第二章 有理数的运算知识归纳与题型突破（单元复习 10类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（人教版2024）

第二章 有理数的运算知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、有理数的运算 1、法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 二、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 三、科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 03 题型归纳 题型一　有理数的加减混合运算 例题：（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）计算下列各题： (1) (2) 巩固训练 1.（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2.（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算． (1)； (2)． (3)； (4)． 3.（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二　有理数的加减中的简便运算 例题：（23-24七年级上·陕西渭南·期中）用简便方法计算：． 巩固训练 1.（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算下列各式： (1) (2) (3) 2.（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 3.（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) 题型三　有理数的加减混合运算的应用 例题：（23-24七年级上·河南郑州·期末）小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为 ______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶15千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 巩固训练 1.（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）下表记录的是我国5个城市某天的最低气温． 南京 银川 北京 杭州 连云港    (1)气温最高的城市是 ，气温最低的城市是 ； (2)将这5个城市当天的最低气温所对应的数据在数轴上表示出来； (3)连云港与北京的温度相差 °C． 2.（24-25七年级上·全国·随堂练习）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产_______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 3.（22-23七年级上·广西河池·期中）已知，两地相距30米，小猪佩奇从地出发前往地，第一次它后退1米，第二次它前进2米，第三次再后退3米，第四次又向前进4米，按此规律行进，如果地在数轴上表示的数为． (1)求出B地在数轴上表示的数； (2)小猪佩奇从A地出发经过第七次行进后到达点P，第八次行进后到达点Q，点P点Q到A地的距离相等吗？说明理由？ (3)若B地在原点的左侧，那么经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是多少？ 题型四　倒数 例题：（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）的倒数是 ． 巩固训练 1．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）的倒数是 ． 2．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ． 3．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ． 题型五　有理数的乘除混合运算 例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)． (2)． 巩固训练 1．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）计算： (1)； (2)． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 题型六　有理数的乘方运算 例题：（2023·全国·九年级专题练习）计算： (1)； (2)； (3) 巩固训练 1.计算： (1)； (2)； (3)． 2.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3.计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型七　有理数的乘方运算的应用 例题:你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第次后可拉出几根面条？    巩固训练 1.如图，某种细胞经过30分钟由一个分裂成2个，若要这种细胞由一个分裂成16个，那么这个过程要经过（　　）    A．1.5小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时 2.一根米长的木棒，小明第一次截去全长的，第二次截去余下的，依次截去每一次余下的，则第五次截去后剩下的木棒长为 米． 3.如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？ (2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？ 题型八　用科学记数法表示绝对值大于1的数 例题：（23-24七年级下·四川巴中·期末）今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别国债，今年先发行1万亿元．5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为 元（用合适的记数法表示）． 巩固训练 1．（22-23七年级上·湖南湘西·期末）2022年10月16日，中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京大会堂隆重开幕，习近平代表第十九届委员会向大会作报告．报告全文的总字数约为32500，把32500用科学记数法表示为 ． 2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）2021全国人口普查结果显示，全国人口共141178万人，与2010年（第六次全国人口普查数据，下同）的133972万人相比，增加7206万人，增长，年平均增长率为，比2000年到2010年的年平均增长率下降0.04个百分点．数据7206万用科学记数法表示为 ． 3．（2024·山东潍坊·模拟预测）根据市级生产总值统一核算结果，2023年全年潍坊市全市生产总值为7606.01亿元，将数据7606.01亿用科学记数法表示为 ． 题型九　有理数四则混合运算 例题：（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． (3) (4) 3．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2) (3)； (4) (5)（用简便方法） 题型十　程序流程图与有理数计算 例题：下图是一个数值转换机，若输入的a的值为2，则输出的结果应为 ． 巩固训练 1.如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 ． 2.按下图的程序计算，如果输入，则输出的结果为 ． 3.根据如图的程序计算，若输入的值为1，则输出的值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 有理数的运算知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、有理数的运算 1、法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 二、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 三、科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 03 题型归纳 题型一　有理数的加减混合运算 例题：（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【分析】此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则． （1）根据有理数的加减混合运算法则即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固训练 1.（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)23 (2)59 (3)1 (4) 【分析】本题考查有理数的加减运算和去绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的加减法则计算即可； （3）利用有理数的加减法则及绝对值的性质计算即可； （4）利用有理数的加减法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 2.（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算． (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算； （1）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （3）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （4）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3.（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)6 (3)1 (4) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． （1）先把减法运算变为加法运算，然后根据有理数的加法法则计算即可； （2）先把减法运算变为加法运算，然后根据有理数的加法法则计算即可； （3）把负数与负数、正数与正数结合，然后根据有理数的加法法则计算即可； （4）先去括号，然后根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型二　有理数的加减中的简便运算 例题：（23-24七年级上·陕西渭南·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】解； 巩固训练 1.（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用有理数加法运算律计算，即可求解； （2）利用有理数加法运算律计算，即可求解； （3）利用有理数加法运算律计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算，灵活利用有理数的加法运算律计算是解题的关键． 2.（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先同号相加，再异号相加； （2）变形为进行计算即可求解； （3）变形为进行计算即可求解； （4）先算绝对值，再变形为进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 3.（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)13 (2) (3)16 (4) 【分析】（1）运用有理数的加法、减法法则处理； （2）运用有理数的加法处理，可运用加法结合律简化运算； （3）可运算加法结合律、有理数加法、减法运算法则处理； （4）小数变形为分数，运用加法结合律、加法、减法运算法则处理． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查有理数的加减法，加法运算律；掌握有理数的运算法则是解题的关键． 题型三　有理数的加减混合运算的应用 例题：（23-24七年级上·河南郑州·期末）小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为 ______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶15千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)他在集合点的南边，距集合点1千米 (2)2 (3)能，理由见解析 【分析】本题考查了数轴，正负数，绝对值，有理数的加减法运算，解题的关键是： （1）将题中所记录的数据相加求和即可得出答案； （2）分别求出这6次行驶距离集合点的路程，比较即可； （3）分别求出这6个数的绝对值，相加求和，然后与15进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解： （千米）， 答：小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1千米； （2）第一次距离集合点（千米）， 第二次距离集合点（千米）， 第三次距离集合点（千米）， 第四次距离集合点（千米）， 第五次距离集合点（千米）， 第六次距离集合点（千米）， 因为， 所以小李距集合点最远为2千米， 故答案为：2； （3）能，理由： （千米）千米， 所以在中间不充电的情况下，他能完成上面的行程． 巩固训练 1.（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）下表记录的是我国5个城市某天的最低气温． 南京 银川 北京 杭州 连云港    (1)气温最高的城市是 ，气温最低的城市是 ； (2)将这5个城市当天的最低气温所对应的数据在数轴上表示出来； (3)连云港与北京的温度相差 °C． 【答案】(1)银川，北京； (2)图见详解； (3)3； 【分析】本题考查正负数应用及用数轴上的点表示有理数、有理数减法的应用， （1）根据表格找到最大值与最小值即可得到答案； （2）根据表格逐个表示出来即可得到答案； （3）利用高气温减低气温即可得到答案； 【详解】（1）解：由表格可得， ， ∴气温最高的城市是银川，最低的是北京， 故答案为：银川，北京； （2）解：数轴上表示如图所示，   ； （3）解：由表格可得， 连云港与北京的温度相差：， 故答案为：3． 2.（24-25七年级上·全国·随堂练习）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产_______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)599 (2)26 (3)84675 【分析】本题考查了正数和负数，有理数混合运算的应用，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据表格中的数据可以解答本题； （2）根据表格中的数据可知周六生产的最多，周五生产的最少，从而可以解答本题； （3）根据题意和表格中的数据可以解答本题． 【详解】（1）解：（辆）， 故答案为：599； （2）（辆）， 故答案为：26； （3）， （元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是84675元． 3.（22-23七年级上·广西河池·期中）已知，两地相距30米，小猪佩奇从地出发前往地，第一次它后退1米，第二次它前进2米，第三次再后退3米，第四次又向前进4米，按此规律行进，如果地在数轴上表示的数为． (1)求出B地在数轴上表示的数； (2)小猪佩奇从A地出发经过第七次行进后到达点P，第八次行进后到达点Q，点P点Q到A地的距离相等吗？说明理由？ (3)若B地在原点的左侧，那么经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是多少？ 【答案】(1)B地在数轴上表示的数是14或； (2)点P、点Q到A地的距离相等； (3)经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是20米 【分析】本题考查了数轴，有理数加减混合运算的应用． （1）在数轴上表示的点移动30个单位后，所得的点表示为或； （2）数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可； （3）根据经过100次行进，可得在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式即可求解． 【详解】（1）解：，． 答：地在数轴上表示的数是14或； （2）解：第七次行进后：， 第八次行进后：， 因为点、与点的距离都是4米， 所以点、点到地的距离相等； （3） 解：因为B地在原点的左侧，所以规定后退为“+”，前进为“—” 当为100时，它在数轴上表示的数为： ， （米． 答：经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点之间的距离是20米． 题型四　倒数 例题：（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：的倒数是， 故答案为：． 巩固训练 1．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义“乘积为1的两个数互为倒数”进行解答即可． 【详解】解：的倒数是． 故答案为：． 2．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，倒数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是，倒数是，绝对值是， 故答案为：；；． 3．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查倒数相反数绝对值的概念，熟练掌握相关概念是解答本题的关键．若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：的倒数是，的相反数是，的绝对值是． 故答案为：；；． 题型五　有理数的乘除混合运算 例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． （1）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可； （2）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，有理数的除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除混合计算法则求解即可； （2）根据有理数除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除法，熟记有理数乘除法则是解题的关键． 根据有理数的乘除法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． （1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型六　有理数的乘方运算 例题：（2023·全国·九年级专题练习）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）根据乘方计算法则计算即可； （2）根据乘方法则计算； （3）根据乘方法则计算． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 【点睛】此题考查了有理数乘方计算法则：n个相同因数的乘法等于这个数的n次幂，同时可以逆用． 巩固训练 1.计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)625 (2) (3)0.027 【分析】（1）表示4个相乘，即可得出答案； （2）先计算2的立方，即可得出答案； （3）根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，乘方是几个相同因数的简便运算，可得答案． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【点睛】本题考查了乘方的定义，理解乘方的意义是解题的关键． 2.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用乘方的运算法则是解本题的关键． 3.计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)2.25 (3) (4) (5)8 【分析】根据有理数乘方运算法则逐个计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） （5）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键． 题型七　有理数的乘方运算的应用 例题:你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第次后可拉出几根面条？    【答案】第次后可拉出根面条． 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 答：这样捏合到第6次后可拉出根面条． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方的意义． 巩固训练 1.如图，某种细胞经过30分钟由一个分裂成2个，若要这种细胞由一个分裂成16个，那么这个过程要经过（　　）    A．1.5小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时 【答案】B 【分析】根据题意30分钟由一个分裂成2个，依次计算即可． 【详解】解：第一次：30分钟变成2个； 第二次：1小时变成个； 第三次：1.5小时变成个； 第四次：2小时变成个； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方的相关知识点． 2.一根米长的木棒，小明第一次截去全长的，第二次截去余下的，依次截去每一次余下的，则第五次截去后剩下的木棒长为 米． 【答案】 【分析】根据题意可求出第一次截去全长的，剩下米，第二次截去余下的，剩下，从而即可得出第五次截去余下的，剩下米． 【详解】解：第一次截去全长的，剩下米， 第二次截去余下的，剩下米， … 第五次截去余下的，剩下米． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数乘方的应用，数字类规律探索．理解乘方的定义是解题关键． 3.如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？ (2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？ 【答案】(1)16 (2)3 【分析】（1）根据题意，2小时是4个30分钟，从而得到答案； （2）根据题意，得到规律，设经过个30分钟得到64个细胞，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成个细胞， 经过2小时后，可分裂成16个细胞； （2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即个细胞； 第2个30分钟分裂成4个，即个； … 依此类推，第个30分钟分裂为个细胞； ，解得， 经过6个30分钟，即3小时后可分裂成64个细胞． 【点睛】本题考查幂的应用，熟记幂的相关定义及计算是解决问题的关键． 题型八　用科学记数法表示绝对值大于1的数 例题：（23-24七年级下·四川巴中·期末）今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别国债，今年先发行1万亿元．5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为 元（用合适的记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了，有理数的乘法运算，科学记数法，正确理解题意是解题的关键．根据题意列式，利用有理数的乘法运算及科学记数法，即得答案． 【详解】解：(元)， 所以该企业一年的国债利息收益为元． 故答案为：． 巩固训练 1．（22-23七年级上·湖南湘西·期末）2022年10月16日，中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京大会堂隆重开幕，习近平代表第十九届委员会向大会作报告．报告全文的总字数约为32500，把32500用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键． 【详解】 故答案为： 2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）2021全国人口普查结果显示，全国人口共141178万人，与2010年（第六次全国人口普查数据，下同）的133972万人相比，增加7206万人，增长，年平均增长率为，比2000年到2010年的年平均增长率下降0.04个百分点．数据7206万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：7206万， 故答案为：． 3．（2024·山东潍坊·模拟预测）根据市级生产总值统一核算结果，2023年全年潍坊市全市生产总值为7606.01亿元，将数据7606.01亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：7606.01亿 故答案为： 题型九　有理数四则混合运算 例题：（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）本题考查有理数混合运算，先运用乘法分配律简便计算，同时运算除法，然后进行加减即可解题． （2）熟练掌握有理数混合运算顺序“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算”是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，有理数的乘除混合运算，有理数的乘方等知识．熟练掌握有理数的四则混合运算，有理数的乘除混合运算，有理数的乘方是解题的关键． （1）先计算乘除，然后进行减法运算即可； （2）先计算乘方，然后进行乘除运算即可； （3）先计算乘方，去绝对值，再计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟记有理数的运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数的乘除法则计算即可； （2）根据有理数的乘除法则计算即可． （3）先计算乘除法，再计算加法即可． （4）利用有理数的加减乘除混合运算法则计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 3．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2) (3)； (4) (5)（用简便方法） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则和顺序是解题的关键. （1）省略括号后进行加法运算即可； （2）把除法变为乘法进行运算即可； （3）按照含乘方的有理数混合运算顺序进行计算即可； （4）利用乘法分配律进行计算即可； （5）变形后利用乘法分配律进行计算即可. 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 题型十　程序流程图与有理数计算 例题：下图是一个数值转换机，若输入的a的值为2，则输出的结果应为 ． 【答案】0 【分析】按照程序流程图，把代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了程序流程图与有理数混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 巩固训练 1.如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 ． 【答案】4 【分析】根据程序流程图的流程，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：输入的值为1时，由图可得：； 输入可得：； ∴输出的值应为4； 故答案为：4． 【点睛】本题考查程序流程图．按照流程图的流程准确的列出算式，是解题的关键． 2.按下图的程序计算，如果输入，则输出的结果为 ． 【答案】5 【分析】把x=-1代入程序中计算，判断结果大于3，输出即可． 【详解】解：把代入得：， 由于第一次所得结果不满足大于3的要求，所以再将输入，得： ，满足大于3的要求； 则输出结果是5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了程序框图和有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题关键． 3.根据如图的程序计算，若输入的值为1，则输出的值为 . 【答案】4 【分析】把代入程序中计算，判断结果是否大于0，即可确定出y的值． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴输出y的值为4． 故答案为：4 【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题中给出的计算程序的含义． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$