专题05 二次函数（真题7个考点+模拟18个考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（安徽专用）

专题05 二次函数(真题7个考点+模拟18个考点） 一．图象判断（共1小题） 1．（2023·安徽·中考真题）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ）        A．      B．  C．      D．       二．图形运动问题（共1小题） 2．（2020·安徽·中考真题）如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（  ） A． B． C． D． 三．性质判断（共1小题） 3．（2023·安徽·中考真题）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 四．二次函数最值问题（共3小题） 4．（2021·安徽·中考真题）设抛物线，其中a为实数． （1）若抛物线经过点，则 ； （2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ． 5．（2020·安徽·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点． 判断点是否在直线上．并说明理由； 求的值； 平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 6．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 五．二次函数面积问题（共1小题） 7．（2023·安徽·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 六．二次函数图形问题（共1小题） 8．（2022·安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； （ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）． 七．二次函数长度问题（共1小题） 9．（2021·安徽·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线． （1）求a的值； （2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比． 一．图象判断（共8小题） 1．（2024·安徽淮北·二模）如图，关于的二次函数是常数且的图象如图，则双曲线和直线在同一坐标系中大致是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·二模）如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于第一象限的点A，与x轴交于点，则函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．    D．   3．（2024·安徽蚌埠·三模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽安庆·三模）如图是直线（a，b，c是常数且，，），则抛物线和双曲线在同一平面直角坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽宿州·三模）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽合肥·二模）已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 7．（2024·安徽合肥·二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽·二模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 二．与x轴交点问题（共4小题） 9．（2024·安徽·二模）若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点左边），与轴交于点，下列命题中不成立的是（    ） A．、两点之间的距离为个单位长度 B．若线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，则 C．若、在该抛物线上，当时，则 D．若，当时，的最大值与最小值的差为，则 11．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知关于x的函数的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a的可能值有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．（2024·安徽合肥·三模）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．点在该函数图象上 B．当且时， C．该函数图象与x轴一定没有交点 D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的右侧 三．由实际问题抽象出二次函数（共3小题） 13．（2024·安徽六安·模拟预测）如图, 等边的边长为， D是上一点，过D作的垂线，与的另一边交于点E，设线段的长度为，的面积为 ，则s关于x的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 14．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点的坐标为．点从点出发，以每秒1个单位沿轴向右移动，过点且垂直的直线与菱形的两边分别交于两点，设的面积为，则与点移动的时间之间的函数关系的图象大致为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·安徽蚌埠·三模）已知点在第一象限，其坐标为，一次函数的图象与轴分别相交于两点，将该图象以每秒2个单位水平向右平移，设时间为（秒），的面积为，则与的函数关系大致为（    ） A． B． C． D． 四．线段周长问题（共5小题） 16．（2024·安徽合肥·二模）已知点，是抛物线上的不同两点，抛物线与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B．下列四个论断：①当时 ，；②若点P 是线段AB上方的点，作轴于点M，交AB于点N，当时，的长度随m增大而减小；③当，时，；④当时，点P 不与点A，B 重合，直线．其中正确的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 17．（23-24九年级下·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数）与抛物线交于，两点，且点在轴左侧，点的坐标为，连接，．下列结论错误的是（    ） A．直线，关于轴对称 B．当时，的值随的增大而增大 C．当时， D．的面积的最小值为 18．（2024·安徽淮南·模拟预测）如图，E是线段上一点，在线段的同侧分别以为斜边作等腰和等腰，，分别是，的中点．若，则下列结论错误的是（    ）． A．的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．周长的最小值为 D．的最小值为3 19．（2024·安徽安庆·三模）如图，边长为4的正方形中，E为上一点，且，F为边上一动点，将线段绕点F顺时针旋转得到线段，连接，则最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 20．（2024·安徽淮北·三模）如图，，点B为线段上一动点，以为边作正方形，点E始终为边的中点，连接，当取得最小值时，的长为（    ） A． B． C． D． 五．列二次函数关系式（共2小题） 21．（2024·安徽合肥·模拟预测）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 22．（2024·安徽合肥·一模）规定：两个函数，的图像关于y轴对称， 则称这两个函数互为“Y函数”﹒例如，函数与的图像关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”﹒若函数的“Y函数”图像与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 （    ） A． B． C． D． 六．求参数取值范围（共5小题） 23．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知点，都在抛物线上，且． （1）若，则 ； （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是 ． 24．（2024·安徽淮北·三模）已知抛物线经过点，． （1）该抛物线的对称轴为 ． （2）点A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则n的取值范围是 ． 25．（2024·安徽淮北·三模）抛物线经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为． （1）a的值为 ； （2）若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上．当时，的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是 ． 26．（2024·安徽合肥·三模）二次函数的对称轴为直线，点，都在函数图象上． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 27．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线经过，两点，且A、B两点在该抛物线对称轴同侧． （1）若抛物线经过，则m= ． （2）若时，，则m的取值范围是 ． 七．求先关线段的长或比值（共1小题） 28．（2024·安徽滁州·三模）如图，O 为坐标原点，点A是抛物线（）上一点，轴于点 B，，交x轴于点 C．    （1）若点A 的坐标为，则直线对应的一次函数解析式为 ． （2）若线段与抛物线的交点为 D，则 ． 八．面积最值问题（共4小题） 29．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线交y轴于点A，其对称轴交x轴于点B，直线交抛物线于另一点C． （1）点B的坐标为 ； （2）点P是直线下方抛物线上的一动点（与点A，C不重合），则的面积的最大值为 ． 30．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线：的顶点坐标为，与轴正半轴交于点，与轴交于点． （1）点的坐标为 ； （2）将抛物线沿轴向右平移个单位长度，平移后的抛物线与抛物线相交于点，且点在第四象限内，当的面积最大时，的值为 ． 31．（2024·安徽合肥·二模）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为D，直线与抛物线交于点是线段的中点． (1)求抛物线的解析式． (2)若点E的横坐标是，求点M的坐标． (3)若，求四边形的面积的最小值． 32．（2023·安徽·一模）如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)矩形的顶点在轴上（不与重合），另两个顶点在抛物线上（如图）． ①当点在什么位置时，矩形的周长最大？求这个最大值并写出点的坐标； ②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由． 九．图形问题（共2小题） 33．（2024·安徽合肥·二模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），杯底，点O是的中点，，杯子的高度（即，之间的距离）为，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与y轴交于点E（图2），过D点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，发现剩余饮料的液面低于点E，设吸管所在直线的解析式为，求k的取值范围； (3)将放在水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，液面恰好到达点D处（），如图3． ①请你以的中点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系； ②请直接写出此时杯子内液体的最大深度． 34．（2024·浙江台州·一模）图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段，线段，曲线，曲线围成的封闭图形，且，在x轴上，曲线与曲线关于y轴对称．已知曲线是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：（p 为常数，）． (1)当时，求曲线的函数解析式． (2)如图3，用三段塑料管，，围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区，E，F分别在曲线，曲线上，G，H在x轴上． 记米时所需的塑料管总长度为，米时所需的塑料管总长度为．若，求p的取值范围． 当与的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值． 一十．拱桥问题（共2小题） 35．