精品解析：天津市和平区2023-2024学年高三下学期二模考试数学试卷

和平区2023-2024学年度第二学期高三年级第二次质量调查 数学学科试卷 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·球体的体积公式，其中R表示球的半径． ·如果事件A、B互斥，则． ·如果事件A、B相互独立，则． ·任意两个事件A与B，若，则． 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知为虚数单位，复数，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数的四则运算求出，再结合共轭复数的定义求解． 【详解】复数， 所以的共轭复数． 故选：C． 2. 若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，等价于，若所求必要条件对应的范围为，则，由此判断即可得到本题的答案． 【详解】不等式等价于， 使“”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为，则是的真子集， 由此对照各项，可知只有A项符合题意． 故选：A． 3. 为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，首先选取种相同课外读物，再选取另外两种课外读物，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： 首先选取种相同课外读物的选法有种， 再选取另外两种课外读物需不同，则共有种， 所以这两人选读课外读物中恰有1种相同的选法共有种． 故选：B． 4. 已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得函数是周期为2的函数，则可得，， 【详解】因为函数是偶函数，则， 又函数为偶函数，则， 即，所以函数是周期为2的函数， 则，， 且当时，是减函数， 由可得，即. 故选：C 5. 已知函数的部分图象如下图所示，则以下说法中，正确的为（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 函数的图象的对称中心为 【答案】C 【解析】 【分析】由图象求出函数的解析式，然后利用正弦函数的相关性质求解即可逐项判断出来. 【详解】由图象可知，，所以，所以， 所以，将代入得：， 所以，由于，所以， 所以，故A错误； ，故B错误； 由，所以，所以， 解得，即不等式解集为，故C正确； 令，解得，所以的图象的对称中心为，故D错误. 故选：C 6. 如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得正四棱锥的斜高为5，底面正方形的边长为6，从而可得正四棱锥的高，设这个正四棱锥的内切球的半径为，高线与斜高的夹角为，则易得，，从而可得，再代入球的体积公式，即可求解． 【详解】作出四棱锥如图： 根据题意可得正四棱锥的斜高为，底面正方形的边长为6， 正四棱锥高为， 设这个正四棱锥的内切球的球心为，半径为，与侧面相切于， 则高线与斜高的夹角为，则， 则, ，， 这个正四棱锥的内切球的体积为． 故选：B． 7. 过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案. 【详解】圆的圆心为， 直线关于直线对称时，与直线垂直， 所以直线的方程为， 由解得，所以. 故选：A. 8. 已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，，从而可得直线方程，再联立抛物线方程求出的横坐标，再根据导数的几何意义及直线平行的性质，求出渐近线（其中一条）的斜率，即可得解． 【详解】抛物线：的焦点为，依题意可得， 直线方程为，即， 联立，可得，解得或， 又线段与在第一象限的交点为点，的横坐标为， 由，所以， 在点处的切线斜率为， 又在点处的切线平行于的一条渐近线， 双曲线的一条渐近线的斜率为， 双曲线的渐近线方程为． 故选：D． 9. 平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，得，，，四点共圆，从而判断点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），根据数量积的几何意义，得出结论． 详解】由，，， 可得，故， 又，所以， 以为直径作圆，则，，，四点共圆， 如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点）， 则， 又表示在上的投影， 由图可知，，， 故（此时点在劣弧的中点位置）， 即的最小值为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：①由，得到，，，四点在以为直径的圆上， ②看作是在上投影,结合图形特征可得投影的取值范围. 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 注意事项： 1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效． 2．本卷共11题，共105分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分） 10. 设集合，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的交运算以及补集定义即可求解. 【详解】，， 故， 故答案为： 11. 在的展开式中，常数项为___________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项，再令，求出，再代入计算可得； 【详解】解：二项式的展开式通项公式为． 令，解得， 故展开式的常数项为， 故答案为：． 12. 过点作曲线的切线，则切点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立方程，将代入求解即可. 【详解】设切点的坐标为，由，， 所以过切点的切线方程为：， 把代入得：，即， 所以，则切点坐标为：即. 故答案为： 13. 为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为______；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据题意，设甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件，先由相互独立事件的概率公式求出、的值，结合对立事件的性质求出第一空答案，利用全概率公式计算第二空的答案． 【详解】根据题意，设甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件， 则，，， 所以，， 若规定三名同学都回答这个问题， 则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率， 若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，， 则这个问题回答正确的概率． 故答案为：；． 14. 已知数列满足，则数列的通项公式为______，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第______项． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时求出，当时，，作差即可求出的通项公式，从而求出，即可表示出，再由基本不等式求出数列的最大项. 【详解】因为， 当时，，解得； 当时，， 两式相减得，即， 经检验当时也成立，所以； 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以数列的最大项为第项. 故答案为：；． 15. 已知函数，若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______． 【答案】,,． 【解析】 【分析】方程可化为，根据一次函数与二次函数的性质，分别讨论函数与函数，在同一坐标系内作出它们的图象并观察交点的个数，建立关于的不等式，进而求出实数的取值范围． 【详解】方程，即， 结合，得，原方程可化为， ①时，原方程变为，只有一个实数根，不符合题意； ②，记， 的图象是开口向下的抛物线，函数的最大值， 因为在上是减函数，在上是增函数， 所以的最小值为， 结合图象可知：此时与的图象有两个交点，符合题意； ③，则， 在上是减函数，在，上是增函数，的最小值为， 的图象是开口向上的抛物线，函数的最小值， 当时，即时，函数的最小值， 观察图象可知：此时与的图象有两个交点，符合题意； 当时，函数的最小值， 方程即的根的判别式△， 且方程即的根的判别式△， 结合与都在处取最小值，可知与的图象不止有两个交点，不符合题意． 综上所述，或，即实数的取值范围是,,． 故答案为：,,． 【点睛】方法点睛：函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． （1）求角B的大小； （2）求b的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和三角函数的恒等变换即可求解； （2）利用余弦定理即可求解； （3）利用正弦定理和二倍角的正、余弦公式即可求解． 【小问1详解】 因为，由正弦定理有， 因为,所以，所以，即， 由于,所以，故，解得； 【小问2详解】 因为， 所以由余弦定理，即，解得； 【小问3详解】 由正弦定理有，有， 因为，所以为锐角，故， 又， 则， ． 17. 如图，三棱台中，为等边三角形，，平面ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点D到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用，结合平面，得出平面； （2）利用向量的夹角公式即可求解； （3）利用点到平面的距离的向量法公式，即可求解． 【小问1详解】 因为侧棱底面，为等边三角形，所以过点作，则以为点A为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系， 设长为，则 ，， 因为，所以，则有，． 所以，，，，，，． 证明：因为，，设平面的法向量为， 则，令，则， 又因为． 所以，所以，又因为平面，所以平面． 【小问2详解】 因为为中点，所以，则， 有，又，设直线与平面所成角为， ， 则直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以，点D到平面的距离为． 18. 已知为等差数列的前n项和，，． （1）若为数列的前n项和，求； （2）等差数列满足，数列满足． （i）求数列与数列的通项公式； （ii）求． 【答案】（1） （2）（i），；（ii）. 【解析】 【分析】（1）设数列公差为，求出，然后求出数列的前n项和即可； （2）（i）设数列公差为，由（1）得，又，求出，然后求出即可；（ii）利用错位相减法与裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设数列公差为，由公式，， 有，求得，即，所以． 设，前项和为，． 当时，． 当时，． 所以 【小问2详解】 （ⅰ）设数列公差为，由（1）得，又， 即，解得，所以． （ⅱ）， 设， ，① ，② ①－②得， ． 所以，． 设， 所以，． ． 所以，． 19. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点为点F，椭圆上顶点为点A，右顶点为点B，且满足． （1）求椭圆的离心率； （2）是否存在过原点O的直线l，使得直线l与椭圆在第三象限的交点为点C，且与直线AF交于点D，满足，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）因此存在直线满足条件． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解，即可结合的关系求解， （2）联立方程可得坐标，即可根据根据，即可求解. 【小问1详解】 依题意，，解得， 又因为，所以． 【小问2详解】 设直线的方程为，椭圆的方程为， 设点，联立方程组，整理得， 解得，①， 直线AF方程为， 设点， ，联立方程组，解得，②， 又因为， 设，则有， 即，所以，所以． 所以，则有， 代入①②有，解得， 由题意得，所以，因此存在直线满足题中条件． 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 20. 已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若不等式恒成立，求的取值范围； （3）在（1）的条件下，设，，且.求证：当，且时，不等式成立. 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）设，依题意可得，利用导数求出函数的单调性，即可得到函数的最大值，即可求出参数的取值范围； （3）问题等价于证明，结合（2）可知，从而得到，再递推即可得证. 【小问1详解】 当时，函数，函数定义域为， 且， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由已知有恒成立，设，即， 又函数定义域为，， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，即，解得， 即的取值范围为. 【小问3详解】 由，，， 因为等价于. 一方面，要证明， 由（2）可知当时，有，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号，又，所以， 因为，所以， 因此当时，. 所以，当时，时成立，即成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 和平区2023-2024学年度第二学期高三年级第二次质量调查 数学学科试卷 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·球体的体积公式，其中R表示球的半径． ·如果事件A、B互斥，则． ·如果事件A、B相互独立，则． ·任意两个事件A与B，若，则． 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知为虚数单位，复数，则z共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 3. 为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 4. 已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如下图所示，则以下说法中，正确的为（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 函数的图象的对称中心为 6. 如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（ ） A B. C. D. 7. 过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线：焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 9. 平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 注意事项： 1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效． 2．本卷共11题，共105分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分） 10. 设集合，，，则______． 11. 在的展开式中，常数项为___________.（用数字作答） 12. 过点作曲线的切线，则切点的坐标为______． 13. 为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为______；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率为______． 14. 已知数列满足，则数列的通项公式为______，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第______项． 15. 已知函数，若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______． 三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． （1）求角B大小； （2）求b的值； （3）求的值． 17. 如图，三棱台中，为等边三角形，，平面ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点D到平面的距离． 18. 已知为等差数列的前n项和，，． （1）若为数列的前n项和，求； （2）等差数列满足，数列满足． （i）求数列与数列的通项公式； （ii）求． 19. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点为点F，椭圆上顶点为点A，右顶点为点B，且满足． （1）求椭圆的离心率； （2）是否存在过原点O的直线l，使得直线l与椭圆在第三象限的交点为点C，且与直线AF交于点D，满足，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 20. 已知函数. （1）当时，讨论函数单调性； （2）若不等式恒成立，求的取值范围； （3）在（1）的条件下，设，，且.求证：当，且时，不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$