第02讲 最简二次根式和同类二次根式（4类知识点+9大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第02讲 最简二次根式和同类二次根式（九大题型） 学习目标 1、 了解二次根式的概念，掌握二次根式的双重非负性； 2、 理解并掌握二次根式的性质； 3、并会根据二次根式的性质进行化简求值． 一、二次根式的性质（续） ①二次根式的性质3 ＝•（a≥0，b≥0） 即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. ②二次根式的性质4 ＝（a≥0，b＞0） 即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 【即学即练1】 化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据根式的性质进行化简即可．熟悉相关性质是解题的关键． 【解析】解：， 故答案为：． 【即学即练2】 二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据，得出，二次根式的性质化简得，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 【解析】∵，， ∴， ∴原式， ， 故选：． 二、二次根式的化简（续） 化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 【即学即练1】 把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键． （1）根据二次根式的性质计算即可； （2）根据二次根式的性质计算即可； （3）根据二次根式的性质计算即可． 【解析】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：（3）原式． 三、最简二次根式 （1）被开方数不含有分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 【规律方法】二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开方数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式. 【即学即练1】 下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐项判断即可． 【解析】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、中含有分数，故不是最简二次根式，不符合题意； C、中含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 四、同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 【规律方法】(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； 　　(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式 　　合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 【规律方法】　(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 【即学即练1】 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式的定义．将二次根式化为最简二次根式，被开方数相同的二次根式是同类二次根式，据此即可解答． 【解析】解：A选项：，与是同类二次根式，符合题意； B选项：，与不是同类二次根式，不合题意； C选项：与不是同类二次根式，不合题意； D选项：，与不是同类二次根式，不合题意． 故选：A 【即学即练2】 下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【解析】、由，则与可以进行合并，符合题意； 、由，则与不可以进行合并，不符合题意； 、由，则与不可以进行合并，不符合题意； 、由，则与不可以进行合并，不符合题意； 故选：． 题型1：最简二次根式 【典例1】．下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式定义逐项判断即可． 【解析】解：A、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数中含有开方开的出来的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、被开方数中含有开方开的出来的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式． 【典例2】．下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【解析】解：A．选项中被开方数含开得尽方的因数4，故A错误； B．选项中的被开方数含开得尽方的因式，故B错误； C．符合最简二次根式的定义，故C正确； D．选项中的被开方数含开得尽方的因式，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式应满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 【典例3】．二次根式：①；②；③；④ ；⑤中最简二次根式是（　　） A．①② B．③④⑤ C．②③ D．只有④ 【答案】A 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解析】解：③＝|a﹣1|，被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式； ④，被开方数含有分母，不是最简二次根式； ⑤，被开方数含有小数（分数），不是最简二次根式； 因此只有①②符合最简二次根式的条件． 故选A． 【点睛】根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断． 【典例4】．若是最简二次根式，则的值可以是（　　） A．6 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题考查了最简二次根式，直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【解析】解：A.，不是最简二次根式，不合题意； B.，不是最简二次根式，不合题意； C.，是最简二次根式，符合题意； D. ，不是最简二次根式，不合题意； 故选：C． 题型2：符合最简二次根式的条件 【典例5】．二次根式因为不符合最简二次根式的条件： ，所以它不是最简二次根式． 【答案】被开方数不含分母 【分析】最简二次根式：被开方数不能含有分母，被开方数不能含有开得尽方的因数或因式，从而可得答案． 【解析】解：因为的被开方数含分母， 所以它不是最简二次根式． 故答案为：被开方数不含分母． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【典例6】．二次根式因为不符合最简二次根式的条件： ，所以它不是最简二次根式． 【答案】被开方数中不含能开的尽方的因式 【分析】最简二次根式必须同时符合两个条件：一是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，二是被开方数中不含分母，据此解答即可． 【解析】解：∵， ∴二次根式因为不符合最简二次根式的条件：被开方数中不含能开的尽方的因式，所以它不是最简二次根式． 故答案为：被开方数中不含能开的尽方的因式． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键． 题型3：根据二次根式的性质1—性质4化简二次根式为最简二次根式 【典例7】．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键． （1）根据二次根式的性质计算即可； （2）根据二次根式的性质计算即可； （3）根据二次根式的性质计算即可． 【解析】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：（3）原式． 【典例8】．把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质化简即可． （2）根据二次根式的性质化简即可． （3）根据二次根式的性质化简即可． （4）根据二次根式的性质化简即可． 【解析】（1） （2） （3） （4） 【典例9】．化简以下二次根式： (1)； (2)； (3)（）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式性质进行的化简即可得解； （2）根据二次根式性质进行的化简即可得解； （3）根据二次根式性质进行的化简即可得解． 【解析】（1）解：； （2）解：由二次根式非负性得， ∴， ∴； （3）解：由二次根式非负性得，又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次根式的性质和化简，掌握被开方数化为因式积的形式，正确开方化简是解题关键． 【典例10】．将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（，，）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二次根式的性质化简求解； （2）利用二次根式的性质化简求解； （3）利用二次根式的性质化简求解． 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，理解最简二次根式并正确求解是关键． 【典例11】．化简： (其中x<0) 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简各二次根式后，再合并同类二次根式即可． 【解析】解：由题意知， ∴ = = = = 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键． 【典例12】．将下列式子化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据二次根式的双重非负性，判断被开方数中a的符号，再根据化简即可. （2）先根据二次根式的双重非负性，判断被开方数中a的符号，再化简即可. （3）先根据二次根式的双重非负性，判断被开方数中a-1的符号，再化简即可. 【解析】（1）      ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号． 题型4：复合二次根式的化简 【典例13】．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【解析】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 【典例14】．阅读理解： ， 反之：， ∴，∴＝＝－1 （1）仿上例，化简：； （2）求－＋的值，并写出它的小数部分． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）理解题意可得，即可求解； （2）分别化简、、，将化简结果进行加减运算，即可求解． 【解析】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ， ， ∴ ， ∴－＋的值为；小数部分为． 【点睛】本题考查二次根式的计算，理解题意并化简各式是解题的关键． 【典例15】．已知=7，则+= ． 【答案】50 【分析】整体代入法求值把进行配方，，平分方法求，整体代入即可． 【解析】=7， ， =， =49-2+， =47+3， =50． 故答案为：50． 【点睛】本题考查的是条件求值问题，把代数式进行公式化为关键，要记准公式，会公式变形应用． 【典例16】．阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m 和 n， 使且 ，则可变为，即变成，从而使得化简． 例如： ∵， ∴ 请你仿照上例解下面问题: (1) (2) (3)当时，请化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算得到，代入即可得到答案； （2）计算得到，代入即可得到答案； （3）计算得到，，再代入即可得到答案． 【解析】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴； （3）当时， ∵， ， ∴ 【点睛】此题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算法则和完全平方公式是解题的关键． 题型5：根据复合二次根式的化简求参数范围 【典例17】．若，则的取值范围是 ． 【答案】-2≤x≤0 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，二次根式的值是非负数，可得答案． 【解析】解：， x≤0，x+2≥0， 解得-2≤x≤0， 故答案为：-2≤x≤0． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质． 【典例18】．若，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式和二次根式的性质化简，然后根据绝对值的性质和分式有意义的条件列出不等式即可求出结论． 【解析】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二次根式的化简、绝对值的性质和分式有意义的条件，掌握完全平方公式、二次根式的性质、绝对值的性质和分式有意义的条件是解题关键． 题型6：同类二次根式 【典例19】．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查化最简二次根式，同类二次根式的判断．掌握将各二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式是解题关键．根据同类二次根式的定义逐项判断即可． 【解析】解：，与是同类二次根式，故A符合题意； 与不是同类二次根式，故B不符合题意； ，与不是同类二次根式，故C不符合题意； ，与不是同类二次根式，故D不符合题意． 故选A． 【典例20】．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【解析】解：A、与不是同类二次根式，故A错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，故B错误，不符合题意； C、，与不是同类二次根式，故C错误，不符合题意； D、与是同类二次根式，故D正确，符合题意； 故选：D． 【典例21】．下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式．将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答． 