精品解析：重庆市第十八中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

重庆市第十八中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题 一．选择题（每题4分，共12小题） 1. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 如图，，平分交于点E，若，则 （　　） A B. C. D. 3. 一辆汽车行驶速度（km/h）与时间（min）之间的变化关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A. 时间是因变量，速度是自变量 B. 汽车在时匀速行驶 C. 汽车在时匀速行驶 D. 汽车最快的速度是 4. 以下命题正确的是（　　） A. 邻边相等的平行四边形是矩形 B. 三角形的外角等于两个内角的和 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，ABC与DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如果，那么的取值范围是（　　） A B. C. D. 7. 如图，是的直径，点D在的延长线上，，与相切于点E，与相切于点B交的延长线于点C，若的半径为1，的长是（　　） A. B. C. D. 8. 端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图所示，正方形ABCD中，，点E为BC中点，于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（ ） A. B. 4 C. D. 10. 若关于x的方程的解为负数，且关于x的不等式组无解．则所有满足条件的整数a的值之积是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 如图，在面积为的矩形中，边落在轴上，反比例函数经过点交于点，且，则的值为（　　） A. 5 B. C. D. 10 12. 定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，，，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”：例如：1，-3，1，因为，，，所以1，2，3的“极数”为，下列说法正确的个数为（　　） ①3，1，-4的“极数”是36； ②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数； ③存在2个数m，使得m，-6，2的极数为； A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二．填空题（每题4分，共4小题） 13. 计算：＝_________． 14. 从，0，3中取一个数记为，再从，0，2中取一个数记为，则使一次函数的图象不过第四象限的概率是___________． 15. 如图，在菱形ABCD中，，，分别以A、C为圆心，AC为半径作弧，则图中阴影部分面积等于______． 16. 一家快餐店销售A、B、C三种套餐，其中A套餐包含一荤两素，B套餐包含两荤一素，C套餐包含两荤两素，每份套餐中一荤成本相同，一素的成本也相同，一份A套餐售价是一份B套餐售价的，一份C套餐的利润率是100%．一天下来，发现A套餐和B套餐的销量相同，C套餐销售总价是B套餐销售总价的12倍，且C套餐的销售总利润是A、B套餐销售总利润之和的8倍，则C套餐与A套餐这一天的销量之比为_________． 三．解答题（17、18每题8分，19-25每题10分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在矩形中，为对角线． （1）用尺规完成以下作图：作的垂直平分线分别交于点E，F．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若，求的长． 19. 3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙”为进一步提高学生学习数学的兴趣．某校开展了一次数学趣味知识竞赛，并从男、女生中各随机抽取了20名学生的成绩（满分100分，成绩得分用x（分）表示，共分为五组：A．；B．；C．；D．；E．；其中记为优秀），相关数据统计、整理如下： 男生被抽取的学生竞赛成绩：52，58，58，60，64，70，72，74，74，76，76，78，80，86，86，86，88，90，94，98． 女生被抽取的学生竞赛成绩中，C组的具体分数为：70，72，74，76，76，76，78，78． 男、女生被抽取的竞赛成绩统计表： 性别 男生 女生 平均数 76 76 中位数 76 众数 87 优秀率 40% 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据分析，从一个方面评价该校男、女生本届数学趣味知识竞赛成绩谁更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校共有3000人，请你估计该校学生中竞赛成绩优秀有多少人？ 20. 已知一次函数和反比例函数（）的图像分别都过 两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式，并在给出的直角坐标系中直接画出一次函数和反比例函数的图像； （2）已知点C是点B关于y轴的对称点，连接，求的面积： （3）根据图像，直接写出满足的x的取值范围． 21. 为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上；继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上． （1）求的度数； （2）已知在灯塔P的周围30海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 22. 一个三位数各个数位上的数字均不相等，若将的个位上的数字移到最左边得到一个新的三位数，且被4除余1，再将的个位上的数字移到最左边得到另一个新的三位数，且被4除余2，则称原数为4的“友谊数”．例如：三位数，则，且，，且，所以256是4的“友谊数”． （1）分别判断自然数和是否是“友谊数”，并请说明理由． （2）若“友谊数”百位上的数字是，十位上的数字是1，个位上的数字是，其中，重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，其最大数与最小数的差记为，若为整数，求出所有符合条件的． 23. 社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车区，要铺花砖，其余部分是通道，且宽度相等．已知铺花砖的面积为640平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．为了维护消费者利益，物价部门规定，每个车位租金不得超过500元，要想让停车场的月租金收入为14400元，每个车位的月租金应上涨多少元？ 24. 如图1，抛物线与x轴正半轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且，点D为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为直线下方该抛物线上任意一点，点E为直线与该抛物线对称轴的交点，求面积的最大值； （3）如图2，将该抛物线沿射线的方向平移个单位后得到新抛物线，新抛物线的顶点为，过（2）问中使得面积为最大时的点P作平行于y轴的直线交新抛物线于点M．在新抛物线的对称轴上是否存在点N，使得以点P，，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在中，，． （1）如图1，点为内一点，连接，过点作，，连接，，，已知，，当、、三点共线时，求四边形的面积； （2）如图2，在上取点，连接，过点作于点，，取中点，连接，，在上取点，过点作交于点，，求证：； （3）如图3，在上取点，连接，将沿翻折至处，在上取点，连接，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十八中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题 一．选择题（每题4分，共12小题） 1. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合． 2. 如图，，平分交于点E，若，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图：根据平角的定义及角平分线的性质求得的度数，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的性质是解答本题的关键． 3. 一辆汽车行驶的速度（km/h）与时间（min）之间的变化关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A. 时间是因变量，速度是自变量 B. 汽车在时匀速行驶 C. 汽车在时匀速行驶 D. 汽车最快的速度是 【答案】C 【解析】 【分析】观察图像，结合题意，明确横轴与纵轴的意义，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：速度是因变量，时间是自变量，故选项A不合题意； 汽车在时，速度在增加，故选项B不合题意； 汽车时，匀速运动，故选项C符合题意； 汽车最快的速度是，故选项D不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查函数的应用，解题的关键是掌握函数的图像和实际意义的关系． 4. 以下命题正确的是（　　） A. 邻边相等的平行四边形是矩形 B. 三角形的外角等于两个内角的和 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】利用矩形的判定方法、三角形的外角的性质、菱形的判定方法等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A.邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意； B.三角形的外角等于两个不相邻的内角的和，故原命题错误，不符合题意； C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，符合题意； D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形的判定方法、三角形的外角的性质、菱形的判定方法等知识． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，ABC与DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到ABDE，求出，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵A（1，0），D（3，0）， ∴OA＝1，OD＝3， ∵△ABC与△DEF位似， ∴ABDE， ∴＝＝， ∴△ABC与△DEF的位似比为1：3， ∵点B的坐标为（2，1）， ∴E点的坐标为（2×3，1×3）， 即E点的坐标为（6，3）， 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出△ABC与△DEF的位似比是解题的关键． 6. 如果，那么的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得出的大小即可． 【详解】解: 而 , 即 , 故选：B 【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提． 7. 如图，是的直径，点D在的延长线上，，与相切于点E，与相切于点B交的延长线于点C，若的半径为1，的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据切线长定理得 ，根据切线的性质求出 ，再根据勾股定理求出，进而求出． 【详解】如图，连接， 与相切于点E 的半径为1 为直径 在 中， 与相切于点E，与相切于点B 设， 在中， ． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，切线长定理等，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 8. 端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为元，每天可售出袋，利用总利润=每袋的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为元，每天可售出袋， 依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 如图所示，正方形ABCD中，，点E为BC中点，于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，根据正方形的性质以及已知条件，求得，，进而求得，设，则，根据，求得，在中，勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 正方形ABCD 正方形ABCD中，，点E为BC中点， 设，则 解得 ， 在中， 故选B 【点睛】本题考查了求正切值，正方形性质，勾股定理，根据题意作出辅助线是解题的关键． 