    （1）的度数是 ． （2）若，，则 ． 29．（2024·安徽亳州·三模）如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上． （1）与的大小关系是 （填“相等”或“不相等”）； （2）若，则的长是 ． 八．根据全等的判定与性质求线段比值（共3小题） 30．（2024·安徽·二模）如图，在和中，，，，分别连接，，延长，交于点． （1） ． （2）若，则的值为 ． 31．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，若点O是矩形对角线的中点，按如图所示的方式折叠，使边落在上，边也落在上，A、C两点恰好重合于点O，连接交于点G，交于点H． （1）的度数为 度； （2）的值为 ． 32．（2024·安徽合肥·二模）已知，点是正方形边上一点，连接，延长至，  使， 连接交于点．    （1）若， 则 ° ； （2）连接，，与交于，若， 则 ． 九．根据全等的判定与性质求线段最值（共4小题） 33．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知：如图中，，，点，，分别是边，，上一点，且，． （1）若，则 ； （2）线段的长度的最小值为 ． 34．（2024·安徽亳州·二模）如图，在中，，，．请解决下列问题： （1）的长是 ； （2）若点是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点在运动过程中，线段的长的最小值是 ． 35．（2024·安徽芜湖·三模）如图，在边长为4的正方形中，E 为边靠近点A 的四等分点．F 为边上一动点，将线段 绕点F 顺时针旋转得到线段， 连接，则的最小值 为（      ） A． B． C． D．3 36．（2024·安徽芜湖·三模）如图，E是正方形的边上一点，连接，在的右上一侧以为直角边作等腰直角三角形，连接，若，则的周长的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 一十．根据全等的判定与性质求面积（共1小题） 37．（2024·安徽池州·三模）如图，已知点为正方形内一点，点，分别在，边上，且，，连接，，若，．    （1）的最小值为 ； （2）在（1）的条件下，四边形的面积为 ． 一十一．根据全等的判定与性质求面积最值（共1小题） 38．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，，分别为，，的中点，连接，，．将绕点在平面内自由旋转（如图）．若，，则面积的最大值是（    ） A．8 B．16 C． D． 一十二．角平分线的有关计算（共2小题） 39．（2024·安徽安庆·一模）如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 40．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，平分，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 一十三．用勾股定理解三角形（共2小题） 41．（2024·安徽六安·三模）如图，在矩形中，，，点E为射线上一动点，沿折叠，得到，若，则的长为（      ）． A． B． C． D． 42．（2024·安徽合肥·二模）如图，在中，对角线与相交于点O，，，，则的长为（   ） A．8 B．6 C． D． 一十四．勾股定理与网格（共2小题） 43．（2024·安徽滁州·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，C均为格点（网格线的交点） ．    (1)将线段向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到线段，画出 ； (2)连接，，画出的高； (3)借助网格，用无刻度的直尺，在上画出点E，使得． 44．（2024·安徽合肥·一模）如图，在网格纸中，有一个格点（顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形）． (1)将先向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，请直接画出平移后的； (2)仅使用无刻度直尺画出的角平分线，交于E点，标出点E（保留作图痕迹，无需写作法） 一十五．直角三角形斜边中线的应用（共2小题） 45．（2024·安徽滁州·三模）如图，中，，，O 为的中点，P为 上动点，连接并延长至点D，使得，则 的最小值为（       ） A．1 B． C．2 D．3 46．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在中，为边的中点，交的延长线于点，交于点，若，则的长度为（    ）． A．10 B． C． D． 一十六．三角形与反比例函数（共2小题） 47．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的边轴，，点B关于直线的对称点的坐标为，若反比例函数的图象经过点B．则k的值为 ． 48．（2024·安徽马鞍山·二模）已知在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限内，的边与反比例函数有交点． （1）如图①，点A在反比例函数的图象上，轴，垂足为点B，的面积为6，则k的值为 ． （2）如图②，反比例函数的图象经过的顶点A和边的中点C．若的面积为6，则k的值为 ． 一十七．三角形与圆（共2小题） 49．（2024·安徽安庆·一模）如图，四边形的四个顶点都在上，平分连接，且． (1)求证：； (2)若，求的半径． 50．（2024·安徽合肥·三模）如图，是的外接圆，，弦交于点E，且． (1)求证：是等边三角形； (2)过点O作于点F，延长交于点G，若，，求的长． 一十八．网格题（共2小题） 51．（2024·安徽合肥·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)以点为旋转中心，将旋转，得到，请画出； (2)将线段向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段；（点与点对应，点与点对应） (3)画出格点，使得．（只需画出一个点，作图过程用虚线表示） 52．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上． (1)先将向右平移9个单位，再向下平移4个单位，在网格中画出平移后的； (2)把以点为中心，顺时针旋转， ①请在网格中画出旋转后的； ②在线段上确定一点，使． 一十九．三角形综合（共2小题） 53．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知，如图1，在，，，点D是的中点，将线段绕点D逆时针旋转度，得，连接． (1)求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图2，若，求证：； (3)若，，求． 54．（2024·安徽马鞍山·三模）如图①，在锐角中，于点为上一点，为边的中点，连接并延长交边于点为边的中点，连接． (1)若，求的长； (2)如图②，若， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：为的中点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$