江苏省宿迁中学2025届高三实验部学业质量检测（一）数学试卷

第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 高三年级学业质量检测（一） 数学试卷（实验部） 试卷满分（150 分） 考试时间（120 分钟） 一、单选题（每小题 5 分，共 8 小题，计 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.） 1. 已知集合 { } { }= 1,2,3, 4,5,6 , ,A B y y x x A= = ∈ ，则 A B = （ ） A. { }1,2 B. { }1,2,3 C. { }1,3,5 D. { }1, 2,3, 4,5,6 2. 已知 ( )2xf x= ，则 ( )3f =（ ） A. 8 B. 9 C. 2log 3 D. 3log 2 3. 已知 , Ra b∈ ．则“ 0a > 且 0b > ”是“ 2 a b b a + ≥ ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知 0a > ， 0b > ，直线 ( 1) 1 0a x y− + − = 和 2 1 0x by+ + = 垂直，则 2 1 a b + 最小值为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 5. f(x)是定义域在 R上的奇函数,若 0x ≥ 时 ( ) 2 2f x x x= + ，则 ( )2f − 等于 A 8 B. 4 C. 0 D. -8 6. 给出下列命题： ①如果不同直线 ,m n都平行于平面α ，则 ,m n一定不相交； ②如果不同直线 ,m n都垂直于平面α ，则 ,m n一定平行； ③如果平面 ,α β 互相平行，若直线m α⊂ ，直线n β⊂ ，则 //m n； ④如果平面 ,α β 互相垂直，且直线 ,m n也互相垂直，若m α⊥ ，则n β⊥ ； 其中正确的个数为（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 7. 已知函数 ( ) ( ),f x g x 的定义域均为R ， ( ) ( )2 2f x g x+ − = ， ( ) ( )4 4f x g x− − = ， ( )2 0f − = ， 则 ( ) ( )2018 2024g g+ =（ ） . 的 . 第2页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 A. 4− B. 2− C. 2 D. 4 8. 已知函数 2 2 4( ) 3f x x x = −+ ， ( ) 2g x kx= + ，若对任意的 1 [ 1, 2]x ∈ − ，总存在 2 [1, 3]x ∈ ，使得 1 2( ) ( )g x f x> ，则实数 k 的取值范围是（ ）． A. 1 ,1 2       B. 1 2, 3 3  −    C. 1 ,1 2  −    D. 以上都不对 二、多选题（每小题 6 分，共 3 小题，计 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.） 9. 已知正数 a，b 满足 2 2a b ab+ = ，则下列说法一定正确的是（ ） A. 2 4a b+ ≥ B. 4a b+ ≥ C. 8ab ≥ D. 2 24 8a b+ ≥ 10. 已知定义在R 上 函数 ( )f x 满足 ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x y f xy × − − =  ，当 ( ) ( ),0 0,x∈ −∞ ∪ +∞ ， 时， ( ) 0f x ≠ .下列结论正确的是（ ） A. 1 1 2 2 f   =    B. ( )10 1f = C. ( )f x 是奇函数 D. ( )f x 在R 上单调递增 11. 如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中， E 为 1AA 的中点，点 F 满足 ( )1 1 1 0 1A F A Bλ λ= ≤ ≤   ，则（ ） A 当 0λ = 时， 1AC ⊥平面 BDF B. 任意 [ ]0,1λ∈ ，三棱锥 F BDE− 的体积是定值 C. 存在 [ ]0,1λ∈ ，使得 AC 与平面 BDF 所成的角为 π 3 D. 当 2 3 λ = 时，平面 BDF 截该正方体的外接球所得截面的面积为 56 π 19 的 . 第3页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题（每小题 5 分，共 3 小题，计 15 分） 12. 函数 2( ) | | 3 xf x x − = − 的定义域为____________． 13. 已知一个四棱柱，其底面是正方形，侧棱垂直于底面，它的各个顶点都在一个表面积为4π 2cm 的球面 上.如果该四棱柱的底面边长为 1 cm，则其侧棱长为____________ cm . 14. 已知函数 ( ) ( ) ( ) 2 1( 1) { ? 1x a x x f x a x − + < = ≥ 满足对任意的 1 2x x< ，都有 ( ) ( )1 2f x f x< 恒成立，那么实数 a的取值范围是______________ 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.） 15. 已知集合 ( )( ){ }| 3 1A x y x x= = + − ， { }2 2| 6 0B x x ax a= − − < ，其中 0a ≥ . （1）当 1a = 时，求集合 A B∪ ， ( )RC A B∩ ； （2）若 ( )RC A B B∩ = ，求实数a的取值范围. 16. 已知 ( )y f x= ( x R∈ )是偶函数，当 0x ≥ 时， 2( ) 2f x x x= − ． (1) 求 ( )f x 的解析式； (2) 若不等式 ( )f x mx≥ 在1 2x≤ ≤ 时都成立，求 m的取值范围． 17. （2016年苏州 19）设函数 ( ) 1f x x x m= − + ． （1）当 2m = − 时，解关于 x 的不等式 ( ) 0f x > ； （2）当 1m > 时，求函数 ( )y f x= 在[0, ]m 上的最大值． 18. 已知函数 2 2( ) 4 4 2 2f x x ax a a= − + − + . （1）若 2a = ，求函数 ( )f x 在区间 ( 1, 2)− 上的值域； （2）若函数 ( )f x 在区间[0,2]上有最小值 3，求a的值. 19. 如图，在四棱锥 P ABCD− 中，底面 ABCD是正方形，侧面 PAD ⊥侧面 PAB， F 为 BD中点， E 是 PA上的点， 2PA PD= = ， PA PD⊥ ． （1）求证：平面 PAD ⊥平面 ABCD； 第4页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 （2）若二面角 E DF A− − 的余弦值为 3 11 11 ，求 E 到平面 PBC 的距离 第1页/共15页 学科网(北京)股份有限公司 高三年级学业质量检测(一) 数学试卷(实验部) 试卷满分(150 分) 考试时间(120 分钟) 一、单选题(每小题 5 分,共 8 小题,计 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.) 1. 已知集合 { } { }= 1,2,3, 4,5,6 , ,A B y y x x A= = ∈ ,则 A B = ( ) A. { }1,2 B. { }1,2,3 C. { }1,3,5 D. { }1, 2,3, 4,5,6 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合 B,再根据交集的定义即可求出. 【详解】 { }= 1,2,3, 4,5,6A , { } { }, 1, 2, 3, 2, 5, 6B y y x x A∴ = = ∈ = , { }1,2A B∴ = . 故答案 :A. 2. 已知 ( )2xf x= ,则 ( )3f =( ) A. 8 B. 9 C. 2log 3 D. 3log 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数、对数运算以及函数的概念求得正确答案. 【详解】令2 3x = ,可得 2log 3x = ,则 ( ) 23 log 3f = . 故选:C 3. 已知 , Ra b∈ .则“ 0a > 且 0b > ”是“ 2 a b b a + ≥ ”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件,利用充分条件和必要条件的判断方法,即可求出结果. 为 . 第2页/共15页 学科网(北京)股份有限公司 【详解】当 0a > 且 0b > 时, 0, 0a b b a > > ,所以 2 2a b a b b a b a + ≥ ⋅ = ,当且仅当 a b b a = ,即a b= 时取等 号, 所以由 0a > 且 0b > 可以得出 2 a b b a + ≥ , 显然,当 2a b= = − ,有 2 a b b a + ≥ 成立,但得不出 0a > 且 0b > , 所以“ 0a > 且 0b > ”是“ 2 a b b a + ≥ ”的充分而不必要条件, 故选:A. 4. 已知 0a > , 0b > ,直线 ( 1) 1 0a x y− + − = 和 2 1 0x by+ + = 垂直,则 2 1 a b + 的最小值为( ) A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用两直线垂直的性质,求得 2 1a b+ = ,再利用基本不等式,求得 2 1 a b + 的最小值. 【详解】 0a > , 0b > ,直线 1 : ( 1) 1 0l a x y− + − = , 2 : 2 1 0l x by+ + = ,且 1 2l l⊥ , ( 1) 1 1 2 0a b∴ − + = ,即 2 1a b+ = . 则 2 1 2 4 2 4 42 2 4 2 4 4 8a b a b b a b a a b a b a b a b + + + = + = + + + ≥ + ⋅ = + = ,当且仅当 12 2 a b= = 时,等号成 立, 故 2 1 a b + 的最小值为 8, 故选:B. 5. f(x)是定义域在 R上的奇函数,若 0x ≥ 时 ( ) 2 2f x x x= + ,则 ( )2f − 等于 A. 8 B. 4 C. 0 D. -8 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数是奇函数得到 ( ) ( )2 2f f− = − ,再将 2 代入函数解析式得到函数值. 【 详 解 】 根 据 函 数 是 奇 函 数 得 到 ( ) ( )2 2f f− = − , 由 0x ≥ 时 ( ) 2 2f x x x= + 可 得 到 ( ) ( ) ( )2 8.? 2 2 8.f f f= − = − = − 故答案为 D. 【点睛】这个题目考查的是函数奇偶性的应用,函数奇偶性的判断,先要看定义域是否关于原点对称,接 第3页/共15页 学科网(北京)股份有限公司 着再按照定义域验证 ( )f x 和 ( )-f x 的关系. 6. 给出下列命题: ①如果不同直线 ,m n都平行于平面 ,则 ,m n一定不相交; ②如果不同直线 ,m n都垂直于平面 ,则 ,m n一定平行; ③如果平面 , 互相平行,若直线m ⊂ ,直线n ⊂ ,则 //m n; ④如果平面 , 互相垂直,且直线 ,m n也互相垂直,若m ⊥ ,则n ⊥ ; 其中正确的个数为( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知线面、面面的位置关系,结合平面基本性质及空间想象,即可判断各项正误. 【详解】①如果不同直线 ,m n都平行于平面 ,则 ,m n相交、平行或异面,错误; ②如果不同直线 ,m n都垂直于平面 ,则由线面垂直的性质定理得 ,m n一定平行,正确; ③如果平面 , 互相平行,若直线m ⊂ ,直线n ⊂ ,则 ,m n相交、平行或异面,错误; ④如果平面 , 互相垂直,且直线 ,m n也互相垂直,若m ⊥ ,则n 与 相交或平行,错误. 故选:A 7. 已知函数 ( ) ( ),f x g x 的定义域均为R , ( ) ( )2 2f x g x+ − = , ( ) ( )4 4f x g x− − = , ( )2 0f − = , 则 ( ) ( )2018 2024g g+ =( ) A. 4− B. 2− C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】已知条件可求得 2( ) )6(g x g x+ − = − ,代入 2024 计算即可. 【详解】 2( ) ( 2)f x g x+ − = ,以 4x − 代 x ,有 2( )4 6) (f x g x− + − = , 又 4( ( )4)f x g x− − = ,得 2( ( )6)g x g x− + = − , 所以 ( ) ( ) ( ) ( )2018 2024 2024 6 2024 2g g g g+ = − + = − . 故选:B. 第4页/共15页 学科网(北京)股份有限公司 8. 已知函数 2 2 4( ) 3f x x x = −+ , ( ) 2g x kx= + ,若对任意的 1 [ 1, 2]x ∈ − ,总存在 2 [1, 3]x ∈ ,使得 1 2( ) ( )g x f x> ,则实数 k 的取值范围是( ). A. 1 ,1 2 B. 1 2, 3 3 − C. 1 ,1 2 − D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意得 1 min 2 min( ) ( )g x f x> ,再分别求函数的最小值即可得答案. 【详解】解:∵ [1, 3]x∈ ,∴ 2 [1,3]x ∈ , ∴ 2 2 4( ) 3 [1,2]f x x x = − ∈+ . 当 0k > 时, ( ) [ 2,2 2]g x k k∈ − + + ,所以只需满足:1 2k< − + ,解得0 1k< < ; 当 0k = 时, ( ) 2g x = .满足题意. 当 0k < 时, ( ) [2 2, 2]g x k k∈ −+ + ,所以只需满足:1 2 2k< + ,解得 10 2 k> > − . ∴ 1 ,1 2 k ∈ − . 故选:C. 【点睛】结论点睛:本题考查不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化: 一般地,已知函数 ( ) [ ], ,y f x x a b= ∈ , ( ) [ ], ,y g x x c d= ∈ (1)若 [ ]1 ,x a b∀ ∈ , [ ]2 ,x c d∀ ∈ ,总有 ( ) ( )1 2f x g x< 成立,故 ( ) ( )2max minf x g x< ; (2)若 [ ]1 ,x a b∀ ∈ , [ ]2 ,x c d∃ ∈ ,有 ( ) ( )1 2f x g x< 成立,故 ( ) ( )2max maxf x g x< ; (3)若 [ ]1 ,x a b∃ ∈ , [ ]2 ,x c d∃ ∈ ,有 ( ) ( )1 2f x g x< 成立,故 ( ) ( )2min minf x g x< ; (4)若 [ ]1 ,x a b∀ ∈ , [ ]2 ,x c d∃ ∈ ,有 ( ) ( )1 2f x g x= ,则 ( )f x 的值域是 ( )g x 值域的子集 . 二、多选题(每小题 6 分,共 3 小题,计 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.) 9. 已知正数 a,b 满足 2 2a b ab+ = ,则下列说法一定正确的是( ) A. 2 4a b+ ≥ B. 4a b+ ≥ C. 8ab ≥ D. 2 24 8a b+ ≥ 第5页/共15页 学科网(北京)股份有限公司 【答案】AD 【解析】 【分析】由基本不等式判断 AD,取 1, 2b a= = 判断 BC. 【详解】由题意可知 1 1 1 2b a + = , 1 1 22 ( 2 ) 2 4 2 2 a ba b a b b a b a + = + + = + + (当且仅当 2 2a b= = 时 取等号),故 A 正确; 取 1, 2b a= = ,则 3, 2a b ab+ = = ,故 BC 错误; 因为 2 2 2 2a b ab ab+ = ≥ ,所以 2ab (当且仅当 2 2a b= = 时取等号),则 2 24 4 8a b ab+ (当且仅当 2 2a b= = 时取等号),故 D 正确; 故选:AD 10. 已知定义在R 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x y f xy − − = ,当 ( ) ( ),0 0,x∈ −∞ ∪ +∞ , 时, ( ) 0f x ≠ .下列结论正确的是( ) A. 1 1 2 2 f = B. ( )10 1f = C. ( )f x 是奇函数 D. ( )f x 在R 上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法得到 ( ) ( )f x f x= − − ,由此判断出 ( )f x 的奇偶性.利用赋值法求得 ( ) ( )0 , 1f f ,进而 求得 ( ) 110 , 2 f f ,根据函数单调性的定义,计算 ( ) ( )1 2f x f x− 的符号来判断函数 ( )f x 的单调性. 【详解】令 0x y= = ,可得 ( )0 0f = . 令 1x y= = ,可得 ( ) ( )2[ 1 ] 1f f= .因为当 0x > 时, ( ) 0f x ≠ ,所以 ( )1 1f = . 令 x y= ,可得 ( ) ( )2 2[ ] 0f x f x= ≥ . 因为 2 0x ≥ ,所以当 0x ≥ 时, ( ) 0f x ≥ . 又因为当 0x > 时, ( ) 0f x ≠ ,所以当 0x > 时, ( ) 0f x > . 令 1y = ,可得 ( ) ( ) ( ) ( )1f x f x f x f x − − = ,① 第6页/共15页 学科网(北京)股份有限公司 所以 ( ) ( ) ( ) ( )1 1, 1 1f x f x f x f x− − = + − = ,两式相加可得 ( ) ( )1 1 2f x f x+ − − = . 令 1y = − ,可得 ( ) ( ) ( ) ( )1f x f x f x f x − + = − .② ①-②可得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1f x f x f x f x f x + − − = − − , 化简可得 ( ) ( )f x f x= − − ,所以 ( )f x 是奇函数,C 正确. 由 ( ) ( )1 1f x f x− − = ,可得: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2, 3 2 1 3, 4 3 1 4, , 10 10f f f f f f f= + = = + = = + = = ,B 错误. 由 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1f x f x f x f x + − = = − − 可得 1 1 1 2 2 1 1 2 2 f f f f − − = = − − 解得 1 1 2 2 f = ,A 正确. 令 1 1 2,x x y x x= = − ,可得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 f x x x f x f x f x − − = . 令 2 10 x x< < ,则 ( )1 2 1 1 20, 0x x x x x− > − > . 因为当 0x > 时, ( ) 0f x > ,所以 ( ) ( )( )1 1 1 20, 0f x f x x x> − > , 所以 ( ) ( ) ( )( )( ) 1 1 2 1 2 1 0 f x x x f x f x f x − − = > ,即 ( ) ( )1 2f x f x> , 所以 ( )f x 在 ( )0, ∞+ 上单调递增. 因为 ( )f x 为奇函数,所以 ( )f x 在R 上单调递增,D 正确. 故选:ACD 【点睛】方法点睛:利用函数单调性的定义证明函数的单调性,首先要在函数定义域的给定区间内,任取 两个数 1 2,x x ,且 1 2x x< ,然后通过计算 ( ) ( )1 2f x f x− 的符号,如果 ( ) ( )1 2 0f x f x− < ,则 ( )f x 在给 定区间内单调递增;如果 ( ) ( )1 2 0f x f x− > ,则 ( )f x 在给定区间内单调递减. 11. 如图,在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中, E 为 1AA 的中点,点 F 满足 ( )1 1 1 0 1A F A B = ≤ ≤ ,则( ) 第7页/共15页 学科网(北京)股份有限公司 A. 当 0 = 时, 1AC ⊥平面 BDF B. 任意 [ ]0,1 ∈ ,三棱锥 F BDE− 的体积是定值 C. 存在 [ ]0,1 ∈ ,使得 AC 与平面 BDF 所成的角为 3 D. 当 2 3 = 时,平面 BDF 截该正方体的外接球所得截面的面积为 56 19 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系,对于 A, 0 = 时, F 与 1A 重合,故只需验证 1AC ⊥面 1BDA 是否 成立即可,对于 B,由 1 1A B 不与平面 BDE 平行,即点 F 到面 BDE 的距离不为定值,由此即可推翻 B, 对于 C,考虑两种极端情况的线面角,由于F 是连续变化的,故 AC 与平面 BDF 所成的角也是连续变化 的,由此即可判断;对于 D,求出平面 BDF 的法向量,而显然球心坐标为 ( )1,1,1O ,求出球心到平面 BDF 的距离,然后结合球的半径、勾股定理可得截面圆的半径,进一步可得截面圆的面积. 【详解】如图所示建系, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 10,0,0 , 2, 2,0 , 2,0, 2 , 2,0,0 , 0, 2, 2D B A A C , 所以 ( ) ( ) ( )1 12, 2,0 , 2,0, 2 , 2,2,2DB DA AC= = = − , 从而 1 1 14 4 0, 4 4 0AC DB AC DA⋅ = − + = ⋅ = − + = , 第8页/共15页 学科网(北京)股份有限公司 所以 1 1 1,AC DB AC DA⊥ ⊥ , 又 1 1, ,DB DA D DB DA∩ = ⊂面 1BDA , 所以 1AC ⊥面 1BDA , 0 = 时, F 与 1A 重合,平面 BDF 为平面 1BDA , 因为 1AC ⊥面 1BDA , 1AC∴ ⊥平面 BDF ,A 对. 1 1A B 不与平面 BDE 平行, F∴ 到面 BDE 的距离不为定值, ∴三棱锥 F BDE− 的体积不为定值,B 错. 设面 1BDA 的法向量为 ( )1 1 1 1, ,n x y z= , 则 1 1 1 1 1 1 1 2 2 0 2 2 0 n DB x y n DA x z ⋅ = + = ⋅ = + = ,令 1 1x = ,解得 1 11, 1= − = −y z , 即可取 ( )1 1, 1, 1n = − − , 而 ( )2,2,0AC = − , 所以 AC 与平面 BDF 所成角的正弦值为 1 1 1 4 6cos , 32 2 3 AC n AC n AC n ⋅ = = = ⋅ , 又 ( ) ( )12, 2,0 , 0,0, 2BD BB= − − = , 所以 14 4 0, 0AC BD AC BB⋅ = − = ⋅ = , 所以 1,AC BD AC BB⊥ ⊥ , 又 1 1, ,BD BB B BD BB= ⊂ 面 1DBB , 所以 AC ⊥面 1DBB , 当 F 在 1A 时, AC 与平面 BDF 所成角的正弦值为 6 3 3 2 < ,此时 AC 与平面 BDF 所成角小于 3 , 当 F 在 1B 时, AC 与平面 BDF 所成角为 2 3 > , 所以存在 [ ]0,1 ∈ 使 AC 与平面 BDF 所成角为 3 ,C 正确. ( ) ( ) ( )0,0,0 , 2,2,0 , 2,2 ,2D B F , 第9页/共15页 学科网(北京)股份有限公司 设平面 BDF 的法向量为 ( ) 0 2 2 0 , , , , 2 2 2 00 n DB x y n x y z x y zn DF ⋅ = + = = ∴ + + =⋅ = , 不妨设 1x = ,则 ( ) ( )1, 1, 1, 1, 1 , 2, 2,0y z n AC = − = − = − − = − . 2 3 = ,则 42, , 2 3 F ,平面 BDF 的法向量 11, 1, 3 n = − − ,显然球心 ( )1,1,1O , O到面 BDF 的距离 1 19 1919 OD n d n ⋅ = = = ,外接球半径 4 4 4 3 2 R + += = , ∴截面圆半径的平方为 2 2 2 56 19 r R d= − = ,所以 2 56 19 S r= = ,D 对. 故选:ACD. 【点睛】关键点点睛:判断 D 选项的关键是利用向量法求出球心到截面 BDF 的距离,由此即可顺利得解. 三、填空题(每小题 5 分,共 3 小题,计 15 分) 12. 函数 2( ) | | 3 xf x x − = − 的定义域为_. 【答案】[ ) ( )2,3 3,∪ +∞ 【解析】 【分析】根据根式以及分式的性质即可求解. 【详解】 2( ) | | 3 xf x x − = − 的定义域满足 2 0x − ≥ 且 | | 3 0x − ≠ ,解得 2x ≥ 且 3x ≠ . 故答案为:[ ) ( )2,3 3, ∞∪ + 13. 已知一个四棱柱,其底面是正方形,侧棱垂直于底面,它的各个顶点都在一个表面积为4 2cm 的球面 上.如果该四棱柱的底面边长为 1 cm,则其侧棱长为_ cm . 【答案】 2 【解析】 【分析】根据已知四棱柱结构特征确定外接球球心位置,结合球体表面积公式确定球体半径,进而求侧棱长. 【详解】四棱柱底面是正方形,侧棱垂直于底面,此四棱柱外接球的球心为体对角线的中点, 因为球 表面积为4 2cm ,所以球的半径为 1cm,故体对角线长为 2 cm, 设侧棱长为 h,则 2 2 21 1 2 2h h+ + = = cm. 故答案为: 2 的 第10页/共15页 学科网(北京)股份有限公司 14. 已知函数 ( ) ( ) ( ) 2 1( 1) { ? 1x a x x f x a x − + < = ≥ 满足对任意的 1 2x x< ,都有 ( ) ( )1 2f x f x< 恒成立,那么实数 a的取值范围是_ 【答案】 3 ,2 2 【解析】 【详解】∵函数 f(x)满足对任意 x1<x2,都有 f(x1)<f(x2)成立,∴函数 f(x)在定义域上是增函数, 则满足 2 0 2 3{ 1 ? { 1 ? 2 2 2 1 3 2 a a a a a a a a − > < > ∴ > ∴ ≤ < − + ≤ ≥ , 故答案为 3 ,2 2 . 四、解答题(本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.) 15. 已知集合 ( )( ){ }| 3 1A x y x x= = + − , { }2 2| 6 0B x x ax a= − − < ,其中 0a ≥ . (1)当 1a = 时,求集合 A B∪ , ( )RC A B∩ ; (2)若 ( )RC A B B∩ = ,求实数a的取值范围. 【答案】 ( ) [ ) ( )1 3,3 , ( ) 1,3RA B C A B∪ = − ∩ = ( )2 0a = 【解析】 【分析】(1)先求集合 B,再根据交集、并集以及补集得定义求结果,(2)先根据条件化为集合关系,再 结合数轴求实数a的取值范围. 【详解】(1) ( )( ){ } ( )( ){ } [ ]| 3 1 | 3 1 0 3,1A x y x x x x x= = + − = + − ≥ = − 当 1a = 时, { } { } ( )2 2 2| 6 0 | 6 0 2,3B x x ax a x x x= − − < = − − < = − , 所以 [ )3,3 ,A B∪ = − 因为 ( ) ( ) ( ), 3 1,RC A = −∞ − ∪ +∞ ,所以 ( ) ( )1,3RC A B∩ = (2)因为 ( )RC A B B∩ = ,所以 RB C A⊆ , 当 B =∅时, 0a = ,满足条件, { } ( )2 20 | 6 0 2 ,3a B x x ax a a a> = − − < = −当 时 ,不满足条件, 第11页/共15页 学科网(北京)股份有限公司 因此 0a = . 【点睛】防范空集.在解决有关 ,A B A B∩ =∅ ⊆ 等集合问题时,往往忽略空集的情况,一定先考虑∅是 否成立,以防漏解. 16. 已知 ( )y f x= ( x R∈ )是偶函数,当 0x ≥ 时, 2( ) 2f x x x= − . (1) 求 ( )f x 的解析式; (2) 若不等式 ( )f x mx≥ 在1 2x≤ ≤ 时都成立,求 m的取值范围. 【答案】(1) f(x)= 2 2 2 , 0 2 , 0 x x x x x x − ≥ + < (2) 1m ≤ − 【解析】 【详解】试题分析:已知函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性常见考试题,函数 f(x)为偶函数, 求 x<0的解析式,利用-x>0,f(x)=f(-x)去求;解决不等式恒成立问题首选方法是分离参数借助极值原理去 解决,本题注意到 x的范围,由于 x为正,所以分离参数时,不等号的方向不变,再求最值,最后的处 m的 取值范围 试题解析: (1)设 x<0 时,则-x>0, ∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x. ∴f(x)= 2 2 2 . 0 2 , 0 x x x x x x − ≥ + < ; (2) 由题意得 x2-2x≥mx在 1≤x≤2时都成立, 即 x-2≥m在 1≤x≤2时都成立, 即 m≤x-2 1≤x≤2时都成立, 当 1≤x≤2时,(x-2)min=-1, 则 m≤-1. 【点睛】函数的奇偶性常见问题(1)利用函数的奇偶性求值,(2)利用函数的奇偶性分析函数的图象, 借助单调性解不等式,(3)利用函数的奇偶性求函数的解析式;解决不等式恒成立问题首选方法是分离参 数借助极值原理去解决,当然也有很多恒成立问题需要对参数进行讨论才能解决. 17. (2016年苏州 19)设函数 ( ) 1f x x x m= − + . (1)当 2m = − 时,解关于 x 的不等式 ( ) 0f x > ; (2)当 1m > 时,求函数 ( )y f x= 在[0, ]m 上的最大值. 在 第12页/共15页 学科网(北京)股份有限公司 【答案】(1) (2, )+∞ (2) 2 max 1 2, 2( ) { 1 1 2,1 4 2 m m f x m m + ≥ = + + < < 【解析】 【详解】(1)借助绝对值的定义运用分类整合的数学思想将问题转化为求两个二次不等式的解集,最后再 求其并集;(2)依据题设条件先运用分类整合思想求出函数的解析式,再分别借助二次函数的图像和性质 求二次函数的最大值问题 : 解:(1) 当 1x > 时, ( ) 2 2 0f x x x= − − > ,解得 2x > 或 1x < − ,所以 2x > 当 1x ≤ 时, ( ) 2 2 0f x x x= − − > ,得 x 无实数解, 综上所述,关于 x 的不等式 ( ) 0f x > 的解集为 ( )2,+∞ . (2) 当 [ ]0,1x∈ 时, ( ) ( )1f x x x m= − + 2 2 1 1 2 4 x x m x m = − + + = − − + + , 当 1 2 x = 时, ( )max 1 4 f x m= + . 当 ( ]1,x m∈ 时, ( ) ( )1f x x x m= − + = 2 2 1 1 2 4 x x m x m − + = − + − , 因为函数 ( )y f x= 在 ( ]1,m 上单调递增,所以 ( ) ( ) 2maxf x f m m= = . 由 2 1 4 m m≥ + ,得 2 1 0 4 m m− − ≥ ,又 1m > ,所以 1 2 2 m +≥ . 所以 ( ) 2 max 1 2, 2 1 , 1 214 2 mm f x m m + ≥ = + + < < . 18. 已知函数 2 2( ) 4 4 2 2f x x ax a a= − + − + . (1)若 2a = ,求函数 ( )f x 在区间 ( 1, 2)− 上的值域; (2)若函数 ( )f x 在区间[0,2]上有最小值 3,求a的值. 【答案】(1)[ ]2,14− (2) 1 2a = − 或 5 10a = + . 【解析】 第13页/共15页 学科网(北京)股份有限公司 【分析】(1)把a的值代入函数解析式,再判断函数在已知区间上的单调性,进而可以求解, (2)讨论对称轴与已知区间的三种位置关系,分别求出最小值,令其为 3,解出来a的值,进而可以求解. 【小问 1 详解】 若 2a = ,则 2 2( ) 4 8 2 4( 1) 2f x x x x= − + = − − ,对称轴为 1x = , 函数 ( )f x 在区间[ 1− ,1) 上单调递减,在 (1,3)上单调递增, 所以 ( )min( ) 1 2f x f= = − , max( ) ( 1) 14f x f= − = ; 所以 ( )f x 的值域为[ ]2,14− 【小问 2 详解】 2( ) 4( ) 2 2 2 af x x a= − − + ,对称轴为 2 ax = , ①当 0 2 a ≤ ,即 0a ≤ 时,函数 ( )f x 在 [0 , 2]上是增函数. 2( ) (0) 2 2minf x f a a∴ = = − + , 由 2 2 2 3a a− + = ,得 1 2a = . 0a ≤ , 1 2a∴ = − . ②当0 2 2 a < < ,即 0 4a< < 时, min( ) ( ) 2 22 af x f a= = − + . 由 2 2 3a− + = ,得 1 (0,4) 2 a = − ∉ ,舍去. ③当 2 2 a ≥ ,即 4a ≥ 时,函数 ( )f x 在 [0 , 2]上是减函数, ( )min( ) 2f x f= 2 10 18a a= − + . 由 2 10 18 3a a− + = ,得 5 10a = . 4a ≥ , 5 10a∴ = + , 综上所述, 1 2a = − 或 5 10a = + . 19. 如图,在四棱锥 P ABCD− 中,底面 ABCD是正方形,侧面 PAD ⊥侧面 PAB, F 为 BD中点, E 是 PA上的点, 2PA PD= = , PA PD⊥ . 第14页/共15页 学科网(北京)股份有限公司 (1)求证:平面 PAD ⊥平面 ABCD; (2)若二面角 E DF A− − 的余弦值为 3 11 11 ,求 E 到平面 PBC 的距离 【答案】(1)证明见解析 (2) 10 5 【解析】 【分析】(1)由面面垂直和线面垂直性质可得 PD AB⊥ ,结合 AB AD⊥ ,由线面垂直和面面垂直的判定方 法可证得结论; (2)取 AD 中点O,结合面面垂直性质可知 , ,OF AD OP两两互相垂直,则以O为坐标原点建立空间直角 坐标系,设 ( )0 1AE AP = ≤ ≤ ,根据二面角的向量求法可构造方程求得 的值,进而根据点面距离的 向量求法求得结果. 【小问 1 详解】 平面 PAD ⊥平面 PAB,平面 PAD∩平面 PAB PA= , PA PD⊥ , PD ⊂平面 PAD , PD∴ ⊥平面 PAB,又 AB⊂ 平面 PAB, PD AB∴ ⊥ ; 四边形 ABCD为正方形, AB AD∴ ⊥ , PD AD D= , ,PD AD ⊂平面 PAD , AB∴ ⊥平面 PAD , AB ⊂ 平面 ABCD,∴平面 PAD ⊥平面 ABCD . 【小问 2 详解】 取 AD 中点O,连接 ,OP OF , PA PD= ,O为 AD 中点, OP AD∴ ⊥ , 平面 PAD ⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD AD= ,OP ⊂平面 PAD , OP∴ ⊥平面 ABCD, ,O F 分别 ,AD BD 中点, //OF AB ,又 AB AD⊥ , OF AD∴ ⊥ ; 以O为坐标原点, , ,OA OF OP 正方向为 , ,x y z 轴正方向,可建立如图空间直角坐标系, 为 第15页/共15页 学科网(北京)股份有限公司 2PA PD= = , PA PD⊥ , 2 2AD∴ = , 1 2 2 OP AD= = , ( )2,0,0D∴ − , ( )2,0,0A , ( )0,0, 2P , ( )2,2 2,0B , ( )2,2 2,0C − , ( )0, 2,0F , ( )2, 2,0DF∴ = , ( )2,2 2, 2PB = − , ( )2 2,0,0BC = − , ( )2,0, 2AP = − , ( )2 2,0,0DA = , 设 ( )0 1AE AP = ≤ ≤ ,则 ( )2 ,0, 2AE = − , ( )2 2 2 ,0, 2DE DA AE ∴ = + = − , 设平面 DEF 的法向量 ( ), ,n x y z= , 则 ( )2 2 2 2 0 2 2 0 DE n x z DF n x y ⋅ = − + = ⋅ = + = ,令 x = ,解得: y = − , 2z = − , ( ), , 2n ∴ = − − ; z 轴⊥平面 ADF ,∴平面 ADF 的一个法向量 ( )0,0,1m = , ( )22 2 2 3 11cos , 112 m n m n m n ⋅ − ∴ = = = ⋅ + + − ,解得: 1 = − (舍)或 1 2 = , 2 2,0, 2 2 AE ∴ = − , 2 2,0, 2 2 EP AP AE ∴ = − = − ; 设平面 PBC 的法向量 ( ), ,t a b c= , 则 2 2 2 2 0 2 2 0 PB t a b c BC t a ⋅ = + − = ⋅ = − = ,令 1b = ,解得: 0a = , 2c = , ( )0,1,2t∴ = , ∴点 E 到平面 PBC 的距离 2 10 55 EP t d t ⋅ = = = .