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 36．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1是某文艺舞台背景装饰架的示意图，它是以支架为对称轴的轴对称图形（支架粗细忽略不计），垂直舞台于点O，米，米，曲线均为抛物线的一部分．数学活动小组测得曲线的最低点到舞台的距离是5米，与支架的水平距离是4米．以O为原点建立平面直角坐标系如图． (1)求曲线的函数表达式（不用写自变量的取值范围）； (2)数学活动小组又测得曲线的最低点到舞台的距离是米，与支架的水平距离是5米．若按图2的方式布置装饰灯带，布置好后成轴对称分布，其中垂直于舞台． ① 若与之间的距离比与之间的距离少2米，当米时，求的长度； ② 若，求装饰灯带总长度的最小值． 一十一．销售问题（共2小题） 37．（2024·安徽六安·二模）某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示： 月份x 2 3 4 5 售价份（元） 12 8 6 4.8 甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足． 乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克． (1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式 (2)求与x之间的函数关系式； (3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 38．（2024·安徽合肥·二模）如图，在1～12月份期间，某种农产品销售单价y（元/件）与月份x 之间的函数图象是抛物线（部分），7月份该产品的销售单价最高为10元/件；它的生产成本（元/件）与月份x之间函数图象是折线， (1)分别求出、关于x的函数关系式； (2)从1月份到8月份，问几月份这种产品每件的销售利润最大，最大时多少元? 一十二．投球问题（共3小题） 39．（2024·安徽合肥·模拟预测）体育课上，同学们在老师的带领下，设计了一种抛小球入箱的游戏．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，小球从点P处抛出，小球的运动轨迹为抛物线L：．无盖木箱的截面图为矩形，其中，，且在x轴上，．已知当小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为． (1)求抛物线L的表达式． (2)请通过计算说明该同学抛出的小球能否投入箱内． (3)若该小球投入箱内后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且最大高度可达，则该小球能否弹出箱子？请说明理由． 40．（2024·安徽安庆·三模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），王同学站在原点，将乒乓球从1.5米的高度P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离王同学1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明； (3)若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹起，沿与原抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时乒乓球的最大高度达到原最大高度的一半，请判断乒乓球是否弹出箱子，并说明理由． 41．（2024·安徽合肥·一模）在行知学校第二届趣味篮球赛活动中，某班一位身高女同学参加定点投篮比赛（如图①）．为了获得更好的成绩，同学们对这位选手的训练数据进行了收集和分析：篮球运行的路线是一条抛物线，不起跳投掷时，球在该选手头顶上方处投出，在距离该选手时达到最大高度.    (1)如图②，以该选手投球站立点为原点、身体竖直向上方向为轴正半轴建立平面直角坐标系，求出篮球运行高度与运行水平距离之间的函数关系式； (2)已知比赛时篮圈中心到地面的高度为，为保证篮球准确投入篮圈内，该选手在训练时应如何调整自己的起跳高度？ 一十三．喷水问题（共1小题） 42．（2024·安徽宿州·一模）如图1，某洒水车的喷水口距地面．如图2，已知喷水口喷出最远的水柱是抛物线：，轴是地面，位于轴上，则点，抛物线与轴交于点．（注：抛物线水柱的宽度忽略） (1)求该洒水车喷水能达到的最远距离的长； (2)如图3，将抛物线向左平移使其经过点，此时抛物线是该洒水车喷出的最近水柱，抛物线交轴于点． （ⅰ）求的长； （ⅱ）如图4，已知一条隔离绿化带的横截面是矩形，，，设洒水车到绿化带的距离，若该洒水车在行驶过程中能浇到完整的这条隔离绿化带，求d的取值范围． 一十四．角度问题（共2小题） 43．（2024·安徽蚌埠·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)点P是第三象限抛物线上的点，过点P作，求的最大值及此时点P的坐标； (3)抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 44．（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，已知点P是位于上方的抛物线上的一点，作，垂足为M，求线段长度的最大值； (3)如图2，已知点Q是第四象限抛物线上一点，，求点Q的坐标． 一十五．特殊三角形问题（共3小题） 45．（2024·安徽亳州·三模）已知，抛物线经过点，其顶点为． (1)求点的坐标（用表示）； (2)若该抛物线与轴的交点为，如图． ①当的面积为时，求的值； ②当为直角三角形时，求点的坐标． 46．（2024·安徽阜阳·二模）如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)连接，点D是线段上一动点（不与A、C两点重合），过点D作轴交抛物线于点E． ①当线段DE的长度最大时，求此时D点的坐标； ②在①的条件下，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点F，使得以点D、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由． 47．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于，两点，与轴交于点 ， 为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，点， 在抛物线上，点 在点 左侧，若 是等边三角形，求 的值． (3)如图2，在线段 上是否存在一点，使得以，， 为顶点的三角形与 相似若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由． 一十六．特殊四边形问题（共3小题） 48．（2024·安徽阜阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点，直线交y轴于点C，点E为直线上方抛物线上的一动点，过点E作轴，垂足为G，分别交直线于点F，H． (1)求点A，B的坐标； (2)当时，连接，求的面积； (3)若点Q是y轴上的一点，当四边形是矩形时，求出点Q的坐标． 49．（2024·安徽淮北·三模）如图1，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点P为对称轴l上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)如图2，点Q为抛物线上一点，若以O，P，B，Q四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点Q的坐标． 50．（2024·安徽宿州·一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，以为顶点的抛物线与直线相交于，两点． (1)求该抛物线和直线的函数表达式； (2)点位于直线下方的抛物线上，轴，交直线于点，求线段的最大值； (3)若点，分别是该抛物线和线段上的动点，设线段与轴交于点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标． 一十七．相似三角形问题（共2小题） 51．（2024·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点和． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)如图，设该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），其顶点为C，对称轴为l，l与x轴交于点D． ①求证：是直角三角形； ②在l上是否存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 52．（2024·安徽合肥·三模）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)求CP+PQ+QB的最小值； (3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标． 一十八．二次函数综合（共3小题） 53．（2024·安徽合肥·二模）已知：抛物线的图象与轴交于交轴于点点为抛物线上一动点，其横坐标为 (1)求抛物线的解析式； (2)将点向右平移2个单位得到点若点也在抛物线上，求的值； (3)当点到轴的距离不大于时，求的取值范围． 54．（2024·安徽宿州·三模）如图1，抛物线与轴交于点与点，点位于点的左侧，与轴交于点，． (1)求，的值； (2)点是第一象限内且位于该抛物线上一点． （i）如图2，连接与交于点，连接．若点与点关于抛物线的对称轴对称，求点的坐标； （ii）如图3，点是第四象限且位于该抛物线上一点，与分别与轴交于点和点．若，则直线恒经过一点，求该点的坐标． 55．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求直线的解析式及抛物线的解析式； (2)如图，点为第一象限抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，求当点的横坐标为多少时，最大； (3)如图，将抛物线向左平移得到抛物线，直线与抛物线交于、两点，若点是线段的中点，求抛物线的解析式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数(真题7个考点+模拟18个考点） 一．图象判断（共1小题） 1．（2023·安徽·中考真题）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ）        A．       B．   C．       D．       【答案】A 【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，        设，则，根据图象可得， 将点代入， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线经过点， ∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点， 当时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题的关键． 二．图形运动问题（共1小题） 2．（2020·安徽·中考真题）如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得 【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=, B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为 y=(4－x)··=, 两个三角形重合时面积正好为. 由二次函数图象的性质可判断答案为A, 故选A. 【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论. 三．性质判断（共1小题） 3．（2023·安徽·中考真题）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，，对称轴为直线， 当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； B. ，，对称轴为直线， 当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意； C. ，，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； D. ，，的值随值的增大而减小，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． 四．二次函数最值问题（共3小题） 4．（2021·安徽·中考真题）设抛物线，其中a为实数． （1）若抛物线经过点，则 ； （2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ． 【答案】 0 2 【分析】（1）直接将点代入计算即可 （2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值 【详解】解：（1）将代入得： 故答案为：0 （2）根据题意可得新的函数解析式为： 由抛物线顶点坐标 得新抛物线顶点的纵坐标为： ∵ ∴当a=1时，有最大值为8， ∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 故答案为：2 【点睛】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法 5．（2020·安徽·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点． 判断点是否在直线上．并说明理由； 求的值； 平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 【答案】（1）点在直线上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3） 【分析】（1）先将A代入，求出直线解析式，然后将将B代入看式子能否成立即可； （2）先跟抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A，C两点，然后将A，C两点坐标代入得出关于a，b的二元一次方程组； （3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，根据顶点在直线上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，在将式子配方即可求出最大值． 【详解】（1）点在直线上，理由如下： 将A（1，2）代入得， 解得m=1， ∴直线解析式为， 将B（2，3）代入，式子成立， ∴点在直线上； （2）∵抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同， ∴抛物线只能经过A，C两点， 将A，C两点坐标代入得， 解得：a=-1，b=2； （3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k， ∵顶点在直线上， ∴k=h+1， 令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1， ∵-h2+h+1=-（h-）2+， ∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求出两个函数的表达式是解题关键． 6．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）3；（ⅱ） 【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意求出的顶点为，确定抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，即可求解； （2）根据题意得出， ，然后整理化简；（ⅰ）将代入求解即可；（ⅱ）将代入整理为顶点式，即可得出结果． 【详解】（1）解：， ∴的顶点为， ∵抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1， ∴抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2， ∴， ∴； （2）由（1）得 ∵点在抛物线上，点在抛物线上． ∴， ， 整理得： （ⅰ）∵， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴； （ⅱ）将代入， 整理得， ∵， ∴当，即时，h取得最大值为． 五．二次函数面积问题（共1小题） 7．（2023·安徽·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（2） 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）（ⅰ）根据题意画出图形，得出，，，继而得出，，当时，根据三角形的面积公式，即可求解． （ⅱ）根据（ⅰ）的结论，分和分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为建立方程，解方程进而即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：， ∴； （2）（ⅰ）设直线的解析式为， ∵， ∴ 解得：， ∴直线， 如图所示，依题意，，，，    ∴， ， ∴当时，与的面积之和为， （ⅱ）当点在对称右侧时，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得：，    当时，， ∴， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）    综上所述，． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 六．二次函数图形问题（共1小题） 8．（2022·安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； （ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）． 【答案】(1)y＝x2＋8 (2)（ⅰ）l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：最大面积27，＋9≤P1横坐标≤；方案二：最大面积＋≤P1横坐标≤ 【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式； （2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，－m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值； （ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围． 【详解】（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2）， 又∵E（0，8）是抛物线的顶点， 设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入， （－6）2a＋8＝2， 解得：a＝， ∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8； （2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上， ∴P2的坐标为（m，m2＋8）， ∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m， ∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26， ∵＜0， ∴当m＝2时，l有最大值为26， 即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26； （ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n， ∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27， ∵－3＜0， ∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27， 此时P2P1＝3，P2P3＝9， 令x2＋8＝3， 解得：x＝， ∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤， 方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n， ∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋， ∵－1＜0， ∴当n＝时，矩形面积有最大值为， 此时P2P1＝，P2P3＝， 令x2＋8＝， 解得：x＝， ∴此时P1的横坐标的取值范围为＋≤P1横坐标≤． 【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键． 七．二次函数长度问题（共1小题） 9．（2021·安徽·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线． （1）求a的值； （2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】（1）根据对称轴，代值计算即可 （2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果 （3）先根据求根公式计算出，再表示出，=，即可得出结论 【详解】解：（1）由题意得： （2）抛物线对称轴为直线，且 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而增大． 当时，y1随x1的增大而减小， 时，，时， 同理：时，y2随x2的增大而增大 时，．             时，               （3）令        令 AB与CD的比值为 【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点 一．图象判断（共8小题） 1．（2024·安徽淮北·二模）如图，关于的二次函数是常数且的图象如图，则双曲线和直线在同一坐标系中大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与x轴交点，一次函数的图象及反比例函数的图象，根据二次函数图象及，可得，，进而得到，，再根据一次函数的定义及反比例函数的定义即可判断函数图象． 【详解】解：根据题意得：，， ，， 双曲线过二、四象限，直线过二、三、四象限， 只有D选项符合题意， 故选：D． 2．（2024·安徽合肥·二模）如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于第一象限的点A，与x轴交于点，则函数的图象可能是（    ）    A．   B．    C．    D．    【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、二函数的图象和性质，先求出，，再判断二次函数的图象即可. 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴，即， ∵一次函数与y轴的交点为，一次函数的图象与y轴交于点， ∴由图象可知，，即， 对于二次函数，其开口向上， 顶点的横坐标为，，顶点的纵坐标为， ∴顶点在第三象限，与y轴交于负半轴， 观察图象可知选D. 故选：D 3．（2024·安徽蚌埠·三模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象问题，求出交点坐标是解题的关键．先求出一次函数与轴交点排除A和D，再求出一次函数与二次函数的交点坐标排除B，最后得到正确答案． 【详解】解：令解得： 一次函数与轴交点为， 排除A和D， 令，解得， 二次函数与轴交点为和， 一次函数与二次函数的交点为， 排除B， 故选：C． 4．（2024·安徽安庆·三模）如图是直线（a，b，c是常数且，，），则抛物线和双曲线在同一平面直角坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象和性质，熟练掌握其图象和性质，根据图形确定出、的正负情况是解题的关键．先根据一次函数图象确定出，，即可确定双曲线经过的象限，再根据抛物线开口方向和对称轴位置进行判断，即可得解． 【详解】直线的函数图象经过二、三、四象限， ，． A：由抛物线开口向下， 对称轴，抛物线与轴交点在轴正半轴，可得， ， ，故，，该选项不符合题意； B：由可知，双曲线经过第二、四象限，该选项不符合题意； C：由抛物线开口向上，对称轴，抛物线与轴交点在轴负半轴， ，，，故，；双曲线经过第二、四象限，故该选项符合题意． D：由可知，双曲线经过第二、四象限，该选项不符合题意； 故选：C． 5．（2024·安徽宿州·三模）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象、反比例函数的图象、二次函数的图象等知识点，根据函数图象确定相关参数的正负成为解题的关键．根据一次函数与反比例函数图象确定a、b、c的正负，再结合二次函数图象的对称轴即可解答． 【详解】解：由图可知二次函数开口向上、对称轴在轴右侧、与y轴的交点在负半轴， 则，则； ∴，则一次函数的图象过一、二、三象限； ，则反比例函数图象在一、三象限， ∴A选项的图象符合题意， 故选：A． 6．（2024·安徽合肥·二模）已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，由一次函数与反比例函数图象得出，，从而得出抛物线对称轴为直线，由反比例函数与一次函数的图象的交点的横坐标为得出，再求出对称轴为直线，结合抛物线对称轴的位置即可得出答案． 【详解】解：反比例函数图象在第二、四象限， ， 一次函数交于轴于正半轴， ， 反比例函数与一次函数的图象的交点的横坐标为， ， ， ， 解得：， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 对称轴为直线， 对称轴在到之间， 函数的图象可能为 故选：A． 7．（2024·安徽合肥·二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析图象，确定，a，b的符号一致的，才是可能的，本题考查了函数图象的分布于特征，熟练掌握图象的分布特征是解题的关键 【详解】A、 根据一次函数图象分布，得到即，根据抛物线的图象，得，矛盾，不符合题意； B、根据一次函数图象分布，得到即，根据抛物线的图象，得，即，，矛盾，不符合题意； C、根据一次函数图象分布，得到即，，根据抛物线的图象，得，即，矛盾，不符合题意； D、根据一次函数图象分布，得到即，，根据抛物线的图象，得，即，一致，符合题意； 故选D 8．（2024·安徽·二模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过函数图像判断二次函数的各项系数，一次函数与反比例函数图像的综合判断．观察二次函数的图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于y轴的右侧，可得，，再根据一次函数和反比例函数的图象，即可求解． 【详解】解：观察二次函数的图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于y轴的右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象进过第一、三、四象限，反比例函数的图象为第二、四象限． 故选：C 二．与x轴交点问题（共4小题） 9．（2024·安徽·二模）若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，利用对称性求对称轴，根据题意，得到抛物线与轴的两个交点坐标为，对称性得到对称轴为，即可． 【详解】解：∵的两个实数根分别为，， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为， ∴对称轴为； 故选A． 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点左边），与轴交于点，下列命题中不成立的是（    ） A．、两点之间的距离为个单位长度 B．若线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，则 C．若、在该抛物线上，当时，则 D．若，当时，的最大值与最小值的差为，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点问题，根据题意分别求得的坐标，即可判断A选项，将分别代入解析式，得出的值，结合函数图象，即可判定B选项，根据二次函数的性质，，则两点的中点在对称轴的右侧时，，进而求得的范围，即可判断C选项，根据题意得出在抛物线上，且，解方程，即可求解． 【详解】解：当时， 解得： ∴ ∴，故A选项正确； ∵ 对称轴为直线， ∵线段的端点为，， 当抛物线经过时， 解得： 当抛物线经过时， 解得： ∴当抛物线与线段有交点时，则，故B选项正确， ∵，对称轴为直线，、在该抛物线上，当时 ∴ 解得：，故C选项不正确； 若，则抛物线解析式为 顶点为 ∴当时最小值为， 当时， ∵时，的最大值与最小值的差为， ∴， ∴在抛物线上， 当时， 解得：或（舍去） 故D选项正确 故选：C． 11．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知关于x的函数的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a的可能值有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据函数的图象与两坐标轴共有两个交点，可知该函数可能为一次函数，也可能为二次函数，然后分类讨论即可求得a的值，本题得以解决．本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的思想解答． 【详解】解：函数的图象与坐标轴共有两个不同的交点， 当时，此时与两坐标轴两个交点， 当时，则或， 解得，或， 由上可得，的值是0，或1，共4个． 故选：A． 12．（2024·安徽合肥·三模）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．点在该函数图象上 B．当且时， C．该函数图象与x轴一定没有交点 D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的右侧 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是掌握二次函数的性质．把代入该函数解析式即可判断A；当时求出该函数解析式，求出该函数图象的对称轴和顶点，由函数的性质可以判断B；根据可以判断C；求出该函数的对称轴即可判断D． 【详解】解：当时，， 而不一定等于， ∴点不一定在该函数图象上， 故A错误，不符合题意； 当时，， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为15， ∴当时，， 故B错误，不符合题意； ， ∵， ∴该函数图象与x轴一定有交点， 故C错误，不符合题意； 对称轴为直线， ∵， ∴， ∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧， 故D正确，符合题意． 故选：D． 三．由实际问题抽象出二次函数（共3小题） 13．（2024·安徽六安·模拟预测）如图, 等边的边长为， D是上一点，过D作的垂线，与的另一边交于点E，设线段的长度为，的面积为 ，则s关于x的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是动点问题的函数图象探究题．考查了二次函数图象性质和锐角三角函数的相关知识，根据动点到达临界点前后的图形变化，列出函数解析式，进而即可判断． 【详解】解：当时，， 当时，，， ， 综上所述，函数图象在时，是开口向上的抛物线的一部分，当时是开口向下的抛物线的一部分， 故选：C． 14．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点的坐标为．点从点出发，以每秒1个单位沿轴向右移动，过点且垂直的直线与菱形的两边分别交于两点，设的面积为，则与点移动的时间之间的函数关系的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于，求出，，分三个阶段：当时，当时，当时，分别求出关于的函数关系式，判断即可得出答案． 【详解】解：如图，作于， ， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， 当时，由题意得：， ∵垂直， ∴， ∴，， ∴； 当时，，， 同理可得：， ， ， ∴， ∴； 当时，作轴于， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与点移动的时间之间的函数关系的图象大致为： 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、菱形的性质、解直角三角形、三角形面积公式、函数图象的识别，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 15．（2024·安徽蚌埠·三模）已知点在第一象限，其坐标为，一次函数的图象与轴分别相交于两点，将该图象以每秒2个单位水平向右平移，设时间为（秒），的面积为，则与的函数关系大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是动态问题的函数图象，二次函数的图象与性质，先分两种情况求解S与t之间的函数关系式，再判断即可． 【详解】解：如图，作直线， ∴，解得：， ∴， ∴， 当时， 当向右平移个单位长度可得， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，且函数过， ∴A，B，D不符合题意； 当时，如图， 同理可得：，， ∴， ∴， ∴C符合题意； 故选C 四．线段周长问题（共5小题） 16．（2024·安徽合肥·二模）已知点，是抛物线上的不同两点，抛物线与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B．下列四个论断：①当时 ，；②若点P 是线段AB上方的点，作轴于点M，交AB于点N，当时，的长度随m增大而减小；③当，时，；④当时，点P 不与点A，B 重合，直线．其中正确的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】由抛物线方程，得到对称轴解析式，、坐标，进而得到直线的解析式，当时，根据中点公式，得到、的对称轴，即可判断①，将分别代入直线与抛物线方程，并配方，根据一元二次方程的增减性，即可判断②，当，时，计算的值，即可判断③，当时，计算的值，结合点P 不与点A，B 重合，即可判断④， 本题考查了，求一次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与一次函数的综合，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线,   ，， ∴设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴，，是关于直线的对称点， ∴，故①正确， 若点P 是线段AB上方的点，则，， 当时，的长度随m增大而减小，故②错误， 当，时，， ∴，故③正确， 时，， ∵点P 不与点A，B 重合，直线，故④正确， 综上所述，①③④正确， 故选：C． 17．（23-24九年级下·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数）与抛物线交于，两点，且点在轴左侧，点的坐标为，连接，．下列结论错误的是（    ） A．直线，关于轴对称 B．当时，的值随的增大而增大 C．当时， D．的面积的最小值为 【答案】B 【分析】设，，其中，，联立得，即，可得，，待定系数法求直线的解析式为，直线与轴交点的坐标为，同理可得，直线的解析式为，直线与轴交点的坐标为．由，可知直线，与轴的交点关于轴对称，即直线，关于轴对称，进而可判断A的正误；如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，，，，，证明，则，可得，证明，则，可得，，由，，可得，即，为定值，进而可判断B的正误；当，联立得方程组，可求得，，由，，可得，进而可判断选项C的正误；根据，可知当时，的面积有最小值，为，进而可判断选项D的正误． 【详解】解：设，，其中，， 联立得，即， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为． 令，得， 直线与轴交点的坐标为． 同理可得，直线的解析式为，直线与轴交点的坐标为． ∴， 直线，与轴的交点关于轴对称，即直线，关于轴对称，故选项A正确； 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，，，，， 又∵， ∴， ∴， 解得， 由对称可知，为的角平分线， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ， ∵， ∴， ∴，即为定值，故选项B错误； 当，联立得方程组， 解得，或； ∴，， ∴，， ∴，故选项C正确； ∵， 当时，的面积有最小值，为，故选项D正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握二次函数与一次函数综合，一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 18．（2024·安徽淮南·模拟预测）如图，E是线段上一点，在线段的同侧分别以为斜边作等腰和等腰，，分别是，的中点．若，则下列结论错误的是（    ）． A．的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．周长的最小值为 D．的最小值为3 【答案】B 【分析】A、如图，延长交于点P，过点F作直线，可证四边形是矩形，直线是的中位线，且点在直线上运动，作点A关于直线的对称点，连接，由“将军饮马”模型可求； B、设，，进而即可判断． C、由四边形是矩形，结合的最小值为3，可求周长的最小值； D、连接，当时，即点与点重合时，最小．是等腰直角三角形，，故本选项不符合题意； 【详解】解：A、如图，延长交于点P，过点F作直线． 和分别是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， 四边形是矩形． 是的中点， 是的中点． 直线， 直线是的中位线，且点在直线上运动．作点A关于直线的对称点，连接，则．当，，三点共线时，最小． ，， ． 在中，，故本选项不符合题意； B、设，则． ， ．当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴四边形面积的最小值为，故本选项符合题意． C、四边形是矩形， ， 的周长为． 的最小值为3，， 的周长的最小值为，故本选项不符合题意； D、连接，当时，即点与点重合时，最小．是等腰直角三角形， ，故本选项不符合题意； 【点睛】本题考查轴对称最短路径问题，涉及等边三角形的性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是求出的运动轨迹是直线． 19．（2024·安徽安庆·三模）如图，边长为4的正方形中，E为上一点，且，F为边上一动点，将线段绕点F顺时针旋转得到线段，连接，则最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、运用二次函数性质求最值等知识点，列出关于x的关系式是解题的关键． 如图：过G点作交于点H，过G点作交于点I，根据线段绕点F顺时针旋转得到线段，可得，，利用易证，再根据四边形是矩形，可得，设，则，根据勾股定理可得，即当时，有最小值． 【详解】解：如图：过G点作交于点H，过G点作交于点I， ∵线段绕点F顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 又∵， ∴, ∵，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，， ∴当时，有最小值， ∴当时，最小值是， 故选：D． 20．