【解析】解：A、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； B、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； C、与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确； D、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； 故选：C． 【典例22】．在根式中，同类二次根式有（    ）组 ①和；②和；③和；④和；⑤和 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义，把各个二次根式化简为最简二次根式，找出被开方数相同的一组即可得求解． 【解析】①，，不是同类二次根式； ②是最简二次根式， ，是同类二次根式； ③和，不是同类二次根式； ④，，是同类二次根式； ⑤，，是同类二次根式； 同类二次根式有三组， 故选：C． 【点睛】本题考查同类二次根式的定义，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．把二次根式正确化简为最简二次根式是解题关键． 题型7：求能与已知二次根式合并的二次根式 【典例23】．下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义判断． 【解析】解：A、，与不是同类二次根式，不能合并； B、，与不是同类二次根式，不能合并； C、，与是同类二次根式，能合并； D、，与不是同类二次根式，不能合并； 故选：C． 【点睛】本题考查了化简二次根式，合并同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【典例24】．在二次根式，，，，中，能与合并的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．先将各二次根式进行化简，再根据同类二次根式的概念求解即可． 【解析】解：∵；；；． ， ∴能与合并的是、， 故选：B． 【典例25】．下列说法正确的是（    ） A．与可以合并 B．与可以合并 C．与可以合并 D．与可以合并 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，同类二次根式，根据二次根式的性质逐项判断即可解答． 【解析】解：A. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意；     B. 与可以合并，故该选项正确，符合题意； C. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意；     D. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【典例26】．二次根式能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先逐一化简各选项的二次根式，与是同类二次根式的可合并，从而可得答案． 【解析】解：故A不符合题意； 故B符合题意； 故C不符合题意； 与不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意； 故选B. 【点睛】本题考查的是同类二次根式的含义，二次根式的化简，掌握同类二次根式的含义是解题的关键． 题型8：根据最简二次根式和同类二次根式的概念求参数（含最值问题） 【典例27】．若二次根式与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式．先将化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可得． 【解析】解：， ∵即与最简二次根式能合并， ∴， 解得， 故选C． 【典例28】．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（    ） A．3 B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，根据“最简二次根式与是同类二次根式”可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握同类二次根式的概念是解此题的关键． 【解析】解：最简二次根式与是同类二次根式， 它们的被开方数相等， ， 解得：， 故选：B． 【典例29】．若与最简二次根式能合并，则m的值为 【答案】1 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．根据两个根式能够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可． 【解析】解：∵，最简二次根式能与合并， ∴， 解得， 故答案为：1． 【典例30】．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义．根据同类二次根式可得，即可求解． 【解析】解：∵最简二次根式与是同类根式， ∴， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，是整数，不符合题意； 综上所述，的值是1． 故答案为：1 【典例31】．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】2或0 【分析】根据二次根式和同类二次根式的定义列方程求出x、y的值，再计算． 【解析】由题意得，，， 解得，， ∴当时，； 当时，； 故答案为2或0． 【点睛】本题考查二次根式和同类二次根式的定义，二次根式省略的根指数为2，化成最简二次根式之后，若被开方数相同，称为同类二次根式，掌握基本概念是关键． 【典例32】．如果与是同类二次根式，那么满足条件的中最小整数是 . 【答案】3 【分析】根据题意，是最简二次根式，且与的被开方数相同，列出方程求解即可． 【解析】根据题意得，5x-8=7， 解得，x=3. 即与是同类二次根式时，x的最小整数为3. 故答案为3. 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 【典例33】．最简根式与能是同类根式吗？若能，求出、的值；若不能，请说明理由. 【答案】它们不能是同类根式，理由见解析. 【分析】先假设它们是同类根式，再根据同类根式的定义得出关于x、y的方程组，在解出方程组的解后再根据二次根式有意义的条件即得结论. 【解析】解：假设它们是同类根式，则： ，解得. ∵ 当时，，， ∴ 两根式皆无意义. ∴ 假设错误，它们不能是同类根式. 【点睛】本题考查了同类根式的定义、二元一次方程组的解法和二次根式有意义的条件，本题的易错点是容易忽略二次根式有意义的条件，从而得出错误的结果. 题型9：合并同类二次根式 【典例34】．计算 （1）；     （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先判断是否是同类二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简绝对值，再合并同类二次根式即可． 【解析】（1）解：                               （2）解：              【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：绝对值化简，合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【典例35】．合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接合并同类二次根式求解即可得到答案； （2）提公因式即可求解； （3）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； （4）去括号后，直接合并同类二次根式即可求解． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查二次根式的加减运算，涉及二次根式性质化简及合并同类二次根式运算法则，先化简再利用合并同类二次根式的运算法则计算是解决问题的关键． 一、单选题 1．下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的化简．根据题意逐一将选项进行化简即可得到本题答案． 【解析】解：∵， ∴A选项不是最简二次根式， ∵无法化简， ∴B选项是最简二次根式， ∵， ∴C选项不是最简二次根式， ∵， ∴D选项不是最简二次根式， 故选：B． 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义进行解答即可． 【解析】解：， A、，故与不是同类二次根式，不合题意； B、，故与不是同类二次根式，不合题意； C、，故与是同类二次根式，符合题意； D、，故与不是同类二次根式，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查同类二次根式的定义，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 3．在二次根式，，，，，中，最简二次根式个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断即可． 【解析】解：不能再化简，是最简二次根式； ，不是最简二次根式， ，不是最简二次根式， 不能再化简，是最简二次根式； ，不是最简二次根式， 即最简二次根式有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质、最简二次根式的概念是解题的关键． 4．若是最简二次根式，且可与合并，则a的值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【解析】解：， ∵是最简二次根式，且可与合并， ， ， 故选D． 【点睛】本题考查同类二次根式以及最简二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式以及最简二次根式，本题属于基础题型． 5．有下列二次根式：（1）；（2）；（3）；（4）；其中能与合并的是（　　） A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（2）和（4） 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，合并同类二次根式，解题的关键是掌握二次根式化简的方法和步骤，以及同类二次根式才能合并． 将各个二次根式化为最简二次根式，再逐个进行判断即可． 【解析】解：（1），故不能与合并； （1），故能与合并； （3），故不能与合并； （4），故能与合并； ∴其中能与合并的是（2）和（4）． 故选：D． 6．若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【解析】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． ． 7．如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据同类二次根式的定义，列方程求出a的值，代入，再根据二次根式的定义列出不等式，求出x的取值范围即可． 【解析】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 使有意义， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了同类二次根式的概念及二次根式的性质： 概念：化成最简二次根式后，被开方数相同的根式叫同类二次根式； 性质：被开方数为非负数． 8．若，（为整数），则下列式子中一定为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解析】A、，(为整数)，则不一定是最简二次根式，例如取，取2，则不是最简二次根式，A错误； B、(为整数)，则等于2或3，为或，均不是最简二次根式，B错误； C、，当时，无意义；时，，C错误； D、(为整数)，则等于2或3，为或，均是最简二次根式，D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．掌握二次根式的定义是解题的关键． 9．已知，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．由，可知和异号，由，可得，，然后根据二次根式的性质进行化简即可． 【解析】解：， 和异号， ∵， ∴，， ∴， 故选：C． 10．已知方程+3＝，则此方程的正整数解的组数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先把化为最简二次根式，由+3＝可知，化为最简根式应与为同类根式，即可得到此方程的正整数解的组数有三组． 【解析】解：∵＝10，x，y为正整数， ∴，化为最简根式应与为同类根式，只能有以下三种情况： ． ∴，，，共有三组正整数解． 故选：C． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 二、填空题 11．在，，，，中，最简二次根式有 个． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【解析】解：的被开方数是小数，故不是最简二次根式， 的被开方数可以分解成，则含有开得尽方的因数4，故不是最简二次根式， 是最简二次根式， 的被开方数含有分母，故不是最简二次根式， 被开方数含有开得尽方的因式 ，故不是最简二次根式， ∴最简二次根式有1个． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，具备以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 12．在二次根式①；②；③；④；⑤中，与是同类二次根式的有 ．（填写编号） 【答案】②⑤/⑤② 【分析】先将各项化简成最简二次根式，再利用同类二次根式的性质判断即可作答． 【解析】①； ②； ③； ④； ⑤； 与的被开方数相同的是②和⑤， 故答案为：②⑤． 【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 13．最简二次根式3与是同类二次根式，则x的值是 ． 【答案】 【分析】由同类二次根式的定义可得再解方程即可. 【解析】解： 最简二次根式3与是同类二次根式， 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“利用同类二次根式的定义求解字母参数的值”是解本题的关键. 14．当时，化简二次根式 ． 【答案】 【分析】根据根式的基本化简运算方法化简即可． 【解析】∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握根式的基本化简运算方法是解题的关键． 15．已知，，那么＝ ． 【答案】． 【分析】直接根据算术平方根的概念即可求解． 【解析】解：∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查求算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题关键． 16．若，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式和二次根式的性质化简，然后根据绝对值的性质和分式有意义的条件列出不等式即可求出结论． 【解析】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二次根式的化简、绝对值的性质和分式有意义的条件，掌握完全平方公式、二次根式的性质、绝对值的性质和分式有意义的条件是解题关键． 17．化简： ； ． 【答案】 【分析】根据二次根式的意义，先判断a的取值范围，再去化简． 【解析】根据二次根式的意义，可知中的， ， 根据二次根式的意义，可知中的， ． 故答案是：；． 【点睛】本题考查二次根式的化简，需要注意的是化简的时候一定要考虑a的取值范围，然后利用二次根式的性质去化简． 18．观察下列各式：①，②，③3，……，则第④个式子是： ．请用含的式子写出你猜想的第个式子： ． 【答案】 ； ． 【分析】认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个和第n个等式即可. 【解析】∵第①式子； 第②式子； 第③式子； …； ∴第④个式子为：， 第n个式子为：． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律进行求解即可． 三、解答题 19．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解析】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式； （2）不是最简二次根式，被开方数含分母． （3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （5）不是最简二次根式，被开方数含分母． （6） 不是最简二次根式，被开方数含分母． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 20．把下列二次根式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据最简二次根式的定义进行求解各个小题即可． 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的条件是解题的关键． 21．化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则即可求出答案． （2）根据二次根式的性质即可求出答案． （3）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． （4）根据二次根式的性质即可求出答案． 【解析】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则以及性质． 22．把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）先将带分数化为分数再开方． （2）直接开方再分母有理化； （3）直接开方即可． （4）将小数化为分数后再开方． （5）通分后再开方． （6）通分后再开方，然后再分母有理化． 【解析】解：（1）原式==； （2）原式=x2=x； （3）原式==； （4）原式==ab； （5）原式==； （6）原式==． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，难度不大，注意要耐心运算，否则很容易出错． 23．若最简二次根式与可以合并，求的算术平方根． 【答案】5 【分析】由题意可知与是同类二次根式，列出关于m，n的二元一次方程组，求出m，n的值，代入求解即可． 【解析】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得， ∴， ∴， 即的算术平方根是5． 【点睛】本题考查同类二次根式、解二元一次方程组、有理数的乘方、算术平方根等知识点，根据与是同类二次根式求出m，n的值是解题的关键． 24．如果最简根式和是同类二次根式，求a，b的值． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义，根指数相同，被开方数相同列方程组求解即可． 【解析】解：最简根式和是同类二次根式， ， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，解题的关键是：理解同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开放数相同的二次根式叫做同类二次根式． 25． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质把原式化简为，再根据已知条件化简绝对值即可． 【解析】解：原式=； 因为， 所以原式=． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，属于常考题型，熟练掌握二次根式的性质和化简的方法是关键． 26．先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以， 问题： （1）填空：__________，____________﹔ （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________． （3）化简：（请写出化简过程） 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果； （3）将写成，4写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算． 【解析】解：（1）； ； （2）； （3）==． 【点睛】本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 最简二次根式和同类二次根式（九大题型） 学习目标 1、 了解二次根式的概念，掌握二次根式的双重非负性； 2、 理解并掌握二次根式的性质； 3、并会根据二次根式的性质进行化简求值． 一、二次根式的性质（续） ①二次根式的性质3 ＝•（a≥0，b≥0） 即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. ②二次根式的性质4 ＝（a≥0，b＞0） 即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 【即学即练1】 化简： ． 【即学即练2】 二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 二、二次根式的化简（续） 化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 【即学即练1】 把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 三、最简二次根式 （1）被开方数不含有分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 【规律方法】二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开方数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式. 【即学即练1】 下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 四、同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 【规律方法】(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； 　　(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式 　　合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 【规律方法】　(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 【即学即练1】 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 题型1：最简二次根式 1．下列各式中最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．在二次根式，，，，，中，最简二次根式个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 题型2：符合最简二次根式的条件 5．二次根式因为不符合最简二次根式的条件： ，所以它不是最简二次根式． 6．二次根式因为不符合最简二次根式的条件： ，所以它不是最简二次根式． 题型3：根据二次根式的性质1—性质4化简二次根式为最简二次根式 7．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 8．化简： (1)； (2)； (3)． 9．化简以下二次根式： (1)； (2)； (3)（）． 10．化简： 11． 12．将下列式子化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 题型4：复合二次根式的化简 13．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 14．有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 15．已知=7，则+= ． 16．阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m 和 n， 使且 ，则可变为，即变成，从而使得化简． 例如： ∵， ∴ 请你仿照上例解下面问题: (1) (2) (3)当时，请化简：． 题型5：根据复合二次根式的化简求参数范围 17．若，则的取值范围是 ． 18．若，那么x的取值范围是 ． 题型6：同类二次根式 19．在二次根式中，与是同类二次根式的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．下列二次根式中，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（    ） A． B． C． D． 21．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 22．在根式中，同类二次根式有（    ）组 ①和；②和；③和；④和；⑤和 A．1 B．2 C．3 D．4 题型7：求能与已知二次根式合并的二次根式 23．下列根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 24．下面能与合并的二次根式的是（   ） A． B． C． D． 25．在二次根式，，，，中，能与合并的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．下列说法正确的是（    ） A．与可以合并 B．与可以合并 C．与可以合并 D．与可以合并 题型8：根据最简二次根式和同类二次根式的概念求参数（含最值问题） 27．若二次根式与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．3 28．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（    ） A．3 B． C．1 D．0 29．若最简二次根式与是同类根式，则 ． 30．若最简二次根式和可以合并，则 ． 31．已知最简二次根式与，可以合并，则＝ ． 32．如果与是同类二次根式，那么满足条件的中最小整数是 . 33．最简根式与能是同类根式吗？若能，求出、的值；若不能，请说明理由. 题型9：合并同类二次根式 34．计算： 35．合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 一、单选题 1．下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．在二次根式，，，，，中，最简二次根式个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若是最简二次根式，且可与合并，则a的值是（    ） A． B． C． D．3 5．有下列二次根式：（1）；（2）；（3）；（4）；其中能与合并的是（　　） A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（2）和（4） 6．若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 7．如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若，（为整数），则下列式子中一定为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 9．已知，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 10．已知方程+3＝，则此方程的正整数解的组数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．在，，，，中，最简二次根式有 个． 12．在二次根式①；②；③；④；⑤中，与是同类二次根式的有 ．（填写编号） 13．最简二次根式3与是同类二次根式，则x的值是 ． 14．当时，化简二次根式 ． 15．已知，，那么＝ ． 16．若，那么x的取值范围是 ． 17．化简： ； ． 18．观察下列各式：①，②，③3，……，则第④个式子是： ．请用含的式子写出你猜想的第个式子： ． 三、解答题 19．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 20．把下列二次根式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 21．化简： (1) (2) (3) (4) 22．把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 23．若最简二次根式与可以合并，求的算术平方根． 24．如果最简根式和是同类二次根式，求a，b的值． 25． 26．先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以， 问题： （1）填空：__________，____________﹔ （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________． （3）化简：（请写出化简过程） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$