第02讲 3.2函数的基本性质+3.3幂函数(15大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版2019必修第一册）

第02讲 3.2函数的基本性质+3.3幂函数 目录 题型一：重点考查定义法证明函数的单调性 2 题型二：重点考查求函数的单调区间 3 题型三：重点考查利用函数的单调性求参数 3 题型四：重点考查利用函数的单调性求值域或最值 4 题型五：重点考查根据函数的最值求参数 5 题型六：重点考查根据图象判断函数的单调性 6 题型七：重点考查利用函数的单调性解不等式 9 题型八：重点考查分段函数的值域或最值 10 题型九：重点考查函数不等式恒成立（能成立）问题 11 题型十：重点考查函数奇偶性的判断 12 题型十一：重点考查根据函数奇偶性求解析式 13 题型十二：重点考查由奇偶性求参数 14 题型十三：重点考查由奇偶性解不等式 15 题型十四：重点考查奇偶函数对称性的应用 16 题型十五：重点考查幂函数 17 题型一：重点考查定义法证明函数的单调性 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·课后作业）判断并证明函数在区间上的单调性. 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）证明： (1)函数在区间上是严格减函数； (2)函数，是严格增函数． 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：函数在上是严格减函数． 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）用定义证明；函数在区间上是严格减函数. 题型二：重点考查求函数的单调区间 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 例题2．（24-25高一上·上海·单元测试）函数的单调增区间是 ． 例题3．（23-24高一上·天津宝坻·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间为 . 精练核心考点 1．（23-24高一上·湖北十堰·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ． 3．（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）函数的单调递减区间为 .      题型三：重点考查利用函数的单调性求参数 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（    ） A．2 B．7 C．14 D．20 例题2．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数的单调递减区间为，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 精练核心考点 1．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）已知函数，在上单调递增，则实数的可能取值为（    ） A． B． C．0 D．3 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上为严格增函数，则实数的取值范围是 ． 题型四：重点考查利用函数的单调性求值域或最值 典型例题 例题1．（23-24高二下·吉林白城·期末）在上的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 例题2．（23-24高一上·湖北·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一上·山东聊城·期中）对于任意实数a，b，定义设函数，，则函数的最小值为 ． 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的最小值为（    ） A．0.4 B． C．2 D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在区间上的最大值和最小值分别是 ． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的最大值是 ． 题型五：重点考查根据函数的最值求参数 典型例题 例题1．（23-24高一上·河南郑州·期中）若函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数a的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0 例题2．（23-24高一上·福建福州·期中）设，若是的最小值，则a的取值范围是 ． 例题3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上有最大值3，求实数的值. 精练核心考点 1．（23-24高一上·贵州遵义·期中）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若函数的最小值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南玉溪·阶段练习）已知函数. (1)判断函数在的单调性，并用定义证明. (2)若时函数的最大值与最小值的差为，求的值. 题型六：重点考查根据图象判断函数的单调性 典型例题 例题1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）设函数．    (1)将函数写成分段函数的形式并画出其图象； (2)写出函数的单调区间和值域． 例题3．（23-24高一上·北京怀柔·期中）设函数.    (1)求的值； (2)若，求实数的值． (3)在给定的坐标系中，作出函数的图象并写出单调区间； 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的单调严格增区间为 ． 2．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知为二次函数，且满足：对称轴为.    (1)求函数的解析式，并求图象的顶点坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并直接写出函数的单调增区间. 3．（23-24高一上·安徽滁州·期中）已知函数 (1)求，的值; (2)在给定的坐标系中，画出的图象无需列表 (3)根据（2）中的图象，写出的单调区间和值域. 题型七：重点考查利用函数的单调性解不等式 典型例题 例题1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）是定义在上的递减函数，，则x取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·陕西安康·期中）函数在区间上是减函数，且，则的取值范围为 . 例题3．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求不等式的解集. 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则的取值范围是 ． 2．（23-24高一上·全国·课后作业）设为实数，已知函数在定义域上是减函数，且，则的取值范围为 . 3．（23-24高一上·云南丽江·阶段练习）已知函数. (1)用定义证明：在上是增函数； (2)若，求的取值范围 题型八：重点考查分段函数的值域或最值 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·单元测试）对，记，函数 ，其的最小值是 ． 例题2．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）用表示，两个实数中的最大值．设，则函数的最小值是 例题3．（23-24高一上·福建厦门·期中）设函数． (1)画出函数的图象； (2)写出函数的单调递增区间； (3)求在区间上的最小值． 精练核心考点 1．（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为 ． 2．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知函数 (1)求，，的值; (2)，求a的值； (3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）. 3．（23-24高一上·云南保山·期中）给定函数． (1)在图①中画出函数的大致图象； (2)，用表示中的较小者，记为，求出的解析式，并将的图象画在图②中； (3)直接写出函数的值域． 题型九：重点考查函数不等式恒成立（能成立）问题 典型例题 例题1．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（20248高一·全国）若不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是 . 例题3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知二次函数. (1)若，求在上的值域； (2)若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围. 精练核心考点 1．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）若关于的不等式在区间上有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数若对，恒成立，则实数的取值范围为 . 3．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知当时，关于的不等式有解，则的最大值为 . 题型十：重点考查函数奇偶性的判断 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一上·广东湛江·期中）下列四个函数中，不具有奇偶性的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列函数的奇偶性，并说理． (1)； (2)； (3)； (4) 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的奇偶性为 ． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 题型十一：重点考查根据函数奇偶性求解析式 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数在R上的表达式为 ． 例题2．（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）函数是定义在上的单调递增的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)求满足的的范围； 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）设是定义在上的函数，时，，当为奇函数时，函数 ；当为偶函数时，函数的表达式是 ． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知定义在上的奇函数，当时，．写出函数在上的单调区间． 题型十二：重点考查由奇偶性求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知为奇函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D． 例题2．（23-24高一下·河南新乡·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 例题3．（23-24高一上·江西上饶·期末）若函数是上的偶函数，则的值为 . 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）若函数为奇函数，则（   ） A．0 B．1 C． D．1或 2．（2024高三·全国·专题练习）若f(x)＝ax2＋bx是定义在[b－1，2b]上的奇函数，则a＋b＝ . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数，是偶函数，求、的值． 题型十三：重点考查由奇偶性解不等式 典型例题 例题1．（23-24高二下·山东济宁·期末）已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·云南普洱·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例题3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若奇函数定义域为R，当时，，则是 函数（填写单调性）；不等式的解集是 ． 精练核心考点 1．（23-24高一下·云南昭通·期末）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河北沧州·期末）已知函数是定义在上的偶函数；且在上单调递增，若对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B．C． D． 3．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，．若，则的取值范围为 ． 题型十四：重点考查奇偶函数对称性的应用 典型例题 例题1．（23-24高一上·新疆喀什·期末）若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，若在区间[－2017，2017]上的最大值和最小值分别为M，m，则 . 精练核心考点 1．（23-24高一下·安徽合肥·期末）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 2．（23-24高一上·山东·期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则 . 题型十五：重点考查幂函数 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习） 是幂函数在上是增函数的充要条件. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则 . 例题3．（24-25高一上·上海·单元测试）函数是幂函数，则 ． 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 2．（23-24高二下·山东济宁·期末）已知函数为幂函数，且在区间上单调递减，则实数 . 3．（24-25高一上·全国·课后作业）幂函数图像关于轴对称，且在上是减函数，则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 3.2函数的基本性质+3.3幂函数 目录 题型一：重点考查定义法证明函数的单调性 1 题型二：重点考查求函数的单调区间 3 题型三：重点考查利用函数的单调性求参数 6 题型四：重点考查利用函数的单调性求值域或最值 9 题型五：重点考查根据函数的最值求参数 11 题型六：重点考查根据图象判断函数的单调性 14 题型七：重点考查利用函数的单调性解不等式 20 题型八：重点考查分段函数的值域或最值 22 题型九：重点考查函数不等式恒成立（能成立）问题 28 题型十：重点考查函数奇偶性的判断 32 题型十一：重点考查根据函数奇偶性求解析式 34 题型十二：重点考查由奇偶性求参数 36 题型十三：重点考查由奇偶性解不等式 38 题型十四：重点考查奇偶函数对称性的应用 41 题型十五：重点考查幂函数 43 题型一：重点考查定义法证明函数的单调性 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·课后作业）判断并证明函数在区间上的单调性. 【答案】函数在上是严格减函数，证明见解析 【分析】运用函数单调性定义，按照“任取，假设，作差，变形，定号，结论”步骤证明即可. 【详解】函数在上是严格减函数，证明如下： 任取且， 则 . 因为，所以且，， 所以，所以， 所以在上是严格减函数. 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）证明： (1)函数在区间上是严格减函数； (2)函数，是严格增函数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】定义法证明函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论 【详解】（1）任取，且， 则 ． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴函数在上是严格减函数． （2）任取， 则 ． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴函数在上是严格增函数． 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：函数在上是严格减函数． 【答案】证明见解析 【分析】利用函数单调性的定义证明即可. 【详解】设是区间上的任意给定的两个实数，且， 则． ∵，∴，，， ∴，即，所以， ∴函数在上是严格减函数． 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）用定义证明；函数在区间上是严格减函数. 【答案】证明见解析 【分析】令，证明即可. 【详解】令，， 则， 因为，所以， 所以， 所以， 所以函数在区间上是严格减函数. 题型二：重点考查求函数的单调区间 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 例题2．（24-25高一上·上海·单元测试）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的性质求解即可. 【详解】的对称轴为， 因为，所以的图象开口向上， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 例题3．（23-24高一上·天津宝坻·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间为 . 【答案】， 【分析】根据绝对值的符号分类讨论，利用二次函数的单调性判断即可. 【详解】当时，， 函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为； 当时，， 函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为. 综上，的单调递增区间为，. 故答案为：， 精练核心考点 1．（23-24高一上·湖北十堰·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，令，可知该函数在上单调递减，由单调性的性质即可得出答案. 【详解】解：由，解得, 所以函数的定义域为， 令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为， 该函数在上单调递减， 则函数的单调递增区间是. 故选：C. 2．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ． 【答案】和 【分析】化简函数，作出函数的大致图象，即可求解. 【详解】由函数， 作出函数的大致图象，如图所示， 可得函数的单调递增区间是和. 故答案为：和. 3．（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】作出的图像，根据图像即可求出结果. 【详解】由，得到或， 函数的图像如图所示， 由图知，函数的单调递减区间为， 故答案为：.      题型三：重点考查利用函数的单调性求参数 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（    ） A．2 B．7 C．14 D．20 【答案】AD 【分析】利用二次函数的性质求解. 【详解】的对称轴为， 因为函数在区间上单调， 所以或，解得或． 故选：AD 例题2．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数单调性，结合各区间函数的性质列不等式组求参数范围. 【详解】要使在上单调递增， 故在上递增，在上递增，且， 所以. 故选：C 例题3．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数的单调递减区间为，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，结合分段函数的性质即可讨论求解. 【详解】， 当时，即，此时在单调递增，在， 由于的单调递减区间为，则，得， 当时，即，此时在单调递增，在单调递减，这与的单调递减区间为矛盾，故不符合题意， 当时， ，此时在整个定义域上单调递增，故不符合题意， 综上可得， 故选：A 精练核心考点 1．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）已知函数，在上单调递增，则实数的可能取值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】ABC 【分析】由题意可知，分段函数每支都在对应的定义域上为增函数，且满足，据题意列出不等式即可求. 【详解】当时，若单调递增，则或，即， 当时，单调递增，则，即， 又函数在上单调递增，所以，解得， 综上，实数的取值范围为， 故选：ABC 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将解析式进行分离变形，即可结合反比例函数的单调性求解. 【详解】因为， 所以， 所以在上严格增函数 所以，． 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上为严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】表示出二次函数的对称轴，然后列出不等式即可求解. 【详解】开口向下的二次函数的对称轴是， 因为函数在区间上为严格增函数， 所以，解得. 故答案为：. 题型四：重点考查利用函数的单调性求值域或最值 典型例题 例题1．（23-24高二下·吉林白城·期末）在上的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】首先分析函数在区间上的单调性，再根据单调性求最值. 【详解】， 因为在上单调递减， ∴当时，取得最大值，最大值为. 故选：A 例题2．（23-24高一上·湖北·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数单调性分析求解. 【详解】因为函数开口向上，对称轴为， 则在内单调递增， 且当时，则， 可知函数的最小值为3，所以值域为，即值域为. 故选：D. 例题3．（23-24高一上·山东聊城·期中）对于任意实数a，b，定义设函数，，则函数的最小值为 ． 【答案】1 【分析】首先求解函数的解析式，再求解函数的最小值. 【详解】令，，即，，得， 当，，当，， 所以 当时，单调递减，当时，函数单调递增， 所以当时，． 故答案为： 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的最小值为（    ） A．0.4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】判断函数的单调性，即可求得答案. 【详解】因为， 由于在上单调递增，则在上单调递减， 故在上单调递增， 所以． 故选：D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在区间上的最大值和最小值分别是 ． 【答案】1， 【分析】利用函数的单调性的定义证明函数在区间上是减函数，由此求得函数的值域． 【详解】解：任取，，且， ， ，，且， ， ，即． 所以函数在区间上是减函数， 故当时，函数有最大值为1，时，函数有最小值为． 所以函数的最大值是1，最小值是， 故答案为：1，． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的最大值是 ． 【答案】6 【分析】根据二次函数的图象和性质，可得当时，单调递增，在时取得最大值． 【详解】函数的图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线， 当时，单调递增，在时取得最大值6， 故答案为：6． 题型五：重点考查根据函数的最值求参数 典型例题 例题1．（23-24高一上·河南郑州·期中）若函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数a的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】C 【分析】本题考查二次函数在给定区间最值问题，将系数与0比较分类讨论函数在区间的单调性即可求解. 【详解】当时，，为常值函数，显然不合题意，舍去； 当时，为开口向上，对称轴为y轴的二次函数， 所以它在区间严格增，所以，所以; 当时，为开口向下，对称轴为y轴的二次函数， 所以它在区间严格减，所以，所以; 故选：C. 例题2．（23-24高一上·福建福州·期中）设，若是的最小值，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数与反比例函数的性质，结合分段函数的最值即可得解. 【详解】因为， 当时，； 当时，开口向上，对称轴为， 又是的最小值，， 所以，解得，故a的取值范围为. 故答案为：. 例题3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上有最大值3，求实数的值. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据二次函数对称轴和区间的位置关系，列出不等关系，即可求得结果； （2）根据对称轴和区间的位置关系分类讨论，在不同情况下求解即可. 【详解】（1）的对称轴，要满足题意，只需， 故实数的取值范围为. （2）当时，在单调递减，则在上的最大值为， 令，解得； 当时，在单调递增，在单调递减， 则在上的最大值为，令，解得或， 都不满足，故舍去； 当时，在单调递增，则在上的最大值为， 令，解得； 综上所述，或. 精练核心考点 1．（23-24高一上·贵州遵义·期中）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合二次函数的性质运算求解. 【详解】因为，可知开口向上，对称轴为， 则在上单调递减，在上单调递增， 又因为，且在闭区间有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D. 2．（多选）（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若函数的最小值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】求出函数的对称轴，分、、三种情况，分别求出函数的最小值，即可求出参数的值. 【详解】函数开口向上，对称轴为， 若，即时，解得或（舍去）， 若，即时，函数在上单调递减，所以，解得， 若，即时，函数在上单调递增，所以，解得（舍去）， 综上可得或. 故选：BD 3．（23-24高一上·云南玉溪·阶段练习）已知函数. (1)判断函数在的单调性，并用定义证明. (2)若时函数的最大值与最小值的差为，求的值. 【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用定义法按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可； （2）由（1）知函数在上单调递增，则最大值为，最小值为，即可得到方程，解得即可. 【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 因为， 则， 因为，所以，，， 所以，即，所以函数在上单调递增. （2）由（1）知函数在上单调递增， 所以函数的最大值为，最小值为， 所以，即，解得. 题型六：重点考查根据图象判断函数的单调性 典型例题 例题1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象直接得到其单调增区间. 【详解】根据图象知的单调递增区间为， 故选：D. 例题2．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）设函数．    (1)将函数写成分段函数的形式并画出其图象； (2)写出函数的单调区间和值域． 【答案】(1)，图象见解析 (2)单调递增区间为，单调递减区间为，值域为 【分析】（1）去掉绝对值符号将函数写成分段函数，再画出函数图象； （2）结合函数图象得到函数的单调区间与最小值，即可求出函数的值域. 【详解】（1）因为， 所以， 所以的图象如下所示：    （2）由（1）中函数图象可知，的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，所以的值域为. 例题3．（23-24高一上·北京怀柔·期中）设函数.    (1)求的值； (2)若，求实数的值． (3)在给定的坐标系中，作出函数的图象并写出单调区间； 【答案】(1) (2)或 (3)图象见解析；增区间为，减区间为. 【分析】（1）根据函数的解析式，直接求值即可； （2）讨论的范围，明确方程，解除即可； （3）根据函数的解析式，画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间即可. 【详解】（1）因为， 所以 （2）因为， 则时，方程可化为， 解得或者（舍去）； 当时，方程可化为， 解得， 综上知，实数的值为或. （3）其图象如下， 根据图象知，函数的单调增区间为，减区间为. 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的单调严格增区间为 ． 【答案】和 【分析】首先去绝对值，画出函数的图象，由图象判断函数的增区间. 【详解】， 由图像知，    该函数的单调增区间为和． 故答案为：和 2．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知为二次函数，且满足：对称轴为.    (1)求函数的解析式，并求图象的顶点坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并直接写出函数的单调增区间. 【答案】(1)，顶点坐标为. (2)图象见解析，函数的增区间为：和. 【分析】（1）设出二次函数解析式，根据条件得到方程组，解得解析式，再计算顶点即可. （2）确定函数解析式，画出函数图象，根据图象得到单调区间. 【详解】（1）设函数为，所以，解得， 所以，所以，所以顶点坐标为. （2）， 图象如图所示：    函数的增区间为：和. 3．（23-24高一上·安徽滁州·期中）已知函数 (1)求，的值; (2)在给定的坐标系中，画出的图象无需列表 (3)根据（2）中的图象，写出的单调区间和值域. 【答案】(1)， (2)图象见解析 (3)单调减区间为，；单调增区间为；函数的值域为 【分析】（1）由的解析式计算即可； （2）描点作图； （3）结合（2）中图象写出结论. 【详解】（1）， ， 所以； （2）由题意，得函数的图象如下：    （3）函数的单调减区间为，；单调增区间为； 函数的值域为. 题型七：重点考查利用函数的单调性解不等式 典型例题 例题1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）是定义在上的递减函数，，则x取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，把不等式转化为等价不等式组，即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的递减函数， 则，等价于不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 例题2．（23-24高一上·陕西安康·期中）函数在区间上是减函数，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数的定义域和单调减函数的定义，可得，解不等式即可得出答案. 【详解】因为函数在区间上是减函数，且， 所以，解得：. 故答案为： 例题3．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)在单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义即可作差求解， （2）由函数的单调性即可求解. 【详解】（1）在单调递减，证明如下： 设，则， 由于，所以， 因此，故，所以在单调递减， （2）由（1）知在单调递减， 所以由得，解得， 故不等式的解集为 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数单调性列出不等式即可求解. 【详解】因为函数在上是严格增函数，且， 所以，解得. 故答案为：. 2．（23-24高一上·全国·课后作业）设为实数，已知函数在定义域上是减函数，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据单调性得到不等式，解出即可. 【详解】因为函数在定义域上是减函数，且， 所以，解得， 所以a的取值范围. 故答案为：. 3．（23-24高一上·云南丽江·阶段练习）已知函数. (1)用定义证明：在上是增函数； (2)若，求的取值范围 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用定义法进行证明函数单调性； （2）根据第一问的函数单调性解不等式，求出答案. 【详解】（1）任选，且， ， 因为，则，， 则，即， 所以在上是增函数. （2）因为，若，且在上是增函数， 所以，解得：或， 故的取值范围是. 题型八：重点考查分段函数的值域或最值 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·单元测试）对，记，函数 ，其的最小值是 ． 【答案】 0 【分析】首先求函数的解析式，再画出函数的图象，求函数的最小值. 【详解】当，当时，，，即，当时等号成立， 当时，，解得：或，即 当时，， 如图所示为函数图像， 函数表示上述两个函数值中最大者， 题目要求为两个最大者中较小的那个，． 故答案为：； 例题2．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）用表示，两个实数中的最大值．设，则函数的最小值是 【答案】 【分析】根据题意，将函数写成分段函数的形式，将问题转化为求分段函数的最小值问题. 【详解】由题意知 当时，单调递增， ， 当时，在单调递减， ， 当时，在单调递增， ， 综上，的最小值为. 故答案为：. 例题3．（23-24高一上·福建厦门·期中）设函数． (1)画出函数的图象； (2)写出函数的单调递增区间； (3)求在区间上的最小值． 【答案】(1)图象见解析 (2) (3) 【分析】（1）去绝对值符号，再根据二次函数的图象作图即可； （2）根据函数图象写出单调区间即可； （3）结合图象分类讨论即可得解. 【详解】（1）， 画出函数图象如下： （2）由图象可知，函数的单调增区间为； （3）由图知，当时，在单调递减， 此时， 当时，， 所以． 精练核心考点 1．（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】当时， 若，可得； 若，，函数的值域不可能为； ②当时，， 所以函数在 ，上单调递增， 若函数的值域为，只需，可得． 由上知，实数a的取值范围为． 故答案为： 2．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知函数 (1)求，，的值; (2)，求a的值； (3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）. 【答案】(1)3；1； (2)或4. (3)答案见解析，. 【分析】（1）根据题意给的函数解析式直接求解即可； （2）分类讨论当、、时，根据求出对应的a值即可； （3）由函数解析式画出函数图象，结合图形即可得出函数的值域. 【详解】（1）函数， ，，， . （2）①当时，，（舍去）； ②当时，，解得， 又，； ③当时，，. 综上所述，的值为或4. （3）函数的图象，如图： 由图象可知，函数的值域为. 3．（23-24高一上·云南保山·期中）给定函数． (1)在图①中画出函数的大致图象； (2)，用表示中的较小者，记为，求出的解析式，并将的图象画在图②中； (3)直接写出函数的值域． 【答案】(1)图象见解析; (2)，图象见解析; (3). 【分析】（1）根据函数的解析式，在坐标系中分别描出5个点，再将各点连接起来，即可得，的大致图象； （2）根据函数的定义，结合（1）所得图象写出解析式，进而画出的图象. （3）由（2）所得图象直接写出的值域. 【详解】（1） 2 1 0 1 2 6 0 2 0 6 6 3 0 3 6 ∴函数，的大致图象如下图示：    （2）由，可得或，结合（1）的图象知： ， 则的图象如下：    （3）由（2）所得图象知：的值域为. 题型九：重点考查函数不等式恒成立（能成立）问题 典型例题 例题1．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时显然恒成立，当时参变分离可得恒成立，令，，根据单调性求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为关于的不等式对任意均成立， 当时，恒成立， 当时，恒成立， 令，， 因为与在上单调递增， 则在上单调递增，所以当时取得最大值， 即， 所以，则， 综上可得实数的取值范围为. 故选：D 例题2．（20248高一·全国）若不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用分类参数法将题转化为对任意实数都成立，再求得的最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】由不等式对任意实数都成立， 可得不等式对任意实数都成立， 又，当且仅当时等号成立 则有，解之得 故答案为： 例题3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知二次函数. (1)若，求在上的值域； (2)若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)【分析】（1）将代入，转换成二次函数求值域问题，求解即可.. （2）分离参数，转换成不等式能成立问题，求解即可. 【详解】（1）根据题意，函数， ∵，则，又由， 当时，有最小值4， 当时，有最大值13， 则有，即函数的值域为 （2）整理得 ∵， ∴ 令，设，且， 则， 因为，， 所以，即， 所以在单调递增， 所以当时，， ∴. 精练核心考点 1．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）若关于的不等式在区间上有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分离常数法得出不等式在上能成立，根据函数在上的单调性，求出的取值范围. 【详解】关于的不等式在区间上有解， 在上有解， 即在上能成立， 所以， 设函数，， 因为函数在区间上单调递减，在区间上是单调递增， 又，，， 所以当时，函数取最大值，最大值为， 即的取值范围是. 故选：D. 2．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数若对，恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和两种情况，参变分离，结合函数单调性求出答案. 【详解】当时，， 故， 令，由对勾函数的性质可得在上单调递减， 故，所以，解得， 当时，， 故，其中， 所以， 综上，. 故答案为： 3．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知当时，关于的不等式有解，则的最大值为 . 【答案】/0.5 【分析】分离参数，转化为求解函数的最值问题，利用基本不等式求解即可. 【详解】关于的不等式在有解，即在有解， 也即在有解，记，，则， 因为，所以，当且仅当即时等号成立， 所以，即的最大值为. 故答案为： 题型十：重点考查函数奇偶性的判断 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一上·广东湛江·期中）下列四个函数中，不具有奇偶性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用奇偶性的判定方法来判断选项中的函数是具有奇偶性即可． 【详解】对于A，函数，所以是定义在R上的偶函数； 对于B，函数，所以是非奇非偶的函数； 对于C，函数，所以是定义在R上的奇函数； 对于D，函数，所以是非奇非偶的函数． 故选：BD． 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列函数的奇偶性，并说理． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2)既是奇函数又是偶函数，理由见解析 (3)既不是奇函数，又不是偶函数，理由见解析 (4)偶函数，理由见解析 【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）∵函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）∵函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）∵函数的定义域为，定义域不关于原点对称， ∴既不是奇函数，又不是偶函数． （4）的定义域是，定义域关于原点对称． 当时，，； 当时，，． 综上可知，对于，都有， 所以为偶函数． 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的奇偶性为 ． 【答案】奇函数 【分析】作出函数图象，根据定义域和图象对称性判断即可. 【详解】作出函数图像如下图所示：    由函数图像可知，函数的图象关于原点中心对称， 又定义域为R，所以为奇函数. 故答案为：奇函数． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 【答案】(1)不是奇函数也不是偶函数 (2)偶函数 (3)奇函数 【分析】根据奇偶性的定义逐一判断即可 【详解】（1）因为 所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以不是奇函数也不是偶函数； （2）函数的定义域为，关于原点对称． 又∵，∴是偶函数． （3）当时，，则， 当时，，则． 综上，对，都有． ∴为奇函数. 题型十一：重点考查根据函数奇偶性求解析式 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数在R上的表达式为 ． 【答案】 【分析】由偶函数的性质即可求解. 【详解】当时，，故，故， 所以. 故答案为：. 例题2．（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）函数是定义在上的单调递增的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)求满足的的范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据奇函数性质以及先求出、的值即可求得函数的解析式，再进行验证即可. （2）依据奇函数性质将不等式变形为，再结合单调性和定义域即可求解. 【详解】（1）由已知可知，解得， 又，解得， 所以， 因为， 所以为奇函数，任取， 则， 因为，故， 所以，故，即， 所以函数在上单调递增， 所以函数的解析式为. （2）因为为奇函数，由已知可变形为， 又在上是增函数， 所以，. 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）设是定义在上的函数，时，，当为奇函数时，函数 ；当为偶函数时，函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】利用奇偶性求另一半区间解析式即可. 【详解】当时，，． 若是奇函数，则，则. 若是偶函数，，则. 故答案为：；. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知定义在上的奇函数，当时，．写出函数在上的单调区间． 【答案】，是的严格减区间；是的严格增区间． 【分析】结合条件，以及奇函数的对称性，画出函数的图象，由图象确定函数的单调区间. 【详解】当时，，对称轴为，根据奇函数关于原点对称，画出函数的图象， 由图象可知，，是的严格减区间； 是的严格增区间． 题型十二：重点考查由奇偶性求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知为奇函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质建立方程，求解参数，再求值即可. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以，而，得到， 解得，经验证符合题意， 所以，故A正确. 故选：A 例题2．（23-24高一下·河南新乡·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用奇函数定义，列式计算即得. 【详解】由函数是奇函数，得，则，解得， 函数定义域为，是奇函数， 所以. 故选：A 例题3．（23-24高一上·江西上饶·期末）若函数是上的偶函数，则的值为 . 【答案】 【分析】由题意先得，结合偶函数的性质得，检验后相加即可求解. 【详解】由题意首先，解得， 即函数是上的偶函数， 由，解得，此时，经检验符合题意， 所以. 故答案为：. 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）若函数为奇函数，则（   ） A．0 B．1 C． D．1或 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义即可求解. 【详解】因为 是奇函数，所以，即. 显然，整理得，即. 该式对任意 恒成立，故，解得. 故选：. 2．（2024高三·全国·专题练习）若f(x)＝ax2＋bx是定义在[b－1，2b]上的奇函数，则a＋b＝ . 【答案】 【解析】略 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数，是偶函数，求、的值． 【答案】， 【分析】利用偶函数的性质建立方程，求解参数值即可. 【详解】因为是偶函数，则其定义域必然关于原点对称，所以， 而也可得到，即，所以， 经检验，，满足题意， 所以，. 题型十三：重点考查由奇偶性解不等式 典型例题 例题1．（23-24高二下·山东济宁·期末）已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件得函数的单调性，再由偶函数的性质等价转化不等式，然后结合单调性求解即可. 【详解】因为对于任意不等实数都满足， 即当时，；时， 故在区间上单调递增. 因为是定义在上的偶函数，则， 所以不等式， 又，由在区间上单调递增. 则，即，解得，或， 故选：D. 例题2．（23-24高一下·云南普洱·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解. 【详解】由得，的图象关于直线对称， 令，则是偶函数，又当时，恒有， 故在上单调递减，所以在上单调递减， 则， 即得 解得或. 故选：C. 例题3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若奇函数定义域为R，当时，，则是 函数（填写单调性）；不等式的解集是 ． 【答案】 严格减 【分析】设,由条件推出即得单调性；利用函数的奇偶性和单调性化简抽象不等式，最后解一元二次不等式即得. 【详解】由，不妨设， 由可得，，即， 故是严格减函数． 由可得，． 因函数是奇函数，则有． 又函数是严格减函数， 则，解得或． 故答案为：严格减；. 精练核心考点 1．（23-24高一下·云南昭通·期末）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中条件可知当时，，当时，，进而分类讨论解求得x的取值范围. 【详解】因为定义域为的奇函数在内单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由，可得：，或，或， 解得或， 所以满足的x的取值范围是， 故选：C. 2．（23-24高二下·河北沧州·期末）已知函数是定义在上的偶函数；且在上单调递增，若对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数在对称区间单调性相反，和偶函数的性质可解 【详解】是定义在上的偶函数.且在上单调递增，在上单调递减.且 对称轴只需要即可，解得. 故选：C. 3．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，．若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性可得，从而可求不等式的解. 【详解】当时，，故在上单调递增． 函数在处连续，又是定义域为的奇函数， 故在上单调递增． 因为，由，可得， 又因为在上单调递增，所以，解得． 故答案为：. 题型十四：重点考查奇偶函数对称性的应用 典型例题 例题1．（23-24高一上·新疆喀什·期末）若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数在上的单调性，再比较函数值的大小. 【详解】若，由，可知，， 所以函数在单调递减， 所以， 又因为函数为偶函数，所以， 即. 故选：A 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，若在区间[－2017，2017]上的最大值和最小值分别为M，m，则 . 【答案】 【分析】通过赋值，可得到函数是关于对称，利用对称性即可求解. 【详解】令，可得到， 令，可得到，所以， 所以该函数是关于对称， 假设当在处取得最大值，那么会在处取得最小值， 根据函数是关于对称， 所以． 故答案为：. 精练核心考点 1．（23-24高一下·安徽合肥·期末）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 【答案】A 【分析】根据奇偶函数的性质直接得出结果. 【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值5， 所以， 又为奇函数， 所以函数在区间上是增函数，且有最大值. 故选：A 2．（23-24高一上·山东·期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则 . 【答案】4046 【分析】 化简函数，设，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可. 【详解】， 设，定义域关于原点对称， 由，知函数为奇函数， 因为，， 所以. 故答案为：4046. 题型十五：重点考查幂函数 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习） 是幂函数在上是增函数的充要条件. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】若幂函数在上是增函数， 则，解得， 当时幂函数在上是增函数， 所以是幂函数在上是增函数的充要条件. 故答案为： 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则 . 【答案】 【分析】利用幂函数的定义和性质，求即可. 【详解】由题意可知, 解得， 所以, 所以. 故答案为：. 例题3．（24-25高一上·上海·单元测试）函数是幂函数，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义，结合一元二次方程的解法，即可得解 【详解】因为函数是幂函数，所以， 解得：或（舍） 故答案为：. 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 【答案】3 【分析】根据次方根，分数指数幂的意义来求解函数的定义域，利用非负数存在偶次方根，任意的实数存在奇次方根来求解函数的定义域． 【详解】解：①的定义域为； ②的定义域为； ③的定义域为； ④的定义域为； ⑤的定义域为； ⑥的定义域为． 故定义域为的有①③⑥，共3个， 故答案为：3． 2．（23-24高二下·山东济宁·期末）已知函数为幂函数，且在区间上单调递减，则实数 . 【答案】 【分析】则幂函数的定义与性质求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：-1 3．（24-25高一上·全国·课后作业）幂函数图像关于轴对称，且在上是减函数，则 ． 【答案】3 【分析】根据幂函数的定义与性质，得出，且为偶数，再根据取值范围，求出和的值，再求和． 【详解】解：∵幂函数）的图像关于轴对称，且在上是严格减函数， ∴，且为偶数，，且． 解得，，且， 只有时满足为偶数， ∴．故， 故答案为：3． 学科网（北京）股份有限公司 $$