（2024·安徽淮北·三模）如图，，点B为线段上一动点，以为边作正方形，点E始终为边的中点，连接，当取得最小值时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、二次函数的最值等知识，作于点M，则，证明四边形是矩形，四边形是矩形，，，则，设，则，，，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：作于点M，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵点E始终为边的中点， ∴， 设，则，， ∴， 当时，最小，此时． 故选：B 五．列二次函数关系式（共2小题） 21．（2024·安徽合肥·模拟预测）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金是解题关键． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：B． 22．（2024·安徽合肥·一模）规定：两个函数，的图像关于y轴对称， 则称这两个函数互为“Y函数”﹒例如，函数与的图像关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”﹒若函数的“Y函数”图像与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得函数的“Y函数”为，再根据其“Y函数”的图像与x轴只有一个交点，得，求出k的值即可得其“Y函数”的解析式． 本题主要考查了二次函数关于y轴对称的函数的表达式，以及二次函数与x轴的交点问题．当时，图像与x轴有两个交点；当时，图像与x轴有一个交点；当时，图像与x轴没有交点．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】由题意得函数与它的“Y函数”的图像关于y轴对称， ∴函数的“Y函数”为： ， ∵的图像与x轴只有一个交点， ， 解得， ∴函数的“Y函数”的解析式为． 故选：D． 六．求参数取值范围（共5小题） 23．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知点，都在抛物线上，且． （1）若，则 ； （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，已知二次函数图象上两点纵坐标的大小：当，点与对称轴的距离越小，值越小；当时，点与对称轴的距离越小，值越大． （1）根据得出点，关于直线对称，再联立方程组求解即可； （2）根据当，点与对称轴的距离越小，值越小，列出式子求值即可得出答案． 【详解】（1）， 点，关于直线对称， ． ， 联立，得 解得． ； 故答案为：； （2）点，在直线两侧，且， 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ，． ， ，即． ， 点到对称轴的距离比点到对称轴的距离远， ， ， 解得， ， ， ， 即． 由题意知当时，有最大值0， ，即， 的取值范围是． 故答案为：． 24．（2024·安徽淮北·三模）已知抛物线经过点，． （1）该抛物线的对称轴为 ． （2）点A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则n的取值范围是 ． 【答案】 直线 【分析】（1）根据二次函数的性质即可解答； （2）由题意得，抛物线的对称轴为，开口向上，再分情况讨论：其一点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧；其二点A在对称轴的右侧，点B在对称轴的左侧，解相应的不等式组即可得出答案． 【详解】（1）抛物线的对称轴为：， 故答案为：直线； （2）， 抛物线开口向上， ， 若点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧， 由题意可得： 解得； 若点A在对称轴的右侧，点B在对称轴的左侧， 由题意可得： 不等式组无解， n的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标的特征，能根据题意正确列出不等式组是解决本题的关键． 25．（2024·安徽淮北·三模）抛物线经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为． （1）a的值为 ； （2）若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上．当时，的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查二次函数的图像与性质、坐标与图形，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）将顶点C坐标代入抛物线表达式中求解即可； （2）先求得抛物线和直线的交点坐标，设，，分和两种情况，利用坐标与图形性质，用t表示出，根据二次函数的性质分别求解即可． 【详解】解：（1）由题意，将代入中，得， 解得， 故答案为：1； （2）由（1）得抛物线的表达式为， 联立方程组，解得或， ∴抛物线与直线的交点坐标为，， 设，， 当时，， ∵， ∴当时，的长度随t的增大而减小，不符合题意； 当时，， ∵， ∴当时，的长度随t的增大而增大，当时，的长度随t的增大而减小， 故答案为：． 26．（2024·安徽合肥·三模）二次函数的对称轴为直线，点，都在函数图象上． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 【答案】 1 或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质及点的坐标特征，二次函数与不等式． （1）根据对称轴，即可求出a的值； （2）根据，列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】解：（1）二次函数的对称轴为直线， ， ， 故答案为：1； （2）点，都在二次函数的图象上， ， ， 即 ， 或． 故答案为： 或． 27．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线经过，两点，且A、B两点在该抛物线对称轴同侧． （1）若抛物线经过，则m= ． （2）若时，，则m的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数的性质，求二次函数解析式； （1）把代入计算即可； （2）对称轴为，根据且A、B两点在该抛物线对称轴同侧可得或，再结合时，求解即可． 【详解】（1）把代入得， 解得， 故答案为：； （2）∵ ∴抛物线对称轴为， ∵A、B两点在该抛物线对称轴同侧， ∴或， 当时，当时随的增大而增大， ∴此时当时有最大值， ∵， ∴，解得， ∴； 当时，当时随的增大而减小， ∴此时当时有最大值， ∵， ∴，解得， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 七．求先关线段的长或比值（共1小题） 28．（2024·安徽滁州·三模）如图，O 为坐标原点，点A是抛物线（）上一点，轴于点 B，，交x轴于点 C．    （1）若点A 的坐标为，则直线对应的一次函数解析式为 ． （2）若线段与抛物线的交点为 D，则 ． 【答案】 【分析】（1）设的解析式为，把点A 的坐标为，代入求得，根据，故将直线向左平移1个单位长度即可得到对应的一次函数解析式． （2）根据抛物线，设点，根据题意，得，得，（舍去），过点D作轴于点G，则，根据平行线分线段成比例定理，得，解答即可． 本题考查了平移思想，待定系数法，交点坐标计算，平行线分线段成比例定理，熟练掌握待定系数法和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：（1）设的解析式为，把点A 的坐标为，得， 故直线的解析式为， ∵， 故将直线向左平移1个单位长度即可得到对应的一次函数解析式， ∴， 故答案为：． （2）根据抛物线，设点，则直线解析式为， ，且轴， ， 则直线解析式为， 根据题意，得，解得，（舍去）， 过点D作轴于点G， 则， 根据平行线分线段成比例定理，得， 故答案为：．    八．面积最值问题（共4小题） 29．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线交y轴于点A，其对称轴交x轴于点B，直线交抛物线于另一点C． （1）点B的坐标为 ； （2）点P是直线下方抛物线上的一动点（与点A，C不重合），则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合： （1）把解析式化为顶点式求出对称轴即可得到答案； （2）先求出直线解析式，进而求出点C的坐标，设，则，可得，进而得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）， 对称轴为， 点B的坐标为； 故答案为：； （2）∵抛物线交y轴于点A， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴ ∴直线解析式为， 联立，解得或 ∴． 作轴交于Q， 设，则， ，． ，， 时，有最大值， 故答案为：． 30．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线：的顶点坐标为，与轴正半轴交于点，与轴交于点． （1）点的坐标为 ； （2）将抛物线沿轴向右平移个单位长度，平移后的抛物线与抛物线相交于点，且点在第四象限内，当的面积最大时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数解析式及二次函数的最值，了解二次函数顶点式和用含的式子表示的面积是解题关键． （1）把二次函数解析式表示为顶点式，即可得顶点坐标求解； （2）先表示出的解析式，联立得出点坐标，再表示出的面积，最后利用二次函数最值求解． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，得， 解得，， ∴， 故答案为； （2）抛物线：， ∵将抛物线沿轴向右平移个单位长度得抛物线， ∴抛物线的解析式为：， ∴， 解得， 即点坐标为， ∵点在第四象限内， ∴，再结合， 得， ∵，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴如图，过点作轴，交直线于点，    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， 故答案为：． 31．（2024·安徽合肥·二模）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为D，直线与抛物线交于点是线段的中点． (1)求抛物线的解析式． (2)若点E的横坐标是，求点M的坐标． (3)若，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的解析式的确定、一次函数解析式的确定、中点坐标公式，三角形面积的计算．解题的关键是求出两个函数图像的交点坐标． （1）利用交点式求抛物线解析式即可． （2）先将代入抛物线解析式得出点E坐标，将点E得出直线解析式，联立抛物线解析式与直线解析式得出点F坐标，根据点M是线段的中点即可求出． （3）用题（2）的方法求出点的坐标（用含的式子表示），然后把四边形分割成几个三角形来求面积，再根据来求这个面积的最小值． 【详解】（1）解：把点，代入， 得 解方程组，得 抛物线的解析式为． （2）把代入，得， 点E的坐标是． 把点代入，得，， 直线的解析式是． 联立方程组得，， ，， 点M的坐标是． （3）把代入，得， 点C的坐标是，． ，点D的坐标是． 把与联立方程组，得， ，． 如图，连接． 四边形的面积为： ． ， 当时，四边形的面积有最小值，最小值为． 32．（2023·安徽·一模）如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)矩形的顶点在轴上（不与重合），另两个顶点在抛物线上（如图）． ①当点在什么位置时，矩形的周长最大？求这个最大值并写出点的坐标； ②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由． 【答案】(1) (2)①在时，矩形的周长最大，最大值为；②假命题，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法可求得抛物线的函数表达式为﹔ （2）先求得抛物线的对称轴为，设点，则，①根据关于对称，可得的坐标，则可以表示出矩形的周长，即可求解；②当矩形周长最大时，长为3，宽为2，面积为6，当为正方形时，表示，即可求出，算得正方形的面积大于6，矛盾，即可求得假命题． 【详解】（1）解：将、代入中得 解得 抛物线的函数表达式为 （2）解：抛物线的对称轴为， 设点，则， ①关于对称， ∴，则， 矩形的周长为， 当时，l的值最大，最大值为， 即Р在时，矩形的周长最大，最大值为． ②假命题．由①可知，当矩形周长最大时，长为3，宽为2，面积为6， 当为正方形时，，解得 ∴点Р的坐标为，点Q的坐标为， 正方形的面积； 故命题是假命题． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图像和性质． 九．图形问题（共2小题） 33．（2024·安徽合肥·二模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），杯底，点O是的中点，，杯子的高度（即，之间的距离）为，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与y轴交于点E（图2），过D点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，发现剩余饮料的液面低于点E，设吸管所在直线的解析式为，求k的取值范围； (3)将放在水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，液面恰好到达点D处（），如图3． ①请你以的中点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系； ②请直接写出此时杯子内液体的最大深度． 【答案】(1) (2) (3)①，见解析；② 【分析】（1）根据题意，得到，，设抛物线的解析式为，代入计算即可； （2）先确定平移后的解析式为，再计算直线的解析式和直线的解析式，结合喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，确定范围即可． （3）①根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设与轴的交点为M，计算的长即可得到坐标． ②设点N是抛物线上的一点，且，；过点N作轴，交于点G，过点G作轴于点E，确定，计算得最大值，且最大值为，过点N作于点H，则， 故的最大值为． 【详解】（1）∵，杯子的高度（即，之间的距离）为． ∴，， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）∵抛物线的解析式为， ∴平移后的解析式为． ∴抛物线的对称轴为直线，， ∴的对称点为， ∵， ∴平移后， 设直线的解析式为， ∴， 解得； ∴； 设直线的解析式为， ∴， 解得； ∴， 根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点， ∴． （3）①根据题意，建立直角坐标系如下，设与轴的交点为M，直线与轴的交点为S， ∵，杯子的高度（即，之间的距离）为． ∴，， ∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②∵抛物线的解析式为， 设点N是抛物线上的一点，且，； 过点N作轴，交于点G， ∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转， ∴， ∵， ∴， 过点G作轴于点E， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴时，取得最大值，且最大值为， 过点N作于点H， 则， 故的最大值为， 故液体的最大深度为． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正切函数的应用，构造二次函数求最值，特殊角的三角函数值，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数，构造二次函数求最值是解题的关键． 34．（2024·浙江台州·一模）图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段，线段，曲线，曲线围成的封闭图形，且，在x轴上，曲线与曲线关于y轴对称．已知曲线是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：（p 为常数，）． (1)当时，求曲线的函数解析式． (2)如图3，用三段塑料管，，围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区，E，F分别在曲线，曲线上，G，H在x轴上． 记米时所需的塑料管总长度为，米时所需的塑料管总长度为．若，求p的取值范围． 当与的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值． 【答案】(1) (2)；当与的差为时，三段塑料管总长度最大，最大值为 【分析】本题考查了二次函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出点C的坐标，根据对称性求出点A的坐标，即可求出抛物线的解析式； （2）设， ，根据，得出关于p的不等式解得即可；设，三段塑料管总长度为L，根据题意得出化简即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，C坐标为， 由对称得点A坐标为， 抛物线的解析式为：； （2）解：根据题意，设，  ，      ， ，                     即：， 化简得：，                                  ， ； 解：设，三段塑料管总长度为L， 根据题意可得：， ， 化简得：， 当时，L有最大值110，                        当与的差为时，三段塑料管总长度最大，最大值为． 一十．拱桥问题（共2小题） 35．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 【答案】(1) (2)（i）最大距离为  （ii） 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键. （1）利用待定系数法代入数据求解即可； （2）（i）作垂直与x轴的直线与，抛物线分别交于.利用解析书求取线段的表达式，分情况讨论比较即可得到结论; （ii）根据题意分别求出原直线与平移后直线与轴的交点，相减即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意可知,抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 由∵， ， 解得：， ∴解析式为：； （2）(i)设直线为 将 ，代入可得 ，解得：， 解析式为； 如图，作垂直为轴的直线交于，交抛物线于点，设点的坐标为则为 ， 当时， ， 故时有最大值； 当时， ， 时，随的增大而减小，， ∴当时，有最大值为：， 综上所述，最大距离为； (ii)设平移后的直线为：， 联立 ， ， 当 时 ， 解得：， 时, ， 时, ， ∴向右最多平移 (米)， 故答案为: . 36．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1是某文艺舞台背景装饰架的示意图，它是以支架为对称轴的轴对称图形（支架粗细忽略不计），垂直舞台于点O，米，米，曲线均为抛物线的一部分．数学活动小组测得曲线的最低点到舞台的距离是5米，与支架的水平距离是4米．以O为原点建立平面直角坐标系如图． (1)求曲线的函数表达式（不用写自变量的取值范围）； (2)数学活动小组又测得曲线的最低点到舞台的距离是米，与支架的水平距离是5米．若按图2的方式布置装饰灯带，布置好后成轴对称分布，其中垂直于舞台． ① 若与之间的距离比与之间的距离少2米，当米时，求的长度； ② 若，求装饰灯带总长度的最小值． 【答案】(1)曲线的函数表达式为 (2)①的长度为米，②灯带总长度的最小值为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数，正确理解题意，将实际模型转换为熟悉的图形，是解题的关键． （1）由题意可得抛物线的顶点，再利用待定系数法，即可解答； （2）①求得点的横坐标，代入抛物线即可解答； ②求出抛物线的函数表达式，设灯带总长度为, , 则, 求得与之间的关系，即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为 代入得： 解得： ∴ 抛物线的函数表达式为 ； （2）解：①, 与之间的距离比与之间的距离少2米, ， 则即的长度为米； ②设抛物线的函数表达式为：， 代入得: ， 解得： ， ∴ 抛物线的函数表达式为， 设灯带总长度为, , 则, 则 ， ∴ 当时，w有最小值，最小值为 ∴ 灯带总长度的最小值为米． 一十一．销售问题（共2小题） 37．（2024·安徽六安·二模）某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示： 月份x 2 3 4 5 售价份（元） 12 8 6 4.8 甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足． 乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克． (1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式 (2)求与x之间的函数关系式； (3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 【答案】(1)（，为整数） (2) (3)水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、反比例函数的应用，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，根据表格数据，可得与之间成反比例函数关系，故可设，进而计算可以得解； （2）依据题意，将，代入中，求出，即可得解； （3）依据题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元，从而可得 ，再结合二次函数的性质进行判断可以得解． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，， 与之间成反比例函数关系． 故可设， ． （，为整数）； （2）解：由题意，将，代入中， ． ． ． （3）解：由题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元， 则 ． ， 当时，最大，最大值为1480元． 答：水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元． 38．（2024·安徽合肥·二模）如图，在1～12月份期间，某种农产品销售单价y（元/件）与月份x 之间的函数图象是抛物线（部分），7月份该产品的销售单价最高为10元/件；它的生产成本（元/件）与月份x之间函数图象是折线， (1)分别求出、关于x的函数关系式； (2)从1月份到8月份，问几月份这种产品每件的销售利润最大，最大时多少元? 【答案】(1)， (2)5月份这种产品每件的销售利润最大，最大利润是4元 【分析】本题考查了待定系数法求解一次函数，二次函数的解析式，二次函数最大值的求解，由函数图象读取信息，正确利用函数图象求出解析式是解答本题的关键． （1）分别设出函数解析式，利用待定系数法进行求解即可； （2）设每件的销售利润为y元，根据，根据二次函数性质即可求出最大值． 【详解】（1）解：7月份该产品的销售单价最高，为10元/件， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， ； 设的解析式为， 将点，代入解析式， 得：，解得：， 则的解析式为； 设的解析式为， 将点，代入解析式， 得：，解得：， 则的解析式为； （2）设每件的销售利润为y元， 当时， ， 且x取整数， ∴当时，y的值最大，最大利润为， 答：5月份这种产品每件的销售利润最大，最大利润4元． 一十二．投球问题（共3小题） 39．（2024·安徽合肥·模拟预测）体育课上，同学们在老师的带领下，设计了一种抛小球入箱的游戏．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，小球从点P处抛出，小球的运动轨迹为抛物线L：．无盖木箱的截面图为矩形，其中，，且在x轴上，．已知当小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为． (1)求抛物线L的表达式． (2)请通过计算说明该同学抛出的小球能否投入箱内． (3)若该小球投入箱内后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且最大高度可达，则该小球能否弹出箱子？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，计算见解析 (3)能，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意得点，点，令，求出，，再根据判断即可； （3）令，则，求出抛物线L与x正半轴交于点，设抛物线M的解析式为，再将代入抛物线M的解析式，进而求出抛物线M的解析式，令，计算出y值与0.5进行比较即可． 【详解】（1）解：∵小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为 ∴， 即 ∵小球从点P处抛出， ∴将点代入抛物线解析式，得 解得： ∴ （2）∵，， ∴点，点 令，则 解得， ∵ ∴该同学抛出的小球能投入箱内． （3）该小球能弹出箱子，理由如下： 令，则 解得， ∴抛物线L与x正半轴交于点 设抛物线M的解析式为： ∴将代入抛物线M的解析式，得 解得， ∵该小球投入箱内后立即向右上方弹起 ∴ ∴抛物线M的解析式为： 令，则 ∵ ∴该小球能弹出箱子． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数图象的平移等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题． 40．（2024·安徽安庆·三模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），王同学站在原点，将乒乓球从1.5米的高度P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离王同学1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明； (3)若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹起，沿与原抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时乒乓球的最大高度达到原最大高度的一半，请判断乒乓球是否弹出箱子，并说明理由． 【答案】(1) (2)能，见解析 (3)乒乓球不能弹出箱子，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可； （3）依题意，设乒乓球弹出后的抛物线解析式为，利用待定系数法求得值，并求得当时，的值，即可判断． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为，即 （2）解：能，理由如下： 当时，， 当时，， 解得（舍去），， ∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处， ∴王同学抛出的乒乓球能投入箱子； （3）解：乒乓球不能弹出箱子．理由如下： 依题意，设乒乓球弹出后的抛物线解析式为， ∵抛物线的图象经过点， ∴， 解得（舍去），， ∴弹出后抛物线解析式为， 当时，， ∴乒乓球不能弹出箱子． 41．（2024·安徽合肥·一模）在行知学校第二届趣味篮球赛活动中，某班一位身高女同学参加定点投篮比赛（如图①）．为了获得更好的成绩，同学们对这位选手的训练数据进行了收集和分析：篮球运行的路线是一条抛物线，不起跳投掷时，球在该选手头顶上方处投出，在距离该选手时达到最大高度.    (1)如图②，以该选手投球站立点为原点、身体竖直向上方向为轴正半轴建立平面直角坐标系，求出篮球运行高度与运行水平距离之间的函数关系式； (2)已知比赛时篮圈中心到地面的高度为，为保证篮球准确投入篮圈内，该选手在训练时应如何调整自己的起跳高度？ 【答案】(1)； (2)选手在训练时应增加起跳高度 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用， （1）由待定系数法即可求解； （2）设起跳增加，则新抛物线的表达式为：，将代入上式即可求解． 数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，顶点的坐标为：， 则函数的表达式为：， ， 将代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）设起跳增加， 则新抛物线的表达式为：， 将代入上式得：， 解得：， 故选手在训练时应增加起跳高度． 一十三．喷水问题（共1小题） 42．（2024·安徽宿州·一模）如图1，某洒水车的喷水口距地面．如图2，已知喷水口喷出最远的水柱是抛物线：，轴是地面，位于轴上，则点，抛物线与轴交于点．（注：抛物线水柱的宽度忽略） (1)求该洒水车喷水能达到的最远距离的长； (2)如图3，将抛物线向左平移使其经过点，此时抛物线是该洒水车喷出的最近水柱，抛物线交轴于点． （ⅰ）求的长； （ⅱ）如图4，已知一条隔离绿化带的横截面是矩形，，，设洒水车到绿化带的距离，若该洒水车在行驶过程中能浇到完整的这条隔离绿化带，求d的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）根据抛物线过点，可得a的值，令，解方程从而解决问题； （2）（ⅰ）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得的长度； （ⅱ）根据，，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值和最小值，从而得出答案； 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 令，则， 解得或（舍去）， ∴洒水车喷出水的最大射程为； （2）（ⅰ）对称轴为直线， ∴点对称点为， ∵平移后仍过点， 是由向左平移得到的， ，点C是由点B向左平移得到的， ∴点C的坐标为，即， ； （ⅱ）， ∴点F的纵坐标为1， ， 解得或（舍去） ， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使， 则， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为 ∵下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是， 的取值范围为． 【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． 一十四．角度问题（共2小题） 43．（2024·安徽蚌埠·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)点P是第三象限抛物线上的点，过点P作，求的最大值及此时点P的坐标； (3)抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)有最大值，最大值为．点P的坐标为 (3)存在， 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的函数表达式，再求出，根据待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）过点P作轴，交x轴于点E，交于点F．设点，得出，，表示出，在中，求出，在中，表示出，从而表示出，，根据二次函数最值求法即可求出有最大值时，点P的坐标． （3）过点A作交的延长线于点G，取的中点H，连接．求出，根据，，得出点O，A，G，C在上，再根据，得出点G在直线上，设，证出是等腰直角三角形，根据直角三角形性质得出，再根据勾股定理列方程解出，求出直线的函数表达式，即可求解； 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线中， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 当时，， ∴， 设直线的函数表达式为，代入点和点， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）过点P作轴，交x轴于点E，交于点F． 设点， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 此时点P的坐标为． （3）存在．过点A作交的延长线于点G，取的中点H，连接． ∵H是的中点， ∴， ∵，， ∴点O，G在以为直径的圆上， ∴点O，A，G，C在上， ∵， ∴， ∴点G在直线上， ∴设， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 代入点和， 得， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的平移，二次函数与线段综合，二次函数与特殊的角度综合，解直角三角形，圆相关知识点，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质并数形结合是解题的关键． 44．（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，已知点P是位于上方的抛物线上的一点，作，垂足为M，求线段长度的最大值； (3)如图2，已知点Q是第四象限抛物线上一点，，求点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)的最大值为； (3)点Q的坐标为． 【分析】（1）将点代入，求得，即可得解； （2）求得点和的坐标，推出，作轴于点，交于点，得到是等腰直角三角形，，设，求得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （3）作交于点，作轴于点，求得，证明，利用正切函数的定义求得，证明是等腰直角三角形，求得，再求得直线的解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，； 当时，， 解得或； ∴，， ∴， ∴， 作轴于点，交于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴有最大值，最大值为； （3）解：作交于点，作轴于点， ∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理直线的解析式为， 联立得， 解得或； 当时，， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线是解题的关键． 一十五．特殊三角形问题（共3小题） 45．（2024·安徽亳州·三模）已知，抛物线经过点，其顶点为． (1)求点的坐标（用表示）； (2)若该抛物线与轴的交点为，如图． ①当的面积为时，求的值； ②当为直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，特殊三角形问题； （1）将点代入解析式得出，进而化为顶点式，即可求解； （2）①根据解析式，得出抛物线与轴的交点的坐标为，过点作平行于轴的直线交轴于点，交于点，过点作于点，根据建立方程，即可求解． ②由①得点的坐标为，点的坐标为．勾股定理分别求得，根据为直角三角形，分类讨论，利用勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， ， ， 顶点的坐标为． （2）①当时，， 抛物线与轴的交点的坐标为． 如图所示，过点作平行于轴的直线交轴于点，交于点，过点作于点， 设直线的表达式为， 把，代入 得， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为， ， ， 解得； ②由①得点的坐标为，点的坐标为． ， ，， 为直角三角形， 分以下几种情况： 当时，， ， 整理得， 解得或（舍去）， 点的坐标为； 当时，， ， 整理得， 解得或（舍去）， 点的坐标为； 当时，， ， 整理得，此方程无实数解； 综上，点的坐标为或． 46．（2024·安徽阜阳·二模）如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)连接，点D是线段上一动点（不与A、C两点重合），过点D作轴交抛物线于点E． ①当线段DE的长度最大时，求此时D点的坐标； ②在①的条件下，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点F，使得以点D、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，点F的坐标为或或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求得线段的解析式，设、，求得，利用二次函数的性质求解即可； ②求得抛物线的对称轴，，以及的长，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：将、代入得， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：①令，则，∴， 设直线的解析式为，将代入得， 解得， ∴线段的解析式为， 设、，则， ∵， ∴当时，最大，此时； ②存在． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴， 设点； 当时，，此时点F的坐标为； 当，即时， ，整理得， 解得，此时点F的坐标为或； 当，即时， ，整理得， 解得，此时点F的坐标为或； 综上，点F的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，考查了二次函数的图象与性质、等腰三角形的性质、用待定系数法求函数解析式，解最后一小题时要注意分类讨论，求出所有符合条件的点P的坐标． 47．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于，两点，与轴交于点 ， 为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，点， 在抛物线上，点 在点 左侧，若 是等边三角形，求 的值． (3)如图2，在线段 上是否存在一点，使得以，， 为顶点的三角形与 相似若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数综合运用，特殊三角形问题，相似三角形的性质； （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意可得关于直线对称，，过点作于点，根据等边三角形的性质，进而列出方程，解方程，即可求解； （3）先求得，得出，进而分两种情况讨论，分别求得直线的解析式，进而联立的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x 轴交于，两点， ∴ 解得： ∴ （2）解：∵ ∴对称轴为直线， ∵点， 在抛物线上，点 在点 左侧， ∴关于直线对称， 如图所示，过点作于点， ∵ 是等边三角形，则 ∴ ∴， 解得：（舍去）或 （3）∵，当时，，则 如图所示，过点作轴于点，过点作于点， ∵，，，， ∴，，，，, ∵， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为 将，，代入 解得： ∴直线的解析式为 ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴以，， 为顶点的三角形与 相似有两种情况， ①当时， 此时为第二四象限平分线，即， ∴ 解得： ∴ ②当时， ∴ ∴ ∵，， 设直线的解析式为 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 联立 解得： ∴ 综上所述，或． 一十六．特殊四边形问题（共3小题） 48．（2024·安徽阜阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点，直线交y轴于点C，点E为直线上方抛物线上的一动点，过点E作轴，垂足为G，分别交直线于点F，H． (1)求点A，B的坐标； (2)当时，连接，求的面积； (3)若点Q是y轴上的一点，当四边形是矩形时，求出点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)2 (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式、二次函数的性质、矩形的判定和性质，锐角三角函等知识点，学会利用三角函数的关系设参数构建方程解决问题是解题的关键． （1）把代入抛物线中可得，然后令，再求解方程即可； （2）先求出直线的解析式为，然后由，则，从而得出，得出，，最后根据三角形面积公式即可解答； （3）根据矩形的性质，再结合可得，由正切的定义可得，设则，，由列方程可得n的值，从而得点Q的坐标． 【详解】（1）解：把代入抛物线中得：，解得， ∴该抛物线的解析式为． 令，得，解得，， ∴，． （2）解：设直线的解析式为． 把，代入，得解得 ∴直线AD的解析式为． 设，则， ∴． 由，得，解得， ∴，， ∴， ∴的面积为． （3）如图．∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴． ∵直线AC的解析式为， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 设则，， ∴． ∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为． 49．（2024·安徽淮北·三模）如图1，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点P为对称轴l上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)如图2，点Q为抛物线上一点，若以O，P，B，Q四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为，， 【分析】（1）把，代入，再建立方程组解题即可； （2）由抛物线的对称轴为直线，故点的横坐标为1，设，再利用勾股定理可得，再解方程即可； （3）分三种情况讨论：当，为对角线时，当，为对角线时， 当，为对角线时，再利用中点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入， ， 解得：， ． （2）解：抛物线的对称轴为直线，故点的横坐标为1，设， 则 解得， ∴P点的坐标为或 （3）解：设的横坐标为，则的坐标为 当，为对角线时，，解得， ∴； ∴， 当，为对角线时，，解得， ∴； ∴ 当，为对角线时，，解得， ∴； ∴ 点的坐标为，，． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 50．（2024·安徽宿州·一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，以为顶点的抛物线与直线相交于，两点． (1)求该抛物线和直线的函数表达式； (2)点位于直线下方的抛物线上，轴，交直线于点，求线段的最大值； (3)若点，分别是该抛物线和线段上的动点，设线段与轴交于点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标． 【答案】(1)， (2)1 (3) 【分析】 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数中线段问题、平行四边形问题等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用． （1）根据题意，设抛物线的解析式为，直线的解析式为，结合，的坐标利用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，，则，用表示出，利用二次函数的性质即可求解； （3）由一次函数解析式求得，设，，，且，分三种情况：①当，是平行四边形的对角线时，②当，是平行四边形的对角线时，③当，是平行四边形的对角线时，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为坐标原点， 设抛物线的解析式为，将代入，可得：， ∴抛物线的解析式为：， 设直线的解析式为，将，代入，可得： ，解得：， ∴直线的解析式为：； （2）∵点位于直线下方的抛物线上，轴，交直线于点， 设，，则， ∴， 则，当时，取最大值，最大值为1； （3）对于，当时，，则， 由点，分别是该抛物线和线段上的动点，设，，，且， ①当，是平行四边形的对角线时，由中点坐标可得，即：，解得， ②当，是平行四边形的对角线时，由中点坐标可得，即：，解得（不符合题意，舍去）， ③当，是平行四边形的对角线时，由中点坐标可得，即：，解得（不符合题意，舍去）， 综上，以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，点的横坐标为． 一十七．相似三角形问题（共2小题） 51．（2024·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点和． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)如图，设该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），其顶点为C，对称轴为l，l与x轴交于点D． ①求证：是直角三角形； ②在l上是否存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为： (2)①见详解 ②存在，点P坐标为或或或 【分析】 （1）运用待定系数法解方程组即可； （2）①利用勾股定理的逆定理证明垂直； ②分两种情况：当以及，列出比例式，求出长，再求点P坐标． 【详解】（1）（1）抛物线经过点和， 解得 抛物线的函数表达式为； （2）（2）①时，，整理得，解得或， 点A在点左侧， 点A坐标为，点坐标为． 点C坐标为， ，，， ， 是直角三角形，且；     ②存在以A，D，P为顶点的三角形与相似． 分两种情况： i）当时，， ，解得， 此时点坐标为或； ii）当时，， ，解得， 此时点P坐标为或； 综上，点P坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理。解答本题注意分类讨论的思想以及数形结合的思想的应用． 52．（2024·安徽合肥·三模）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)求CP+PQ+QB的最小值； (3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标． 【答案】(1)A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，4) (2)6 (3)(，)或(，)或(，) 【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）； （2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，可知四边形CC'QP是平行四边形，及得CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，而B，Q，C'共线，故此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，由勾股定理可得BC'＝5，即得CP+PQ+BQ最小值为6； （3）由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则Q（，t+1），M（0，t+1），N（，0），知BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，①当＝时，＝，可解得Q（，）或（，）；②当＝时，＝，得Q（，）． 【详解】（1）解：在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4， ∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）． （2）将C（0，4）向下平移至，使，连接交抛物线的对称轴l于Q，如图所示： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵B，Q，共线， ∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为的值， ∵C（0，4），， ∴， ∵B（4，0）， ∴＝＝5， ∴， ∴CP+PQ+BQ最小值为6． （3）如图： 由y＝﹣x2+3x+4得，抛物线对称轴为直线， 设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0）， ∵B（4，0），C（0，4）； ∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|， ∵∠CMP＝∠QNB＝90°， ∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝， ①当＝时，＝， 解得t＝或t＝， ∴Q（，）或（，）； ②当＝时，＝， 解得t＝或t＝（舍去）， ∴Q（，）， 综上所述，Q的坐标是(，)或(，)或(，)． 【点睛】本题主要考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，线段和的最小值，相似三角形的性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 一十八．二次函数综合（共3小题） 53．（2024·安徽合肥·二模）已知：抛物线的图象与轴交于交轴于点点为抛物线上一动点，其横坐标为 (1)求抛物线的解析式； (2)将点向右平移2个单位得到点若点也在抛物线上，求的值； (3)当点到轴的距离不大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入中，计算即可； （2）根据题意得出，的横坐标为，纵坐标与的纵坐标相同，代入求解即可； （3）根据题意得出，，得到，分别求解即可； 本题主要考查二次函数的综合运用，采用数形结合的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：将代入中， ， 解得：， ； （2）解：的横生标为， 点向右平移2个单位得到点 的横坐标为，纵坐标与的纵坐标相同， ， 整理： ， ； （3）解：点到轴的距离不大于， ， ， 令， ， ， ， 令， ， ， ， ， 综上所述：． 54．（2024·安徽宿州·三模）如图1，抛物线与轴交于点与点，点位于点的左侧，与轴交于点，． (1)求，的值； (2)点是第一象限内且位于该抛物线上一点． （i）如图2，连接与交于点，连接．若点与点关于抛物线的对称轴对称，求点的坐标； （ii）如图3，点是第四象限且位于该抛物线上一点，与分别与轴交于点和点．若，则直线恒经过一点，求该点的坐标． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）待定系数法求出，的值即可； （2）（i）对称求出点坐标，求出直线的解析式，联立后，求出点的解析式即可； （ii）设，求出的解析式，进而求出的坐标，利用，推出，求出的解析式，根据定点的坐标与的值无关，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把代入，得： ，解得：； （2）（i）由（1）知， ∴， ∴对称轴为直线， 当时，，解得：， ∴， ∵关于直线的对称点为， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴， 同法可得，直线的解析式为， 联立，解得：， ∴； （ii）设， ∵， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴， 同法可得：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴ ， ， ∴当时，， ∴直线过定点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，对称性求对称点的坐标，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键，注意计算的准确性． 55．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求直线的解析式及抛物线的解析式； (2)如图，点为第一象限抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，求当点的横坐标为多少时，最大； (3)如图，将抛物线向左平移得到抛物线，直线与抛物线交于、两点，若点是线段的中点，求抛物线的解析式． 【答案】(1)，； (2)点的横坐标为时，有最大值； (3)． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）设点的横坐标为，则，，，先证明为等腰直角三角形，得到，进而得到，根据二次函数的性质即可求解； （）设平移后抛物线的解析式，联立函数解析式得，整理得，，设，，则，是方程的两根，由为的中点可得，求出即可求解； 本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 设直线的解析式为，把代入得， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：设点的横坐标为，则，，， ，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 轴， 为等腰直角三角形， ， ∴， 当时，有最大值， 即点的横坐标为时，有最大值； （3）解：由（）可知，直线的解析式为， 抛物线为：， 设平移后抛物线的解析式， 联立函数解析式得，， ， 整理得，， 设，，则，是方程的两根， ， ∵为的中点， ∴， ∴， 解得， 抛物线的解析式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$