2.2 圆的对称性（第1课时 圆心角、弧、弦之间的关系）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

九年级苏科版数学上册 第二章 对称图形——圆 第一课时 圆心角、弧、弦之间的关系 2.2 圆的对称性 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性. 2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决 相关问题（重点）. 3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆” 条件的意义. （难点） 情景导入 旧知回顾 顶点在圆心的角叫做 .　　　　　　　　　　　　 圆心角. （1）圆心相同,半径不等的是 . （2）圆心不同,半径相等的是 . （3）圆心相同,半径相等的是 . 同心圆 等圆（能够互相重合） 同圆 能够互相重合的弧叫做 . 等弧 上节课我们学习了与圆相关的概念.下面我们来回顾几个问题！ 答对了，那么你能简述一下直径与弦、弧与半圆、弦与弧之间的关系吗？ 弦与直径的关系： 弧与半圆的关系： 弦与弧的关系： 直径是过圆心(最长)的弦，但弦不一定是直径. 半圆是弧，但弧不一定是半圆. ①弦是圆上两点间的线段，有无数条；弧是圆上两点间的部分，是曲线，也有无数条. ②每条弧对一条弦；而每条弦所对的弧有两条: 一条优弧、一条劣弧或两个半圆. 情景导入 观察上述图片你发现了什么规律？ 轮子绕固定轴心旋转，不论转到什么位置，都与初始位置重合. 一个圆绕圆心旋转任何角度后，都能与原来的图形重合. 你知道这体现了圆的什么特性呢？本节课我们就来探究一下吧！ 1.圆的对称性 新知探究 . O A B 将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合; 过O点以不同角度作直线，可以发现直线总能平分这个圆 由此我们可以得出如下结论： 概念归纳 1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 2. 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴． (1)圆的对称轴有无数条. (2)圆的对称轴是过圆心的任意一条直线，或说成圆的对称轴是直径所在直线． 3. 把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，我们把这种性质称为圆的旋转不变性． 特别注意： 因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”. 任意给圆心角，对应出现三个量： 圆心角 弧 弦 · O B A 那么这三个量之间会有什么关系呢？ 2.圆心角、弧、弦之间的关系 新知探究 1.在两张透明纸片上，分别画半径相等的⊙O和⊙O'. 2.在⊙O和⊙O'中，分别画相等的圆心角∠AOB和∠A'O'B'，连接AB、A'B'如下图所示. O O' A B A' B' 在所画图中还有哪些相等的线段、相等的弧？ 相等的线段：AB、A'B' 相等的弧：AB、A'B' ( ( 我们来验证一下这个猜想： 相等的线段：AB、A'B' 相等的弧：AB、A'B' ( ( 将右图中的两张纸片叠合在一起，使点O与点O'重合，再将⊙ O'绕点O旋转，使射线 O'A'与射线OA重合. 因为 ∠A'O'B'= ∠AOB，所以射线 O'B'与射线 OB 重合. 又因为O'A'= OA，O'B'= OB，所以点A'与点A重合，点B'与点B重合. 这样，A'B'与AB重合，A'B'与AB重合， 即AB=A'B'，AB = A'B'. O A B O A' B' 上面的结论，在同圆中也成立. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 注意：不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. 如右图所示，两个圆是同心圆，AB与A′B′对应的圆心角 相等，但AB≠A′B′，AB≠A′B′. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 概念归纳 在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弧相等， 1.那么它们所对的弦相等吗？ 2.这两个圆心角相等吗？为什么？ 3.如果圆心角所对的弦相等呢？ 思考探究 （1）在同圆或等圆中，若圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等，这两个圆心角也相等. （2）在同圆或等圆中，若圆心角所对的弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. A O B B' A' B' O B A A' 在同圆或等圆中 题设 结论 如果圆心角相等 那么 如果弧相等 那么 如果弦相等 那么 概念归纳 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 弦所对应的圆心角相等 弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等 在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等． ①∠AOB=∠COD ②AB=CD ⌒ ⌒ ③AB=CD A B O D C 弧、弦与圆心角的关系定理 概念归纳 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 等圆心角 等弧 等弦 概念归纳 典例剖析 课本例1 如图，AB，AC、BC是⊙ O的弦，∠AOC=∠BOC. ∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？ 解：∠ABC 与∠BAC 相等. 在⊙O中，∵∠AOC = ∠BOC， ∴AC = BC （在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等）. ∴∠ABC = ∠BAC. 1.如图，点A、B、C、D在⊙O上，且AB =DC. AC与BD相等吗？为什么？ 解：AC=BD. ∵AB=DC , ∴ AB +BC=DC+BC , 即AC=BD. ∴ AC=BD （同圆中，相等的弧所对的弦相等）. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 练一练 O B A C D 3.圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系 新知探究 由“同圆中，相等的圆心角所对的弧相等”， 将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角是1的角. 故整个圆也被等分成360份. 因此，把1° 的圆心角所对的弧叫做1°的弧. n°的弧 定理：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 一般地，n°的圆心角对着 n°的弧，n°的弧对着 n°的圆心角. 注意： (1)弧的度数与圆的半径无关，即在大小不相等的两个圆中，度数相等的圆心角，它们所对的弧的度数相等，但这两条弧不是等弧. (2)圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，不是角与弧相等，所以圆心角∠AOB与它所对的弧AB的度数相等，不能写成∠AOB＝AB . 概念归纳 例2.如右图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点． 若AD的度数为150 °，∠OAB＝75 °，∠ODC＝60°，则 BC的度数为(　　) A．25° B．40° C．50° D．60° ⌒ ⌒ 典例剖析 【分析】先利用辅助线把五边形OABCD 分为3 个等腰三角形，然后结合“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”得出BC的度数. ⌒ D 解：连接OB、OC， 如图2.2-6， ∵ OA＝OB，OC＝OD， ∴∠OBA＝∠OAB＝75°， ∠OCD＝∠ODC＝60° . 根据三角形内角和定理可得 ∠1＝180°－∠OAB－∠OBA＝30°， ∠3＝180°－∠ODC－∠OCD＝60° . ∵AD的度数为150°， ∴∠AOD＝150°(圆心角的度数与它所对的弧的度数相等). ∴∠2＝∠AOD－(∠1＋∠3)＝60° . ∴BC的度数为60°(圆心角的度数与它所对的弧的度数相等)． ⌒ ⌒ 根据“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，可知圆心角的度数与它所对的弧的度数可以相互转化，求弧的度数一般转化为求所对的圆心角的度数． 归纳总结 D C 随堂练 ︵ ︵ 8π 菱形 随堂练 5．如图，在⊙O中，A、C、D、B是⊙O上四点，OC、OD交AB于点E、F，且AE＝FB，下列结论中不正确的是(　 　) A.OE=OF B.AC=BD C.AC=CD=DB D.CD//AB C ︵ ︵ 随堂练 ︵ ︵ ︵ ︵ 分层练习-基础 1. 如图，在⊙O中，若点C是AB的中点，∠AOC＝45°，则∠AOB＝(　　) A.45° B．80° C．85° D．90° ︵ D 2. 下列说法中，正确的是(　　) A. 相等的弦所对应的弧相等 B．圆是中心对称图形，对称中心是圆心 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D．在同圆或等圆中，较长的弧所对应的弦较长 B 3. 如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB＝DC，则下列结论不一定成立的是(　　) ︵ ︵ ︵ ︵ 分层练习-基础 D 4.如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝________. 120° 60° 5. [2024南京求真中学月考]在⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则劣弧AB的度数是________. 分层练习-基础 6. 若弦AB把圆分成1：3两部分，则弦AB所对的劣弧的度数为________，弦AB所对的优弧的度数为________. 90° 270° 7. 如图，AB和CD为⊙O的两条直径，弦CE //AB，EC的度数为40°，求∠BOD的度数. ︵ ︵ 分层练习-基础 分层练习-巩固 8.[2024泰安校考阶段练习]如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于(　　) A.100° B．110° C.120° D．130° C C 10. [2024北京东直门中学月考]如图，直线// ，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线， 于B，C两点，连接BC，以点C为圆 心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D(不与点B重合)，连接AC，AD，CD，其中AD交于点E. 分层练习-巩固 若∠ECA＝40°，则下列结论： ①∠ABC＝70°；②∠BAD＝80°； ③CE＝CD；④CE＝AE， 正确的是(　　) A.①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ C 11. 如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO. 若AD的度数为35°，则BE的度数是________. 105° ︵ ︵ 分层练习-巩固 12.如图，MN是⊙O的直径，MN＝6，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值是________. ︵ 13. [2024荆门九年级统考期中]如图，A，B是⊙O上的两点， ∠AOB＝120°，C是AB的中点. (1)求证：四边形OACB为菱形； ︵ 分层练习-巩固 证明：如图，连接OC. ∵∠AOB＝120°，C是AB的中点， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°. ∵OA＝OC，∴△ACO是等边三角形． ∴OA＝AC.同理OB＝BC.∵OA＝OB， ∴OA＝AC＝BC＝OB. ∴四边形OACB是菱形． ︵ (2)延长OA至点P，使得AP＝OA，连接PC，若⊙O的半径R＝1，求PC的长. 分层练习-巩固 分层练习-拓展 14. (1)如图①，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是AB的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F. 求证：AE＝BF＝CD. ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 分层练习-拓展 (2)在(1)题中，如果∠AOB＝120°，其他条件不变，如图②所示，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 分层练习-拓展 ︵ ︵ ︵ ︵ 课堂反馈 任意一条过圆心的直线 圆心 弧 弦 圆心角 弧 弦 C C ︵ ︵ 课堂反馈 课堂小结 圆心角 弦、弧、圆心角的关系定理 在同圆或等圆中 顶点在圆心的角 应用提醒 ①要注意前提条件； ②要灵活转化. 圆心角 相等 弧 相等 弦 相等 1．在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆周的eq \f(1,6)，有以下结论：①所对的圆心角为60°；②△ABO是等边三角形；③弦AB的长等于这个圆的半径的长，其中正确的是(　 　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．如图，在⊙O中，AB=2CD，则下列结论正确的是(　 　) A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．以上都不正确 3．如图，AB是⊙O的直径，点A、B、C、D均在圆上，若BC＝CD＝DA＝4 cm，则⊙O的周长为　 　cm. 4．如图，已知A、B是⊙O上两点，∠AOB＝120°，C是AB的中点，则四边形OACB的形状是　 　. 6．如图，在⊙中，AC=BC，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，请问：CD与CE的大小有什么关系？为什么？ 解：CD＝CE. 理由：连接OC. ∵AC=BC.∴∠COA＝∠COB. 又CD⊥OA，CE⊥OB，OC＝OC， ∴△CDO≌△CEO.∴CD＝CE. A.＝ B．∠AOB＝∠COD C.＝ D．OA＝OB＝AB 解：连接OE. ∵EC的度数为40°，∴∠COE＝40°. ∵OC＝OE，∴∠C＝＝70°. ∵CE∥AB，∴∠BOD＝∠C＝70°. 9.在半径为1的圆中，长度等于的弦所对应的弧的度数为(　　) A.90° B．145° C．90°或270° D．145°或270° 3 解：∵△OAC是等边三角形， ∴∠OCA＝∠OAC＝60°. ∵OA＝AC，AP＝OA，⊙O的半径R＝1， ∴OA＝AP＝AC＝1.∴∠ACP＝∠APC. ∵∠ACP＋∠APC＝∠OAC， ∴∠ACP＝∠APC＝∠OAC＝30°. ∴∠OCP＝∠OCA＋∠ACP＝60°＋30°＝90°. ∴△OPC是直角三角形． ∵OC＝1，OP＝OA＋AP＝2， ∴PC＝＝＝. 证明：如图①，连接AC，BD. ∵C，D是的三等分点， ∴＝＝. ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD， AC＝CD＝BD. ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°. ∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°. ∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°. ∵OA＝OC，∠AOC＝30°， ∴∠ACE＝×(180°－30°)＝75°＝∠AEC. ∴AE＝AC. 同理可得BF＝BD， ∴AE＝BF＝CD. 解：成立，证明如下： 如图②，连接AC，BD. ∵C，D是的三等分点， ∴＝＝. ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD，AC＝CD＝BD. ∵∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝40°. ∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°. ∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝70°. ∵OA＝OC，∠AOC＝40°， ∴∠ACE＝×(180°－40°)＝70°＝∠AEC. ∴AE＝AC.同理可得BF＝BD，∴AE＝BF＝CD. 弧、弦、圆心角之间的关系 1．圆是轴对称图形，其对称轴是　 ，圆是中心对称图形，对称中心为　 　. 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的　 　相等，所对的　 　相等．在同圆或等圆中，如果两个　 　、两条　 　、两条　 　中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等． 1.下列说法正确的是(　 　) A．相等的圆心角所对的弦相等　B．相等的圆心角所对的弧相等　 C．等弧所对的弦相等　 D．度数相等的弧的长度相等 易错点：错误理解关系定理，认为弧和弦一样具有二倍关系． 2.在⊙O中，点C在AB上，若AB=2AC，则（ ） A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC $$