第二十一章 一元二次方程及其解法课件2024-2025学年人教版九年级上册

一元二次方程及其解法 复习课 第二十一章 复习目标： 进一步巩固一元二次方程的定义，灵活运用直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法解一元二次方程，建立知识体系，体会转化等数学思想。 综合运用一元二次方程的知识解决有关问题，培养解题能力，感受数学的严谨性，结论的正确性。 考点透视 一元二次方程的定义和解法，特别是对方程中a≠0的考查，考题有填空题和选择题，也有简单的解答题，一元二次方程的解法也常与二次函数等其他知识出现在综合题中。 1.一元二次方程 (1)概念:只含有一个未知数,未知数的最高次数是二次,且系数不为0的整式方程,叫做一元二次方程. (2)一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c＝0(a≠0),其中ax2叫做二次项,bx叫做一次项,c叫做常数项,a是二次项的系数,b是一次项的系数,注意a≠0. 考点梳理 1.(1)若(a+1)x2－4x－1＝0是关于x的一元二次方程,则a满足　 　; (2)方程x2－x＝5的二次项的系数是　 　,一次项的系数是　 　, 常数项是　 　. 　－5 　－1 　1 　a ≠－1 回练课本 一般方法 特殊方法 ax2+bx+c = 0(a≠0) 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法 降 次 基本思路 一元二次方程的解法 典型例题讲解 1.用适当的方法解下列方程： (1) (2X-1) 2 =1 (2) X2+6X=7 (3) 2y2-1=2y (4) x(x-2)=x-2 选择一元二次方程的解法的优先顺序是：先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，如果不能用这两种特殊方法，再用公式法和配方法。 温馨提示： （直接开平方法） （配方法或求根公式法） （求根公式法） （因式分解法） (5) x2-３x=28 （因式分解法） 直接开平方法： 例1 (2x-1)2=1 左边是完全平方式，右边是非负数 两边直接开平方 降次－ 转化为一元一次方程 解一元一次方程 2x-1=1 或 2x-1= -1 x1=1, x2=0 解: (2x-1)=±1 典型例题讲解 一、直接开平方法： 1.依据：如果 x2=a , 那么x = 2.解题步骤： （1）将一元二次方程常数项移到方程的右边。 （2）利用平方根的意义，两边同时开平方。 （3）得到形如： x = （4）写出方程的解 = ? = ? 的一元一次方程。 针对一元二次方程形如x2=p或(mx+n) 2 =p (m,n,p为常数，且p ≥ 0 )的形式; 典型例题讲解 例 用配方法解下列方程 x2+6x=7 二、配方法 概念：把方程左边配成完全平方式的方法,再两边开平方得到了一元二次方程的根,这种解法称为配方法 配方法解一元二次方程的步骤： ① 把二次项系数化为1；把常数项移到方程右边； ②两边加上一次项系数绝对值一半的平方； ③方程左边配成完全平方式，右边是常数项; ④直接开平方解方程。 即一元二次方程变形(mx+n) 2 =p (p ≥ 0 )的形式 三、公式法 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.把方程化成一般形式。并写出a，b，c的值。 2.求判别式△ =b2-4ac的值，并与O比较来判定根的情况 （1）当△ ﹥0， 方程有两个不相等的实数 （2）当△ =0， 方程有两个相等的实数根 （3）当△ ＜0，方程没有实数根 3.代入求根公式 : X= (a≠0, b2-4ac≥0) 4.写出方程的解： x1=?, x2=? 公式法： 例 2y2-1=2y 化为一般形式(方程右边为0) 找出 a, b, c(注意符号) 解: 2y2-2y – 1=0 ∵a=2, b= -2, c= -1 ∴b 2-4ac=(-2)2-4×2× (-1)=12＞0 ∴方程有两个不相等的实数根 算出b 2-4ac的值，并判断根的情况。 y= y1= , y2= 代入求根公式 典型例题讲解 X= 四、因式分解法 2.理论依据是:如果A×B=O,则A=O或B=O. 3.因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 1.因式分解的方法有： (1) 用提公因式法;(2)应用公式法；（3）十字相乘法。 1. 用提公因式法解方程 例（1） x(x-2)=x-2 移项(方程右边为0) 提公因式化为(x+a)(x+b)=0的形式 解: x(x-2)-(x-2)=0 (x –2)(x-1)=0 x- 2=0 或 x-1=0 化为一元一次方程 x1=2, x2= 1 典型例题讲解 2.用平方差或完全平方公式解 （1）形如 运用平方差公式得： （2）形如 的式子运用完全平方公式得： 或 例（2）x(x+2)+1=0 解：原方程变形为： 考点梳理 解法1：直接开平方法 1.用直接开平方法解方程 (x+1)2＝5 回练课本 考点梳理 定义：把方程左边配成完全平方式,右边是一个非负常数，再两边开平方得到了一元二次方程的根,这种解法称为配方法 即一元二次方程变形(mx+n) 2 =p (p ≥ 0 )的形式 解法2：配方法 x2-5x+ =(x- )2 回练课本 1.用配方法解下列方程 2x2-7x+3=0 考点梳理 解法3：公式法 一般步骤： 一化：化成一般形式，并写出a，b，c的值。 二判：求△ =b2-4ac的值，并与O比较来判定根的情况 三代：代入求根公式 : X= 四写：写解： x1=?, x2=? 注意符号 一般形式 ax2+bx+c = 0(a≠0) 运用配方法求解 考点梳理 解法3：公式法 一般步骤： 一化：化成一般形式，并写出a，b，c的值。 二判：求△ =b2-4ac的值，并与O比较来判定根的情况 三代：代入求根公式 : 四写：写解： x1=?, x2=? X= 注意符号 一般形式 ax2+bx+c = 0(a≠0) 运用配方法求解 回练课本 1.用公式法解下列方程 解： 因式分解的方法有： (1)提公因式法; (2)公式法（平方差公式、完全平方公式、十字相乘法）。 考点梳理 理论依据: 如果A·B=O, 则A=O或B=O. 解法4：因式分解法 中考真题 1.解下列方程 x2－3x+2＝0. 解: (x－1)(x－2)＝0. ∴x－1＝0或x－2＝0 ∴x1＝1, x2＝2. 判别式 实数根 △ ﹥0 两个不相等 △ = 0 两个相等 △ < 0 无实数根 根的判别式 一元二次方程的根 1. 已知x1,x2是一元二次方程2x2-6x+3=0的两个根， x1+x2 = ,x1x2 = . 回练课本 2.已知x1=2,x2=-3,写出符合条件 的一元二次方程 。 考点1 一元二次方程及其解法 核心考题 1.(2021黔东南州)若关于x的一元二次方程x2－ax+6＝0的一个根是2,则a的值为( ) A.2　 B.3　 C.4　 D.5 D 2.(2021益阳)一元二次方程x2－3x＝0的解是 　. x1＝0, x2＝3 考点2 一元二次方程根的判别式 3.(2021怀化)对于一元二次方程2x2－3x+4＝0,则该方程根的情况为( ) A.没有实数根　 B.两根之和是3 C.两根之积是－2　 D.有两个不相等的实数根 A x(x-2)=(x-2) x(x-2)=(x-2) x(x-2)-(x-2)=0 (x-2)(x-1)=0 4.(2021十堰)已知关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0有两个不相等的实数根， 求实数m的取值范围; 4.(2021十堰)已知关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围; 5.(2021北京)已知关于x的一元二次方程x2－4mx+3m2＝0. (1)求证:该方程总有两个实数根; (2)若m＞0,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值. 核心考题 4.解：∵方程有两个不相等的实数根 ∴Δ>0. 即（-4）2-4（－2m＋5）>0 ∴m > 5.(1)证明:∵a＝1,b＝－4m,c＝3m2, ∴Δ＝b2－4ac＝(－4m)2－4×1×3m2＝4m2. ∵无论m取何值时,4m2≥0,即Δ≥0, ∴该方程总有两个实数根. 核心考题 (2)解:∵x2－4mx+3m2＝0,即(x－m)(x－3m)＝0, ∴x1＝m, x2＝3m. ∵m＞0,且该方程的两个实数根的差为2, ∴3m－m＝2, ∴m＝1. 一般方法 特殊方法 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法 降 次 复习小结 根的判别式 课时小结： 这节课我们复习了什么？ 1.形如x² =p 或（x+k）² =h的方程可以用直接开平方法求解； 2.千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个根丢失了。要利用因式分解法求解； 3.当方程的一次项系数是方程的二次项系数的两倍的时候可以用配方法求解； 4.当我们不能利用上边的方法求解的时候就就可以用公式法求解，公式法是万能的。 温馨提示： 如图，AO=50cm，OC=55cm，蚂蚁甲以2cm/s的速度从A爬到0，蚂蚁乙以3cm/s的速度从O到C，问：经过几秒两只蚂蚁和O点围成的三角形的面积为300cm2? 课外作业 O A B C P Q $$