第06讲 抛物线的简单几何性质（3考点4题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第06讲 抛物线的简单几何性质 课程标准 学习目标 1 了解抛物线的简单几何性质； 2 理解焦点弦、焦半径的意义； 3 会用抛物线的简单几何性质求解问题． 1. 能利用性质解决与抛物线有关的问题； 2. 能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题； 3. 通过数形结合思想、代数思想提升学生的动手能力． 知识点一、抛物线的几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 知识点二、抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 知识点三、抛物线常用结论 （1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦． ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切． ③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． （2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点. 题型01 抛物线的简单几何性质 1.（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 2.（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 3.抛物线的焦点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4.抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型02 抛物线焦点弦（焦半径） 1.已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，则 ． 2.过抛物线：焦点的直线交抛物线于，两点，若线段的中点到的准线的距离等于9，则 ． 3.已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为3，则 . 4.双曲线和抛物线（）的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为6，则（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 5.已知抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，为抛物线C上一点，且，若为锐角三角形，则（    ） A． B．1 C．8 D．16 6.已知抛物线的焦点为F，第一象限的两点A，B在抛物线上，且满足.若线段中点的横坐标为3，则p的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型03 中点弦--点差法 1.已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2.已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3.已知圆的圆心是抛物线的焦点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程． 4.抛物线被直线截得的弦的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点，求四边形的面积的最小值． 5.已知点在抛物线上，过点的直线与相交于两点，直线分别与轴相交于点. (1)当弦的中点横坐标为3时，求的一般方程; (2)设为原点，若，求证:为定值. 题型04 直线与抛物线的位置关系 1.过抛物线焦点的直线交该抛物线于点M，N，已知点M在第一象限，过M作该抛物线准线的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2.已知直线交曲线于，两点（点在点的上方），为的焦点，则（    ） A． B． C．2 D． 3.（多选）在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（    ） A．的最小值为2 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 4.（多选）过抛物线的焦点的直线与相交于A，B两点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 5.（多选）设抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．以为直径的圆与相切 C．以为直径的圆过坐标原点 D．为直角三角形 6.设抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与抛物线C交于A、B两点，． (1)求l的方程； (2)求过点A、B且与抛物线C的准线相切的圆的方程． 题型05 抛物线中有关最值问题 1.已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知抛物线，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，其中位于第一象限，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知抛物线的焦点为，上一点到焦点的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.已知抛物线的焦点与圆的圆心重合，直线与交于，两点，且满足：（其中为坐标原点且，均不与重合），对于下列命题： ①，；②直线恒过定点；③，中点轨迹方程：；④面积的最小值为16． 其中是真命题的有 ． 5.已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且， （i）求证直线过定点； （ii）求与面积之和的最小值． 6.已知抛物线的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别交于点，与在第一象限的交点为． (1)证明：直线与相切． (2)若直线与的另一交点分别为，直线与直线交于点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的面积的最小值． 1.为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（    ） A． B． C． D． 2.已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于P，Q两点，若，则直线l倾斜角的正弦值为（    ） A． B． C．2 D．3 3．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点C，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4.如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点A、B，交其准线于C，与准线垂直且垂足为，若，则此抛物线的方程为（   ） A． B． C． D．. 5.（多选）设为抛物线：（）的焦点，为坐标原点，为上一点，且，则（    ） A． B． C．直线的斜率为 D．的面积为 6．（2024·河北·统考模拟预测）（多选）已知抛物线C：的焦点为点在上，且弦的中点到直线的距离为5，则（    ） A． B．线段的长为定值 C．两点到的准线的距离之和为14 D．的最大值为49 7.（多选）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（    ） A．的准线方程为 B．周长的最小值为5 C．四边形可能是平行四边形 D．的最小值为 8.已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是双曲线的右顶点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于A、B两点，解决下列问题： （i）求弦长； （ii）求证：. 9．已知曲线上任意一点到点的距离比它到直线的距离大1. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于，两点，求证：. 10.已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 抛物线的简单几何性质 课程标准 学习目标 1 了解抛物线的简单几何性质； 2 理解焦点弦、焦半径的意义； 3 会用抛物线的简单几何性质求解问题． 1. 能利用性质解决与抛物线有关的问题； 2. 能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题； 3. 通过数形结合思想、代数思想提升学生的动手能力． 知识点一、抛物线的几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 知识点二、抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 知识点三、抛物线常用结论 （1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦． ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切． ③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． （2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点. 题型01 抛物线的简单几何性质 1.（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 【答案】AD 【详解】对选项A，，开口向左，故A正确； 对选项B，，焦点为，故B错误； 对选项C，，准线方程为，故C错误； 对选项D，，对称轴为轴，故D正确. 故选：AD 2.（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【答案】AC 【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为． 故选：AC 3.抛物线的焦点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线即，其焦点坐标为， 设关于直线的对称点的坐标是， 则，解得，则， 故选：A． 4.抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于抛物线的方程为， 所以，，则 所以抛物线的焦点坐标是， 故选：A. 题型02 抛物线焦点弦（焦半径） 1.已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，则 ． 【答案】 【详解】因为抛物线，所以, 因为是抛物线的焦点，点在抛物线上， 由抛物线的定义可得：. 故答案为：. 2.过抛物线：焦点的直线交抛物线于，两点，若线段的中点到的准线的距离等于9，则 ． 【答案】 【详解】因为抛物线M：，所以记抛物线M的焦点为F，抛物线准线方程为， 设，，，则， 所以点P到M的准线的距离为， 所以， 由抛物线定义知：，， 则 故答案为：． 3.已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为3，则 . 【答案】10 【详解】根据抛物线的定义可得，又，所以. 故答案为：10. 4.双曲线和抛物线（）的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为6，则（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【详解】由题意可得双曲线的交点为， 所以，即， 设的横坐标分别为， 中点的横坐标为6，即 由抛物线的焦点弦公式可得， 故选：A. 5.已知抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，为抛物线C上一点，且，若为锐角三角形，则（    ） A． B．1 C．8 D．16 【答案】C 【详解】    如图，由焦半径公式得，将代入抛物线方程得到， 消去得，解得或. 又因为为锐角三角形，故，故C正确 故选：C. 6.已知抛物线的焦点为F，第一象限的两点A，B在抛物线上，且满足.若线段中点的横坐标为3，则p的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】设，由得， 即得； 又，解得， 由于A，B在第一象限内，故， 则， 而线段中点的横坐标为3，则， 故， 故选：B 题型03 中点弦--点差法 1.已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 2.已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设， 因为直线与相交于A，B两点，所以， 由题意得， 故选：D 3.已知圆的圆心是抛物线的焦点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）圆的方程可化为， 故圆心的坐标为． 设抛物线的方程为()，所以，所以， 所以抛物线的方程为． （2）设，，则两式相减， 得，即， 所以直线的斜率． 因为点是的中点，所以，所以． 所以直线的方程为，即． 4.抛物线被直线截得的弦的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)；准线方程为； (2)32 【详解】（1）解法一：设抛物线与直线交于，． 整理得， 所以， 因为 所以， 则抛物线方程为，准线方程为； 解法二：设抛物线与直线交于，． 因为截得的弦的中点的纵坐标为1，故，， 则， 作差得， 所以， 因为，所以 则抛物线方程为，准线方程为 （2）解法一：依题意设直线的方程为，，，． 联立方程组整理得， 故 所以 因为，直线的方程为， 同理可得 所以 当且仅当，即时，取等号． 所以四边形面积的最小值为32． 解法二：依题意设直线的方程为，，，． 联立方程组整理得， 故． 所以 因为， 同理可得 所以 ， 当且仅当，即时，取等号． 所以四边形面积的最小值为32． 5.已知点在抛物线上，过点的直线与相交于两点，直线分别与轴相交于点. (1)当弦的中点横坐标为3时，求的一般方程; (2)设为原点，若，求证:为定值. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【详解】（1）由点在抛物线上，所以， 所以抛物线的方程为.设直线的方程为. 由，得.依题意， 解得且.且. 因为弦的中点横坐标为3，所以，即， 解得或，所以的一般方程为或. （2）直线的方程为， 又，令，得点的纵坐标为.所以， 同理得点的坐标为. 由，得，. 所以. 所以，即为定值. 题型04 直线与抛物线的位置关系 1.过抛物线焦点的直线交该抛物线于点M，N，已知点M在第一象限，过M作该抛物线准线的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，，则,在中，， 故， 即点的纵坐标为，代入中，解得， 则， 因，则直线的斜率为， 于是，代入，整理得：， 解得或，即. 故. 故选：C. 2.已知直线交曲线于，两点（点在点的上方），为的焦点，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】联立方程组，消元得， 设，，解得，， 易知过直线，根据抛物线的定义， 可得，， 所以. 故选：D. 3.（多选）在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（    ） A．的最小值为2 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 【答案】BC 【详解】由题意可知，抛物线的焦点，准线为，直线的斜率不为零， 设直线为，， 由，得， 因为， 所以， 所以， 所以， 对于A，因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4，所以A错误， 对于B，因为线段的中点为，，则 到轴的距离为，而以线段为直径的圆的半径为， 所以圆心到轴的距离等于圆的半径，所以以线段为直径的圆与轴相切，所以B正确， 对于C，因为 ，所以C正确， 对于D，因为 ，所以D错误， 故选：BC 4.（多选）过抛物线的焦点的直线与相交于A，B两点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A：因为直线经过点，可得，即，所以，故A正确； 对于B：设由，所以， 所以所以 所以所以与不垂直，故B不正确； ，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：ACD. 5.（多选）设抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．以为直径的圆与相切 C．以为直径的圆过坐标原点 D．为直角三角形 【答案】AC 【详解】设过点的直线为， 对于A，联立，得， ，， 所以，故A正确； 对于B，因为 ，， 所以，的中点为，所以以为直径的圆的圆心为， 又， 设圆的半径为，则， 所以， 又圆心到准线的距离为， 而，因为，所以， 所以以为直径的圆与相离，故B错误； 对于C，圆心到坐标原点的距离为， ， 所以，所以， 所以以为直径的圆过坐标原点，故C正确； 对于D，因为联立，得， 若，则上述方程为，解得：或， 取，则，则， 取，则，则， 又抛物线过焦点，所以，， ， 所以不为直角三角形，故D错误. 故选：AC. 6.设抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与抛物线C交于A、B两点，． (1)求l的方程； (2)求过点A、B且与抛物线C的准线相切的圆的方程． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）由题意得，l的方程为． 设、， 由得． ，故． 所以． 由题设知，解得（舍去），． 因此l的方程为． （2）由（1）得AB的中点坐标为， 所以AB的垂直平分线方程为，即． 设所求圆的圆心坐标为，则． 解得或． 因此所求圆的方程为或． 题型05 抛物线中有关最值问题 1.已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由抛物线知，焦点，准线方程为，根据题意作图如下；    点到直线的距离为，到准线的距离为， 由抛物线的定义知：， 所以点到直线和准线的距离之和为， 且点到直线的距离为， 所以的最小值为. 故选：D 2．已知抛物线，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，其中位于第一象限，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题意得，焦点坐标为， 当直线斜率不存在时，不满足交抛物线于两点，舍去， 设直线方程为，联立得，， 方程的判别式， 设， 则，， 则，， 其中的圆心为，半径为1， 故，同理可得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：C 3．已知抛物线的焦点为，上一点到焦点的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由点到焦点的距离为，即到准线的距离为， 故，，抛物线， 设，不妨设，设直线的方程为， 联立 化为， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立．   故选：B 4.已知抛物线的焦点与圆的圆心重合，直线与交于，两点，且满足：（其中为坐标原点且，均不与重合），对于下列命题： ①，；②直线恒过定点；③，中点轨迹方程：；④面积的最小值为16． 其中是真命题的有 ． 【答案】①③④ 【详解】由题意圆的标准方程是，圆心为，半径为1， 所以抛物线的焦点为，，，抛物线方程为， 直线斜率不为0，设方程为， 由，得，，即， 所以，， ， 得或（舍去，否则直线过原点）， 所以，． 直线方程为，过定点， 设中点为，则，， 消去参数得， 原点到直线的距离为， 所以， 所以时，为最小值． 