第二章 有理数的运算（复习课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了有理数的加、减、乘、除、乘方运算及科学记数法、近似数等核心知识，通过知识图谱和考点串讲将各运算法则、运算律及简便技巧串联，帮助学生构建完整的有理数运算知识网络。 其亮点在于采用“概念识别-工具掌握-深化理解-思想应用”的分层复习策略，如题型全解中结合行程问题、医疗费用问题培养数学应用意识，针对训练中的规律探究题发展抽象能力和推理意识。这种设计让学生巩固知识的同时提升数学思维，也为教师提供精准复习方向。

第二章 有理数的运算 复习课件 人教版·七年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 1.能复述有理数加、减、乘、除、乘方的运算法则； 2.分清底数、指数、幂、倒数概念； 3.辨别科学记数法、近似数、精确度； 02 工具掌握 1.熟练进行有理数加、减、乘、除、乘方运算； 2.会用加法、乘法运算律简化计算； 3.掌握加减混合、乘除混合、有理数混合运算顺序； 4.会用科学记数法表示大数，按要求取近似数。 深化理解 1.理解减法转化为加法、除法转化为乘法的转化思想； 2.能判断积的符号，根据指数奇偶判断负数幂的符号； 3.能解决实际情境的有理数运算应用题。 思想与应用 1.会利用有理数运算解决实际盈亏、变化量问题； 2.能结合数轴理解加减运算；能探究乘方数字规律； 3.养成先定符号、再算绝对值的计算习惯，减少符号类计算错误。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1.异号两数相加、负数乘除、负数乘方的符号判断，容易出现符号错误。 2.减法转化为加法、除法转化为乘法的变形，理解加减混合、乘除混合运算统一成加法、乘法。 3.区分与的意义，辨析底数，处理括号对乘方运算的影响。 4.灵活运用乘法分配律简便运算，处理复杂有理数混合运算；辨别近似数的精确位数。 1.掌握有理数的运算法则，能熟练进行有理数的基本运算。 2.理解运算律，会运用运算律简化计算。 3.分清乘方的底数与指数，掌握有理数混合运算顺序，正确完成混合运算。 4.会用科学记数法表示大数，会按要求取近似数。 4 知识图谱 有理数的运算 加法 乘法 减法 乘方 交换律 结合律 分配律 除法 5 考点串讲 ——1：有理数的加法与减法 1.有理数的加法法则： ①同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和． ②绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的 绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差．互为相反数的两个数相加得０． ③一个数与０相加，仍得这个数． 6 考点串讲 ——1：有理数的加法与减法 2.有理数的加法运算律： ①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．即. ②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.即. 有理数加法中的一些计算技巧： （1）相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2）同号结合法：符号相同的数先相加； （3）同分母结合法：分母相同的数先相加； （4）凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 归纳总结 7 考点串讲 ——1：有理数的加法与减法 3.有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数， 即. 4.有理数的加减混合运算： （1）利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； （2）去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； （3）利用加法法则和加法运算律进行计算. 8 考点串讲 ——2：有理数的乘法与除法 1.有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）0与任何数相乘都得0； （3）任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 2.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. 【注意】 单独的一个数不能称为倒数； 0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 9 考点串讲 ——2：有理数的乘法与除法 3.有理数的乘法运算律： ①乘法交换律：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变．即. ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即. ③乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加．即. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数； 负的乘数的个数是奇数时，积为负数； 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那 么积为0. 归纳总结 10 考点串讲 ——2：有理数的乘法与除法 4.有理数的除法法则： （1）除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 即. （2）两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （3）0除以任何一个不为0的数都等于0.0不能作为除数，否则无意义. （4）一个非零的数除以它的本身等于1. 11 考点串讲 ——2：有理数的乘法与除法 5.有理数乘除的混合运算： （1）有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； （2）要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后确定积的符号，按照有理数乘法运算法则进行计算. 12 考点串讲 ——3：有理数的乘方 1.定义:求个相同乘数的积的运算，叫作乘方. 一般地， 记作，读作“的次方”，其中叫做底数，叫做指数，当看作的次方的计算结果时，也可以读作“的次幂”. 幂 指数 底数 13 考点串讲 ——3：有理数的乘方 2.有理数乘方的符号法则: （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶数次幂都是非负数. （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 归纳总结 14 考点串讲 ——4：有理数的混合运算 1.有理数的混合运算顺序： （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）同级运算，按照从左到右的顺序进行； （3）如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【注意】 在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算； 有些计算是可以同时进行的. 15 考点串讲 ——4：有理数的混合运算 2.利用运算律简便运算： （1）有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； （2）一些计算优先结合会简便很多，如下所示： ①相反数结合； ②凑整结合； ③正、负分别结合； ④同分母结合； ⑤倒数结合. 16 考点串讲 ——5：科学记数法与近似数 1.科学记数法:一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2.近似数:接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 3.精确度:近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 17 对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字. 归纳总结 考点串讲 ——5：科学记数法与近似数 18 题型全解 题型01 有理数的加减运算 例1 把若用符号表示a，b两数中的较大数，用符号表示a，b两数中的较小数，则的值为（   ） A． B． C． D． 解：∵用符号表示，两数中的较大数，用符号表示，两数中的较小数，且，， ∴， 故选：B． 19 题型全解 题型01 有理数的加减运算 例2 元旦期间，小红与同学相约去公园游玩，妈妈通过微信红包给了她元零花钱，如图是她微信钱包零钱明细的截图，请你解决如下问题（假设她初始余额为元）： (1)截图中哪一笔支出金额最大，最大金额为多少？ (2)小红回家后想起来，她删了一条蛋糕店的交易 记录，微信零钱最终显示余额为元，请帮她 计算出在蛋糕店的支出金额． 20 题型全解 题型01 有理数的加减运算 （1）解：因为， 所以截图中给超市的这笔支出金额最大，最大金额为元． （2）解：（元）． （元）． 答：小红在蛋糕店的支出金额为元． 21 题型全解 方法总结 总结1：有理数加减运算 ①掌握有理数加法、减法法则，减法统一转化为加法运算； ②灵活运用交换律、结合律简化计算，注意符号处理。 总结2：有理数加减的实际应用 解题规则： ①读懂题意，把实际问题转化为有理数加减算式； ②结合正负代表的实际意义求解，最后写出对应实际结果。 题型01 有理数的加减运算 题型全解 题型02 有理数加减中的简便运算 例3 阅读下面的解题过程并解决问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步）… (1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________； (2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示） (3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_ ____________； (4)请写出正确的解答过程． 有理数的减法法则 二 将误写为，符号处理错误 23 题型全解 题型02 有理数加减中的简便运算 （4）原式 24 题型全解 例4 阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ①． 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法． ②仿照上面的方法计算：． 题型02 有理数加减中的简便运算 25 题型全解 解：原式 ． 题型02 有理数加减中的简便运算 26 题型全解 方法总结 总结1：有理数加减简便运算常用技巧 运用加法交换律、结合律，优先凑整、同号结合、同分母结合，简化算式，减少符号出错。 总结2：简便运算解题注意要点 移动数字时连同数字前面符号一起移动； 去括号注意符号变化，做完后复查符号，避免符号失误。 题型02 有理数加减中的简便运算 题型全解 例5 下列各数，互为倒数的是（    ） A．与1 B．与 C．与 D．与 题型03 倒数 【解析】解：A：，不互为倒数； B：，，互为倒数； C：，不互为倒数； D：，不互为倒数； 故选：B． B 28 题型全解 例6 计算，能简算的要简算． (1)． (2)． 题型04 有理数的乘除法运算 【解析】（1）解： ； 【解析】（2）解： ． 29 题型全解 例7 如图所示，点，，把一条300米环形跑道分为相等的3段．若甲、乙两人分别从，两处同时相向出发，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米．相遇后不改变方向，经过800秒时，两人恰好第 次相遇． 题型04 有理数的乘除法运算 【解析】解：由题意得：两人第一次相遇的时间为秒， 之后每次相遇所需时间为秒， 所以第一次相遇后又相遇了次， 所以经过800秒时，两人恰好第14次相遇， 故答案为：14． 14 30 题型全解 方法总结 总结1：有理数乘除法运算方法 1.先确定结果符号，同号得正，异号得负，再计算绝对值； 2.除法变为乘倒数，带分数化成假分数后约分。 总结2：有理数乘除法实际应用解题方法 1.读懂题意列出乘除算式，注意正负代表实际意义； 2.计算完成后结合实际场景检验结果是否合理。 题型04 有理数的乘除法运算 题型全解 题型05 有理数的乘方运算 例8 在 中，结果是负数的有_________个. 【解析】解：逐个计算各数并判断正负： =1,结果为正数，不是负数； ,结果为负数，是符合要求的数； ,结果为正数，不是负数； 结果为负数，符合题意； 统计可得，结果是负数的共有2个. 2 32 题型全解 题型05 有理数的乘方运算 例9 在下列各对数中，互为相反数的是（ ） A.与 B.与 C. 与 D. 与 【解析】解:A.，两数相等，不是互为相反数，不符合题意; B.,两数相等，不是互为相反数，不符合题意; C. , ，两数相等，不是互为相反数，不符合题意; D., ,两数绝对值相等，符号相反，两数互为相反数，符合题意. D 33 题型全解 方法总结 总结1：有理数乘方运算规则 1.分清底数与指数，负数乘方看指数奇偶； 2.指数为偶数结果为正，指数为奇数结果为负，0 的正整数次幂等于 0。 总结2：乘方题型易错解题要点 1.区分与的底数； 2.运算优先算乘方，计算时先定符号，再算绝对值的乘方。 题型05 有理数的乘方运算 题型全解 题型06 有理数混合运算 例10 对于有理数a，b定义一种新运算，规定，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． B 35 题型全解 题型06 有理数混合运算 例11 计算： 【解析】解：原式 ． 36 题型全解 方法总结 总结1：有理数混合运算运算顺序 ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号内，同级运算从左到右依次计算。 总结2：有理数混合运算解题技巧 ①灵活运用运算律简化计算； ②计算时分步确定符号，不要跳步，重点检查乘方、去括号处符号是否出错。 题型06 有理数混合运算 题型全解 题型07 科学记数法 例12 地震震级是划分震源放出的能量大小的等级．级地震释放的能量大约是级地震的倍．级地震释放的能量大约是级地震的 倍（用科学记数法表示） 【解析】根据题意，级地震释放的能量大约是级地震的倍，从级地震到级地震，震级差为级，即增加了两次两级，故能量释放增加倍数为，用科学记数法表示为 ． 故答案为： ． 38 题型全解 题型08 近似数 例13 下列说法正确的是（   ） A．数精确到千分位是 B．将数精确到千位是 C．按科学记数法表示的数，其原数是 D．近似数精确到 【解析】解：A、数精确到千分位是，故A选项错误； B、将数精确到千位是，故B选项正确； C、按科学记数法表示的数，其原数是，故C选项错误； D、近似数精确到，故D选项错误； 故选：B． B 39 题型全解 方法总结 总结1：科学记数法解题方法①形式写成，要求； ②的绝对值等于整数位数减 1，分清原数正负。 总结2：近似数与精确度解题要点 ①看清题目要求精确到哪一位； ②近似数末尾的 0 不能随意去掉，判断精确度要看原数，不能只看部分。 题型08 近似数 1． 的倒数是（   ） A． B．2 C．1 D． 针对训练 D 解：根据倒数的定义， 的倒数是， 故选：D． 针对训练 解：将等式两边同时除以，得： □ ． 故选：B． 2．若，则□内的数字是（    ） A．3 B． C． D． B 针对训练 解：将转换为普通数为． 科学记数法中的有效数字为，最后一位有效数字是，对应原数中的千位（即中的第四个数字位于千位），因此近似数精确到千位． 故选C． 3．由四舍五入法得到的近似数精确到（    ）． A．个位 B．千分位 C．千位 D．百位 C 针对训练 解： 故答案为：202400． 4．用科学记数法表示的数的原数为 ． 202400 针对训练 5．把写成省略括号和加号的形式为 ． 解：把写成省略括号和加号的形式为． 故答案为：． 针对训练 6．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“F运算”的结果是11．则若，则第449次“F运算”的结果是 ． 解：当，为奇数，第1次进行F①运算，即（偶数）， 第2次进行F②运算，即（奇数）， 第3次进行F①运算，即（偶数）， 第4次进行F②运算，即（奇数）， 第5次进行F①运算，即（偶数）， 第6次进行F②运算，即（奇数）， 第7次进行F①运算，即（偶数）， 即从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1， 第449次“F运算”，得到的结果是8. 8 针对训练 7．观察下列等式：；；；；； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出两个等式： ， ； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子；（为正整数） (3)利用这个规律计算的值． （2）解：根据所给等式的规律可知，第个等式为： ； 针对训练 （）解： ． 8. 【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ，； ，， ；，． 【用数学的语言表达】 （1）思考上述运算，归纳运算法则：两数进行运算时：同号两数运算_ ____________，异号两数运算_ ____________，特别地，和任何数进行运算，或任何数和进行运算，仍______． 针对训练 结果为正，并将两数的绝对值相加 结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值 得这个数 针对训练 【用数学的思维思考】 （2）计算写出最后化简结果： ①__________； ②____________； （3）若，，求的值． 针对训练 9．某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下．   标准 支付方法 一年内 650元以内（含650元） 个人支付全部费用 650元以上部分 个人支付，剩余由医疗保险基金支付 (1)六（1）班的明明做了一个小手术，住院医疗费用一共是4200元，按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？ (2)六（2）班的亮亮今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了1650元．亮亮本次住院的医疗费用一共是多少钱？ 针对训练 （1）解：（元）， 答：他本次住院需要个人支付元钱； （2）解：（元）， 答：亮亮本次住院的医疗费用一共是2850元． 单元总结/易错复盘 ·分类规则 1.有理数运算分为加、减、乘、除、乘方五类运算； 2.减法转化为加法，除法转化为乘法，统一为加法、乘法运算。 3.混合运算分级：第一级加减，第二级乘除，第三级乘方； 4. 符号分类：运算先定符号，再算绝对值。 ·核心概念 1.加减法法则； 2.运算律； 3.乘除法法则； 4.乘方：负数奇次幂负，偶次幂正；正数任何次幂为正，0 正整数次幂为 0。 5.科学记数法：为整数）；近似数按精确度四舍五入。 ·答题注意事项 1.有理数运算务必先判断符号，再计算绝对值，不要漏掉负号。 2.区分与，括号会改变底数，是高频易错点。 3.乘除混合运算，先把除法全部转化乘法，再确定符号，再算绝对值。 4.科学记数法注意的范围；近似数末尾的 0 不能随意去掉，代表精确度。 53 人教版·七年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $