专题02 分式与分式方程中的规律探究和新定义型问题的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题02 分式与分式方程中的规律探究和新定义型问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、分式中的规律探究问题 2 类型二、分式方程中的规律探究问题 5 类型三、分式中的新定义型问题 8 类型四、分式方程中的新定义型问题 13 压轴能力测评（10题） 17 解题知识必备 1.分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 2.解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 压轴题型讲练 类型一、分式中的规律探究问题 例题：（23-24七年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，并回答问题： 第个等式：， 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； …… (1)根据以上等式的规律，写出第个等式： ； (2)写出第个等式，并证明结论的正确性． 【变式训练1】（23-24八年级下·山东枣庄·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式：_________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【变式训练2】（2023·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明． 类型二、分式方程中的规律探究问题 例题：（22-23八年级上·河北石家庄·期末）解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； （1）请完成上面的填空； （2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； （3）请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解 ． 【变式训练1】（23-24八年级·全国·随堂练习）阅读下列材料： 方程的解为， 方程的解为x=2， 方程的解为， …… (1)根据上述规律，可知解为的方程为_________； (2)通过解分式方程说明你写的方程是正确的． 【变式训练2】（23-24八年级上·北京朝阳·期末）下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为_______； (2)关于x的方程的解为_______； (3)关于x的方程的解为_______． 类型三、分式中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 【变式训练1】（2024七年级下·安徽·专题练习）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：； 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值． 【变式训练2】（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于字母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式，如：，再如： ，这样，分式就被拆分成了带分式（即一个整式与一个分式的差）的形式． 解决问题： (1)判断：是真分式还是假分式：　　　（填“真分式”或“假分式”）；如果是，化成带分式的形式：　　　　； (2)思考：当x取什么整数时，分式的值为整数？ (3)探索：当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 类型四、分式方程中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·四川资阳·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 【变式训练1】（23-24八年级上·北京延庆·期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]． (1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号） (2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值； (3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k． 【变式训练2】（23-24八年级上·湖南怀化·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“可存异分式”．如与，因为，，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式__________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； 分式的“可存异分式”是__________； (2)已知分式是分式的“可存异分式”． 求分式的表达式； 求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 压轴能力测评（10题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）对于实数a和b，定义一种新运算“⊗”即这里等式右边是实数运算．例如：则方程的解为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）观察下列方程及其解：①，②，③．（①由，得或，②由，得或，③由，得或．）找出其中的规律，求关于x的方程（n为正整数）的解是 ． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期中）定义：形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为，则，．如果关于的十字分式方程的两个解分别为，（其中，且），那么 三、解答题 4．（2024九年级下·安徽·专题练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)请你按照上述等式规律写出第5个等式； (2)根据上述等式规律写出第个等式； (3)证明（2）中你所写等式的正确性． 5．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 6．（22-23七年级下·安徽六安·阶段练习）根据分式的减法法则，，由此得到公式“”，不难发现可以“拆”成与这两个分式的差．在此不妨称“”为“拆项公式”．求： (1)； (2)仿照上面运算将拆项； (3)灵活利用规律解方程：． 7．（23-24八年级下·湖南岳阳·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”，如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是_________；（只填序号） ①；        ②；        ③；        ④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由． 8．（23-24八年级上·北京延庆·期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]． (1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号） (2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值； (3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k． 9．（2023八年级下·全国·专题练习）定义：若两个分式的差的绝对值为，则称这两个分式属于“友好分式组”． (1)下列3组分式： ①与；②与；③与，其中属于“友好分式组”的有 （只填序号）； (2)若正实数互为倒数，求证，分式与属于“友好分式组”； (3)若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 10．（23-24八年级上·江西宜春·阶段练习）（1）观察下列各式： ； ； ； …… 根据这一规律计算： ①　　________． ②________________． ③_____________________． （2）阅读下列材料，回答问题： 关于x的方程：的解是，；的解是，；的解是，； … ①请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程的解； ②请你写出关于x的方程的解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 分式与分式方程中的规律探究和新定义型问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、分式中的规律探究问题 2 类型二、分式方程中的规律探究问题 5 类型三、分式中的新定义型问题 8 类型四、分式方程中的新定义型问题 13 压轴能力测评（10题） 17 解题知识必备 1.分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 2.解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 压轴题型讲练 类型一、分式中的规律探究问题 例题：（23-24七年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，并回答问题： 第个等式：， 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； …… (1)根据以上等式的规律，写出第个等式： ； (2)写出第个等式，并证明结论的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见详解： 【分析】本题考查了数字类型规律，通分、完全平方公式，约分化简，异分式的加减法运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知等式的各部分和序号的关系即可得出结果． （2）根据发现的规律，归纳出第个等式，再利用分式的通分、完全平方公式，约分化简即可即可证明． 【详解】（1）根据以上等式的规律， 可得第个等式为：． （2）根据以上等式的规律，可得第个等式为， 证明：∵ ． ∴． 【变式训练1】（23-24八年级下·山东枣庄·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式：_________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查找规律，分式的运算． （1）根据题目中的等式，可以写出第4个等式； （2）先写出猜想，然后将等号两边的式子化简，即可证明猜想成立． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， ∴第4个等式为：； 故答案为：； （2）解：第n个等式为：， 证明：∵左边， 右边左边， ∴． 【变式训练2】（2023·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的式子． （1）根据题目中的等式，可以写出第6个等式； （2）根据题目中的等式，可以写出第n个等式，然后根据分式的减法和除法可以将等号左边的式子化简，从而可以证明结论成立． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， 第6个等式：， （2）由（1）归纳总结可得： ， 左边右边， 等式成立． 类型二、分式方程中的规律探究问题 例题：（22-23八年级上·河北石家庄·期末）解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； （1）请完成上面的填空； （2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； （3）请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解 ． 【答案】 3 的解是 第n个方程为，其解为 【分析】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键． （1）由题意把方程两边都乘以把分式方程化为整式方程，然后求解即可； （2）由题意先观察①②③④中的方程的解；根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解； （3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可． 【详解】解：（1） 去分母得， 去括号得： 移项得：， 合并同类项得：． 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：3； （2）由题意得，第⑤个方程为，其解为， 故答案为：的解是； （3）①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是， ……， 以此类推，可知，第n个方程为，其解为， 故答案为：第n个方程为，其解为． 【变式训练1】（23-24八年级·全国·随堂练习）阅读下列材料： 方程的解为， 方程的解为x=2， 方程的解为， …… (1)根据上述规律，可知解为的方程为_________； (2)通过解分式方程说明你写的方程是正确的． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查根据分式方程的特点与解的规律来写分式方程，观察所给的材料信息时，要注意从特殊形式到一般形式的规律与特征． （1）由具体的分式方程发现左右两边分母之差为1，再结合方程的解构建方程即可； （2）先把方程的左右两边通分计算减法运算，再去分母解方程并检验即可． 【详解】（1）解：∵方程的解为， 方程的解为， 方程的解为， ∴解为的方程为： （2） 方程可变形为， ∴， ∴， ∴， 解得． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 【变式训练2】（23-24八年级上·北京朝阳·期末）下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为_______； (2)关于x的方程的解为_______； (3)关于x的方程的解为_______． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查了解分式方程． （1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可； 【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是； 故答案为：； （2）解：猜想关于x的方程的解是，； 故答案为：，； （3）解：方程变形得：， ∴， 可得或， 解得：，． 类型三、分式中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）①；②． 【分析】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键． （1）根据友好分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】解：（1）∵, ∴与是“友好分式” 故答案为：是； （1）设的“友好分式”为N，则， ， ； （3）①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 故答案为：； ②将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 据此可得， 整理得 ∴． 【变式训练1】（2024七年级下·安徽·专题练习）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：； 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值． 【答案】(1)真 (2) (3)0，，2， 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用题中的新定义判断即可； （2）根据题中的方法把原式化为带分式即可； （3）原式化为带分式，根据与分式的值都为整数，求出即可． 【详解】（1）解：∵的分子次数为0，分母次数为1， ∴分式是真分式； 故答案为：真； （2）解： ； （3）解： ， ∵为整数，分式的值为整数， ∴，，1，3， 解得：，，0，2， 则所有符合条件的值为0，，2，． 【变式训练2】（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于字母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式，如：，再如： ，这样，分式就被拆分成了带分式（即一个整式与一个分式的差）的形式． 解决问题： (1)判断：是真分式还是假分式：　　　（填“真分式”或“假分式”）；如果是，化成带分式的形式：　　　　； (2)思考：当x取什么整数时，分式的值为整数？ (3)探索：当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)假分式； (2)当时，原式为整数 (3)，5 【分析】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母化简． （1）根据题意判断，即可求解； （2）分式若为整数，则真分式的值要为整数，即可求解； （3）分式拆分成带分式即的形式．利用完全平方公式将分母变形，求出分母的最小值即可得原分式的最大值． 【详解】（1）解：分子，分母的次数相等， 故答案为：假分式； （2）解：原式， 当时，原式为整数； （3）解：， ， 时，有最小值，值最大， ，即时，， 当a为2，分式有最大值，最大值是5. 类型四、分式方程中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·四川资阳·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一元一次方程与分式方程是“相似方程”； (2)不存在，理由如下 【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断； （2）根据题意用a表示出的值，再根据“相伴方程”的定义及a为正整数即可求出a的值．然后结合分式方程有意义进行分析，即可作答． 本题主要考查了一元一次方程，分式方程，按照定义求解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：一元一次方程与分式方程是“相似方程”，理由如下： ∵， 解得：， ∵， ∴ 解得：， 检验：是原分式方程的解 一元一次方程与分式方程是“相似方程”； （2）解：不存在，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 当时，即时，方程有意义 假设关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程” ∴ 则 解得 此时与相矛盾 ∴关于x的一元一次方程与分式方程不是“相伴方程” 【变式训练1】（23-24八年级上·北京延庆·期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]． (1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号） (2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值； (3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】（1）根据题中运算方法计算判断即可； （2）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入方程中求解即可； （3）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入分式方程中求解即可． 【详解】（1）解：①当，时，解方程得， 经检验，是该分式方程的解，又， ∴是关于的分式方程的“方程数对”； ②当，时，解方程得， 经检验，是该分式方程的解，又， 故不是关于的分式方程的“方程数对”， 故答案为：①； （2）解：∵数对是关于的分式方程的“方程数对”， ∴是关于的分式方程的解， 将代入分式方程中，得， 解得； （3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“方程数对”， ∴是关于的分式方程的解， 将代入分式方程中，得， 则， ∵， ∴． 【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，理解题中定义，掌握分式方程的解满足分式方程是解答的关键． 【变式训练2】（23-24八年级上·湖南怀化·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“可存异分式”．如与，因为，，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式__________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； 分式的“可存异分式”是__________； (2)已知分式是分式的“可存异分式”． 求分式的表达式； 求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 【答案】(1)不是；； (2)；，或． 【分析】（）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； 根据“可存异分式”的定义进行解答即可求解； （）根据“可存异分式”的定义进行解答即可求解； 根据整除的定义进行求解即可； 本题考查了分式加减运算、乘法运算，解分式方程，代数式求值，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， 分式不是分式的“可存异分式”， 故答案为：不是； 依题意得，， ∴， 解得， 即分式的“可存异分式”是， 故答案为：； （2）解：依题意， ∴， 解得； ， 当整数或时，分式的值分别是1，，或， 又分式的值是正数， 整数或，分式的值分别是，或． 压轴能力测评（10题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）对于实数a和b，定义一种新运算“⊗”即这里等式右边是实数运算．例如：则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故选：A． 二、填空题 2．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）观察下列方程及其解：①，②，③．（①由，得或，②由，得或，③由，得或．）找出其中的规律，求关于x的方程（n为正整数）的解是 ． 【答案】或 【分析】先写出第个方程及其解，将所求方程转化为，再将作为整体写出方程的解即可． 【详解】解：根据题意，得： 第个方程为， 解为：或， 方程可化为： 即， 或， 解得：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了解分式方程及分式方程的解，弄清楚题目中的规律再由整体思想进行解方程是解题关键． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期中）定义：形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为，则，．如果关于的十字分式方程的两个解分别为，（其中，且），那么 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、分式方程等知识点；理解“十字分式方程”的定义以及题目中的答题方法是解题的关键．把原方程变形为，再结合运用“十字分式方程”求得，最后代入运算即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题 4．（2024九年级下·安徽·专题练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)请你按照上述等式规律写出第5个等式； (2)根据上述等式规律写出第个等式； (3)证明（2）中你所写等式的正确性． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析 【分析】本题考查的是分式的规律性问题，分式混合运算．从题目中找出数字的变化规律是解题的关键． （1）根据前几个等式，可得第5个等式：； （2）第个等式：； （3）利用分式混合运算法则证明等式左边等于等式右边即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式：； （2）解：由（1）总结规律得， 第个等式为； （3）解：左边 右边， 等式成立． 5．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是“相似方程”，理由见解析 (2)或3 【分析】本题考查了新定义以及解一元一次方程和解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键， （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：是“相似方程”，理由如下： 解得 解得 经检验，是方程的解 ∵若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”； ∴方程与是“相似方程”． （2）解： ∵x，y，m均为整数 ∴ ∴ ∵m为正整数 ∴或3 6．（22-23七年级下·安徽六安·阶段练习）根据分式的减法法则，，由此得到公式“”，不难发现可以“拆”成与这两个分式的差．在此不妨称“”为“拆项公式”．求： (1)； (2)仿照上面运算将拆项； (3)灵活利用规律解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用计算即可； （2）先计算，再根据求解即可； （3）利用（2）的结论，将方程整理为，然后求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴； （3）解： ， ， ， 解得：，经检验是原方程的解， ∴． 【点睛】本题主要考查分式的加减法及解分式方程，解答的关键是读懂材料，对所求的式子拆项． 7．（23-24八年级下·湖南岳阳·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”，如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是_________；（只填序号） ①；        ②；        ③；        ④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2) (3)是，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． （1）依据题意，根据和谐分式的意义逐个判断即可得解； （2）依据题意，分子进而变形可以得解； （3）依据题意，首先通过分式的混合运算法则进行化简，然后再依据和谐分式的意义判断即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴①是和谐分式； ∵分式分子的次数低于分母次数， ∴该分式不等化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的性质， ∴②不是和谐分式； ∵， ∴③是和谐分式； ∵， ∴④不是和谐分式； （2）解： ； （3）解：的结果是“和谐分式”． ∴该分式是和谐分式． 8．（23-24八年级上·北京延庆·期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]． (1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号） (2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值； (3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】（1）根据题中运算方法计算判断即可； （2）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入方程中求解即可； （3）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入分式方程中求解即可． 【详解】（1）解：①当，时，解方程得， 经检验，是该分式方程的解，又， ∴是关于的分式方程的“方程数对”； ②当，时，解方程得， 经检验，是该分式方程的解，又， 故不是关于的分式方程的“方程数对”， 故答案为：①； （2）解：∵数对是关于的分式方程的“方程数对”， ∴是关于的分式方程的解， 将代入分式方程中，得， 解得； （3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“方程数对”， ∴是关于的分式方程的解， 将代入分式方程中，得， 则， ∵， ∴． 【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，理解题中定义，掌握分式方程的解满足分式方程是解答的关键． 9．（2023八年级下·全国·专题练习）定义：若两个分式的差的绝对值为，则称这两个分式属于“友好分式组”． (1)下列3组分式： ①与；②与；③与，其中属于“友好分式组”的有 （只填序号）； (2)若正实数互为倒数，求证，分式与属于“友好分式组”； (3)若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 【答案】(1)②③； (2)见解析； (3)或． 【分析】（1）根据分式运算，“友好分式组”的定义即可求解； （2）根据“友好分式组”的定义，分式的运算法则即可求证； （3）根据“友好分式组”的定义，求出的关系，再分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ∴属于“友好分式组”的有②③， 故答案为：②③． （2）解：∵互为倒数， ∴，， ∴ ， ∴分式与属于“友好分式组”． （3）解：∵ ， ∵与属于“友好分式组”， ∴， ∴或， ①，②， 把①代入， 把②代入， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题主要考查定义新运算，理解定义新运算的法则，掌握分式的运算法则是解题的关键． 10．（23-24八年级上·江西宜春·阶段练习）（1）观察下列各式： ； ； ； …… 根据这一规律计算： ①　　________． ②________________． ③_____________________． （2）阅读下列材料，回答问题： 关于x的方程：的解是，；的解是，；的解是，； … ①请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程的解； ②请你写出关于x的方程的解． 【答案】（1）①；②；③；（2）①，；②， 【分析】（1）①根据已知各式得到的规律写出答案即可；②把代入得①中的结果即可得到答案；③把代入得①中的结果，再进行整理即可得到答案； （2）①根据材料中提供的方法即可得到答案；②方程变形得，进一步解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）①根据规律可得，； 故答案为： ②， 把代入得， ； 故答案为： ③， 把代入得， ， ∴ ， ． 故答案为： （2）①根据题意得：方程的解为，； ②方程变形得：， ∴或， 则，． 【点睛】此题主要考查平方差公式的拓展和应用、分式方程的特殊解法，理解题意得到规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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