正确答案有①③④． 故答案为：①③④ 5.已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且， （i）求证直线过定点； （ii）求与面积之和的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）抛物线， 其焦点为，准线方程为， 可得，且， 解得（另一个根舍去），， 则抛物线的方程为； （2） （i） 如图，设的方程为，， 联立，可得， 则，又，， 由，可得，解得（另一个根舍去）， 所以直线恒过定点； （ii）由上小问可得，不妨设， 则与面积之和为， ， 当且仅当，时，上式取得等号， 则与面积之和的最小值为． 6.已知抛物线的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别交于点，与在第一象限的交点为． (1)证明：直线与相切． (2)若直线与的另一交点分别为，直线与直线交于点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）由题意知， 设，则， 所以，所以， 所以直线的斜率为，方程为． 联立方程得， 因为，所以直线与相切． （2）    （ⅰ）设直线的方程为， 由可得，则，又因为，所以． 由（1）知，点，直线的斜率为，方程为， 由得，由， 得． 作，垂足为，则，直线的方程为， 将直线与的方程联立，得解得． 所以，所以， 由相似三角形的性质可得． （ⅱ）由（ⅰ）知，所以，故， 因为， 所以（当且仅当时等号成立）， 故，即的面积的最小值为． 1.为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 抛物线中时可得，且 则，取（如图）    ， ,又对称性可知. 故选；C. 2.已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于P，Q两点，若，则直线l倾斜角的正弦值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】 过P，Q分别作，垂直于准线，垂足分别为，，过Q作，垂足为R， 设，则，，． 故选：A. 3．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点C，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设抛物线的准线为， 过作于，过作于点，过作于， 设， 因为，所以， 所以， 所以， 在中，，所以， 因为，所以， 又，所以， 又由，可得， 所以，所以， 所以， 所以. 故选：B. 4.如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点A、B，交其准线于C，与准线垂直且垂足为，若，则此抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，分别过点作准线的垂线，垂足为， 设，则， 由抛物线的定义得 ， 在直角中，可得，所以， 在直角中，因为，可得， 由，所以，解得， 因为，所以，解得，所以抛物线方程为. 故选：C. . 5.（多选）设为抛物线：（）的焦点，为坐标原点，为上一点，且，则（    ） A． B． C．直线的斜率为 D．的面积为 【答案】ABD 【详解】由题意得，又，故解得，所以抛物线的方程为，焦点，故A，B正确；    由抛物线定义及，所以代入抛物线方程可得得， 所以，故C不正确； 则的面积，故D正确. 故选：ABD. 6．（2024·河北·统考模拟预测）（多选）已知抛物线C：的焦点为点在上，且弦的中点到直线的距离为5，则（    ） A． B．线段的长为定值 C．两点到的准线的距离之和为14 D．的最大值为49 【答案】CD 【详解】由抛物线的焦点为， 所以，则，A错误； 设，， 则由弦的中点到直线的距离为5，可得， 所以，当过点时，由抛物线的定义可得； 当时，， 所以的长不是定值，B错误； 两点到的准线的距离之和与相等，值为14，C正确；，当且仅当时等号成立， 故的最大值为49，D正确． 故选：CD． 7.（多选）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（    ） A．的准线方程为 B．周长的最小值为5 C．四边形可能是平行四边形 D．的最小值为 【答案】BD 【详解】对于选项A：因为抛物线的焦点为，准线方程为， 又点满足，则， 整理得，解得或（舍去）， 即抛物线， 所以准线方程为，焦点为，故A错误； 对于选项B：过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知， 则周长 ， 当且仅当、、三点共线时取等号， 所以周长的最小值为，故B正确； 对于选项C：过点作的平行线，交抛物线于点， 即，解得，即， 则， 所以四边形不是平行四边形，故C错误； 对于选项D：设，则， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确； 故选：BD 8.已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是双曲线的右顶点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于A、B两点，解决下列问题： （i）求弦长； （ii）求证：. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）双曲线，即，其右顶点为，则抛物线的焦点为， 而抛物线的顶点是坐标原点，所以抛物线的方程：. （2）（i）设，， 由消去x得：，则，， 于是， 所以. （ii）显然，， 则，显然，即， 所以.    9．已知曲线上任意一点到点的距离比它到直线的距离大1. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于，两点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设动点，动点到点的距离比它到直线的距离大， 即动点到点的距离等于它到直线的距离， ，两边平方， 化简可得. （2）设、，由，消去得， 则，所以，， 所以， 所以，即. 10.已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 【答案】(1) (2)16 【详解】（1）由题意， 如图， ∵， ∴， 又∵不在轴负半轴上， ∴与直线垂直， 又∵， ∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ∴点的轨迹方程为. （2） 由得， ∵与交于两点， ∴， 设，，则， 又∵， ∴， ∵的斜率为， ∴直线的方程为， 设，，同理得，， ∴ ， 当且仅当即时取到“=”， ∴的最小值为16. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$