第二章 有理数的运算易错训练（单元复习 6类易错）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（人教版2024）

第二章 有理数的运算易错训练 01 易错总结 目录 易错题型一　有理数加减法中的拆项法计算 1 易错题型二　有理数乘除法中的倒数法计算 4 易错题型三　有理数中乘除混合运算易错 7 易错题型四　含乘方的有理数混合运算 9 易错题型五　有理数的混合运算中的新定义型问题 11 易错题型六　有理数运算中的错题复原问题 14 02 易错题型 易错题型一　有理数加减法中的拆项法计算 例题：（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1) (2)，过程见详解。 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【详解】（1）解：可以如下计算： 原式， 故答案为： （2）解： 巩固训练 1.（24-25七年级上·全国·假期作业）折项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，首先将带分数拆分，再按照有理数加法交换律和结合律进行简便计算即可． 【详解】解：原式 ． 2.（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 3.（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式 ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 易错题型二　有理数乘除法中的倒数法计算 例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】解：∵ ， ∴原式． 巩固训练 1．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）阅读材料： 计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：原式的倒数 ． 故原式． 请你根据对材料的理解，选择合适的方法计算：． 【答案】． 【分析】仿照阅读材料中的方法求出原式的值即可． 【详解】解：原式的倒数是： ， 故原式． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（23-24六年级上·山东威海·期中）【阅读材料】 计算：． 分析：利用倒数的意义，可以先求原式的倒数，再得出计算的结果． 解：由于， 所以． 【问题解决】 根据上述方法，计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律，准确计算． 【详解】解：∵ ， ∴． 3．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算： 【答案】(1)没有除法分配律，故解法一错误； (2)过程见解析，． 【分析】本题考查了有理数的除法乘法分配律； （1）根据有理数的运算法则进行判断，可得答案； （2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，和按照先计算括号内的，最后计算除法，两种方法求解，即可得出答案． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）解法一：原式的倒数为： ， ； 所以原式； 解法二：原式 ． 易错题型三　有理数中乘除混合运算易错 例题：（2024·辽宁鞍山·一模）计算： ． 【答案】 【分析】 本题考查有理数的乘除混合运算，除法变乘法，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 巩固训练 1.（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘除的混合运算，先将除法转化为乘法，根据多个有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 2.（23-24六年级下·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把带分数化为假分数，再把除法化为乘法，然后计算，即可作答． 【详解】解： ． 3.（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解： 易错题型四　含乘方的有理数混合运算 例题：（23-24七年级上·广东湛江·期中）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘除，再加减即可，熟知计算法则是解题的关键。 【详解】解：原式， ． 巩固训练 1.（23-24六年级下·上海长宁·期中）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，正确计算即可，熟练掌握有理数混合运算顺序“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算”是解题的关键． 【详解】解： ． 2.（23-24六年级下·全国·假期作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据有理数的混合运算顺序，首先计算乘方，然后计算乘法和除法，最后从左向右依次计算即可； （2）根据有理数的混合运算顺序，首先计算乘方，然后计算乘法和除法，最后从左向右依次计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3.（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可； （2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 易错题型五　有理数的混合运算中的新定义型问题 例题：（23-24七年级上·陕西西安·期中）用“△”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有．例如：． (1)求的值； (2)若继续用“*”定义另一种新运算，例如：．求． 【答案】(1)24 (2)20 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）根据题干信息列出算式进行计算即可． 解题的关键是理解题意，熟练掌握有理数混合运算法则． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固训练 1.（23-24七年级上·湖北随州·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如： (1)计算：的值； (2)计算：的值． 【答案】(1)56 (2)81 【分析】此题考查了新定义，有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算顺序和运算法则． （1）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可； （2）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ； （2）解：根据题意可得： ． 2.（22-23七年级上·江苏镇江·期中）我们定义一种新运算：，例如：． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据已知新运算法则计算，即可得到答案； （2）根据已知新运算法则计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 3.（23-24七年级上·福建龙岩·期中）若定义一种新的运算“*”，规定：，如． (1)求的值； (2)通过计算说明与的值是否相等? 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新运算，明确有理数混合运算的计算方法是解答本题的关键． （1）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行求解即可； （2）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行求解，即可解答． 【详解】（1） ； （2） ， ∵， ∴． 易错题型六　有理数运算中的错题复原问题 例题：（2023秋·山东东营·六年级统考期末）课代表发下作业本之后，小刚同学发现有一个题做错了，检查了多遍也没有找出错误的原因，你能帮他纠错吗？ 原题是：计算： 这是小刚的计算过程： 解：原式    第一步         第二步             第三步 ．            第四步 观察小刚的计算过程回答下列问题： (1)小刚在进行计算第一步时运用了______律； (2)他在计算中出现了错误，你认为他在第______步出错了？ (3)请你给出正确的解答过程． 【答案】(1)乘法分配 (2)二 (3)见解析 【分析】（1）观察运算过程可知第一步运用了乘法分配律； （2）观察运算过程可知第二步运用了除法分配律，而除法没有分配律，由此即可得到答案； （3）根据有理数四则混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，小刚在进行计算第一步时运用了乘法分配律， 故答案为：乘法分配； （2）解：由题意得，在第二步的时候，运用了除法的分配律，而除法没有分配律，从而导致运算结果错误， 故答案为：二； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数四则混合计算，有理数乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键，注意除法没有分配律． 巩固训练 1.在计算时，小明的解法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 回答： (1)小明的解法是错误的，主要错在第_______步，错因是___________； (2)请在下面给出正确的解答过程． 【答案】(1)一，同级运算没有按照从左到右的顺序依次进行运算 (2)见解析 【分析】（1）观察小明的计算过程可以发现，第一步没有按照运算顺序计算，所以错误； （2）按照有理数混合运算顺序和法则计算即可． 【详解】（1）解：通过观察小明的计算过程发现，第一步在计算乘除的同级运算时，没有按照从左到右的顺序依次计算导致错误， 故答案为：一，同级运算没有按照从左到右的顺序依次进行运算； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，掌握有理数的混合运算顺序和法则是解题的关键．． 2.阅读下列解题过程： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 解答问题： (1)上面解答过程有两个错误，第一处是第_______步，错误的原因是______；第二处是第_______步，错误的原因是_______． (2)请你正确解答本题．并请你根据平时的学习经验，就有理数的计算过程还需要注意的事项给同学们提出一条建议． 【答案】(1)二；同级运算应按照从左到右顺序进行；三；同号相除结果应为正 (2)；建议：有括号先算括号内的（答案不唯一） 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则即可作答； （2）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）根据有理数的混合运算法则可知： 解答过程有两个错误，第一处是第二步，错误的原因是同级运算应按照从左到右顺序进行；第二处是第三步，错误的原因是同号相除结果应为正， 故答案为：二；同级运算应按照从左到右顺序进行；三；同号相除结果应为正； （2） ， 建议：有括号先算括号内的（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解答本题的关键． 3.（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）解答下列各题 (1)计算： (2)认真阅读材料，解决问题： 计算： 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算； 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： 【答案】(1)5； (2) 【分析】（1）先计算乘方，去绝对值符号，再结合乘法分配律进行有理数的加减运算即可计算求值； （2）根据题目中所给方法，将除法转换成乘法再利用乘法分配律进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式的倒数是： ， 故原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘方运算，绝对值，乘法分配律，熟练掌握相关运算法则与运算律是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 有理数的运算易错训练 01 易错总结 目录 易错题型一　有理数加减法中的拆项法计算 1 易错题型二　有理数乘除法中的倒数法计算 4 易错题型三　有理数中乘除混合运算易错 7 易错题型四　含乘方的有理数混合运算 9 易错题型五　有理数的混合运算中的新定义型问题 11 易错题型六　有理数运算中的错题复原问题 14 02 易错题型 易错题型一　有理数加减法中的拆项法计算 例题：（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 巩固训练 1.（24-25七年级上·全国·假期作业）折项法计算：． 2.（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算：． 3.（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式 ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 易错题型二　有理数乘除法中的倒数法计算 例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 巩固训练 1．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）阅读材料： 计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：原式的倒数 ． 故原式． 请你根据对材料的理解，选择合适的方法计算：． 2．（23-24六年级上·山东威海·期中）【阅读材料】 计算：． 分析：利用倒数的意义，可以先求原式的倒数，再得出计算的结果． 解：由于， 所以． 【问题解决】 根据上述方法，计算：． 3．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算： 易错题型三　有理数中乘除混合运算易错 例题：（2024·辽宁鞍山·一模）计算： ． 巩固训练 1.（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： ． 2.（23-24六年级下·上海·期中）计算：． 3.（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：． 易错题型四　含乘方的有理数混合运算 例题：（23-24七年级上·广东湛江·期中）计算：． 巩固训练 1.（23-24六年级下·上海长宁·期中）计算：； 2.（23-24六年级下·全国·假期作业）计算： (1)． (2)． 3.（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 易错题型五　有理数的混合运算中的新定义型问题 例题：（23-24七年级上·陕西西安·期中）用“△”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有．例如：． (1)求的值； (2)若继续用“*”定义另一种新运算，例如：．求． 巩固训练 1.（23-24七年级上·湖北随州·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如： (1)计算：的值； (2)计算：的值． 2.（22-23七年级上·江苏镇江·期中）我们定义一种新运算：，例如：． (1)求； (2)求． 3.（23-24七年级上·福建龙岩·期中）若定义一种新的运算“*”，规定：，如． (1)求的值； (2)通过计算说明与的值是否相等? 易错题型六　有理数运算中的错题复原问题 例题：（2023秋·山东东营·六年级统考期末）课代表发下作业本之后，小刚同学发现有一个题做错了，检查了多遍也没有找出错误的原因，你能帮他纠错吗？ 原题是：计算： 这是小刚的计算过程： 解：原式    第一步         第二步             第三步 ．            第四步 观察小刚的计算过程回答下列问题： (1)小刚在进行计算第一步时运用了______律； (2)他在计算中出现了错误，你认为他在第______步出错了？ (3)请你给出正确的解答过程． 巩固训练 1.在计算时，小明的解法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 回答： (1)小明的解法是错误的，主要错在第_______步，错因是___________； (2)请在下面给出正确的解答过程． 2.阅读下列解题过程： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 解答问题： (1)上面解答过程有两个错误，第一处是第_______步，错误的原因是______；第二处是第_______步，错误的原因是_______． (2)请你正确解答本题．并请你根据平时的学习经验，就有理数的计算过程还需要注意的事项给同学们提出一条建议． 3.（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）解答下列各题 (1)计算： (2)认真阅读材料，解决问题： 计算： 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算； 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$