专题04 锯齿模型-2025年初中数学几何模型全合集（不分教材通用版）

模型 4: “锯齿”模型 图示 特点 AB∥CD,点E,F在平行线内部,连接BE,EF,FC,且图形中至少有两个拐点 结论 ∠B+∠F=∠E+∠C(左角之和等于右角之和) 1. 找模型 平行线间至少有2个拐点，且拐点方向不一致 2. 用模型 过拐点作平行线，利用平行线性质解题 结论:∠B+∠F=∠E+∠C 证明:如图,过点E作MN∥AB,过点F作PQ∥AB. ∵AB∥CD, ∴AB∥MN∥PQ∥CD. ∴∠B=∠BEN,∠EFP=∠FEN,∠PFC=∠C, ∴∠B+∠EFP+∠PFC=∠BEN+∠FEN+∠C, ∴∠B+∠EFC=∠BEF+∠C. 拓展方向：研究拐点较多时可进行折分 图示 解法 拆分成“M”模型和一对内错角 拆分成2个“M”模型 例 如图,若直线a∥b,∠1=26°,∠3=∠4,则∠5的度数为 ( ) A. 60° 思路点拨：利用“锯齿”模型，直接求角度 针对训练 1. 如图, 点 E 在 AB 上,点 H在 CD 上,若∠AEF=43°,则∠GHD 的度数为 ( ) A. 43° B. 47° C. 92° D. 65° 1. A 【解析】∵EF∥GH,∴∠F=∠G,∵AB∥CD,∴ 由“锯齿”模型可知∠AEF+∠G =∠F+∠GHD,∴∠AEF=∠GHD=43°. 2. 如图,直线AB∥CD,∠1=∠2=30°,∠EFG=80°,∠GHI=45°,则∠FGH的大小是 ( ) A. 50° B. 60° C. 65° D. 70° 2. C 【解析】根据“锯齿”模型结论可知∠BEF+∠FGH+∠HID = ∠EFG+∠GHI,∵∠1=∠2=30°,∴ ∠BEF=∠1=∠HID=∠2 = 30°,∵∠EFG = 80°, ∠GHI = 45°, 3. 如图,AM∥EF,且∠A+∠B+∠D=180°,则2∠A+∠C+∠E的度数为 ( ) A. 75° B. 90° C. 135° D. 180° 3. D 【解析】由“锯齿”模型的结论可知∠A+∠C+∠E=∠B+∠D①,∵∠A+∠B+∠D=180°②,∴ ①+②整理得,2∠A +∠C +∠E=180°. 4. 如图①,已知AB∥CD,点E,F分别在线段AB,CD 上,连接EF,点G是EF上一点(不与点 E,F 重合),点 H 是线段 GF 上一点(不与点 G,F重合). (1)求证:∠BGH+∠GHD=∠B+∠D+180°; (2)如图②,点P是线段BG,DH之间一点,连接GP,PH,若 ，请直接写出. 与 的数量关系. 4. (1)证明:如解图,分别过点 G,H作GN,HM平行于AB, 由题意得AB∥GN∥HM∥CD, ∴∠1=∠B,∠2+∠3=180°,∠4=∠D, ∵∠BGH+∠GHD=∠1+∠2+∠3+∠4, ∴∠BGH+∠GHD=∠B+∠D+180°; (2)解:∠P,∠B 与∠D的数量关系为3∠P+∠B+∠D=360°. 【解法提示】根据“锯齿”模型结论可知∠B+∠D+∠P = ∠PGB +∠PHD, ∵ ∠BGP=2∠PGH,∠DHP=2∠PHG ,∴∠B+∠D+∠P=2∠PGH+2∠PHG, ∵∠PGH+∠PHG=180°-∠P, ∴ ∠B+∠D+∠P=2×(180°-∠P), ∴ ∠B +∠D +∠P = 360°-2∠P,∴∠B+∠D+3∠P=360° 课后练习 一、单选题 1．如图，，，则、、的关系是（    ） A． B． C． D． 1．C 【分析】过点、分别作的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得，，，然后根据整理即可得解． 本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线． 【详解】解：如图，过点、分别作的平行线、， ， ， ，，， ， ， ， ． 故选C． 2．如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．D 【分析】本题考查了平行的性质，作出相应的辅助线是解题的关键．过点作，过点作，可得，从而推出，，即可得到答案． 【详解】解：过点作，过点作， 故选：D． 3．如图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，注意掌握数形结合是解答此题的关键．首先过点作，由，可得，利用平行线的性质，即可求得与的度数，继而求得答案． 【详解】解：过点作， ， ，， ， 故选：D 4．如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．过点作，根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后整理即可得解. 【详解】解：过点作， （两直线平行，内错角相等）， ， （已知）， （平行于同一直线的两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ， ． 故选：C． 5．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．D 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的意义；分别过点D、E作的平行线，则可得，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，分别过点D、E作的平行线， ∵，， ∴， ∴，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 二、填空题 6．如图，，点为与之间两点，，若，，则 °． 6．26 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．分别过点E，F作，可得，从而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点E，F作， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∵， ∴． 故答案为：26． 三、解答题 7．已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内． (1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 7．(1)； ；；；；； (2)． 【分析】（）根据平行线的判定与性质即可求解； （）利用（）中的结论即可求解； 本题考查了平行线的性质和平行定理推论，熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，同理， 同理：； （2）由上可知：， ∵，， ∴． 8．如图①，直线，点P在两平行线之间，点E在上，点F在上，连接，． (1)若，，则的度数为________． (2)如图②，若点，在直线与之间，，，，则的度数为________． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则________． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，…，依次平分下去，则________．（用含，的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 8．(1)110 (2)80 (3)， (4) 【分析】（1）过点作，利用两直线平行，内错角相等，推出，，通过等量代换即可求出的度数． （2）过点作，过点作，利用两直线平行，内错角相等，推出，，，利用已知条件，通过等量代换即可求出的度数，从而求出度数． （3）利用第一问的方法推出，结合角平分线的定义即可推出，从而求出的度数；利用相同的方法，求出和的度数，发现之间规律，从而求出度数． （4）过点作，利用两直线平行，内错角和同位角相等，推出，，结合外角定义，利用已知条件，通过的呢过量代换即可求出与的数量关系． 【详解】（1）解：过点作，如图所示， ， ． ，， ，， ． 故答案为: 110． （2）解：过点作，过点作，如图所示， ， ． ，，． ， ，， ． ，，， ． 故答案为： 80． （3）解：过点作，如图所示， ， ． ，， ， ． 平分，平分， ，． ． ，， ． 按照上述方法可知，平分，平分， ． 同理可得，． ． 故答案为：，． （4）解：过点作交于点，如图所示， ，， ，， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线，外角定义，解题的关键在于学会掌握过拐点作平行线以及通过求角度，发现角度之间的规律问题． 9．探究题： (1)如图1，若，求证：； (2)若将图1中的点E移至图2的位置，其他条件不变，此时，，之间有什么关系？证明你的结论． (3)在图3中，，，，，，这五个角之间有何关系？直接写出结论，不用证明 9．(1)详见解析 (2)，详见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质以及角的计算，根据平行线的性质得出相等或互补的量是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可知，，再由角之间的关系即可得出结论； （2）过点作，由平行线的性质可知，，再由角之间的关系即可得出结论； （3）过点作，用（1）的结论可知，，再由角之间的关系即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作，如图1所示．   ， ， ， ， ． （2） 证明如下： 过点作，如图2所示．   ， ， ， ， ， ， ． （3）过点作，如图3所示． ，结合（1）结论， ， ，结合（1）结论， ， 又， ． 10．问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界．图为河南鹤壁市淇县的一段盘山公路，数学活动课上，老师把山路抽象成数学模型，并提出了以下问题： (1)如图，，，，求的度数； (2)如图改为图，其中，，，，求的度数； (3)如图，，试问，，，，，，的关系是什么？请直接写出你的结论． 10．(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查的知识点是平行于同一条直线的两直线互相平行、平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质． （1）作交于点，可推得，再根据两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补即可求出； （2）作交于点，作交于点，推得后，再根据两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补即可得出； （3）作交于点，作交于点，作交于点，作交于点，作交于点，推得后，根据两直线平行，内错角相等即可得到各角之间的关系． 【详解】（1）解：作交于点， ， ， ，， ， ∴． （2）解：作交于点，作交于点， ， ， ，，， 又，，， ，， ， ． （3）解：作交于点，作交于点， 作交于点，作交于点， 作交于点， ， ，，， ，，， 又，，， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型 4: “锯齿”模型 图示 特点 AB∥CD,点E,F在平行线内部,连接BE,EF,FC,且图形中至少有两个拐点 结论 ∠B+∠F=∠E+∠C(左角之和等于右角之和) 1. 找模型 平行线间至少有2个拐点，且拐点方向不一致 2. 用模型 过拐点作平行线，利用平行线性质解题 结论:∠B+∠F=∠E+∠C 证明:如图,过点E作MN∥AB,过点F作PQ∥AB. ∵AB∥CD, ∴AB∥MN∥PQ∥CD. ∴∠B=∠BEN,∠EFP=∠FEN,∠PFC=∠C, ∴∠B+∠EFP+∠PFC=∠BEN+∠FEN+∠C, ∴∠B+∠EFC=∠BEF+∠C. 拓展方向：研究拐点较多时可进行折分 图示 解法 拆分成“M”模型和一对内错角 拆分成2个“M”模型 例 如图,若直线a∥b,∠1=26°,∠3=∠4,则∠5的度数为 ( ) A. 60° 思路点拨：利用“锯齿”模型，直接求角度 针对训练 1. 如图, 点 E 在 AB 上,点 H在 CD 上,若∠AEF=43°,则∠GHD 的度数为 ( ) A. 43° B. 47° C. 92° D. 65° 2. 如图,直线AB∥CD,∠1=∠2=30°,∠EFG=80°,∠GHI=45°,则∠FGH的大小是 ( ) A. 50° B. 60° C. 65° D. 70° 3. 如图,AM∥EF,且∠A+∠B+∠D=180°,则2∠A+∠C+∠E的度数为 ( ) A. 75° B. 90° C. 135° D. 180° 4. 如图①,已知AB∥CD,点E,F分别在线段AB,CD 上,连接EF,点G是EF上一点(不与点 E,F 重合),点 H 是线段 GF 上一点(不与点 G,F重合). (1)求证:∠BGH+∠GHD=∠B+∠D+180°; (2)如图②,点P是线段BG,DH之间一点,连接GP,PH,若 ，请直接写出. 与 的数量关系. 课后练习 一、单选题 1．如图，，，则、、的关系是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，，点为与之间两点，，若，，则 °． 三、解答题 7．已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内． (1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 8．如图①，直线，点P在两平行线之间，点E在上，点F在上，连接，． (1)若，，则的度数为________． (2)如图②，若点，在直线与之间，，，，则的度数为________． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则________． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，…，依次平分下去，则________．（用含，的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 9．探究题： (1)如图1，若，求证：； (2)若将图1中的点E移至图2的位置，其他条件不变，此时，，之间有什么关系？证明你的结论． (3)在图3中，，，，，，这五个角之间有何关系？直接写出结论，不用证明． 10．问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界．图为河南鹤壁市淇县的一段盘山公路，数学活动课上，老师把山路抽象成数学模型，并提出了以下问题： (1)如图，，，，求的度数； (2)如图改为图，其中，，，，求的度数； (3)如图，，试问，，，，，，的关系是什么？请直接写出你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$