2023-2024学年人教版八年级下册数学期末 试卷（3）

2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）函数的自变量x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1 2．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下面各组数是三角形的三边的长，则能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，， C．4，5，6 D．5，7，12 4．（3分）按如图所示的运算程序，若输入数字“6”，用输出的结果是（　　） A．7 B．6+4 C．2 D．6﹣4 5．（3分）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D 6．（3分）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（　　） A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．对角线BD的长度减小 C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变 7．（3分）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（　　） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点（0，1） C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y＜0 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（　　） A．（0，﹣8） B．（0，﹣5） C．（﹣5，0） D．（0，﹣6） 9．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x+a（a为常数，a＜0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）数学组老师在统计数学文化节志愿者参与情况时得到本次志愿者年龄情况统计如表： 年龄（岁） 13岁 14岁 15岁 16岁 人数（人） 7 18 x 10﹣x 那么对于不同x的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（　　） A．平均数、方差 B．中位数、方差 C．平均数、中位数 D．众数、中位数 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）直线y＝2x﹣1沿y轴向上平移4个单位长度，则平移后直线的解析式为　 　． 12．（3分）若Rt△ABC的两边a，b满足，则它的第三边c为 　 　． 13．（3分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解集为　 　． 14．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为 　 　． 15.顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是 　 　． 16．（3分）如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形DEFG是正方形；②CE＝CF；③AE＝CG；④CE+CG＝6．其中结论正确的序号有 　 　． （填序号） 三、解答题 17．（4分）计算： ； 18．（6分）小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小丽的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4：　 　．（填写一个符合上述运算特征的例子）； （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　 　； （3）应用运算规律化简：×＝　 　． 19．（8分）某校举办了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校八年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：根据以上信息，解答下列问题： 所抽取该校八年级学生四月份“读书量”的统计图 （1）补全统计图：本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为 　 　； （2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数； （3）已知该校八年级有600名学生，请你估计该校八年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数． 20．（8分）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西54°方向上，港口与灯塔C的距离是80海里，港口B在灯塔C的南偏西36°方向上，港口与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． （1）货船从A港口航行到B港口需要多少时间； （2）为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1.2小时才符合航行安全标准，这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 21.（8分）有一进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：分）之间的关系如图所示： （1）求0≤x≤4时y随x变化的函数关系式； （2）当4＜x≤12时，求y与x的函数解析式； （3）每分钟进水、出水各是多少升？ 22．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，连接CD． （1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）过C作CH⊥AB于点H，若AC＝6，BD＝8，求CH． 23．（10分）【问题呈现】 如图1，∠MPN的顶点在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠MPN＝90°，将∠MPN绕点P旋转，旋转过程中，∠MPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段DE、DF、AD之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段DE、DF、AD之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，∠EPF＝60°，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段DE、DF、AD之间的数量关系是 　 　； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且∠EPF旋转至DF＝1时，DE的长度为 　 　． 2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）函数的自变量x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1 【分析】由题意可得x≥0且x﹣1≠0，解得x的取值范围即可． 【解答】解：由题意可得x≥0且x﹣1≠0， 解得：x≥0且x≠1， 故选：C． 【点评】本题考查函数自变量的取值范围，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式满足的条件对各选项进行判断． 【解答】解：＝2，＝，＝， 只有为最简二次根式． 故选：B． 【点评】本题考查了最简二次根式：把满足下述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 3．（3分）下面各组数是三角形的三边的长，则能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，， C．4，5，6 D．5，7，12 【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【解答】解：A、∵1+2＝3， ∴以1，2，3为边长不能构成三角形， 故A不符合题意； B、∵12+（）2＝1+2＝3，（）2＝3， ∴12+（）2＝（）2， ∴以1，，为边长能构成直角三角形， 故B符合题意； C、∵42+52＝16+25＝41，62＝36， ∴42+52≠62， ∴以4，5，6为边长不能构成直角三角形， 故C不符合题意； D、∵5+7＝12， ∴以5，7，12为边不能构成三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4．（3分）按如图所示的运算程序，若输入数字“6”，用输出的结果是（　　） A．7 B．6+4 C．2 D．6﹣4 【分析】判断出6除以3的商与的差是多少，根据所得的差与1的大小关系，确定出输出结果是多少即可． 【解答】解：6÷3﹣＝2﹣， ∵2﹣＜1， ∴输出结果是： （2﹣）×（2﹣）＝6﹣4． 故选：D． 【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 5．（3分）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D 【分析】由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意； B、∵AD＝BC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意； C、∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴AB⊥AD，AB⊥BC， ∴AB的长为AD与BC间的距离， ∵AB＝CD， ∴CD⊥AD，CD⊥BC， ∴∠C＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意； D、∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°， ∵∠A＝∠D， ∴∠B＝∠C， ∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是等腰梯形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 6．（3分）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（　　） A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．对角线BD的长度减小 C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变 【分析】由题意可知左扭动矩形框架ABCD，四边形变成平行四边形，四边形的四条边不变，故周长不变，对角线BD减小，但是BC边上的高减小，故面积变小，故选C． 【解答】解：向左扭动矩形框架ABCD，只改变四边形的形状，四边形变成平行四边形，A不符合题意； 此时对角线BD减小，对角线AC增大，B不合题意． BC边上的高减小，故面积变小，C符合题意， 四边形的四条边不变，故周长不变，D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查矩形的性质和平行四边形的性质，熟悉性质是解题关键． 7．（3分）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（　　） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点（0，1） C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y＜0 【分析】根据一次函数的性质逐个进行分析判断即可做出选择． 【解答】解：∵一次函数y＝x+1中，k＞0，b＞0， ∴图象经过第一、二、三象限， 故A不正确； 当x＝0时，y＝1， ∴图象与y轴交于点（0，1）， 故B正确； ∵一次函数y＝x+1中，k＞0， ∴函数值y随自变量x的增大而增大， 故C不正确； ∵当x＝﹣1时，y＝0，函数值y随自变量x的增大而增大， ∴当x＞﹣1时，y＞0， 当x＜﹣1时，y＜0， 故D不正确； 故选：B． 【点评】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解决问题的关键． 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（　　） A．（0，﹣8） B．（0，﹣5） C．（﹣5，0） D．（0，﹣6） 【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题． 【解答】解：∵A（12，13）， ∴OD＝12，AD＝13， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AD＝13， 在Rt△ODC中，OC＝， ∴C（0，﹣5）． 故选：B． 【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x+a（a为常数，a＜0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数y＝ax和y＝x+a的图象经过哪几个象限，本题得以解决． 【解答】解：∵a＜0， ∴函数y＝ax是经过原点的直线，经过第二、四象限， 函数y＝x+a是经过第一、三、四象限的直线， 故选：D． 【点评】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数和一次函数的性质解答． 10．（3分）数学组老师在统计数学文化节志愿者参与情况时得到本次志愿者年龄情况统计如表： 年龄（岁） 13岁 14岁 15岁 16岁 人数（人） 7 18 x 10﹣x 那么对于不同x的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（　　） A．平均数、方差 B．中位数、方差 C．平均数、中位数 D．众数、中位数 【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第18个数据，可得答案． 【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x＝10， 则总人数为：7+18+10＝35， 故该组数据的众数为14岁，中位数为14岁， 即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数， 故选：D． 【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 11．（3分）直线y＝2x﹣1沿y轴向上平移4个单位长度，则平移后直线的解析式为　y＝2x+3　． 【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把直线y＝2x﹣1向上平移4个单位长度后所得直线的解析式为：y＝2x﹣1+4，即y＝2x+3． 故答案为：y＝2x+3． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 12．（3分）若Rt△ABC的两边a，b满足，则它的第三边c为 　5或　． 【分析】根据非负性求出a，b的值，分两种情况，利用勾股定理进行求解即可． 【解答】解：∵， ∴a﹣3＝0，b﹣4＝0， ∴a＝3，b＝4， 当c为直角边时：， 当c为斜边时：， 故答案为：5或． 【点评】本题考查非负数的性质：偶次方、算术平方根，勾股定理，关键是勾股定理的应用． 13．（3分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解集为　x≤1　． 【分析】将点P（m，3）代入y＝x+2，求出点P的坐标；结合函数图象可知当x≤1时x+2≤ax+c，即可求解； 【解答】解：点P（m，3）代入y＝x+2， ∴m＝1， ∴P（1，3）， 结合图象可知x+2≤ax+c的解集为x≤1； 故答案为x≤1； 【点评】本题考查一次函数的交点于一元一次不等式；将一元一次不等式的解转化为一次函数图象的关系是解题的关键． 14．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为 　　． 【分析】连接AP、EF，依据PE⊥AB，PF⊥AD，∠A＝90°，可得四边形AEPF为矩形，借助矩形的对角线相等，将求EF的最小值转化成AP的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求Rt△BAD斜边上的高，利用面积法即可得解． 【解答】解：如图，连接AP、EF， ∵PE⊥AB，PF⊥AD， ∴∠AEP＝∠AFP＝90°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°． ∴四边形AEPF为矩形． ∴AP＝EF． ∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值． ∵点P从B点沿着BD往D点移动， ∴当AP⊥BD时，AP取最小值． 下面求此时AP的值， 在Rt△BAD中， ∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8， ∴BD＝＝＝10． ∵S△ABD＝AB•AD＝AP•BD， ∴AP＝＝＝． ∴EF的长度最小为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用． 15.顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是 　正方形　． 【分析】由三角形中位线定理得EH∥BD，EH＝BD，FG∥BD，FG＝BD，EF∥AC，EF＝AC，则EH∥FG，EH＝FG，得四边形EFGH是平行四边形，再怎EH＝EF，则平行四边形EFGH是菱形，然后证∠FEH＝90°，即可得出结论． 【解答】解：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， ∴EH是△ABD的中位线，FG是△CBD的中位线，EF是△ABC的中位线， ∴EH∥BD，EH＝BD，FG∥BD，FG＝BD，EF∥AC，EF＝AC， ∴EH∥FG，EH＝FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴EH＝EF， ∴平行四边形EFGH是菱形， 又∵AC⊥BD， ∴EF⊥EH， ∴∠FEH＝90°， ∴四边形EFGH是正方形， 故答案为：正方形． 【点评】本题考查了中点四边形、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形EFGH为平行四边形是解题的关键． 16．（3分）如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形DEFG是正方形；②CE＝CF；③AE＝CG；④CE+CG＝6．其中结论正确的序号有　 ①③④． （填序号） 【分析】过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：根据正方形的性质得到∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，推出四边形EMCN为正方形，由矩形的性质得到EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，根据全等三角形的性质得到ED＝EF，推出矩形DEFG为正方形；故①正确； 当DE⊥AC时，点C与点F重合，可对②进行判断； 证明△ADE≌△CDG（SAS），得到AE＝CG，可对③进行判断； 根据等腰直角三角形和线段的和差可对④进行判断． 【解答】解：①如图，过E作EM⊥BC于点M，过E作EN⊥CD于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∴EM＝EN， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形；故①正确； ②当DE⊥AC时，点C与点F重合， ∴CE不一定等于CF，故②错误； ③由①知：DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， 故③正确； ④∵AB＝BC＝3，∠B＝90°， ∴AC＝AB＝×＝6， ∴AC＝AE+CE＝CG+CE＝6． 故④正确； 故答案为：①③④ 【点评】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： （1）； （2），其中． 【分析】（1）根据二次根式的性质和运算法则，进行计算即可； （2）先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简，利用零指数幂的法则求出a的值，再代入化简的结果中，进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣3 ＝2﹣1﹣3 ＝﹣2； （2） ＝ ＝a+1， ∵， ∴原式＝a+1＝1+1＝2． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，分式的化简求值，熟知运算法则是解题的关键． 18．（8分）小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小丽的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4：　　．（填写一个符合上述运算特征的例子）； （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　　； （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律化简：×＝　2023．　． 【分析】（1）根据所给的特例的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可； （3）对（2）的等式的左边进行整理，即可求证； （4）利用（2）中的规律进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：， 故答案为：； （2）∵例1： 特例2： 特例3：＝ ..． ∴用含n的式子表示为：， 故答案为：； （3）等式左边＝＝＝（n+1）＝右边， 故猜想成立； （4）× ＝2023× ＝2023． 故答案为：2023． 【点评】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． 19．（8分）某校举办了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校八年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：根据以上信息，解答下列问题： 所抽取该校八年级学生四月份“读书量”的统计图 （1）补全统计图：本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为 　3　； （2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数； （3）已知该校八年级有600名学生，请你估计该校八年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数． 【分析】（1）根据统计图信息，先计算出抽取总人数，再求出读四本书的人数，画出条形统计图计算出中位数即可； （2）根据平均数的定义即可得出答案； （3）用八年级的总人数乘以“读书量”为5本的学生人数所占的百分比即可． 【解答】解：（1）补全统计图如下：本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为：＝3， 抽取总人数：18÷30%＝60，读四本的人生＝60×20%＝12， （2）本次所抽取学生九月份“读书量”的平均数是：＝3； （3）根据题意得：600×10%＝60（人）， 答：估计该校八年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数有60人． 【点评】本题考查了中位数、用样本估计总体、加权平均数．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20．（9分）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西54°方向上，港口与灯塔C的距离是80海里，港口B在灯塔C的南偏西36°方向上，港口与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． （1）货船从A港口航行到B港口需要多少时间； （2）为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1.2小时才符合航行安全标准，这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【分析】（1）先求出∠BCA＝36°+54°＝90°，然后根据勾股定理求出AB＝100海里，再求出时间即可； （2）过C作CD⊥AB交AB于D，在AB上取两点M，N使得CM＝CN＝50海里，根据等积法求出海里，根据勾股定理求出海里，根据等腰三角形的性质得出MN＝2DM＝28海里，最后求出时间进行比较即可． 【解答】解：（1）由已知得：∠BCA＝36°+54°＝90°， 海里， （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； （2）这艘船在本次运输中是否符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作CD⊥AB交AB于D， 在AB上取两点M，N使得CM＝CN＝50海里， ∵， ∴（海里）， ∴海里， ∵CM＝CN且CD⊥AB， ∴MN＝2DM＝28海里， ∴小时， ∵1.4＞1.2， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，准确计算． 21.有一进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：分）之间的关系如图所示： （1）求0≤x≤4时y随x变化的函数关系式； （2）当4＜x≤12时，求y与x的函数解析式； （3）每分钟进水、出水各是多少升？ 【分析】（1）用待定系数法求对应的函数关系式； （2）用待定系数法求对应的函数关系式； （3）每分钟的进水量根据前4分钟的图象求出，出水量根据后8分钟的水量变化求解． 【解答】解：设y＝kx． ∵图象过（4，20）， ∴4k＝20， ∴k＝5． ∴y＝5x （0≤x≤4）； （2）设y＝kx+b． ∵图象过（4，20）、（12，30）， ∴， 解得：， ∴y＝x+15 （4≤x≤12）； （3）根据图象，每分钟进水20÷4＝5升， 设每分钟出水m升，则 5×8﹣8m＝30﹣20， 解得：m＝， ∴每分钟进水、出水各是5升、升． 【点评】此题这样考查了一次函数的应用问题，解题时首先正确理解题意，然后根据题意利用待定系数法确定函数的解析式，接着利用函数的性质即可解决问题． 22．（10分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，连接CD． （1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）过C作CH⊥AB于点H，若AC＝6，BD＝8，求CH． 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，求出∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB＝BC＝AD，根据菱形的判定得出四边形ABCD是菱形，即可得出答案； （2）根据菱形的性质求出AB＝5，由三角形的面积公式列式计算即可求得结论． 【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形． 理由：∵AE∥BF， ∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA， ∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线， ∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC， ∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝BC，AB＝AD， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8， ∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4， ∴AB＝， ∴BC＝AB＝5， ∵CH⊥AB， ∴S△ABC＝AC•BO＝AB•CH， 即6×4＝5CH， ∴CH＝． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，菱形的性质和判定，能通过角的平分线和平行线的性质及等腰三角形的判定证得AB＝BC，AB＝AD是解决问题的关键． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（1，0），B（6，10）． （1）求AB所在直线的解析式； （2）某同学设计了一个动画； 在函数y＝﹣2x+b中，输入b的值，得到直线CD，其中点D在x轴上，点C在y轴上． ①当b＝6时，则求得两点坐标分别为C（ 　0，6　），D（ 　3，0　）； ②在输入过程中，若△ABD的面积为5，直线CD就会发蓝光，求此时输入的b值； ③若直线CD与线段AB有交点，且交点的横坐标不大于纵坐标时，直线CD就会发红光，直接写出此时输入的b的取值范围 　6≤b≤22　． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①当b＝6时，函数解析式为y＝﹣2x+6，令x＝0，y＝0即可得到C，D的坐标； ②先求出，则，再由△ABD的面积为5，得到，即可建立方程，解方程即可得到答案； ③先求出直线CD恰好经过A和恰好经过B时b的值，由此得到当2≤b≤22时，直线CD与线段AB有交点，再求出直线CD与线段AB的交点坐标为，根据交点的横坐标不大于纵坐标，建立不等式，解不等式即可得到答案． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b'， 把A（1，0），B（6，10）代入y＝kx+b'中得： ， ∴， ∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2； （2））①当b＝6时，函数解析式为y＝﹣2x+6， 令x＝0，解得：y＝6； 令y＝0，解得：x＝3； ∴C点坐标为（0，6），D点坐标为（3，0）； 故答案为：0，6；3，0； ②在y＝﹣2x+b中，当y＝0时，， ∴， ∴， ∵△ABD的面积为5， ∴， ∴， ∴， ∴b＝0或b＝4； ③当直线y＝﹣2x+b恰好经过A（1，0）时，则﹣2+b＝0， ∴b＝2； 当直线y＝﹣2x+b恰好经过B（6，10）时，则﹣12+b＝10， ∴b＝22， ∴当2≤b≤22时，直线CD与线段AB有交点， 联立， 解得， ∴直线CD与线段AB的交点坐标为， ∵交点的横坐标不大于纵坐标， ∴，即2b+4≤4b﹣8， 解得b≥6， 综上所述，6≤b≤22， 故答案为： 【点评】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，解一元一次不等式，求两直线的交点坐标等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 24．（10分）【问题呈现】 如图1，∠MPN的顶点在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠MPN＝90°，将∠MPN绕点P旋转，旋转过程中，∠MPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段DE、DF、AD之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段DE、DF、AD之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，∠EPF＝60°，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段DE、DF、AD之间的数量关系是 　DE+DF＝AD　； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且∠EPF旋转至DF＝1时，DE的长度为 　4或2　． 【分析】（1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得△APE≌△DPF，可得出AE＝DF，即可得出结论DE+DF＝AD． （2）取AD的中点T，连接PT，利用菱形的性质，可得出△TDP是等边三角形，易证△TPE≌△FPD，得出TE＝DF，由DE+TE＝AD，即可得出DE+DF＝AD． （3）分两种情形：如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作AH⊥BD于H，连接AP，作PG∥AB交AD于G．解直角三角形求出PH，AG，可得结论．如图3﹣2中，当点P靠近点D时，同法可求． 【解答】解：（1）结论：DE+DF＝AD． 理由：如图1中， ∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P， ∴PA＝PD，∠PAE＝∠PDF＝45°， ∵∠APE+∠EPD＝∠DPF+∠EPD＝90°， ∴∠APE＝∠DPF， 在△APE和△DPF中 ， ∴△APE≌△DPF（ASA）， ∴AE＝DF， ∴DE+DF＝AD． （2）（1）中的结论变为DE+DF＝AD，理由如下： 如图2中，取AD的中点T，连接PT， ∵四边形ABCD为∠ADC＝120°的菱形， ∴BD＝AD，∠DAP＝30°，∠ADP＝∠CDP＝60°， ∴△TDP是等边三角形， ∴PT＝PD，∠PTE＝∠PDF＝60°， ∵∠PAT＝30°， ∴∠TPD＝60°， ∵∠MPN＝60°， ∴∠MPT＝∠FPD， 在△TPE和△DPF中， ， ∴△TPE≌△DPF（ASA） ∴TE＝DF， ∴DE+DF＝AD， 故答案为：DE+DF＝AD． （3）如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作AH⊥BD于H，连接AP，作PG∥AB交AD于G． ∵△ABD是等边三角形，AH⊥BD， ∴BH＝DH＝4，AH＝4， 在Rt△APH中，PH＝＝＝1， ∴AG＝BP＝BH﹣PH＝3， 由（2）可知，DF＝EG＝1， ∴DE＝AD﹣AG﹣EG＝8﹣3﹣1＝4． 如图3﹣2中，当点P靠近点D时，同法可得PH＝1，AG＝PB＝BH+PH＝5， ∵DF＝EG＝1 ∴DE＝AD﹣AG﹣EG＝8﹣5﹣1＝2， 综上所述，满足条件的DE的值为4或2． 故答案为：4或2． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形及菱形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/7 8:19:41；用户：初中数学14；邮箱：tlshiyan017@xyh.com；学号：27405248 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$