10. 若关于x的方程的解为负数，且关于x的不等式组无解．则所有满足条件的整数a的值之积是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】分别解分式方程和不等式组，从而得出a的范围，从而得整数a的取值，进而得所有满足条件的整数a的值之积． 【详解】解：将分式方程去分母得： 解得： ∵解为负数 ∴ ∴ ∵当时；时，，此时分式的分母为0， ∴，且； 将不等式组整理得： ∵不等式组无解 ∴ ∴a的取值范围为：，且 ∴满足条件的整数a的值为：1，2 ∴所有满足条件的整数a的值之积是2． 故选：C． 【点睛】本题考查了含参数分式方程和含参数一元一次不等式组的解的问题，注意分式方程取增根的情况及明确不等式组解集的取法，是解题的关键． 11. 如图，在面积为的矩形中，边落在轴上，反比例函数经过点交于点，且，则的值为（　　） A. 5 B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据点在反比例函数图像上表示出点坐标，根据矩形性质和条件，表示出，代入反比例函数即可求出解析式． 【详解】解：设，在上， 则， 是矩形， 在上， ， 矩形面积为， ， 解得：， 故选B． 【点睛】本题考查了反比函数的综合运用；根据反比例函数解析式和矩形性质表示出点坐标是解题的关键． 12. 定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，，，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”：例如：1，-3，1，因为，，，所以1，2，3的“极数”为，下列说法正确的个数为（　　） ①3，1，-4的“极数”是36； ②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数； ③存在2个数m，使得m，-6，2的极数为； A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据极数定义分别求值即可判断①对错；根据极数定义分别求值，得到，即可判断②对错；根据极数定义分别求值，列出分式方程并求解即可判断对错． 【详解】解：，，， 3，1，-4的“极数”是36，①正确； ，，， 若x，y，0的“极数”为0，则， 和不能同时正数， 和中至少有1个数是负数，②正确； ，，， 若m，-6，2的极数为， 或， 解得：或（不合题意舍）， 存在2个数m，使得m，-6，2的极数为说法错误，③错误， 综上所述，说法正确的个数为2， 故选C． 【点睛】本题考查了实数的运算，分式方程，正确理解“极数”定义是解题关键． 二．填空题（每题4分，共4小题） 13. 计算：＝_________． 【答案】－6 【解析】 【分析】根据求一个数的算术平方根，零次幂，负整指数幂计算即可求解． 【详解】解：原式＝ 故答案为：-6 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握求一个数的算术平方根，零次幂，负整指数幂是解题的关键． 14. 从，0，3中取一个数记为，再从，0，2中取一个数记为，则使一次函数的图象不过第四象限的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出树状图，可得到一共有9种等可能结果，再由一次函数的图象的性质，可得使一次函数的图象不过第四象限的有2种，即可求解． 【详解】解∶根据题意，画出树状图，如下： 可得到一共有9种等可能结果， ∵当时，一次函数的图象不过第四象限， ∴使一次函数的图象不过第四象限的有2种， ∴使一次函数的图象不过第四象限的概率是． 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质以及用画树状图法或列表法求概率的知识，根据一次函数的图象和性质确定是解答本题的关键． 15. 如图，在菱形ABCD中，，，分别以A、C为圆心，AC为半径作弧，则图中阴影部分面积等于______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质，结合cm，cm，求出，得出，算出扇形ADB的面积，再算出菱形的面积，最后根据图中阴影部分的特点，算出阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ，，，， cm，cm， ∴cm，cm， （cm）， ， ∴， （cm2）， （cm2）， （cm2）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，根据特殊角的三角函数值求角度，扇形面积的计算，熟练掌握菱形的性质和扇形面积的计算公式，是解题的关键． 16. 一家快餐店销售A、B、C三种套餐，其中A套餐包含一荤两素，B套餐包含两荤一素，C套餐包含两荤两素，每份套餐中一荤成本相同，一素的成本也相同，一份A套餐售价是一份B套餐售价的，一份C套餐的利润率是100%．一天下来，发现A套餐和B套餐的销量相同，C套餐销售总价是B套餐销售总价的12倍，且C套餐的销售总利润是A、B套餐销售总利润之和的8倍，则C套餐与A套餐这一天的销量之比为_________． 【答案】 【解析】 【分析】可设一荤成本为，一素成本为，、的销量为，的销量为，根据一份套餐售价是一份套餐售价的，套餐销售总价是套餐销售总价的12倍，套餐的销售总利润是、套餐销售总利润之和的8倍，列出等式，进一步即可求解． 【详解】解：设一荤成本为，一素成本为，的利润为，的利润为，、的销量为，的销量为，依题意有： ，即， ， ①②得：， ， ， ， ， 将代入①中，得：， ． 故套餐与套餐这一天的销量之比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查应用类问题，解题关键是分别列出各套餐成本及利润． 三．解答题（17、18每题8分，19-25每题10分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘法，再合并，即可求解； （2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则，分式的混合运算法则是解题的关键． 18. 如图，在矩形中，为对角线． （1）用尺规完成以下作图：作的垂直平分线分别交于点E，F．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的作图步骤以及性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图步骤作图即可． （2）由线段垂直平分线的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求得x的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 解：连接， ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 设， 则， 由勾股定理得，， 解得， ∴的长为． 19. 3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙”为进一步提高学生学习数学的兴趣．某校开展了一次数学趣味知识竞赛，并从男、女生中各随机抽取了20名学生的成绩（满分100分，成绩得分用x（分）表示，共分为五组：A．；B．；C．；D．；E．；其中记为优秀），相关数据统计、整理如下： 男生被抽取的学生竞赛成绩：52，58，58，60，64，70，72，74，74，76，76，78，80，86，86，86，88，90，94，98． 女生被抽取的学生竞赛成绩中，C组的具体分数为：70，72，74，76，76，76，78，78． 男、女生被抽取的竞赛成绩统计表： 性别 男生 女生 平均数 76 76 中位数 76 众数 87 优秀率 40% 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据分析，从一个方面评价该校男、女生本届数学趣味知识竞赛成绩谁更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校共有3000人，请你估计该校学生中竞赛成绩优秀的有多少人？ 【答案】（1） （2）女生本届数学趣味知识竞赛成绩谁更优异，理由见解析 （3）该校学生中竞赛成绩优秀的有1200人 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得女生各组的人数，即可求出中位数和优秀率，根据众数的定义即可求出男生的众数； （2）根据众数的比较，即可得出结论； （3）根据男生、女生的优秀率均为40%，列式求解即可． 【小问1详解】 女生被抽取的学生竞赛成绩中，C组有8个，占总数的， A、B、E组各有个 则D组占总数的，即个 女生成绩的中间两个数都在C组，为76，78， 中位数为76，即； 女生被抽取的学生竞赛成绩中，大于等于80分的有D、E两个组的人数，共8个， 优秀率，即； 男生被抽取的学生竞赛成绩中，出现次数最多的是86， 众数为86，即； 故答案为：； 【小问2详解】 女生的众数高于男生的众数， 女生本届数学趣味知识竞赛成绩谁更优异； 【小问3详解】 人， 所以，该校学生中竞赛成绩优秀的有1200人． 【点睛】本题考查了统计表和扇形统计图，涉及中位数、众数、优秀率及用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键． 20. 已知一次函数和反比例函数（）的图像分别都过 两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式，并在给出的直角坐标系中直接画出一次函数和反比例函数的图像； （2）已知点C是点B关于y轴的对称点，连接，求的面积： （3）根据图像，直接写出满足的x的取值范围． 【答案】（1），，画图见解析 （2）5 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用矩形的面积减去三个三角形的面积即可求解； （3）根据图像直接写出解集即可． 【小问1详解】 解：（1）∵一次函数和反比例函数（）的图像分别都过 两点． ∴， ∴， ∴一次函数和反比例函数的解析式为， 绘制函数图像如图所示： 【小问2详解】 解：如图：∵点C是点B关于y轴的对称点， ∴， 令，可得，即 ∴A点坐标为 ∴的面积为 【小问3详解】 解：如图：∵一次函数和反比例函数（）的图像分别都过 两点 ∴观察图像可得满足的x的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数的解析式、三角形的面积、轴对称的性质等知识点，求出两函数的解析式并掌握数形结合思想是解题的关键． 21. 为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上；继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上． （1）求的度数； （2）已知在灯塔P的周围30海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】（1） （2）海监船继续向正东方向航行是安全的． 【解析】 【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题； （2）作PD⊥AB于D．求出PD的值即可判定． 【小问1详解】 解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D， 由题意得，∠PAB=30°，∠PBD=60°， ∴∠APB=∠PBD-∠PAB=30°， 故∠APB的度数为30°； 【小问2详解】 由（1）可知∠APB=∠PAB=30°， ∴PB=AB=60（海里） 在Rt△PBD中，PD=BPsin60°=（海里）， ∵＞30， ∴海监船继续向正东方向航行是安全． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 22. 一个三位数各个数位上的数字均不相等，若将的个位上的数字移到最左边得到一个新的三位数，且被4除余1，再将的个位上的数字移到最左边得到另一个新的三位数，且被4除余2，则称原数为4的“友谊数”．例如：三位数，则，且，，且，所以256是4的“友谊数”． （1）分别判断自然数和是否是“友谊数”，并请说明理由． （2）若“友谊数”百位上的数字是，十位上的数字是1，个位上的数字是，其中，重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，其最大数与最小数的差记为，若为整数，求出所有符合条件的． 【答案】（1）是4的“友谊数”， 不是4的“友谊数”，理由见解析 （2）或或 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整除，列代数式，确定的值是解题的关键． （1）根据新定义进行计算即可判断； （2）依题意，根据新定义求得，，根据整除，确定的值即可求解，进而求得符合题意的数． 【小问1详解】 解：，则，且，，且， ∴是4的“友谊数”； ∵，则，且， ∴不是4的“友谊数”； 【小问2详解】 依题意， ∵是“友谊数”， ∴，是整数， 即能被4整除， ∴， ，是整数， ∴能被4整除， ∵， 当时，不能被4整除，舍去， 当时，被4整除，则或或， 当时，被4整除，则， 当时，被4整除，则， 综上所述，这些数为， ∵，，，，， ∴或或． 23. 社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车区，要铺花砖，其余部分是通道，且宽度相等．已知铺花砖的面积为640平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．为了维护消费者利益，物价部门规定，每个车位租金不得超过500元，要想让停车场的月租金收入为14400元，每个车位的月租金应上涨多少元？ 【答案】（1）6； （2）40 【解析】 【分析】（1）设通道的宽为x米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设每个车位的月租金上涨a元，则租出的车位数量为个，再根据“月租金=每个车位的月租金×租出的车位数”列方程并求解． 【小问1详解】 解：设通道的宽为x米， 根据题意，得， ， ， 或（不符合实际，舍去）， 答：通道的宽是6米； 【小问2详解】 解：设每个车位的月租金上涨a元，停车场的月租金收入为14400元， 根据题意，得， 整理，得， 解得，或， ， 不符合题意，舍去， （元） 故每个车位的月租金应上涨40元时，停车场的月租金收入为14400元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找出等量关系列出方程是解答此题的关键． 24. 如图1，抛物线与x轴正半轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且，点D为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为直线下方该抛物线上任意一点，点E为直线与该抛物线对称轴的交点，求面积的最大值； （3）如图2，将该抛物线沿射线的方向平移个单位后得到新抛物线，新抛物线的顶点为，过（2）问中使得面积为最大时的点P作平行于y轴的直线交新抛物线于点M．在新抛物线的对称轴上是否存在点N，使得以点P，，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，N点坐标为或 【解析】 【分析】（1）求出A，B两点的坐标，再由待定系数法即可求出函数表达式； （2）设，先求出直线的解析式为，则与对称轴的交点为，可得，即可得出结论； （3）求出平移以后得抛物线的解析式为，则，设，分；两种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时，，②当为平行四边形的对角线时，． 【小问1详解】 令，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 将，代入， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得， ∴， ∴， 设，直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴与对称轴的交点为， ∴， ∴当时，面积的最大值为； 【小问3详解】 存在点N，使得以点P，，M，N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵直线的解析式为， ∴将该抛物线沿射线的方向平移个单位，即抛物线沿x轴正方向平移2个单位，沿y轴负方向平移2个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∴， 由（2）知，， ∵轴， ∴， 设， ∵， ∴与一定是平行四边形的一组对边， ①当为平行四边形的对角线时， ∴，即， 解得， ∴； ②当为平行四边形的对角线时， ∴，即， 解得， ∴； 综上所述：N点坐标为或． 【点睛】本题综合考查二次函数和平行四边形的相关知识，属于压轴题，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，函数图象的平移的性质是解题的关键． 25. 如图，在中，，． （1）如图1，点为内一点，连接，过点作，，连接，，，已知，，当、、三点共线时，求四边形的面积； （2）如图2，在上取点，连接，过点作于点，，取中点，连接，，在上取点，过点作交于点，，求证：； （3）如图3，在上取点，连接，将沿翻折至处，在上取点，连接，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的最小值． 【答案】（1）； （2）见解析 （3）的最小值为． 【解析】 【分析】（1）分别求出和的面积，再求和即可； （2）连接，证明，推出，再证明即可证明； （3）取中点M，连接，分别求出的长度即可求出最小值． 【小问1详解】 解：如图1，作于H． ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中：， ∴， ∴，， ∴， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，连接，连接交于点P，设与交于点Q． ∵，G为中点， ∴，，， ∵于F， ∴， ∵， ∴，即， 在和中：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，取中点M，连接，连接交于点N，作于点P，设交于点Q． 由轴对称性质可知：，垂直平分， 即，， ∴， ∵， ∴，即， ∵于点H， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 设，则，， 设，则， 同理可证， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵M为中点，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当且仅当A、H、M三点共线时，取得最小值为． 【点睛】本题为几何综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定性质、几何变换、三角形三边关系等重要知识点．熟练掌握常用几何定理和模型是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $