精品解析：河南省濮阳市2024届高三下学期数学模拟试题（三）

2024年高考数学模拟试题（三） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求出，由此得到虚部. 【详解】 复数的虚部为 本题正确选项： 【点睛】本题考查复数的运算及复数的基本概念，属于基础题. 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简抛物线的方程为，求得，即可求得抛物线的焦点到准线的距离，得到答案. 【详解】由题意，抛物线，可得，所以，解得， 则抛物线的焦点到准线的距离为. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及简单的几何性质，其中解答中熟记抛物线的几何性质是解答的关键，属于基础题. 3. 某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题意先计算出母线长，再求出底面半径，从而可求出圆锥的高，进而可求出轴截面的面积 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形， 所以，解得， 因为，所以，得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的轴截面的面积是， 故选：C. 4. 已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得. 【详解】依题意，在方向上的投影向量为，则，而， 所以. 故选：A 5. 某班派遣五位同学到甲、乙、丙三个街道打扫卫生．每个街道至少有一位同学去，至多有两位同学去，且两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】先安排，再将剩余3人分别两组，和两个街道进行全排列，求出答案. 【详解】由题意得，学生的分配人数分别为2，2，1， 由于两位同学去同一个街道，故先从3个街道中选择1个安排，有种， 再将剩余3人分别两组，和两个街道进行全排列，有 故不同的派遣方法有种. 故选：A. 6. 如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象的性质结合函数图象求解即可. 【详解】如图，因为的周期为，所以， ， 所以折成直二面角时，， 解得，所以， 所以，， 因为，所以或， 又因为函数在轴右侧附近单调递减，所以． 故选：D. 7. 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究其图象性质，再将问题转化为的零点的分布情况，从而列式即可得解. 【详解】令，得，即， 记，则，对求导得， 因为当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且当时，且，当时，，当时，， 则函数的大致图象如图， 记，由于有三个不同的零点， 所以必有两个不同的零点，记为， 当时，有，即，无解； 当时，有，即，无解； 当时，有，即， 解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握二次函数的零点的分布情况，数形结合得到关于的不等式组，从而得解. 8. 点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴可设，代入椭圆方程可求得圆的半径，根据为锐角三角形，可构造关于的齐次不等式，进而配凑出离心率，解不等式即可求得结果. 【详解】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为锐角三角形，，， ，即，解得：， 即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（ ） A. 数据的第75百分位数是6 B. 若事件的概率满足，则 C. 由两个分类变量的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断独立 D. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求出第75百分位数，从而判定A；由互斥加法的概率公式、条件概率公式判定B；根据，可判定C；根据直线方程斜率为负值，可知相关系数为负值，根据所有点都在直线上，可知相关系数绝对值为1，进而可知相关系数，从而判定D. 【详解】对于A，9个数据从小到大排列，由于，所以第75百分位数应该是第7个数8，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，不可判断独立，故C错误； 对于D，样本点都在直线，说明是负相关且为线性函数关系，所以相关系数为，故D正确， 故选：BD. 10. 如图，正方体的棱长为4，点是其侧面上的一个动点（含边界），点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得二面角大小为 B. 存在点，使得平面与平面平行 C. 当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为 D. 当为的中点时，四棱锥外接球的表面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意，证得，得到二面角的平面角，可得判定A错误；利用线面平行的判定定理分别证得平面，平面，结合面面平行的判定定理，证得平面平面，可判定B正确；取中点，证得，得到，得到点在侧面内运动轨迹是以为圆心、半径为的劣弧，可判定C正确；当为中点时，连接与交于点，求得，得到四棱锥外接球的球心为，进而可判定D错误. 【详解】对于A，在正方体中，可得平面， 因为平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为，其中，所以A错误； 对于B，如图所示，当M为中点，为中点时， 在正方体中，可得， 因为平面，且平面，所以平面， 又因为，且平面，且平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面，所以B正确； 对于C，如图所示，取中点，连接，，， 在正方体中，平面，且， 所以平面，因为平面，可得， 则， 则点在侧面内运动轨迹是以为圆心、半径为2的劣弧， 分别交，于，如图所示，则， 结合对称性可知，， 则，劣弧的长为，所以C正确； 对于D，当为中点时，可得为等腰直角三角形，且平面平面， 连接与交于点，可得， 所以四棱锥外接球的球心即为与的交点， 所以四棱锥外接球的半径为，其外接球的体积为，所以D错误. 故选：BC. 11. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 是周期函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，可判定A正确；令，得到，可判定B错误；根据题意，推得，得到的周期为，令，求得，结合函数的周期性，求得，可判定D正确． 【详解】对于A，由对于任意都满足， 令，则，所以A正确； 对于B，令，可得，即， 所以函数关于点对称，所以B错误； 对于C，又由为偶函数知关于直线对称，即， 可得，则，所以， 所以函数的周期为，故C正确； 对于D，令，则， 可得， 所以，所以D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出函数的周期为，并利用函数性质求出，由此即可顺利得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将原问题等价转换为对于任意恒成立，只需求出不等式右边代数式的最小值即可得解. 【详解】若，则对于任意恒成立， 即对于任意恒成立， 根据二次函数性质可知，当时，， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知数列的通项公式为的通项公式为．记数列的前项和为，则______，的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由题可得，根据等比数列及等差数列的求和公式可得，利用数学归纳法可得时，，时，，进而即得. 【详解】由题可知， 所以， ， 令，则， 当时，，即， 下面用数学归纳法证明： 当时，成立，假设时，成立， 当时，， 即时也成立， 所以当时，，即， 所以时，，时，， 所以当时，有最小值，最小值为. 故答案为：；. 14. 设，记为三个数中最大的数，则的最小值_________． 【答案】2 【解析】 【分析】分类讨论的大小关系，转化为利用均值不等式求两个正数和的最小值，可分析最大值不小于和的一半，即可得出结论. 【详解】由， ①当时，， 而，可得至少有一个不小于2, 则的最小值为2； ②当时， ， 而，可得至少有一个不小于2， 的最小值不小于2. 综上，的最小值为2. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，设满足条件和． （1）求角和； （2）求． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理求出，结合条件利用正弦定理化边为角可得答案； （2）先根据倍角公式求出，再利用两角和的余弦公式可求答案. 【小问1详解】 由余弦定理得．因为，所以． 由已知条件，应用正弦定理 ， 即，所以． 【小问2详解】 因为，所以．又， 所以，所以． 因为，所以． 16. 如图，侧面水平放置的正三棱台，且侧棱长为． （1）求证：平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 延长三条侧棱交于一点，如图所示． 由于，则为的中位线． 又侧棱长为，所以．所以，所以， 同理可得． 因为是平面内两条相交直线，所以平面，即平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）延长三条侧棱交于一点，可得为的中位线．由已知可得，从而由勾股定理的逆定理可得，同理可得，由线面垂直的判定定理可证得结论， （2）由（1）可得两两垂直，所以可以以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，可以以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则． 设平面的一个法向量为， 由于， 所以， 即平面的一个法向量为， 所以直线和平面所成角的正弦值为． 17. 黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数（为常数）密切相关，请解决下列问题： （1）当时，求在点处的切线方程； （2）当时，证明有唯一极值点． 【答案】（1）． （2） 由题意得， 令， ，令，可得，依题意得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又，所以，又因为， 所以，存在唯一． 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以存在唯一极大值点，且． 【解析】 【分析】（1）求导可得，进而求得，可求切线方程； （2）易知当时，由可知存在唯一变号零点，即可知有唯一极大值点. 【小问1详解】 当时，， 此时，又， 所以在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 略 18. 已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上． （1）求的方程； （2）若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，为定值． 【解析】 【分析】（1）根据已知列方程组求解求出双曲线方程； （2）先联立方程组求出两根和两根积，再应用弦长公式，最后计算得出定值. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为， 由题意可得，解得，所以的方程为． 【小问2详解】 假设存在常数满足条件，由（1）知， 设直线， 联立方程得，消去，整理可得， 所以，， ． 因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以两点在轴同侧，所以． 此时，即，所以． 设，将代入抛物线方程，得， 则， 所以 ． 所以． 故当时，为定值，所以，当时，为定值． 19. 现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失．设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立．设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中． （1）设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望； （2）设结束后，细胞数量为的概率为． （ⅰ）求； （ⅱ）证明：． 【答案】（1） 1 2 3 4 （2）（ⅰ）； （ⅱ）代表分裂后有3个细胞的概率，设细胞在后分裂为2个新的细胞， 这2个细胞在剩下的中，其中一个分裂为2个细胞，一个保持一直分裂为1个细胞， 此事件的概率， 得， ， 其中．令， 记，令，得． 当单调递增；当单调递减． 故，所以． 【解析】 【分析】（1）求出的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列，利用期望公式求出期望； （2）（i）求出第时分裂为2个细胞的概率，再用等比数列求和公式，即可求解； （ii）求出第时分裂为3个细胞的概率，再用等比数列求和公式，求出，再利用导数法确定函数的单调性，从而确定最值，即可得证. 【小问1详解】 结束后，的取值可能为，其中， ， 所以分布列为 1 2 3 4 ． 【小问2详解】 （ⅰ）表示分裂结束后共有2个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成2个细胞. 不妨设在第时分裂为2个细胞，之后一直有2个细胞，此事件概率 ， 所以． （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个，一是求解时，利用等比数列的知识求解；二是求解的最值时，根据解析式的特点，利用导数来求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年高考数学模拟试题（三） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为 A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 6 D. 12 5. 某班派遣五位同学到甲、乙、丙三个街道打扫卫生．每个街道至少有一位同学去，至多有两位同学去，且两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 6. 如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（ ） A. 数据的第75百分位数是6 B. 若事件的概率满足，则 C. 由两个分类变量的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断独立 D. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 10. 如图，正方体的棱长为4，点是其侧面上的一个动点（含边界），点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得二面角大小为 B. 存在点，使得平面与平面平行 C. 当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为 D. 当为的中点时，四棱锥外接球的表面积为 11. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 是周期函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则实数的取值范围为______． 13. 已知数列的通项公式为的通项公式为．记数列的前项和为，则______，的最小值为______． 14. 设，记为三个数中最大的数，则的最小值_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，设满足条件和． （1）求角和； （2）求． 16. 如图，侧面水平放置的正三棱台，且侧棱长为． （1）求证：平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值． 17. 黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数（为常数）密切相关，请解决下列问题： （1）当时，求在点处的切线方程； （2）当时，证明有唯一极值点． 18. 已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上． （1）求的方程； （2）若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由． 19. 现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失．设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立．设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中． （1）设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望； （2）设结束后，细胞数量为的概率为． （ⅰ）求； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $