第03讲 拓展一 函数的概念与性质中的新定义题-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版2019必修第一册）

第03讲 拓展一 函数的概念与性质中的新定义题 目录 新定义题之小题 1 新定义题之解答题 3 新定义题之小题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，其中，则关于函数的叙述中正确的是（    ）． A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．的值域是 2．（23-24高二下·浙江·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，若函数的图象关于点成中心对称图形，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北荆州·三模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．我们记一个正整数经过次上述运算法则后首次得到1（若经过有限次上述运算法则均无法得到1，则记），以下说法正确的是（    ） A．可看作一个定义域和值域均为的函数 B．在其定义域上不单调，有最小值，有最大值 C．对任意正整数，都有 D． 4．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）高斯函数是用德国著名的数学家高斯的名字命名的，即设，用表示不超过的最大整数，例如，．已知函数，有下列四个结论：①；②在上单调递增；③的最小值为0；④没有最大值，其中所有正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①② 5．（23-24高一上·江西新余·期末）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·上海·期末）已知非空集合，满足：，.已知函数，对于下列两个命题：①存在无穷多非空集合对，使得方程无解；②存在唯一的非空集合对，使得为偶函数. 下列数断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都正确 D．①、②都错误 7．（23-24高一上·上海·期末）已知定义在上的函数，对于给定集合A，若对任意，当时都有，则称是“A封闭”函数．已知给定两个命题： ：若是“封闭”函数，则是“封闭”函数． ：若是“封闭”函数，则在区间上严格减． 则下列正确的判断为（    ） A．是真命题，是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是假命题 8．（23-24高一下·上海·开学考试）给定集合和定义域为的函数，如果对于任意、及均成立，则称函数是“关联”的.对于下列两个命题： ①若是“关联”的，则一定是“关联”的（为正整数）； ②若是“关联”的（、为正整数），则一定是“关联”的.判断正确的是（    ） A．①、②都是真命题 B．①、②都是假命题 C．①真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 新定义题之解答题 1．（23-24高一上·云南丽江·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：“，都有”，则称这个函数是点的“界函数”. (1)试判断是否是点的界函数？是否是点的界函数？ (2)若点在函数上，是否存在实数，使得函数是点的界函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 2．（23-24高二下·福建福州·期末）设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“Ω区间”.性质1：对任意，均有；性质2：对任意，均有. (1)分别判断说明区间是否为下列两函数的“Ω区间”； ； . (2)若是函数的“Ω区间”，求的取值范围. 3．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”. (1)求证：是函数的一个“优美区间”； (2)求证：函数不存在“优美区间”； (3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值. 4．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）如果对于函数的定义域内任意的，都有成立，那么就称函数是定义域上的“平缓函数”． (1)判断函数是否是“平缓函数”； (2)若函数是闭区间上的“平缓函数”，且，证明：对于任意的，都有成立. 5．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. (1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； (2)若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有. 6．（23-24高一上·广东珠海·期中）设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称在区间上具有性质. 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有. (1)分别判断下列两函数在区间是否具有性质； ①；②； (2)若函数在区间（）具有性质，求的取值范围 7．（23-24高一上·湖北孝感·期中）“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 拓展一 函数的概念与性质中的新定义题 目录 新定义题之小题 1 新定义题之解答题 7 新定义题之小题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，其中，则关于函数的叙述中正确的是（    ）． A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．的值域是 【答案】A 【分析】根据奇偶性的定义直接判断各选项. 【详解】因为， 所以， 所以为偶函数，B选项错误； ， 所以为偶函数，A选项正确，C选项错误； 又因为，所以， 所以值域不可能负数，D选项错误； 故选：A. 2．（23-24高二下·浙江·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，若函数的图象关于点成中心对称图形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为图象的对称中心，为奇函数，利用为奇函数，则，即可得出结果. 【详解】因为函数图象的对称中心为， 则 ， 因为为奇函数，所以， 即 ， 所以得， 解得，. 故选：B 3．（2024·湖北荆州·三模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．我们记一个正整数经过次上述运算法则后首次得到1（若经过有限次上述运算法则均无法得到1，则记），以下说法正确的是（    ） A．可看作一个定义域和值域均为的函数 B．在其定义域上不单调，有最小值，有最大值 C．对任意正整数，都有 D． 【答案】C 【分析】对于A：直接确定定义域判断；对于B：由经过有限次角谷运算均无法得到1，记来排除；对于C：通过和的关系计算判断；对于D：列举来判断. 【详解】对于A：依题意，的定义域是大于1的正整数集，A错误； 对于B：由，得在其定义域上不单调， 而，，则有最小值1， 由经过有限次角谷运算均无法得到1，记，得无最大值，B错误； 对于C：对任意正整数，，而， 因此，C正确； 对于D：由，知不正确，D错误. 故选：C. 4．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）高斯函数是用德国著名的数学家高斯的名字命名的，即设，用表示不超过的最大整数，例如，．已知函数，有下列四个结论：①；②在上单调递增；③的最小值为0；④没有最大值，其中所有正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①② 【答案】B 【分析】根据所给定义计算出，，即可判断①②，分段分别化简函数解析式，再确定相应的函数值的取值范围，画出函数图象（部分），即可判断③④. 【详解】因为， 所以，，所以，故①正确； 因为，所以在上不可能单调递增，故②错误； 当时，所以， 当时，所以，所以，所以； 当时，所以，所以，所以； 当时，所以，所以，所以； ，所以当时； 所以的图象（部分）如下所示： 由图可知有最小值且最小值为，无最大值，故③、④正确. 故选：B 5．（23-24高一上·江西新余·期末）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把问题转化为一元二次方程在给定的区间上有解，求参数的取值范围. 【详解】设为奇函数，且当时，，则时，. 则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题. 由在有解得： . 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据“隐对称点”的概念，把函数位于轴左侧的图象关于原点对称后，必与函数位于轴右侧的图象有公共点，从而转化为二次函数在给定区间上有零点的问题解决是该问题的关键.属于中档题. 6．（23-24高一上·上海·期末）已知非空集合，满足：，.已知函数，对于下列两个命题：①存在无穷多非空集合对，使得方程无解；②存在唯一的非空集合对，使得为偶函数. 下列数断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都正确 D．①、②都错误 【答案】A 【分析】分别求出与的解，即可判断无解的条件，从而判断①，即可得解；在同一平面直角坐标系画出与的图象，结合函数图象即可判断②； 【详解】令，解得，令，解得， 因为，，， 所以当，时满足无解， 故存在无穷多非空集合对，使得方程无解，故①正确； 在同一平面直角坐标系画出与的图象如下所示：    由，解得， 由函数图象可知当， 或等时， 都为偶函数，故②错误； 故选：A 7．（23-24高一上·上海·期末）已知定义在上的函数，对于给定集合A，若对任意，当时都有，则称是“A封闭”函数．已知给定两个命题： ：若是“封闭”函数，则是“封闭”函数． ：若是“封闭”函数，则在区间上严格减． 则下列正确的判断为（    ） A．是真命题，是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是假命题 【答案】C 【分析】通过定义进行证明若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数，命题为真命题，再举出反例得到命题为假命题. 【详解】命题：若是“封闭”函数，即对，都有， 对于集合，任意的，使得，则， 而， 所以，故一定是“封闭”函数， 当时，命题正确； 命题：不妨设，，当时， ， 此时是“封闭”函数，但为单调递增区间，命题是假命题. 故选：C 8．（23-24高一下·上海·开学考试）给定集合和定义域为的函数，如果对于任意、及均成立，则称函数是“关联”的.对于下列两个命题： ①若是“关联”的，则一定是“关联”的（为正整数）； ②若是“关联”的（、为正整数），则一定是“关联”的.判断正确的是（    ） A．①、②都是真命题 B．①、②都是假命题 C．①真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【分析】根据定义可得都有，利用递推关系可证都有，可证命题①；对于命题②，将看成自变量每次增量为，共增了次，也可以看成自变量每次增量为，共增了次，从两方面计算，即可证明. 【详解】对命题①：对于集合使，则，而是“封闭”函数，则，即都有， 对于集合使，则， 而 所以 即，故一定是“封闭”函数，所以①是真命题； 对命题②：对于任意，我们估计的范围.一方面，考虑自变量每次增量为，共增了次，则；另一方面，考虑自变量每次增量为，共增了次，则.由此可得，即，即一定是“关联”的，所以②为真命题. 故选：A 新定义题之解答题 1．（23-24高一上·云南丽江·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：“，都有”，则称这个函数是点的“界函数”. (1)试判断是否是点的界函数？是否是点的界函数？ (2)若点在函数上，是否存在实数，使得函数是点的界函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)是，不是 (2)存在， 【分析】（1）根据点的“界函数”的定义分析判断即可； （2）由题意得，则，都有，然后分，，和求解函数的值域，再结合求解实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，所以是点的界函数； 因为，，所以， 所以不是点的界函数； （2）因为在函数上，所以， 所以，都有. 当，即时，在上单调递减， 所以， 所以，得，解得或（舍去）； 当，即时，， 所以，无解； 当，即时，， 所以，无解； 当，即时，在上单调递增， 所以，所以，得，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 2．（23-24高二下·福建福州·期末）设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“Ω区间”.性质1：对任意，均有；性质2：对任意，均有. (1)分别判断说明区间是否为下列两函数的“Ω区间”； ； . (2)若是函数的“Ω区间”，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用给定定义逐步检验即可. （2）利用给定定义结合对参数分类讨论，求解即可. 【详解】（1）对于，由一次函数性质得它在上单调递减， 所以当时，，故区间是的“Ω区间”， 对于，由反比例函数性质得它在上单调递减， 所以当时，，此时不满足， 也不满足，故区间不是的“Ω区间”， （2）若是函数的“Ω区间”， 而，不满足性质2，必然满足性质1， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 且， 即，所以， 满足，符合题意， 当时，在上单调递减， 所以，而，符合题意， 当时，在上单调递减， ，所以，不符合题意， 综上可得的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是利用给定定义，然后对参数进行分类讨论，得到所要求的取值范围即可． 3．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”. (1)求证：是函数的一个“优美区间”； (2)求证：函数不存在“优美区间”； (3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据优美区间的定义来证明即可； （2）假设函数存在“优美区间”，结合已知导出矛盾即可得证； （3）原题条件等价于是方程（*）的两个同号且不等的实数根，结合判别式可得的范围，结合韦达定理可用表示，进一步即可求解. 【详解】（1）在区间上单调递增，又， 当时，， 根据“优美区间”的定义，是的一个“优美区间”； （2），设，可设或， 则函数在上单调递增. 若是的“优美区间”，则是方程的两个同号且不等的实数根. 方程无解. 函数不存在“优美区间”. （3），设. 有“优美区间”， 或， 在上单调递增. 若是函数的“优美区间”，则， 是方程，即（*）的两个同号且不等的实数根. ， 或， 由（*）式得. ， 或， 当时，取得最大值. . 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得出的范围以及关于的表达式，由此即可顺利得解. 4．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）如果对于函数的定义域内任意的，都有成立，那么就称函数是定义域上的“平缓函数”． (1)判断函数是否是“平缓函数”； (2)若函数是闭区间上的“平缓函数”，且，证明：对于任意的，都有成立. 【答案】(1)是“平缓函数” (2)证明见解析 【分析】（1）根据“平缓函数”的定义结合所给函数分析判断即可； （2）当时，结论成立，当时，不妨设，结合，可得，再利用绝对值不等式的性质可证得结论. 【详解】（1）对于任意的，有，即， 从而， 所以函数是“平缓函数”． （2）当时，由已知，得； 当时，因为， 不妨设，所以， 因为， 所以 所以对任意的，都有成立． 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，解题的关键是对“平缓函数”的定义的正确理解，考查理解能力和转化思想，属于较难题. 5．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. (1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； (2)若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有. 【答案】(1)函数是函数在上的“L函数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“L函数”定义判断即可； （2）根据数是函数在上的“L函数”得到对任意的恒成立，据此计算的取值范围即可； （3）对分和两种情况，根据“L函数”定义证明即可. 【详解】（1）对任意的，且， . 显然有， 所以函数是函数在上的“L函数”； （2）因为函数是函数在上的“L函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 化简得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即，解得； （3）对于，不妨设， （i）当时， 因为函数是函数在上的“L函数”， 所以. 此时成立； （ii）当时，由得， 因为，函数是函数在上的“函数， 所以 ， 此时也成立， 综上，恒成立. 【点睛】关键点睛：本题关键在于对“L函数”定义的正确理解，据此计算即可. 6．（23-24高一上·广东珠海·期中）设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称在区间上具有性质. 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有. (1)分别判断下列两函数在区间是否具有性质； ①；②； (2)若函数在区间（）具有性质，求的取值范围 【答案】(1)①具有性质，②不具有性质； (2). 【分析】（1）记当时，的值域为M，则性质1；性质2.然后求出①的值域，根据集合包含关系即可判断；注意当时，②的函数值不存在即可判断； （2）分，和分别求出函数值域，根据集合关系讨论即可. 【详解】（1）记当时，的值域为M， 则性质1；性质2    . 对于①，当时，，即， 所以，，即函数满足性质1，具有T性质. 对于②，因为当时，函数值不存在，故函数不具有T性质. （2）由二次函数性质知，函数在上单调递增， 在上单调递减， 当时，的值域为，显然不满足性质2， 故，要使具有T性质，则， 所以，解得（舍去）或（舍去）； 当时，， 所以的值域为，满足，即满足性质1，具有T性质； 当时，的值域为， 因为，所以不是的子集， 且， 所以，此时不具有T性质. 综上，若函数在区间具有性质，则的取值范围为. 7．（23-24高一上·湖北孝感·期中）“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）由函数的图像关于点对称，可得； （2）（ⅰ）证明即可；（ⅱ）由在的值域为，设在上的值域为A，问题转化为，先求解，分类讨论轴与区间的关系，研究二次函数的值域即可. 【详解】（1）因为函数的图像关于点对称， 则， 令，可得． （2）（ⅰ）证明：由， 得， 所以函数的图像关于对称． （ⅱ）， 则在上单调递增， 所以的值域为， 设在上的值域为A， 对任意，总存在，使得成立， 则， 当时，， 函数图象开口向上，对称轴为，且， 当，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，， 所以， 所以，由，可得，解得． 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可得或， 因为，所以，， 又，， 所以，， 所以当时，成立． 当，即时，函数在上单调递减， 由对称性可知在上单调递减，因为，， 所以，所以，由， 可得，解得． 综上所述，实数a的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$