第02讲 最简二次根式与同类二次根式 （2个知识点+3种题型+分层练习） -2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第02讲 最简二次根式与同类二次根式 （2个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点2．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 题型强化 题型一．最简二次根式 1．（2024春•青浦区校级期末）下列二次根式中，最简二次根式是　　 A． B． C． D． 2．（2020秋•浦东新区校级月考）在二次根式中为最简根式的是 　　． 3．（2022秋•奉贤区校级期中）在式子、、、中，是最简二次根式的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二．同类二次根式 4．（2024•青浦区二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•金山区期中）如果和是同类二次根式，那么　　（只需写一个）． 6．（2023秋•闵行区期中）若最简二次根式与是同类根式，则　　． 题型三、最简二次根式的判断 7．（23-24八年级上·上海·阶段练习）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·上海长宁·期中）二次根式中：、、、是最简二次根式的是 ． 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)． 分层练习 一、单选题 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各组中的两个根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 4．下列二次根式中，最简二次根式的是（  ）. A． B． C． D． 5．在二次根式，，，，，中，最简二次根式个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．在根式中，同类二次根式有（    ）组 ①和；②和；③和；④和；⑤和 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．在二次根式，，，中，最简二次根式有 个． 8．二次根式因为不符合最简二次根式的条件： ，所以它不是最简二次根式． 9．如果两个最简二次根式 和 是同类二次根式，那么 ， ． 10．化简： 11．两个最简二次根式与可以合并，则 ． 12．当 时，最简根式与是同类二次根式． 13．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 14．已知最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 15．在二次根式；；；；；；中是最简二次根式的是 ． 16． . 17．已知=7，则+= ． 18．把二次根式（x-1）中根号外的因式移到根号内，结果是 ． 三、解答题 19．若最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 20． 21．已知是最简二次根式，且与可以合并，求的值． 22．若最简二次根式与是同类二次根式．求m2+n2的值． 23．下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号内：，，，46，0，，，，． 有理数集：{____________…}； 无理数集：{____________…}； 正实数集：{____________…}； 负实数集：{____________…}． 24．最简根式与能是同类根式吗？若能，求出、的值；若不能，请说明理由. 25．有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 26．把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 27．像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 例1： ； 例2： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且为正整数，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 最简二次根式与同类二次根式 （2个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点2．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 题型强化 题型一．最简二次根式 1．（2024春•青浦区校级期末）下列二次根式中，最简二次根式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析判断即可求解． 【解答】解：．，故该选项不是最简二次根式，不符合题意； ．，故该选项不是最简二次根式，不符合题意； ．是最简二次根式，符合题意； ．，故该选项不是最简二次根式，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2．（2020秋•浦东新区校级月考）在二次根式中为最简根式的是 　、　． 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式即可得出答案． 【解答】解：， ， 和的被开方数含有分母，不是最简根式， 故答案为：、． 【点评】本题考查了最简二次根式的概念，掌握最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式是解题的关键． 3．（2022秋•奉贤区校级期中）在式子、、、中，是最简二次根式的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用最简二次根式的定义化简判断即可． 【解答】解：是最简二次根式， ，不是最简二次根式， ，不是最简二次根式， 是最简二次根式， 最简二次根式有2个． 故选：． 【点评】本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 题型二．同类二次根式 4．（2024•青浦区二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可． 【解答】解：与是同类二次根式的是， 故选：． 【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键． 5．（2023秋•金山区期中）如果和是同类二次根式，那么　（答案不唯一）　（只需写一个）． 【分析】根据同类二次根式的定义列式计算即可． 【解答】解：，与是同类二次根式， ， 解得：， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查同类二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键，本题答案不唯一，符合题意即可． 6．（2023秋•闵行区期中）若最简二次根式与是同类根式，则　9　． 【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可． 【解答】解：最简二次根式与是同类根式， ， ， 解得：，． ． 故答案为：9． 【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 题型三、最简二次根式的判断 7．（23-24八年级上·上海·阶段练习）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义：被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故选项A符合题意； B、含有分母，不是最简二次根式，故选项B不符合题意； C、，故选项C不是最简二次根式，不符合题意； D、，故选项D不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 8．（22-23八年级上·上海长宁·期中）二次根式中：、、、是最简二次根式的是 ． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：是最简二次根式， ∵， ， ， ∴、、不是最简二次根式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，①被开方数不含分母； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是，； (2)是； (3)不是，． 【分析】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． （1）含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，然后化简即可； （2）根据定义判断是最简二次根式； （3）被开方数中含有分母，不是最简二次根式，化简即可． 【详解】（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式，； （2），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式． （3），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式， ． 分层练习 一、单选题 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故A错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，故B错误，不符合题意； C、，与不是同类二次根式，故C错误，不符合题意； D、与是同类二次根式，故D正确，符合题意； 故选：D． 2．下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、同类二次根式的判断，关键是熟知同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，故与不是同类二次根式，不符合题意； B、，故与不是同类二次根式，不符合题意； C、，故与是同类二次根式，符合题意； D、，故与不是同类二次根式，不符合题意， 故选：C． 3．下列各组中的两个根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】B 【分析】先化简各选项，然后根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A. 和 的被开方数不同，故不符合题意；     B. ， ，被开方数相同，故符合题意；     C. ，，被开方数不同，故不符合题意；     D. ，=，被开方数不同，故不符合题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 4．下列二次根式中，最简二次根式的是（  ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，解题关键是掌握二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式．据此逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A选项不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，故C选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，故D选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 5．在二次根式，，，，，中，最简二次根式个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：不能再化简，是最简二次根式； ，不是最简二次根式， ，不是最简二次根式， 不能再化简，是最简二次根式； ，不是最简二次根式， 即最简二次根式有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质、最简二次根式的概念是解题的关键． 6．在根式中，同类二次根式有（    ）组 ①和；②和；③和；④和；⑤和 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义，把各个二次根式化简为最简二次根式，找出被开方数相同的一组即可得求解． 【详解】①，，不是同类二次根式； ②是最简二次根式， ，是同类二次根式； ③和，不是同类二次根式； ④，，是同类二次根式； ⑤，，是同类二次根式； 同类二次根式有三组， 故选：C． 【点睛】本题考查同类二次根式的定义，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．把二次根式正确化简为最简二次根式是解题关键． 二、填空题 7．在二次根式，，，中，最简二次根式有 个． 【答案】2/两 【分析】根据最简二次根式的定义求解即可． 【详解】解：在二次根式，，，中，最简二次根式为，，共2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 8．二次根式因为不符合最简二次根式的条件： ，所以它不是最简二次根式． 【答案】被开方数不含分母 【分析】最简二次根式：被开方数不能含有分母，被开方数不能含有开得尽方的因数或因式，从而可得答案． 【详解】解：因为的被开方数含分母， 所以它不是最简二次根式． 故答案为：被开方数不含分母． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 9．如果两个最简二次根式 和 是同类二次根式，那么 ， ． 【答案】 【分析】由于给出的两个根式既是最简根式又是同类根式．那么他们就是同类二次根式，被开方数就应该相等，由此可得出关于a、b的方程，进而可求出a、b的值． 【详解】解：由最简二次根式 和 是同类二次根式，得 ， 解得， 故答案为：1，1 【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 10．化简： 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得到，进而根据二次根式乘除的运算法则和最简二次根式的定义计算即可． 【详解】∵，，， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，牢记二次根式有意义的条件（被开方数大于等于）、二次根式的乘除的运算法则和最简二次根式的定义是解题的关键． 11．两个最简二次根式与可以合并，则 ． 【答案】5 【分析】根据最简二次根式的定义即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴， ∴， 但当时，，不是最简二次根式，应舍去， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键． 12．当 时，最简根式与是同类二次根式． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为： 13．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】利用同类二次根式的定义列出关于a的方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ∴． 故答案为：． 14．已知最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】3 【分析】由同类二次根式和最简二次根式的定义即可列出方程进行求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， ． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，和最简二次根式定义，根据定义准确列出方程是解题的关键． 15．在二次根式；；；；；；中是最简二次根式的是 ． 【答案】，， 【分析】根据最简二次根式的定义：如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式；判断即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，是最简二次根式； ，是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ∴是最简二次根式的有：，，， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解本题的关键． 16． . 【答案】1． 【分析】根据完全平方公式的结构，把每个被开方数化成完全平方的形式，即可化简求值. 【详解】原式 =， . 故答案为1 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确把被开方数化成完全平方的形式是关键. 17．已知=7，则+= ． 【答案】50 【分析】整体代入法求值把进行配方，，平分方法求，整体代入即可． 【详解】=7， ， =， =49-2+， =47+3， =50． 故答案为：50． 【点睛】本题考查的是条件求值问题，把代数式进行公式化为关键，要记准公式，会公式变形应用． 18．把二次根式（x-1）中根号外的因式移到根号内，结果是 ． 【答案】- 【分析】根据二次根式有意义的条件可以判断x-1的符号，即可化简． 【详解】解：(x-1) 故答案是：-． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确根据二次根式有意义的条件，判断1-x＞0，从而正确化简|1-x|是解决本题的关键． 三、解答题 19．若最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】，． 【分析】根据同类二次根式的定义列方程即可求出． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式 解得： 即，． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 20． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质解答即可． 【详解】解：原式=． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，属于基础题型，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 21．已知是最简二次根式，且与可以合并，求的值． 【答案】 【分析】先化简，则，再根据同类二次根式的定义即可列式作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了同类二次根式以及最简二次根式；几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式；熟练掌握这两个知识点的应用是解题的关键． 22．若最简二次根式与是同类二次根式．求m2+n2的值． 【答案】11 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得m2、n2，再代入求值即可； 【详解】解：由题意得：，， ，， ，时，两个二次根式分别为和，符合题意， ∴m2+n2＝8+3＝11； 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 23．下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号内：，，，46，0，，，，． 有理数集：{____________…}； 无理数集：{____________…}； 正实数集：{____________…}； 负实数集：{____________…}． 【答案】，，，46，0，；，，；，，46，，；，，． 【分析】本题考查的是实数的分类，二次根式的化简，立方根的含义，先化简能够化简的各数，再根据实数的分类把各数填入相应的集合即可． 【详解】解：，，， 有理数集：{，，，46，0，…}； 无理数集：{，，…}； 正实数集：{，，46，，；…} 负实数集：{，，…}； 24．最简根式与能是同类根式吗？若能，求出、的值；若不能，请说明理由. 【答案】它们不能是同类根式，理由见解析. 【分析】先假设它们是同类根式，再根据同类根式的定义得出关于x、y的方程组，在解出方程组的解后再根据二次根式有意义的条件即得结论. 【详解】解：假设它们是同类根式，则： ，解得. ∵ 当时，，， ∴ 两根式皆无意义. ∴ 假设错误，它们不能是同类根式. 【点睛】本题考查了同类根式的定义、二元一次方程组的解法和二次根式有意义的条件，本题的易错点是容易忽略二次根式有意义的条件，从而得出错误的结果. 25．有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； （2）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键． 26．把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）先将带分数化为分数再开方． （2）直接开方再分母有理化； （3）直接开方即可． （4）将小数化为分数后再开方． （5）通分后再开方． （6）通分后再开方，然后再分母有理化． 【详解】解：（1）原式==； （2）原式=x2=x； （3）原式==； （4）原式==ab； （5）原式==； （6）原式==． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，难度不大，注意要耐心运算，否则很容易出错． 27．像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 例1： ； 例2： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)a的值为或 【分析】（1）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案； （2）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案； （3）将化简为，继而得到，， 再根据为正整数，即可求出其值，代入即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ，， 又为正整数， ，或者， 当时，； 当，， 综上所述，a的值为或． 【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 学科网（北京）股份有限公司 $$