精品解析：江苏省溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

江苏省溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 注意事项： 1.请将本试卷答案写在答题卡相应位置上； 2.考试时间为120分钟，试卷总分为150分. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 10 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，求出、的坐标，再利用空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】因为，所以，， 则. 故选：D 2. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（　　） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率和瞬时变化率的概念直接计算. 【详解】函数在区间上的平均变化率等于， 由，得，所以， 因为函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率， 所以，解得. 故选：B 3. 下列导数运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由导数的计算公式依次分析选项，综合可得答案. 【详解】根据题意，依次分析选项, 对于A， ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：C 4. 若，且为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，则m的值为（ ）． A. B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方向向量与平面法向量垂直数量积为0可得. 【详解】由题知，，故，解得. 故选：C 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，并令求出的值，再利用导数的定义化简即可求解. 【详解】因为，则，所以，则， 故选：A 6. 抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件，，，则下列说法错误的是（ ） A. 事件，，两两互斥 B. C. D. 事件，相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，利用互斥事件的定义判断；对于B，利用互斥事件概率加法公式求解；对于C，利用互斥事件概率加法公式求解；对于D，利用相互独立事件概率乘法公式求解. 【详解】抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件，，， 对于A，事件，，中任何两个事件都不能同时发生，所以事件，，，两两互斥，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，，所以，故C错误； 对于D，，， ，所以事件，相互独立，故D正确； 故选：C 7. 已知，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间点到直线的距离公式计算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以在上投影的长度为， 所以点到直线的距离为. 故选：C 8. 设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对题干条件变形，转化为在上不单调，即可满足“性质”，再分别对选项一一判断即可. 【详解】将变形为：， 令，则在上至少有2个不等实数使得， 所以在上不单调，即可满足“性质”； 对于A，，当时，在上单调递增，所以不满足“性质”； 对于B，，，所以时，，当时，，所以在上不单调，满足“性质”； 对于C，，当时，则，所以在上单调递减，则不满足“性质”； 对于D，，当时，，在上单调递减，则不满足“性质”； 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则直线平面 B 若，则平面平面 C. 若，则平面所成锐二面角的大小为 D. 若，则直线与平面所成角的大小为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，则直线平面或，可判断不正确；根据平面法向量的概念及空间角的求解方法，可判断正确. 【详解】由，则直线平面或，故错误； 由，则平面平面，故正确； 若，设平面和平面所成角为，且， 则， 所以平面所成锐二面角的大小为，故正确； 设直线与平面所成角为， 则，且， 所以直线与平面所成角的大小为，故正确. 故选：. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 过点可作曲线的一条切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性和极值，结合零点存在定理可判断A，B选项，利用函数对称性的定义可判断C选项，利用导函数的几何意义可判断D选项. 【详解】因为函数，所以， 令，解得：， 当或时，，则的单调增区间为，， 当时，，则的单调减区间为， 故当为函数的极大值点，极大值为，当为函数的极小值点，极小值为，故A正确； 当时，，当时，，则的图象如下： 所以有2个零点，故B错误； 对任意，，所以点是曲线的对称中心，故C正确； 因为，，则，所以切线方程为：，即，所以过点可作曲线的一条切线； 故选：ACD 11. 已知正方体的棱长为分别为线段中点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 若，则三棱锥的体积为1 C. 若，则与平面所成角的最大值为 D. 若，当最小时，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，当时，利用向量的模的公式算出，结合二次函数的性质求出的最大值，从而判断A； 当时，点在正方形内部运动(含边界)，可知点到平面的距离，然后利用三角形面积公式与锥体的体积公式求出三棱锥的体积，从而判断B； 当时，取且，算出此时直线与平面所成角大于，从而判断C； 当时，用，表示出、的坐标，根据、、三点共线时达到最小值，求出点的坐标，再由的坐标计算出的值，即可判断D. 【详解】以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系： 则，，，，，， 对于A，当时，，可得， 所以，可知当时，的最大值为3，故A错误； 对于B，当时，点的坐标为，可知点在正方形内部运动(含边界)， 则点到平面的距离等于正方体的棱长，即， 结合 可得三棱锥的体积，故B正确； 对于C，，平面的一个法向量为， 设与平面所成夹角为，则 若，取，，此时， 结合正弦函数在锐角范围内是增函数，可得直线与平面所成角大于，故C错误； 对于，当，则，结合，可得， 因为，所以当点在线段上时，即，共线反向时，达到最小值，由，得，，，解得：，，， 即达到最小值时，的坐标为，此时，可得，故D正确； 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.（第13题第一空2分，第二空3分） 12. 若函数的图象在点处的切线平行于轴，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，利用处的导数值为0列式求解的值. 【详解】由，可得， 由题意得：，解得：， 故答案为： 13. 已知随机事件，则______.______. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】求出和，由概率的乘法公式和条件概率公式，可得结果. 【详解】由概率的乘法公式得， 因为，，则， 所以由条件概率公式得， 故答案为：； 14. 等腰梯形中，，现沿直线把折起，使二面角为直二面角，则二面角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，中点，则平面，推导出，，以为坐标原点，分别以，，所在直线为 轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】取中点，中点，则平面，, 所以，，， ，， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为 轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量为，则，取， 得， 平面的法向量为，设二面角的平面角为， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知四棱锥的底面为正方形，平面，分别为线段，中点. （1）证明：共面； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意利用平面向量的运算可得，由共面向量定理即可证明； （2）方法一：利用线面垂直的性质得，由(1)，可得，进而利用平面向量的夹角公式即可求解； 方法二：以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系，利用空间向量线面角的公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得：， 则由共面向量定理知，共面. 【小问2详解】 方法一：由平面，知为平面的法向量， 又平面，所以 由（1）知：， ， 设直线与平面所成角为， 所以，直线与平面所成角大小为. 方法二：由题平面及为正方形， 以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系; 则，则， 由平面知为平面的法向量 设直线与平面所成角为， 则 所以，直线与平面所成角大小为. 16. 扇形的面积公式为为扇形的弧长，为扇形的半径）.已知某扇形的面积为，半径为，将此扇形卷成一个圆锥侧面，得到的圆锥的体积为. （1）试把表示为的函数，并写出的取值范围； （2）多大时，圆锥的体积最大？ 【答案】（1），的取值范围为 （2） 【解析】 【分析】（1）由圆锥的结构特征可表示出底面圆半径和圆锥的高，再由圆锥的体积公式可得与的的关系，由即可求出的取值范围； （2）利用导数即可求解函数的最大值. 【小问1详解】 设圆锥侧面扇形弧长为，高为，底面圆的半径为， 则，则， 所以 由得，则的取值范围为； 小问2详解】 由（1）， 令，则，令， 则，令，解得 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以，当时，取最大值，即时，最大. 即当时，圆锥的体积最大. 17. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球. （1）求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率； （2）求第一次取出的是白球的概率； （3）求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)合理设出事件，利用条件公式进行求解； (2) 利用全概率公式进行求解； (3) 利用全概率公式，条件概率公式进行求解； 【小问1详解】 记“随机取到甲袋”为事件，“随机取到乙袋”为事件，“第一次取出的是白球”为事件，“第二次取出的是白球”为事件. . 所以取到甲袋且从中取出的两球均为白球的概率为. 【小问2详解】 所以第一次取到白球的概率为. 【小问3详解】 所以. 所以第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率为. 18. 图①展现的是一种被称为“正四角反棱柱”的多面体，其上下底面平行且均为正方形，它的俯视图是一个正八边形（图②）.已知此多面体上下底面的边长为2，高为. （1）判断直线与直线是否垂直，并说明理由； （2）求二面角的大小； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）不垂直，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】连接，交于点，连接，交于点，以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系；(1)利用向量数量积判断直线与直线是否垂直； (2)求出平面的一个法向量及平面的一个法向量，再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角的大小； (3)求出的坐标，再由点到平面的距离公式求解. 【小问1详解】 连接，交于点，由为正方形知， 连接，交于点，由“俯视图为正八边形”知平面， 以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系. 则. ， . 所以不垂直于，所以直线与直线不垂直. 【小问2详解】 ， 设平面的一个法向量为， 则， 取，得. 平面的一个法向量为. 设二面角平面角为， 则. 由图知，所以二面角的大小为. 【小问3详解】 ，由（2）平面的一个法向量为， 所以，点到平面的距离. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点. ①求的取值范围； ②若函数有两个极值点，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）通过对的讨论，研究导数的零点与定义域的关系，以及零点的大小关系，确定原函数的单调性； （2）①研究函数的单调性，极值与最值情况，构造关于的不等式求解； ②讨论函数的导数零点的个数解决问题. 【小问1详解】 ， （ⅰ）当时，在上单调递减. （ⅱ）当时，时，,时，. 综上，时，在上单调递减， 时，上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ①由（1）当时，在上单调递减，不符合题意 当时，在上单调递减，在单调递增. 则. 令， 由知，在上单调递增. 又， 当时，，不满足有两个零点. 当时，， 又，则在有一个零点. 又，令， 可得，所以， 则，则在有一个零点. 综上，在上有两个零点，的取值范围是 ②， . 令， 则. 由①知，则在上单调递减，在上单调递增. 所以，. 由题有两个极值点，则在上有两个零点， 又，当时，. 则，又. 所以，的取值范围是 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用， 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 注意事项： 1.请将本试卷答案写在答题卡相应位置上； 2.考试时间为120分钟，试卷总分为150分. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 若，则（ ） A. 10 B. 8 C. D. 2. 函数在区间上平均变化率等于时的瞬时变化率，则（　　） A. B. 1 C. 2 D. 3. 下列导数运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，且为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，则m的值为（ ）． A. B. C. D. 8 5 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件，，，则下列说法错误的是（ ） A. 事件，，两两互斥 B. C. D. 事件，相互独立 7. 已知，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则直线平面 B 若，则平面平面 C. 若，则平面所成锐二面角的大小为 D. 若，则直线与平面所成角的大小为 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线对称中心 D. 过点可作曲线的一条切线 11. 已知正方体的棱长为分别为线段中点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 若，则三棱锥的体积为1 C. 若，则与平面所成角的最大值为 D. 若，当最小时，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.（第13题第一空2分，第二空3分） 12. 若函数的图象在点处的切线平行于轴，则______. 13. 已知随机事件，则______.______. 14. 等腰梯形中，，现沿直线把折起，使二面角为直二面角，则二面角的余弦值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知四棱锥的底面为正方形，平面，分别为线段，中点. （1）证明：共面； （2）求直线与平面所成角的大小. 16. 扇形的面积公式为为扇形的弧长，为扇形的半径）.已知某扇形的面积为，半径为，将此扇形卷成一个圆锥侧面，得到的圆锥的体积为. （1）试把表示为的函数，并写出的取值范围； （2）多大时，圆锥的体积最大？ 17. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球. （1）求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率； （2）求第一次取出的是白球的概率； （3）求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率； 18. 图①展现的是一种被称为“正四角反棱柱”的多面体，其上下底面平行且均为正方形，它的俯视图是一个正八边形（图②）.已知此多面体上下底面的边长为2，高为. （1）判断直线与直线是否垂直，并说明理由； （2）求二面角的大小； （3）求点到平面的距离. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点. ①求的取值范围； ②若函数有两个极值点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$